Mecânica I - Poli - P2 - 2012 - reoferecimento

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
Av. Prof. Mello Moraes – 2231 – 05508-900 – São Paulo – SP – BRASIL 
TEL.: 55 11 3091-5355/5561/5570 – 
PME 2100 – Mecânica A (reoferecimento 2012) - P2 - 18/5/2012. Duração: 100 minutos 
Prof. Dr. Flavius Portella Ribas Martins e Prof. Dr. Flávio Celso Trigo 
 
QUESTÃO 1 (3,5 pontos): Na figura ao lado, o sistema de coordenadas OXYZ possui orientação fixa em 
relação a um referencial inercial. Por outro lado, o sistema de coordenadas Axyz é solidário ao disco de centro 
O e raio R que gira com velocidade angular constante 
J
rr
11 ωω = em torno de um eixo vertical OY, por O. No instante 
mostrado, o tubo AB (comprimento L e diâmetro desprezível), 
articulado ao disco por um pino A, gira com velocidade angular 
de módulo constante k
r
2ω em relação ao eixo Az. Para a posição 
indicada na figura determinar, em função de R, L, 1ω , 2ω e θ, e 
expressando as grandezas vetoriais utilizando os versores do 
sistema Axyz: 
(a) o vetor rotação instantânea Ωr (absoluta) do tubo AB; 
(b) o vetor aceleração instantânea Ω&r (absoluta) do tubo AB; 
(c) a velocidade absoluta do ponto B; 
(d) a aceleração absoluta do ponto B. 
 
QUESTÃO 2 (3,5 pontos): Considere o mecanismo da figura ao lado, 
em que um disco de raio R rola com escorregamento no contato com 
um plano fixo. A velocidade angular do disco é kRV
rr )2/(−=ω , e a 
velocidade de seu centro A, iVVA
rr
= , ambas constantes. O ponto B do 
disco está articulado a uma barra BC de comprimento L e cuja 
extremidade C está articulada a um bloco que pode se mover apenas 
na direção vertical. Nessas condições, pedem-se: 
 
(a) a velocidade do ponto C e velocidade angular da barra BC; 
(b) a aceleração do ponto B; 
(c) o CIR do disco de centro A (graficamente e analiticamente). 
 
QUESTÃO 3 (3,0 pontos): Uma peça rígida é formada pelas barras 
AB, EO e OM, sendo sustentada por mancais em A e 
B. No instante mostrado, é conhecido o módulo da 
velocidade angular, ω (constante), e sua orientação 
espacial, conforme a figura. No mesmo instante, a 
luva F desliza em relação à barra OM com 
velocidade de módulo constante V. São conhecidas 
todas as dimensões indicadas. Utilizando o sistema 
de coordenadas Oxyz solidário à peça pedem-se, para 
este instante: 
 
(a) expressar o vetor velocidade angular, ωr , em 
função dos parâmetros fornecidos; 
(b) as velocidades absoluta, relativa e de 
arrastamento de F; 
(c) as acelerações relativa, de arrastamento e de 
Coriolis de F. 
1ω
r
 
2ω
r
 
i
r
 
jr 
k
r
 
I
r
 
J
r
 
K
r
 
O 
A 
B 
X 
Z 
Y 
x 
y 
z 
θ
θ 
i
r
 jr 
θ, ω 
A B 
C 
R 
L 
V 
ω
r
 
z 4a 
3a 
x 
y 
E 
A 
O 
B 
i
r
k
r
 
a 
F 
V
r
 
M 
jr
 
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RESOLUÇÃO DA PROVA 
 
QUESTÃO 1. 
 
