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Teorema de Transporte de Reynolds • Relaciona derivadas de propriedades do sistema com a formulação de volume de controle • As equações básicas apresentadas envolvem a derivada temporal de propriedades extensivas do sistema: − Massa − Quantidade de movimento linear − Quantidade de movimento angular − Energia − Entropia generalizando ∫∫ ∀== sistema volume sistema massa sistema ddmN ρηη assim, 1=→= ηMN VPN rr =→= η VrHN rrr ×=→= η sSN =→= η x y z y z tempo to sistema e VC coincidem Tempo to+∆t sistema I II III em to, sistema e VC coincidem para to+∆t, identificamos 3 regiões: I e II formam o VC II e III formam o sistema Queremos relacionar sistemadt dN com quantidades no volume de controle Da definição de derivada, t NN lim dt dN oo tstts tsistema ∆ −= ∆+ →∆ 0 Da figura, ( ) ( ) ttIIIIVCttIIIIIs ootot NNNNNN ∆+∆+ +−=+=∆+ otot vcs NNe = Substituindo na definição da derivada do sistema, A soma do limite é o limite da soma, ( ) ( ) t NNNN tsistemadt dN otVCtotIIIIVClim ∆ −+− →∆ += 0 t N lim t N lim t NN lim tI t III t VCVC t sistemadt dN ottotottot ∆−∆+∆ −= ∆+ →∆→∆→∆ ∆+∆+ 000 (2) (3)(1) Para avaliar (2) precisamos de uma expressão para ∫ ∀∂∂=∂∂=∆−∆+→∆ VC VCVCVC t d tt N t NN lim ottot ρη 0 (1) totIII N ∆+ Olhar para a sub-região 3 em III superfície de controle fronteira do sistema em to+∆t tVl ∆=∆ rr Ad r V r α Para esta sub-região, Comprimento do cilindro: ( ) tttIII ot ddN ∆+∆+ ∀= ρη0 ?=∀d tAdVld ∆⋅= rrr Assim, tAdVAdlcosdAld ∆⋅=⋅∆=∆=∀ rrrrα tAdVdN tIII ot ∆⋅=∆+ rrρη Integrando em toda a região III, ∫∫ ∫ ⋅=∆ ∆⋅=∆=∆ →∆→∆ ∆+ →∆ ∆+ IIIIII III tot ot SCSC t SC III t tIII t AdV t tAdV t dN t N rrrr ρηρη 000 limlimlim Da mesma forma para a região I, sub-região 1, ∫ ⋅−=∆ ∆+→∆ I tot SC I t AdV t N rrρη 0 lim sinal negativo pois é negativoAdV rr ⋅ Região 3 Região 1 Ad r Ad r Ad r V r V r Juntando, ∫ ∫ ∫ ⋅+⋅+∀∂∂= VC SC SC SC sistema I III AdVAdVd tdt dN 4444 34444 21 vvrr ρηρηρη ∫∫ ⋅+∀∂∂= SCVCsistema AdVdtdt dN rrρηρη Teorema de Transporte de Reynolds Interpretação física: : sistemadt dN taxa de variação da propriedade extensiva N no sistema ∫ ∀∂∂ VC :d t ρη taxa de variação da propriedade extensiva N no VC ∫ ⋅ SC :AdV rrρη taxa líquida do fluxo da propriedade N através da superfície de controle :AdV rv ⋅ρ fluxo de massa através de por unidade de tempoAd r fluxo de N através de por unidade de tempo:AdV rr ⋅ρη Ad r Nota: a velocidade é medida em relação ao VC considerado fixo em relação ao sistema de coordenadas xyz Teorema de Transporte de Reynolds
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