Mecânica I - Poli - P2- 2015

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
PME 3100 – MECÂNICA I – Segunda Prova – 13 de outubro de 2015 
Duração da Prova: 110 minutos 
• Não é permitido o uso de dispositivos eletrônicos, como calculadoras, "tablets" e celulares. 
• Após o início da distribuição do enunciado da prova, é proibido sair da sala antes das 08:30. 
• A partir do momento em que a prova for encerrada, não é permitido ao aluno escrever mais nada 
na folha de respostas, havendo possibilidade de anulação da respectiva prova se isto ocorrer. 
 
Questão 1 (3,5 pontos) O aro de centro O, raio 4R, e espessura 
desprezível, é fixo. O aro de centro A, raio 2R e espessura 
desprezível, rola sem escorregar na superfície interna do aro de 
centro O e raio 4R, e sua velocidade angular é Aω , conhecida. 
O disco, de centro D e raio R, rola sem escorregar na superfície 
interna do aro de centro A e raio 2R. No instante mostrado na 
figura, sabe-se que a velocidade Pv
r
 do ponto P é na direção de 
i
r
, mas o módulo é desconhecido. Nesse instante, determine: 
a) o centro instantâneo de rotação CIRA do aro de centro A e 
raio 2R (graficamente) e a velocidade Bv
r
 do ponto B desse 
mesmo aro; 
b) o centro instantâneo de rotação CIRD do disco de centro D e 
raio R (graficamente); 
c) o vetor rotação Dω
r
 do disco e a velocidade Pv
r
 do ponto P. 
Use os versores kji
rrr
 para expressar as grandezas cinemáticas. 
 
 
Questão 2 (3,5 pontos) Um anel esbelto de raio R , contido no plano Oxz, gira em 
um eixo vertical com vetor rotação k
rr
ωω = e vetor aceleração angular k
r
&&
r
ωω = . A 
barra diametral BP percorre o anel de forma que a velocidade relativa vr do ponto P 
é conhecida e de módulo constante vv =
r
. Considerando o instante em que o ponto 
P está na posição θ do anel, determine em função de θ : 
a) o vetor ( )OP − , o vetor rotação θr& da barra BP em torno de Oy e o vetor rotação 
absoluta Ω
r
 da barra BP; 
b) a velocidade relativa rPv ,
r
, a velocidade de arrastamento aPv ,
r
 e a velocidade 
absoluta Pv
r
 do ponto P da barra BP; 
c) a aceleração relativa rPa ,
r
, a aceleração de arrastamento aPa ,
r
, a aceleração de 
complementar (Coriolis) cPa ,
r
 e a aceleração absoluta Pa
r
 do ponto P da barra BP; 
d) o vetor aceleração angular absoluta αr da barra BP. 
 
Obs.: adote o piso A como referencial fixo, o anel como referencial móvel e use os 
versores kji
rrr
 do sistema móvel Oxyz, solidário ao anel, para expressar as 
grandezas cinemáticas. 
 
Questão 3 (3,0 pontos) 
A trajetória de um ponto P é dada por ( ) ( ) ( )kjiLrOP rrrr αααα 2sensencos −+==− , onde L é constante, de acordo 
com a lei horária 
8
2 piα += t . Pede-se determinar, para o instante s
16
pi
=t : 
a) o versor tangente tr do triedro de Frenet, em função dos versores da base kji
rrr
,, ; 
b) a velocidade de P usando a base do triedro de Frenet (expressão intrínseca da velocidade); 
c) a aceleração de P usando a base do triedro de Frenet (expressão intrínseca da aceleração). 
A
B
C
O
Aω
R
R2
R4
D
Pv
rP
i
r
jr
k
r
v
P
θ
R
Ox
z
y
ω&
A piso
ω
Anel
jr
i
r
k
r
B
v
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
PME 3100 – MECÂNICA I – Segunda Prova – 13 de outubro de 2015 
Gabarito 
 
Questão 1 (3,5 pontos) O aro de centro O, raio 4R, e espessura 
desprezível, é fixo. O aro de centro A, raio 2R e espessura 
desprezível, rola sem escorregar na superfície interna do aro de 
centro O e raio 4R, e sua velocidade angular é Aω , conhecida. 
O disco, de centro D e raio R, rola sem escorregar na superfície 
interna do aro de centro A e raio 2R. No instante mostrado na 
figura, sabe-se que a velocidade Pv
r
 do ponto P é na direção de 
i
r
, mas o módulo é desconhecido. Nesse instante, determine: 
a) o centro instantâneo de rotação CIRA do aro de centro A e 
raio 2R (graficamente) e a velocidade Bv
r
 do ponto B desse 
mesmo aro; 
b) o centro instantâneo de rotação CIRD do disco de centro D e 
raio R (graficamente); 
c) o vetor rotação Dω
r
 do disco e a velocidade Pv
r
 do ponto P. 
Use os versores kji
rrr
 para expressar as grandezas cinemáticas. 
 
