Mecânica I - Poli - Prec - 2015

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
PME 3100 – MECÂNICA I – RECUPERAÇÃO – 02 de fevereiro de 2016 
Duração da Prova: 110 minutos 
• Não é permitido o uso de dispositivos eletrônicos, como calculadoras, "tablets" e celulares. 
• Após o início da distribuição do enunciado da prova, é proibido sair da sala antes das 08:30. 
• A partir do momento em que a prova for encerrada, não é permitido ao aluno escrever mais nada 
na folha de respostas, havendo possibilidade de anulação da respectiva prova se isto ocorrer. 
 
Questão 1 (3,0 pontos) A figura mostra o corte transversal de um 
reservatório no qual um líquido de densidade ρ é mantido. O nível do 
líquido é ajustado por meio de um mecanismo formado pelas placas 
homogêneas AB e BC, ambas de massa m e comprimento L, unidas 
por uma articulação ideal em B. Em A existe uma articulação ideal 
fixa ao reservatório. Em C há um rolete que pode deslizar sem atrito 
no interior da guia vertical. Na situação mostrada, o sistema é mantido 
em equilíbrio por meio da aplicação de uma força externa F 
(desconhecida). Considere que a largura (dimensão perpendicular ao 
plano da folha) é unitária e que θ = π/3 radianos. Nessas condições, 
pedem-se: 
(a) o módulo R, a direção e o sentido da resultante das forças de 
pressão do líquido sobre a placa AB, bem como a distância entre seu 
ponto de aplicação na seção transversal e o ponto B; 
(b) os diagramas de corpo livre das placas AB e BC; 
(c) em função dos parâmetros fornecidos e de R, obter as componentes 
das reações vinculares em A, em C e a força externa F. 
 
Questão 2 (3,5 pontos) Um rotor é formado por um eixo de 
comprimento 4L e por um cilindro de raio R e comprimento 2L. O rotor 
tem velocidade angular Rω constante em relação ao suporte. O suporte, 
por sua vez, tem velocidade angular Sω constante em relação a um 
referencial fixo. Usando o suporte como referencial móvel, e, para o 
instante correspondente à posição ilustrada na figura, em que 
( ) OzCP //− , determine (use o sistema kjiO rrr solidário ao suporte): 
(a) O vetor rotação relativa relω
r
, o vetor rotação de arrastamento arrω
r
 e 
o vetor rotação absoluta absω
r
 do rotor. 
(b) O vetor aceleração angular absoluta absα
r
 do rotor. 
(c) A aceleração relativa relPa ,
r
, a aceleração de arrastamento arrPa ,
r
 e a 
aceleração de Coriolis CorPa ,
r
 do ponto P. 
(d) A relação entre Rω e Sω para que a velocidade absoluta absPv ,
r
 do ponto P seja mínima em módulo. Nessa 
condição, localize o eixo helicoidal instantâneo. 
 
Questão 3 (3,5 pontos) O sistema mostrado na figura é composto por uma barra vertical AB, de massa desprezível, 
articulada a uma barra BC, de massa m e comprimento L. A 
extremidade C da barra BC encontra-se inicialmente 
suportada por um fio ideal. O sistema está dentro de um 
elevador, que sobe com velocidade constante jVV r
r
= . Em 
um dado instante t0, o fio se rompe. 
Sabendo que em um instante posterior, t1 > t0, a barra terá 
vetor de rotação k
r
&
r θω −= e formará um ângulo θ em relação 
à horizontal, pede-se: 
(a) O diagrama de corpo livre da barra no instante t1, 
(b) A aceleração angular αr da barra no instante t1, 
(c) O trabalho total das forças externas sobre a barra entre t0 e t1, em função de V , θ e θ& . 
eixo O k
r
 fixo 
x
y
z
Suporte
LL2
L2
A
L
BRω
Sω
P
C
i
r
jr
k
r
O
 
