Mecânica I - Poli - P1 - 2006

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. 
 Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
PME 2100 – MECÂNICA A – Primeira Prova – 15 de setembro de 2006 
Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras) 
 
G P 
Z 
a 
F Y 
F 
F 
F 
X 
A 
O B 
C 
1ª Questão (3,5 pontos) A figura mostra uma placa homogênea quadrada, de peso P e lado a, sujeita à 
ação de forças aplicadas nos pontos A e B. 
Considerando os eixos (X,Y,Z), orientados 
pelos versores ),,( kji
rrr
, pede-se: 
a) A resultante e o momento R
r
OM
r
 do 
sistema de forças, este último calculado 
em relação ao pólo O; 
b) O momento GM
r
 do sistema de forças 
em relação ao centro de massa G da placa; 
c) Responda e justifique: O sistema é 
redutível a uma única força? O sistema é 
redutível a um binário? 
d) Com 2PF = , determine o lugar 
geométrico dos pontos E em relação aos 
quais o momento EM
r
 do sistema de forças 
é paralelo à resultante; calcule M
r
. E
 
 
Solução: 
 
a) Resultante e momento em relação a O: 
 
kPR
rr −=kPkFFiFFR rrrr −−+−= )()( (0,5) ∴
 ( ) ( )
)(
)()^()()()^()()()^(
jiPakaFiaFjaF
kPOGiFkFOBiFkFOAM O
rrrrr
rrrrrr
+−+−+=
=−−++−+−+−−=
2
 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −++−= kFjPFiPFaM O
rrrr
)()(
22
 (0,5) ⇒
 
b) Aplicando-se a fórmula de mudança de pólo: 
 
)()()^()^( jiPaMkPjiaMRGOMM OOOG
rrrrrrrrrr −+=−+−=−+=
22
 
( )kjiaFM G rrrr −+= (0,5) ⇒
 
1 
 
 
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c) O sistema: 
 
(i) é não-redutível a uma única força; 
(ii) é não-redutível a um binário. 
(0,5) 
 Sim, pois: 
0≠=⋅=⋅ aFPRMRM GO
rrrr
(i) o invariante, , é não-nulo; 
kPR
rr −=(ii) a resultante, , é não-nula. 
(0,5) 
d) Solicita-se o eixo central: 
R
R
MR
OE O
r
r
rr
λ+=− 2^)( ℜ∈λ , com . 
Assim: 
k
P
kFjPFiPFakP
OE
r
rrrr
β+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −++−−
=− 2 22
)()()^(
)( , com , de onde segue, ℜ∈β
 
k
P
iPFjPFa
OE
r
rr
β+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++−−
=−
)()(
)( 22 , com , ou ainda, ℜ∈β
 
kj
P
Fi
P
FaOE
rrr β+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=−
2
1
2
1)( , com . (0,5) ℜ∈β
 
Com 2PF = tem-se: kiaOE rr β+=− )( . 
 
Cálculo do valor de - pela fórmula de mudança de pólo: EM
r
 
REOMM OE
rrr
)^( −+= , i.e., 
 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
iPFjPFakFjPFiPFa
kj
P
Fi
P
FakPkFjPFiPFaM E
rrrrr
rrrrrrrr
2222
2
1
2
1
22
β)^(
 
 
∴ kaFM E
rr −= . Com 2PF = tem-se: kaPM E
rr
2
−= . (0,5) 
2 
 
 
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2ª Questão (3,0 pontos) Uma estrutura triangular é composta por três barras, articuladas entre si. Esta 
estrutura é vinculada à parede vertical por uma articulação em A e um apoio simples em B e suporta 
uma polia homogênea de raio R e peso Q, através de uma articulação em C. Um fio ideal, preso à 
parede em D, e que passa pela polia, suporta um bloco de peso P. As barras têm peso desprezível. 
Pede-se: 
 
a) Calcule a tração no fio e as reações da estrutura 
triangular sobre a polia, em C; 
b) Calcule as reações dos vínculos sobre a estrutura 
triangular em A e B e mostre os resultados em um 
diagrama de corpo livre; 
c) Calcule as forças nas barras e informe 
explicitamente se as barras estão tracionadas ou 
comprimidas. 
 