Solução 
a) Ver figura: como rola sem escorregar e 
o aro de centro O é fixo, a velocidade do 
ponto C do aro de centro A é nula, sendo 
o CIRA. 
AB Rv ω22=
r
 








−= jiRv AB
rrr
2
2
2
222 ω 
( )jiRv AB rrr −= ω2 
 
b) Ver figura: desenhando as retas 
perpendiculares às velocidades nos pontos 
B e P, localizamos o CIRD do disco de 
centro D. 
 
c) Usando o CIRD: 
ADB RRv ωω 222 ==
r
 
AD ωω 2= 
kAD
rr
ωω 2−=
 
ADP RRv ωω 42 ==
r
 
iRv AP
rr
ω4=
 
 
 
Ou usando o campo de velocidades do disco de centro D: 
( ) ( ) ( )⇒+−∧+−=⇒−∧+= jiRkjiRivBPvv DAPDBP rrrrrrrrr ωωω 2 



−=⇒=−−
=⇒−=
⇒−−−=
ADDA
APDAP
DDAAP RR
RvRRv
iRjRjRiRiv
ωωωω
ωωω
ωωωω
202
42
22
rrrrr
 
⇒ kAD
rr
ωω 2−=
 e iRv AP
rr
ω4=
 
ACIRC ≡
O
Aω
Bv
r
A
B
DP
Pv
r
DCIR
22R
R2
2R
A
B
C
O
Aω
R
R2
R4
D
Pv
rP
i
r
jr
k
r
0,5 
1,0 
0,5 
0,5 
1,0 
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
Questão 2 (3,5 pontos) Um anel esbelto de raio R , contido no plano Oxz, gira em 
um eixo vertical com vetor rotação k
rr
ωω = e vetor aceleração angular k
r
&&
r
ωω = . A 
barra diametral BP percorre o anel de forma que a velocidade relativa vr do ponto P 
é conhecida e de módulo constante vv =
r
. Considerando o instante em que o ponto 
P está na posição θ do anel, determine em função de θ : 
a) o vetor ( )OP − , o vetor rotação θr& da barra BP em torno de Oy e o vetor rotação 
absoluta Ω
r
 da barra BP; 
b) a velocidade relativa rPv ,
r
, a velocidade de arrastamento aPv ,
r
 e a velocidade 
absoluta Pv
r
 do ponto P da barra BP; 
c) a aceleração relativa rPa ,
r
, a aceleração de arrastamento aPa ,
r
, a aceleração de 
complementar (Coriolis) cPa ,
r
 e a aceleração absoluta Pa
r
 do ponto P da barra BP; 
d) o vetor aceleração angular absoluta αr da barra BP. 
 
Obs.: adote o piso A como referencial fixo, o anel como referencial móvel e use os 
versores kji
rrr
 do sistema móvel Oxyz, solidário ao anel, para expressar as 
grandezas cinemáticas. 
 
Solução 
a) Vetor rotação θ
r
&
 da barra BP: 
Tomando ( ) ( )kiROP rr θθ sencos +−=− 
( ) ( )⇒+−∧=−∧+== kiRjOPvvv OrP rrr&r&rrr θθθθ sencos, ( )ikRvv rP rr&rr θθθ sencos, +== 
Do enunciado: ⇒=⇒== vRvvv rP θ&
rr
,
j
R
v r
r
&
=θ
 
⇒+=Ω arrrel ωω
rrr
 
kj
R
v rrr
ω+=Ω
 
 
b) Velocidade de P: 
( )kivv rP rrr θθ cossen, += 
( ) ( )⇒+−∧=−∧+= kiRkOPvv OaP rrrrrr θθωω sencos, jRv aP rr θω cos, −= 
( ) ⇒−+=+= jRkivvvv aPrPP rrrrrr θωθθ coscossen,, kvjRivvP rrrr θθωθ coscossen +−= 
 
c) Aceleração de P: 
( ) ( )