Identificando os movimentos 
- relativo: barra em relação ao disco; 
- arrastamento: disco em relação a um referencial fixo; 
tem-se: 
(a) 0,5 pontos e (b) 0,5 + 0,5 pontos 
i
kj
jk
raar
ar
r&r
rrrrrr&r&r&
r
rrrrr
21
21
12
00
ωω
ωωωωωω
ωωωω
=Ω
∧++=∧++=Ω
+=+=Ω
 
 
(c) 1 ponto 
[ ]
kLRjiLv
kLRv
jLiLRjOBjvv
jiLv
jiLkABkvv
vvv
B
aB
OaB
rB
rArB
aBrBB
rrrr
rr
rrrrrr
rrr
rrrrrrr
rrr
)cos()cossin(
)cos(
sin)cos()(
)cossin(
)sin(cos0)(
12
1,
11,
2,
22,,
,,
θωθθω
θω
θθωω
θθω
θθωω
+−+−=
+−=
++∧=−∧+=
+−=
+∧+=−∧+=
+=
 
 
(d) 1 ponto 
 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
kLjiLjvja
iLRjiLjjiRa
ABABaa
jiLjiLkka
ABABaa
aaaa
rBCB
aB
aAaB
rB
rArB
CBaBrBB
rrrrrrr
rrrrrrrr
rr&rrr
rrrrrrrrr
rr&rrr
rrrr
θωωθθωωω
θωθθωωω
ωωω
θθωθθωω
ωωω
sin2)cossin(22
)cos()sin(cos0
)()(
)sincos()sin(cos00
)()(
2121,1,
2
111
2
1,
111,,
2
222,
222,,
,,,
=+−∧=∧=
+−=+∧∧++−=
−∧∧+−∧+=
−−=+∧∧++=
−∧∧+−∧+=
++=
 
QUESTÃO 2. 
(a) 1,5 pontos 
jVv
L
VLVvj
k
L
V
L
VLVi
ijLjiVjv
jiViRk
R
ViVABvv
jiLkvjvBCvv
CC
BCBCBC
BCC
AB
BCBCBCBC
rrr
rrr
rrrrr
rrrrrrrr
rrrrrrrr






+=⇒+=
=⇒=⇒−=
−++=∴
+=−∧−=−∧+=
+∧+=⇒−∧+=
θ
θ
θ
θ
ω
θ
ωθω
θθω
ω
θθωω
tan
1
2
1
cos
sin2
:
sinsin
sin0:
)sin(cos)
2
1(
)
2
1()(
2
)(
)sin(cos)(
 
 
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(b) 1 ponto 
( ) ( )[ ]
i
R
V
a
jRk
R
Vk
R
VABABaa
B
AB
rr
rrrrrrr&rrr
4
)(
22
00
2
=






−∧−∧





−++=−∧∧+−∧+= ωωω
 
 
(c) 1 ponto 
 
jRCIRARCIRAiCIRA
R
ViV
jCIRAk
R
VCIRAvv CIRA
rrr
rrrrrr
2)(2)()(
2
)(
2
0)(
=−∴=−⇒−=
−∧





−+=−∧+= ω
 
 
 
QUESTÃO 3. 
(a) 0,5 pontos 
De acordo com a figura, 
)43(
5
1 kj
rrr
−= ωω 
 
(b) 1 ponto 
[ ]
( )kjiav
jaiakjEFvv
iVv
vvv
aF
EaF
rF
aFrFF
rrrr
rrrrrrrr
rr
rrr
3412
5
3)43(
5
10)(
;
,
,
,
,,
++−=
−∧−+=−∧+=
=
+=
ω
ωω 
 
(c) 1,5 pontos 
 
[ ]
( ) [ ]
)34(
5
2
)43(
5
122
364825
25
3412
5
)43(
5
1
)3()43(
5
1)43(
5
100
)()(
0
,
,,
2
,
,
,
,
,,,
kjVa
iVkjva
kjiakjiakja
jaiakjkja
EFEFaa
a
aaaa
CF
rFCF
aF
aF
EaF
rF
CFaFrFF
rrr
rrrrrr
rrrrrrrrr
rrrrrrrrr
rr&rrr
rr
rrrr
−−=
∧−=∧=
++−=





++−∧−=






−∧−∧−++=
−∧∧+−∧+=
=
++=
ω
ωω
ωω
ω
ωω
ωωω
 
 
V 
A 
V/2 
CIR 
2R