GABARITO 
 
Questão 1 (3,0 pontos) A figura mostra o corte transversal de um 
reservatório no qual um líquido de densidade ρ é mantido. O nível do 
líquido é ajustado por meio de um mecanismo formado pelas placas 
homogêneas AB e BC, ambas de massa m e comprimento L, unidas 
por uma articulação ideal em B. Em A existe uma articulação ideal 
fixa ao reservatório. Em C há um rolete que pode deslizar sem atrito 
no interior da guia vertical. Na situação mostrada, o sistema é mantido 
em equilíbrio por meio da aplicação de uma força externa F 
(desconhecida). Considere que a largura (dimensão perpendicular ao 
plano da folha) é unitária e que θ = π/3 radianos. Nessas condições, 
pedem-se: 
(a) o módulo R, a direção e o sentido da resultante das forças de 
pressão do líquido sobre a placa AB, bem como a distância entre seu 
ponto de aplicação na seção transversal e o ponto B; 
(b) os diagramas de corpo livre das placas AB e BC; 
(c) em função dos parâmetros fornecidos e de R, obter as componentes 
das reações vinculares em A, em C e a força externa F. 
 
Solução: 
(a) Resultante das forças de pressão do líquido sobre a placa 
⇒⋅





⋅= 1sen
2
1 LgLR θρ 2
4
3
gLR ρ=
 (aplicada perpendicularmente à placa AB, a 
3
2L
 de distância de B) 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Utilizando o DCL acima, escrevem-se as equações de equilíbrio para as duas placas: 
Placa AB 
0sen0 =++−⇒=∑ θRHHF ABx 
0cos0 =++−−⇒=∑ θRVmgVF ABy 
0cos
23
cossen0 =+−⋅+⋅⇒=∑ θθθ
mgLRLVLHLM BBA 
0
2
3
=++−⇒ RHH AB (1) 
0
2
1
=++−−⇒ RVmgV AB (2) 
0
432
1
2
3
=+−+⇒
mgRVH BB (3) 
 
De (3) e (6) obtém-se: 
36
23 RmgH B
+−
=
 e 
3
RVB = , substituindo: 
Em (4): ⇒ 
36
23 RmgHC
+−
=
 
Placa BC 
00 =−⇒=∑ CBx HHF 
00 =−−⇒=∑ FmgVF By 
0sencoscos
2
0 =⋅+⋅−⇒=∑ BBC HLVL
mgLM θθθ 
CB HH =⇒ (4) 
0=−−⇒ FmgVB (5) 
0
2
3
2
1
4
=+−⇒ BB HV
mg
 (6) 
 
Em (2): ⇒=++−−⇒ 0
23
RVmgR A 6
R
mgVA −= 
Em (5): ⇒=−−⇒ 0
3
FmgR
3
R
mgF +−=
 
Em (1): ⇒=++−⇒ 0
2
3
36
23 RHRmg A 36
73 RmgH A
−−
=
 
F
CH
mg
mg
R
BV
BV
BH
BH
AH
AV
0,5 0,5 
1,0 
0,5 
0,5 
 
 
Questão 2 (3,5 pontos) Um rotor é formado por um eixo de 
comprimento 4L e por um cilindro de raio R e comprimento 2L. O rotor 
tem velocidade angular Rω constante em relação ao suporte. O suporte, 
por sua vez, tem velocidade angular Sω constante em relação a um 
referencial fixo. Usando o suporte como referencial móvel, e, para o 
instante correspondente à posição ilustrada na figura, em que 
( ) OzCP //− , determine (use o sistema kjiO rrr solidário ao suporte): 
(a) O vetor rotação relativa relω
r
, o vetor rotação de arrastamento arrω
r
 e 
o vetor rotação absoluta absω
r
 do rotor. 
(b) O vetor aceleração angular absoluta absα
r
 do rotor. 
(c) A aceleração relativa relPa ,
r
, a aceleração de arrastamento arrPa ,
r
 e a 
aceleração de Coriolis CorPa ,
r
 do ponto P. 
(d) A relação entre Rω e Sω para que a velocidade absoluta absPv ,
r
 do ponto P seja mínima em módulo. Nessa 
condição, localize o eixo helicoidal instantâneo. 
 
 
Solução 
 
a) 
iRrel
rr
ωω = 
kSarr
rr
ωω = 
⇒+= arrrelabs ωωω
rrr ki SRabs
rrr
ωωω +=
 
 
 
 
b) 
⇒∧++=∧++= ik RSrelarrarrrelabs
rrrrrrrrr
ωωωωααα 00 jRSabs
rr
ωωα =
 
 
 
 
c) 
( ) ( )[ ] ( )⇒∧∧++=−∧∧+−∧+= kRiiCPCPaa RRrelrelrelrelCrelP rrrrrrrrrr ωωωωα 00,, kRa RrelP rr 2, ω−= 
( ) ( )[ ] ( )[ ] ⇒+∧∧++=−∧∧+−∧+= kRiLkkOPOPaa SSarrarrarrarrOarrP rrrrrrrrrrr ωωωωα 00,, iLa SarrP rr 2, ω−= 
( )⇒−∧=∧= jRkva RSrelParrCorP rrrrr ωωω 22 ,, iRa RSCorP rr ωω2, = 
 
 
 
d) 
( ) ( ) ( ) ( ) jRLvjRjLkRiLkiOPvv RSabsPRSSRabsOabsP rrrrrrrrrrrr ωωωωωωω −=⇒−=+∧++=−∧+= ,, 0 
RLv RSabsP ωω −=⇒ ,
r
, que pode ser anulado, resultando em 0
,,
rr
=mínabsPv . 
 
⇒=− 0RL RS ωω L
R
R
S
=
ω
ω
 
 
Como 0
,,
rr
=mínabsPv nessa condição, o ponto P pertence ao eixo helicoidal instantâneo. Como 0
rr
=Ov , o eixo helicoidal 
instantâneo é a reta que contem o segmento PO , ou seja, ( )kRiLOE rr +=− λ 
 
eixo O k
r
 fixo 
x
y
z
Suporte
LL2
L2A
L
BRω
Sω
P
C
i
r
jr
k
r
O
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
 
 
Questão 3 (3,5 pontos) O sistema mostrado na figura é composto por uma barra vertical AB, de massa desprezível, 
articulada a uma barra BC, de massa m e comprimento L. A 
extremidade C da barra BC encontra-se inicialmente 
suportada por um fio ideal. O sistema está dentro de um 
elevador, que sobe com velocidade constante jVV r
r
= . Em 
um dado instante t0, o fio se rompe. 
Sabendo que em um instante posterior, t1 > t0, a barra terá 
vetor de rotação k
r
&
r θω −= e formará um ângulo θ em relação 
à horizontal, pede-se: 
(a) O diagrama de corpo livre da barra no instante t1, 
(b) A aceleração angular αr da barra no instante t1, 
(c) O trabalho total das forças externas sobre a barra entre t0 e t1, em função de V , θ e θ& . 
 
 
Solução: 
 
(a) O diagrama de corpo livre da barra no instante t1: 
 
 
 
 
 
(b) Teorema da quantidade de movimento angular, polo B 
 
[ ]{ }( ) ( ) BBB MaBGmIdt
d rr
=∧−+ω , em que 0
rr
=Ba
 
 
⇒ Bz MkJ B
rr
=α ⇒ θα cos
23
2 L
mgmL −= ⇒ θα cos
2
3
L
g
−=
 
⇒ k
L
g rr θα cos
2
3
−=
 
 
 
 
(c) 01 EEW −=
 
2
2
0
mVE =
 
 
Tomando-se o centro de massa G, 
( )BGVV BG −∧+= ωrrr ⇒ 





−∧−= jsenLiLkjVVG
rrr
&
rr
θθθ
2
cos
2
 
⇒ jLVisenLVG
r
&
r
&
r






−+−= θθθθ cos
22
 
{ } [ ]{ }ωω GtG ImVE 2
1
2
2
1 +=
 
⇒ 2
2
2
2
222
2
2
1 122
1
cos
4
cos
42
θθθθθθθ &&&& mLLLVVsenLmE +





+−+=
 
⇒ 2
22
1 62
cos
2
θθθ &
& mLLmVmVE +−=
 
⇒
2
cos
6
2
2 θθθ LmVmLW
&
&
−=
 
 
mg
BX
BY0,5 
1,0 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5