−∧∧+−∧+= OPOPaa OrP θθθ
r
&
r
&
r
&&rr
,
 
0)(constante e 0
rr
&&&
rr
=⇒== θθ
R
v
aO , portanto: ( )kiRva rP
rrr θθ sencos
2
,
−=
 
( ) ( )[ ]⇒−∧∧+−∧+= OPOPaa arrarrarrOaP ωωα rrrrr , ( ) ( )[ ]OPkkOPka aP −∧∧+−∧= rrr&r ωωω, 
( )jiRa aP r&rr θωθω coscos2, −= 
( )⇒+∧=∧= kivkva rParrcP rrrrrr θθωω cossen22 ,, jva cP rr θω sen2, = 
( ) k
R
vjRviR
R
v
aP
rr
&
rr θθωθωθω sencossen2cos
2
2
2
−−+







+=
 
 
d) Aceleração angular da barra BP: ⇒∧++= relarrarrrel ωωααα
rrrrr
⇒∧++= j
R
vkk
rrr
&rr
ωωα 0 ki
R
v r
&
rr
ωωα +−=
 
1,0 
1,0 
1,0 
0,5 
v
P
θ
R
Ox
z
y
ω&
A piso
ω
Anel
jr
i
r
k
r
B
v
 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
Questão 3 (3,0 pontos) 
A trajetória de um ponto P é dada por ( ) ( ) ( )kjiLrOP rrrr αααα 2sensencos −+==− , onde L é constante, de acordo 
com a lei horária 
8
2 piα += t . Pede-se determinar, para o instante s
16
pi
=t : 
a) o versor tangente tr do triedro de Frenet, em função dos versores da base kji
rrr
,, ; 
b) a velocidade de P usando a base do triedro de Frenet (expressão intrínseca da velocidade); 
c) a aceleração de P usando a base do triedro de Frenet (expressão intrínseca da aceleração). 
 
 
Solução 
a) versor tangente tr do triedro de Frenet: 
v
v
t r
r
r
= 
( ) ( )[ ] ( ) ⇒⋅−+−=




+
−+
=== 22cos2cossen8
2
2sensencos kjiL
dt
td
d
kjiLd
dt
d
d
rd
dt
rd
v
rrr
rrrrr
r
ααα
pi
α
αααα
α
α
 
( )kjiLv rrrr ααα 2cos2cossen2 −+−= 
No instante st
16
pi
= , temos que 
4816
2
8
2 pipipipiα =+=+= t : 
⇒





−+−= kjiLv
rrrr
4
2cos2
4
cos
4
sen2 pipipi








+−= jiLv rrr
2
2
2
22 
Nesse instante, o versor tangente t
r
 do triedro de Frenet é ⇒








+−
==
L
jiL
v
v
t
2
2
2
2
22
rr
r
r
r jit rrr
2
2
2
2
+−=
 
 
b) Velocidade intrínseca: tvv rr = 
No instante s
16
pi
=t
 temos: ⇒








+−=
44 344 21
rrr
r
t
jiLv
2
2
2
22 tLv
rr 2=
 
c) Aceleração intrínseca: nataa nt
rrr
+= 
( ) ( )[ ] ( ) 22sen4sencos2822cos2cossen2 ⋅+−−=




+
−+−
=== kjiL
dt
td
d
kjiLd
dt
d
d
vd
dt
vd
a
rrr
rrrrr
r
ααα
pi
α
αααα
α
α
 
( )kjiLa rrrr ααα 2sen4sencos4 +−−= 
No instante st
16
pi
= , temos que 
4
pi
α = : 
⇒





+−−= kjiLa
rrrr
4
2sen4
4
sen
4
cos4 pipipi








+−−= kjiLa
rrrr 4
2
2
2
24 
Como 








+−−= kjiLa
rrrr 4
2
2
2
24 e jit rrr
2
2
2
2
+−= , temos que: 
00
4
2
4
24
2
2
2
24
2
2
2
24 =





+−=








+−⋅








+−−=⋅= LjikjiLtaat
rrrrrrr
 
Portanto, ⇒=++=








+−−== 17416
4
2
4
244
2
2
2
24 LLkjiLaan
rrrr
nLa
rr 174=
 
 
 
1,0 
0,5 
0,5 
1,0