Buscar

Teorema Transporte Reynolds

Prévia do material em texto

Teorema de Transporte de Reynolds
• Relaciona derivadas de propriedades do sistema com a 
formulação de volume de controle
• As equações básicas apresentadas envolvem a 
derivada temporal de propriedades extensivas do 
sistema:
− Massa
− Quantidade de movimento linear
− Quantidade de movimento angular
− Energia
− Entropia
generalizando ∫∫ ∀==
sistema
volume
sistema
massa
sistema ddmN ρηη
assim,
1=→= ηMN
VPN
rr =→= η
VrHN
rrr ×=→= η
sSN =→= η
x
y
z
y
z
tempo to
sistema e VC
coincidem
Tempo to+∆t
sistema
I
II III
em to, sistema e VC coincidem
para to+∆t, identificamos 3 regiões:
I e II formam o VC
II e III formam o sistema
Queremos relacionar
sistemadt
dN
com quantidades no volume de controle
Da definição de derivada, 
t
NN
lim
dt
dN oo tstts
tsistema ∆
−= ∆+
→∆ 0
Da figura, 
( ) ( ) ttIIIIVCttIIIIIs ootot NNNNNN ∆+∆+ +−=+=∆+
otot
vcs NNe =
Substituindo na definição da derivada do sistema,
A soma do limite é o limite da soma, 
( ) ( )
t
NNNN
tsistemadt
dN otVCtotIIIIVClim ∆
−+−
→∆
+=
0
t
N
lim
t
N
lim
t
NN
lim
tI
t
III
t
VCVC
t
sistemadt
dN ottotottot
∆−∆+∆
−= ∆+
→∆→∆→∆
∆+∆+
000
(2) (3)(1)
Para avaliar (2) precisamos de uma expressão para
∫ ∀∂∂=∂∂=∆−∆+→∆
VC
VCVCVC
t
d
tt
N
t
NN
lim ottot ρη
0
(1)
totIII
N ∆+
Olhar para a sub-região 3 em III
superfície de controle 
fronteira do sistema em to+∆t 
tVl ∆=∆ rr 
Ad
r
 
V
r
 α 
Para esta sub-região,
Comprimento do cilindro: 
( ) tttIII ot ddN ∆+∆+ ∀= ρη0
?=∀d
tAdVld ∆⋅= rrr
Assim, 
tAdVAdlcosdAld ∆⋅=⋅∆=∆=∀ rrrrα
tAdVdN tIII ot ∆⋅=∆+
rrρη
Integrando em toda a região III,
∫∫
∫
⋅=∆
∆⋅=∆=∆ →∆→∆
∆+
→∆
∆+
IIIIII
III
tot
ot
SCSC
t
SC
III
t
tIII
t
AdV
t
tAdV
t
dN
t
N rrrr ρηρη
000
limlimlim
Da mesma forma para a região I, sub-região 1,
∫ ⋅−=∆ ∆+→∆
I
tot
SC
I
t
AdV
t
N rrρη
0
lim
sinal negativo pois é negativoAdV
rr ⋅ 
Região 3 
Região 1 
Ad
r
Ad
r 
Ad
r 
V
r
 
V
r
 
Juntando,
∫ ∫ ∫ ⋅+⋅+∀∂∂=
VC
SC
SC SC
sistema
I III
AdVAdVd
tdt
dN
4444 34444 21
vvrr ρηρηρη
∫∫ ⋅+∀∂∂= SCVCsistema AdVdtdt
dN rrρηρη
Teorema de Transporte de Reynolds
Interpretação física:
:
sistemadt
dN
taxa de variação da propriedade extensiva N no sistema
∫ ∀∂∂
VC
:d
t
ρη taxa de variação da propriedade extensiva N no VC
∫ ⋅
SC
:AdV
rrρη taxa líquida do fluxo da propriedade N através da superfície de 
controle
:AdV
rv ⋅ρ fluxo de massa através de por unidade de tempoAd r
fluxo de N através de por unidade de tempo:AdV
rr ⋅ρη Ad r
Nota: a velocidade é medida em relação ao VC considerado fixo em 
relação ao sistema de coordenadas xyz
	Teorema de Transporte de Reynolds

Outros materiais

Materiais relacionados

Perguntas relacionadas

Perguntas Recentes