 
 
A 
B 
D 
C 4a 
3a 
5a 
Solução: 
a) (0,5) 
 
Diagrama de corpo livre, da estrutura triangular: Diagrama de corpo livre da polia: 
 
A 
B 
C Cx
Cy
Ax
Ay
Bx
Cy
Cx
Q 
T 
P 
C 4a 
3a 
5a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equilíbrio dos momentos das forças na polia em relação ao pólo C: 
 
PT =⇒=−= 0RPRTM C .. 
 
 Equilíbrio das forças na polia: 
 
PCx =⇒=−⇒=∑ 00 TCF xx 
QPCy += ⇒=−−⇒=∑ 00 PQCF yy
3 
 
 
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b) (0,5) 
Equilíbrio dos momentos das forças na estrutura triangular, em relação ao pólo A: 
 
( )QPBx += 3
4⇒=⇒=−= yxyxA CBaCaBM 3
4043 .. 
 
 Equilíbrio das forças na estrutura triangular: 
 
( )⇒+−=⇒−=⇒=−+⇒=∑ QPPABCACBAF xxxxxxxx 3
400
( )
3
4QPAx
+−= 
QPAy += ⇒=⇒=−⇒=∑ yyyyy CACAF 00
 
c) (0,5) 
Forças nas barras: 
 
 A estrutura triangular é uma treliça (barras de massa desprezível, articuladas nas extremidades, 
com forças aplicadas apenas nos nós), e, usando o método dos nós, obtemos: 
 
A 
B 
C FAC FAC FAC FAC 
FBC 
FBC 
FBC 
FBC 
Ax 
FAB 
FAB 
FAB 
FAB 
Ay 
Bx 
Cx 
Cy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nó A: ( )
3
4QPFAC
+=⇒=+⇒=∑ 00 ACxx FAF 
 
QPFAB += ⇒=−⇒=∑ 00 AByy FAF
 
4 
 
 
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Nó B: 
( )⇒+⋅−=⇒=+⋅⇒=∑ QPFBFF BCxBCx 3
4
4
50
5
40 ( )QPFBC +−= 3
5 
 
Portanto, observando as indicações da figura acima: 
 
Barra AB: tracionada 
Barra AC: tracionada 
Barra BC: comprimida 
 
( )
3
4QPFAC
+= ( )QPFBC +−= 3
5QPFAB += ; ; 
5 
 
 
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3ª Questão (3,5 pontos) A estrutura em forma de T é homogênea e tem peso P. A extremidade A se 
apóia na parede (vertical) e a extremidade B se apóia no solo (horizontal). A parede e o solo são de 
materiais diferentes: o coeficiente de atrito entre a estrutura e o piso é μ e o coeficiente de atrito entre 
a estrutura e a parede é nulo. Pede-se: 
 
2L 2L 
2L 
A 
B 
C 
g 
45o
y 
x 
 
a) Determine as coordenadas xG e yG do baricentro da estrutura 
em forma de T; 
 
b) Calcule a força de atrito entre a estrutura e o piso no ponto B, 
supondo que a estrutura esteja em equilíbrio estático; 
 
c) Verifique se μ = 0,5 é suficiente para manter o equilíbrio. 
 
 
 
 
Solução: 
 
a) 
0=Gx (por simetria) (0,5) 
6
2
3
2
3
0
3
2
2
2
3 L
mm
mLm
yG =
+
+
= (0,5) 
 
 
b) Diagrama de corpo livre (0,5) 
 
Equações de equilíbrio: (0,5) 
NB
NA
P 
Fat
6
2L 
A 
B 
Aatx NFF =⇒=∑ 0 
PNF By =⇒=∑0 
⇒⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=⇒=∑ 2262222220 LLPLNM ABz
12
5PN A =⇒ 
 
PFat 12
5= (0,5) ∴
 
6 
 
 
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c) No limite: 
 
12
55,0 PPNF Bat >== μ (0,5) 
 
Portanto μ = 0,5 é suficiente para manter o equilíbrio. (0,5) 
 
7 
	Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras)