Mecânica I - Poli - Prec - 2010

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231 CEP 05508-970, São Paulo, SP 
 Telefone: (0xx11) 3091-5337 Fax: (0xx11) 3813-1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
PME 2100 – MECÂNICA A – Recuperação – 08 de fevereiro de 2011 
Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido o uso de calculadoras) 
 
QUESTÃO 1 (3,5 pontos): Considere a placa 
homogênea, quadrada, de lados a e peso P, 
articulada em A, suspensa pelo fio LM e 
articulada às barras EB e CH, de pesos 
desprezíveis, conforme indicado na figura. 
Admitindo-se que o sistema esteja em equilíbrio, 
pede-se: 
(a) os diagramas de corpo livre da placa ABCD e 
das barras EB e CH; 
(b) as equações de equilíbrio da placa ABCD; 
(c) as reações em A. 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 2 (3,5 pontos): No mecanismo mostrado na 
figura, os pontos O e D são fixos, e o suporte OD possui vetor 
de rotação 
k

11  
 (constante) em relação a um referencial 
fixo no solo. As faces planas do disco de centro C e raio R são 
perpendiculares ao eixo de simetria radial da barra AC. O disco 
e a barra AC formam um único sólido que possui vetor de 
rotação 
i

22  
 (
2
 constante) em relação ao suporte OD, e 
o ponto C possui velocidade 
ivv


 (v constante) em relação 
ao suporte OD. O sistema de coordenadas Oxyz é fixo no 
suporte OD e o vetor 
)( CP 
 é paralelo ao eixo Oy, no 
instante mostrado na figura. Considerando o suporte OD como 
referencial móvel, e o instante mostrado na figura, determine: 
a) as velocidades relativa (
relPv ,

), de arrastamento (
arrPv ,

) e absoluta (
absPv ,

) do ponto P. 
b) as acelerações relativa (
relPa ,

), de arrastamento (
arrPa ,

) e absoluta (
absPa ,

) do ponto P. 
c) o vetor de rotação absoluto (
absD,

) e o vetor aceleração angular absoluto (
absD,

) do disco de centro C. 
 
 
QUESTÃO 3 (3,0 pontos): Um binário de momento M é aplicado a um cilindro homogêneo de raio R e massa m. O 
coeficiente de atrito entre o cilindro e a superfície é μ e aceleração da gravidade é g. Considerando que o cilindro parte 
do repouso, determine a aceleração angular do cilindro 

 para os seguintes casos: 
a) o cilindro rola e escorrega; 
b) o cilindro rola sem escorregar. 
 
 
 
2
2mR
JG 
 
 
 
 
 
A 
O 
x 
y 
z 
P 
ω2 
ω1 
v 
R 
L 
C 
D 
E B 
C 
A 
H 
D 
L 
M 
a/2 
a 
45º 
x 
y 
z 
k
 
i
 
j

 
g 
G 
R 
C 
g 
M 
 
 
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Departamento de Engenharia Mecânica 
 
QUESTÃO 1 (3,5 pontos): Considere a placa 
homogênea, quadrada, de lados a e peso P, 
articulada em A, suspensa pelo fio LM e 
articulada às barras EB e CH, de pesos 
desprezíveis, conforme indicado na figura. 
Admitindo-se que o sistema esteja em equilíbrio, 
pede-se: 
(a) os diagramas de corpo livre da placa ABCD e 
das barras EB e CH; 
(b) as equações de equilíbrio da placa ABCD; 
(c) as reações em A. 
 
Solução: 
a) Os diagramas de corpo livre são esquematizados abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Aplicando-se as equações de equilíbrio da Estática, tem-se: 
0

R
 , logo: 
Rx: 
0
2
2
 LMA FX
 (1) 
Ry: 
0 AEB YF
 (2) 
Rz: 
0
2
2
 LMACH FZFP
 (3) 
0

AM
, logo: 
            0
2
2 
 kiFALkFACkPAGjFAB LMCHEB
 
      0
2
2
222













 kiFjai
a
kFjaiakPj
a
i
a
jFia LMCHEB
 
Desenvolvendo-se a equação vetorial acima, resultam as três equações escalares abaixo: 
MAx: 
0
2
2
2
 LMCH aFP
a
aF
 (4) 
MAy: 
0
2
2
22
 LMCH F
a
aFP
a
 (5) 
MAz: 
0
2
2
 LMEB aFaF
 (6) 
c) Comparando a equação (4) com a equação (5), obtém-se: 
0LMF
 e 
2
P
FCH 
 
Usando esses resultados na equação (1) obtemos: 
0AX
 
Usando esses resultados nas equações (2) e (6) obtemos: 
0EBF
 e 
0AY
 
Usando esses resultados na equação (3) obtemos: 
2
P
Z A 
E B 
C 
A 
H 
D 
L 
M 
a/2 
a 
45º 
x 
y 
z 
k
 
i
 
j

 
g 
E B 
C 
A 
H 
D XA 
ZA 
YA 
P 
FEB 
FLM 
FEB FEB 
FCH 
FCH 
FCH 
B 
C 
(0,5) 
(0,25*) 
(0,25*) 
(0,25*) 
(0,25*) 
(1,0) 
(1,5) 
(1,0) 
(0,25*) 
(0,25*) 
(0,25*) 
(1/3*) 
(1/3*) 
(1/3*) 
(0,25*) 
* valor arredondado para a 
primeira casa decimal, com a 
soma correspondente ao 
valor do item 
 
 
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QUESTÃO 2 (3,5 pontos): No mecanismo mostrado na 
figura, os pontos O e D são fixos, e o suporte OD possui vetor 
de rotação 
k

11  
 (constante) em relação a um referencial 
fixo no solo. As faces planas do disco de centro C e raio R são 
perpendiculares ao eixo de simetria radial da barra AC. O disco 
e a barra AC formam um único sólido que possui vetor de 
rotação 
i

22  
 (
2
 constante) em relação ao suporte OD, e 
o ponto C possui velocidade 
ivv


 (v constante) em relação 
ao suporte OD. O sistema de coordenadas Oxyz é fixo no 
suporte OD e o vetor 
)( CP 
 é paralelo ao eixo Oy, no 
instante mostrado na figura. Considerando o suporte OD como 
referencial móvel, e o instante mostrado na figura, determine: 
a) as velocidades relativa (
relPv ,

), de arrastamento (
arrPv ,

) e absoluta (
absPv ,

) do ponto P. 
b) as acelerações relativa (
relPa ,

), de arrastamento (
arrPa ,

) e absoluta (
absPa ,

) do ponto P. 
c) o vetor de rotação absoluto (
absD,

) e o vetor aceleração angular absoluto (
absD,

) do disco de centro C. 
Solução: 
a) 
Para o sólido formado pela barra AC e o disco 
   jRiivCPvv relrelCrelP

2,,  kRivv relP  2,  
 
     jRiLkOPvv arrarrOarrP

1,, 0  jLiRv arrP  11,   
 
     jLiRkRivvvv arrPrelPabsP

112,,,   kRjLiRvv absP  211,   
 
b) 
       jRiijRCPCPaa relrelrelrelCrelP

22,, 00  jRa relP  22,  
 
           jRiLkkjRiLOPOPaa arrarrrelarrarrOarrP
  11,, 00  
 
   iRjLka arrP

111,  jRiLa arrP  2121,  
 
 
   kRivkva relParrCorP

21,, 22  jva CorP  1, 2 
 
  jvjRiLjRaaaa CorParrPrelPabsP

1
2
1
2
1
2
2,,,, 2  
 jRRviLa absP
 2
1
2
21
2
1, 2   
 
c) 
 12,,,   arrDrelDabsD kiabsD  12,  
 
 
   ikrelDarrDsReDarrDrelrelDabsD

21,,,,,, 00  jabsD  21,   
A 
O 
x 
y 
z 
P 
ω2ω1 
v 
R 
L 
C 
D 
(0,5) 
(0,5) 
(0,5) 
(0,5) 
(0,5) 
(0,5) 
(0,3) 
(0,2) 
(1,5) 
(1,5) 
(0,5) 
 
 
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QUESTÃO 3 (3,0 pontos): Um binário de momento M é aplicado a um cilindro homogêneo de raio R e massa m. O 
coeficiente de atrito entre o cilindro e a superfície é μ e aceleração da gravidade é g. Considerando que o cilindro parte 
do repouso, determine a aceleração angular do cilindro 

 para os seguintes casos: 
a) o cilindro rola e escorrega; 
b) o cilindro rola sem escorregar. 
 
 
 
2
2mR
JG 
 
 
 
 
 
Solução 
Diagrama de corpo livre do disco: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Rola e escorrega 
Teorema do Momento Angular com pólo em G 
Ext
GG MH

 
 
RFMJ atG 
 (0,5) 
Como há escorregamento: 
NFat 
 (0,5) 
Pelo Teorema do Movimento do Baricentro, na direção vertical (nessa direção a aceleração do baricentro é nula): 
mgNmgN  0
 
Portanto: 
 mgRM
mR 
2
2
 
2
2
mR
mgRM  
 (0,5) 
 
b) Rola sem escorregar 
Teorema do Momento Angular com pólo em C 
0

Cv
 
MJMH C
Ext
CC  

 (0,5) 
Pelo Teorema dos Eixos Paralelos: 
22
2
3
mRmRJJ GC 
 (0,5) 
Portanto: 
MmR 2
2
3
 
23
2
mR
M

 (0,5) 
mg 
Fat 
N 
M 
G 
R 
C 
g 
M 
(1,5) 
(1,5)