Mecânica I - Poli - Psub - 2007

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Departamento de Engenharia Mecânica 
PME 2100 Mecânica A
Prova Substitutiva - Duração 100 minutos – 11 de dezembro de 2007
Questão 1 (3 pontos): A figura mostra a estrutura 
formada por duas barras AB e BC, sem peso e 
articuladas nos extremos, e o fio inextensível BE. 
Uma carga vertical P está aplicada no ponto médio da 
barra BC. Determine os esforços que atuam em cada 
barra e no fio.
Questão 2 (3,5 pontos): A barra AA' da figura permanece horizontal, girando com velocidade 
angular ω constante ao redor do eixo vertical Oy, e tem comprimento 2r. Os fios que ligam as 
massas B e B' aos pontos A e A' têm comprimento l cada um. Considere como referencial móvel a 
barra AA'. Supondo que os pontos A, A', B e B' permanecem num mesmo plano vertical, determine 
em função de θ θ θ, ,   e das constantes dadas, e 
usando o sistema de coordenadas indicado:
a) as velocidades de arrastamento 

vB,a , relativa 

v
B,r e absoluta 

vB de B;
b) as acelerações de arrastamento 

aB,a , 
complementar (Coriolis) 

a B,c , relativa 

aB,r e 
absoluta 

a B do mesmo ponto B;
c) o vetor de rotação absoluto 

Ω de AB;
d) a aceleração rotacional 
Ω de AB.
Questão 3 (3,5 pontos): Uma massa concentrada m está presa 
ao ponto A do disco de raio R, conforme mostrado na figura. 
A massa do disco também é m. O disco está ligado a uma mola 
de constante elástica k através de um fio que se enrola no 
disco. O conjunto parte do repouso da posição θ = 0, sendo 
nula a força da mola nessa posição. Considerando θ ≥ 0, 
determine:
a) a velocidade angular ω e a aceleração angular ω do 
conjunto em função de θ);
b) a aceleração do baricentro do conjunto G, em função de θ , 
ω e ω ;
c) as componentes de força reativa na articulação O, nas direções i

 e j

, em função de θ , ω e ω .
 
θθ
x
y
zO rr
ll
B' B
AA'
ω
O
R
A
θ
k
g

i

j
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
Resolução da Questão 1 (3 pontos): A figura mostra 
a estrutura formada por duas barras AB e BC, sem 
peso e articuladas nos extremos, e o fio inextensível 
BE. Uma carga vertical P está aplicada no ponto 
médio da barra BC. Determine os esforços que atuam 
em cada barra e no fio.
1ª questão: Isolando a barra BC:
Temos: 



−+−= kjiFF BEBE

2
1
2
2
2
1
Equilíbrio: 
( ) ( ) ( ) 00  =∧−+∧−+∧−==∑ PCDFCBFCBM ABBEC
2PFBE = e 4
2PFAB −=
0:0 ==∑ cx XF ; ∑ == 2/:0 PYFy c ; ∑ = 0zF ; 4/2PZ c =
Resposta:
Barra AB: 2P (compressão)
Fio : 
2
2P
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Departamento de Engenharia Mecânica 
Questão 2 (3,5 pontos): A barra AA' da figura 
permanece horizontal, girando com velocidade 
angular ω constante ao redor do eixo vertical Oy, 
e tem comprimento 2r. Os fios que ligam as 
massas B e B' aos pontos A e A' têm 
comprimento l cada um. Considere como 
referencial móvel a barra AA'. Supondo que os 
pontos A, A', B e B' permanecem num mesmo 
plano vertical, determine em função de θ θ θ, ,   e 
das constantes dadas, e usando o sistema de coordenadas indicado:
a) as velocidades de arrastamento 

vB,a , relativa 

vB,r e absoluta 

vB de B;
b) as acelerações de arrastamento 

aB,a , complementar (Coriolis) 

aB,c , relativa 

a B,r e absoluta 

a B do 
mesmo ponto B;
c) o vetor de rotação absoluto 

Ω de AB;
d) a aceleração rotacional 
Ω de AB.
Resolução da 2ª questão 
 a) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) klsenrABOArjOOBvv aoaB  θωωω +−=−+−+=−∧+= ,,
( ) ijsenllABvv rRrArB
  θθθθ cos,,, +=−+=
( ) Rsenlrjsenlilvvv aBrBB  θωθθθθ +−+=+= cos,,
b) ( ) ( )[ ] ( ) ilrOBrOBaa eDaB T θωωωω sen,, +−=−∧+−∧+=
( ) ( )[ ] ( ) ( ) jsenlisenlABsrsABsaa rArB  θθθθθθθθθθ coscos 222,, ++−=−∧+−∧+=
klva rBcB
 θθωω cos22 ,, −=∧=
BcBaBrB aaaa

++=
c) jkarrrel
 ωθ +=Ω+Ω=Ω
d) ikjjkk
dt
d 
 ωθθωωθθ +=+++=Ω=Ω
ou kkkjkcar

 ωθθθωωθααα +=∧++=++=Ω
θθ
x
y
zO rr
ll
B' B
AA'
ω
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Departamento de Engenharia Mecânica 
Resolução da Questão 3 (3,5 pontos): Uma massa concentrada m está presa ao ponto A do disco 
de raio R, conforme mostrado na figura. A massa do disco também é m. O disco está ligado a uma 
mola de constante elástica k através de um fio que se enrola no 
disco. O conjunto parte do repouso da posição θ = 0, sendo 
nula a força da mola nessa posição. Considerando θ ≥ 0, 
determine:
d) a velocidade angular ω e a aceleração angular ω do 
conjunto em função de θ);
e) a aceleração do baricentro do conjunto G, em função de θ , 
ω e ω ;
f) as componentes de força reativa na articulação O, nas 
direções i

 e j

, em função de θ , ω e ω .
 
a) Sistema disco + massa: 
4
3
2
1)
2
1(
22
2
2 ωω
mRmassavmdiscoJE aoC =


+=
Trabalho: ( ) 2
2
1 θnrmola −=Ζ ; ( )θpsenmgpeso =Ζ
TEC, parte do repouso: EXTEC Ζ=∆
2
2
3
2
_
3
4
m
s
R
seng θθ
ω =⇒
Derivando, com 
2
3
2
3
cos2
m
s
R
g
ss
θθ
ωθωω +−==−== 
b) Definição de baricentro : ( )0
2
1
−=− AOG
Assim: 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) fsenRisenROGOGaaG  θωθωαωθωωωω 220 cos2cos2 ++−=−∧∧+−∧+=
c) TMB: ⇒+−+=⇒= jRljmgYiMRM joO
EXT
Ga Ga


 θα 22
( )θωθω cos2−=⇒ senRmX o  e ( ) θθωθω rRmgsenmRYo −++= 2cos 2
O
R
A
θ
k
g

i

j