Estatistica na produção teorico4

Prévia do material em texto

Métodos Estatísticos 
Aplicados à Produção
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Ms. Luciana Borin de Oliveira
Revisão Técnica:
Prof. Me. Carlos Henrique de Jesus Costa
Revisão Textual:
Profa. Esp. Kelciane da Rocha Campos
Medidas de Dispersão
• Medidas de dispersão
• Medidas de dispersão (Dados não agrupados)
• Medidas de dispersão (Dados agrupados)
• Variável Contínua
O principal objetivo desta unidade é trabalhar com os conceitos de 
amplitude, desvio e variância.
Em Materiais didáticos, você encontrará o conteúdo e as atividades 
propostas para os temas.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Leia atentamente o conteúdo desta unidade, que lhe possibilitará conhecer 
as aplicações do estudo de Medidas de Dispersão em Engenharia.
Você também encontrará nesta unidade uma atividade composta por 
questões de múltipla escolha, relacionadas com o conteúdo estudado. Além 
disso, terá a oportunidade de trocar conhecimentos e debater questões no 
Fórum de discussão.
É extremamente importante que você consulte os materiais complementares, 
pois são ricos em informações, possibilitando-lhe o aprofundamento de seus 
estudos sobre este assunto.
ORIENTAÇÕES
Medidas de Dispersão
UNIDADE Medidas de Dispersão
Contextualização
Como vimos, várias são as aplicações para as medidas de dispersão. 
Encontramos um artigo no qual os autores provaram a eficiência dessa ferramenta 
para estudar investimentos.
Escolha a área em que você atua ou próxima a ela e busque dados que possam 
ser agrupados. Você pode usar também dados do dia a dia, como, por exemplo, a 
quantidade de horas que o sol fica disponível por dia.
Aplique o conceito estudado, faça tabelas e gráficos, use planilhas eletrônicas.
Avalie seu processo, calcule o desvio, amplitude e variância desses dados.
Compare os dados!
6
7
Medidas de dispersão
Estudamos com as medidas de posição central, média, mediana e moda com o 
intuito de podermos resumir em um único número aquilo que se apresentaria como 
sendo o que é “típico” ou “na média” para um conjunto de elementos. Porém, 
essas medidas necessitam de outras medidas que ajudam a caracterizar melhor 
o “resumo” do conjunto de elementos. Essas medidas nos mostram o quanto os 
dados se mostram dispersos em torno da posição central do nosso conjunto.
Tais medidas nos proporcionam caracterizar, então, o grau de variação existente 
no conjunto de elementos e “explicar” melhor o resumo do conjunto de elementos, 
pois o valor de uma média aritmética pode ser igual para 2 conjuntos de elementos, 
mas os fenômenos que são retratados serem muito diferentes.
Por exemplo:
Consideremos uma cidade no litoral do nordeste brasileiro sob um clima tropical 
e uma cidade do litoral do Rio Grande do Sul que sofre a incidência de um clima 
temperado. Ambas as cidades possuem temperaturas médias anuais acima de 26 ºC, 
conforme podemos observar nos gráficos a seguir:
Vemos nos gráficos que as temperaturas na cidade do NORDESTE variam muito 
pouco ao longo do ano, entre 25 e 27 ºC, enquanto que na cidade do SUL houve 
variações de 18 a 31ºC. Pergunta: como será que estão as praias nos meses de 
inverno nas 2 cidades?
Certamente, a quantidade de banhistas na cidade do Nordeste será bem maior 
que na cidade do Sul.
Outro exemplo:
Vamos imaginar a média salarial de um gerente de empresa que tem seu salário 
fixo mensal de R$10.000 e a média salarial de um corretor de imóveis com o 
mesmo valor, que obtém sua renda através de comissões adquiridas pela venda 
de imóveis. Você acha que somente com essa informação da média salarial as 
distribuições de suas rendas são equivalentes? Podemos observar que há grandes 
diferenças entre a obtenção de suas rendas. O gerente de empresas tem a sua 
renda obtida de forma constante, o mesmo valor mês a mês, enquanto a renda 
obtida pelo corretor é muito mais esparsa; num mês pode obter uma renda muito 
7
UNIDADE Medidas de Dispersão
superior a R$ 10.000 com a comissão obtida e também pode passar alguns meses 
com a obtenção de uma renda muito inferior ou até mesmo não obter renda, o que 
exige desse trabalhador uma programação com despesas muito mais controladas, 
devido à imprevisibilidade da obtenção de suas rendas, enquanto o outro tem sua 
vida muito mais controlada.
Voltando ao primeiro exemplo, concluímos que a distribuição de temperaturas 
da cidade da região Nordeste tem uma variação muito menor que da cidade do 
Sul, e de forma análoga concluímos que a distribuição de rendas do gerente de 
empresas é muito menor que do corretor de imóveis.
Sendo assim, conforme já expusemos, as medidas de dispersão são medidas 
complementares às medidas de posição e estudaremos aqui as seguintes:
• Amplitude;
• Desvio médio;
• Variância;
• Desvio padrão.
Medidas de dispersão (Dados não agrupados)
Amplitude
Como já estudamos anteriormente, a Amplitude Total (AT) ou Amplitude 
Amostral (R) é a subtração entre o elemento de maior valor e o de menor valor de 
uma sequência de dados.
R = AT = xmax - xmin
Por exemplo, em uma série de valores 2, 15, 4, 11, 1, 19, 5, temos a amplitude em:
R = 19 – 1 = 18
Percebemos que quanto maior a diferença entre os elementos extremos da 
sequência, maior será a amplitude e, portanto, maior será a variação, ou dispersão 
dos valores da sequência. Como a amplitude depende de apenas a variação de 
dois valores de uma sequência, não nos fornece nenhuma informação da medida 
central da sequência, não levando em conta como se dá a variação entre os dados 
entre o valor máximo e mínimo da sequência de dados. É uma medida de pouca 
sensibilidade estatística, sendo utilizada para nos dar a informação de quanto há de 
variabilidade em uma amostra de dados.
8
9
Desvio
a. Desvio em relação à média aritmética
É calculado pela diferença entre um elemento de uma série e a média aritmética 
dessa mesma série.
i id x x= −
Considerando, por exemplo, as notas bimestrais de um aluno, temos: 6,0; 5,5; 
7,0; 4,5. Como podemos calcular os desvios em relação à média aritmética?
a.1) calculamos inicialmente a média aritmética das notas do aluno:
6,0 5,5 7,0 4,5 23
 
4 4
5,75
x
x
+ + +
= =
=
a.2) calculamos, então, os desvios em relação à média utilizando a fórmula 
i id x x= − 
d
d
d
d
1
2
3
4
5 75 6 0 0 25
5 75 5 5 0 25
5 75 7 0 1 25
5 75
= − =−
= − =
= − =−
= −
, , ,
, , ,
, , ,
, 44 5 1 25, ,=
Percebemos que sempre que somarmos todos os desvios em relação à média, o 
resultado sempre será zero.
Do nosso exemplo:
1 2 3 4 0,25 0,25 1,25 1,25 d d d d zero+ + + − + − + ==
Essa relação é uma propriedade da média.
( ) zeroi id x x= − =∑ ∑
9
UNIDADE Medidas de Dispersão
Desvio médio
Definimos como Desvio Médio (DM) a média aritmética dos valores absolutos 
dos desvios de cada valor de determinada série em relação à média aritmética da 
determinada série.
ix xDM
n
−
= ∑
Observação: O desvio absoluto é aquele no qual consideramos apenas o 
valor numérico, não importando se ele é positivo ou negativo 
em relação à média aritmética, pois se assim fosse, por 
exemplo se utilizássemos o desvio em relação à média, não 
haveria valor para o numerador da equação, pois seria zero.
Utilizando os dados do exemplo anterior, temos:
Notas do aluno: 6,0; 5,5; 7,0; 4,5.
x
d d
d d
d
=
= − =− ⇒ =
= − = ⇒ =
=
5 75
5 75 6 0 0 25 0 25
5 75 5 5 0 25 0 25
1 1
2 2
3
,
, , , ,
, , , ,
55 75 7 0 1 25 1 25
5 75 4 5 1 25 1 25
3
4 4
, , , ,
, , , ,
− =− ⇒ =
= − = ⇒ =
d
d d
Aplicando a fórmula: temos:i
x x
DM
n
−
= =∑
 
0,25 0,25 1,25 1,25 3
4 4
0,75
DM
DM
+ + +
= =
=
A conclusão a que se chega através do cálculo do desvio médio é queos 
valores da sequência estão afastados da média aritmética em 0,75, no nosso 
exemplo, em média.
Variância
Definimos a variância como sendo a média das diferenças ao quadrado entre 
cada valor de uma sequência e a média aritmética dessa mesma sequência, portanto 
a variância pode ser definida também como o desvio médio quadrático de uma 
sequência de dados.
O cálculo da variância é dependente do conjunto de dados os quais ele representa, 
daí temos a variância de uma população e variância para uma amostra.
10
11
a. Variância populacional
Ela é representada por 2σ e será calculada através da fórmula:
( )22 1
n
ii
x
N
µ
σ −== ∑
Sendo:
µ = média populacional
N= quantidade de elementos da população
b. Variância amostral
Ela é representada por S2 e será calculada através da fórmula:
( )212
1
n
ii
X X
S
n
−==
−
∑
Sendo:
X = média amostral
n= quantidade de elementos da população
n-1 = utilizada para amostras menores de 30 elementos. Para n>30 praticamente 
não há diferença.
Por exemplo, vamos calcular a variância do seguinte conjunto de elementos 
A= {3; 6; 4; 8; 9}.
Como trata- se de uma amostra, calcularemos a variância amostral (S2).
1º - Calcular o valor da média aritmética:
3 6 4 8 9 30
 
5 5
6
X
X
+ + + +
= =
=
2º - Calcular os desvios médios:
 
d
d
d
d
d
1
2
3
4
5
3 6 3
6 6 0
4 6 2
8 6 2
9 6 3
= − =−
= − =
= − =−
= − =
= − =
11
UNIDADE Medidas de Dispersão
3º - Aplicar a fórmula da variância populacional: 
( )212
1
n
ii
X X
S
n
−==
−
∑
S
S
S
2
2 2 2 2 2
2
2
3 0 2 2 3
5 1
9 4 4 9
4
26
4
6 5
=
− + + − + +
−
=
+ + +
=
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
Podemos calcular a variância populacional e amostral através de fórmulas mais 
simplificadas que se seguem:
Para variância populacional, temos:
( )22 21 ii
X
X
N N
σ
 
 = −
 
 
∑∑
Para variância amostral, temos:
( )22 21 
1
i
i
x
S x
n n
 
 = −
 −
 
∑∑
Desvio padrão
O desvio padrão é calculado como sendo a raiz quadrada da variância da 
amostra. Ele indica o quanto os elementos da amostra estão afastados em relação 
à média aritmética dessa amostra.
Calculamos o desvio padrão para a população e para a amostra.
a) Desvio padrão da população:
2σ σ= +
b) Desvio padrão da amostra:
2S S= +
De forma análoga à variância, calculamos também o desvio padrão populacional 
e amostral através de fórmulas mais simplificadas que se seguem:
12
13
Para desvio padrão populacional, temos:
22
 i i
X X
N N
σ
 
= −   
 
∑ ∑
Para desvio padrão amostral, temos:
S
n x x
n n
i i=
−( )
−( )
∑∑*
*
2
2
1
Medidas de dispersão (Dados agrupados)
Amplitude
Da mesma forma que para os dados não agrupados, a amplitude é dependente 
apenas dos valores máximos e mínimos da sequência que se está estudando.
Exemplificando, vamos determinar a amplitude dos dados da série representados 
na tabela a seguir:
xi fi
3 1
4 7
5 9
8 3
A amplitude será calculada pela diferença entre o maior valor da série e o menor 
valor da série:
8 3 5R = − =
Desvio médio
O Desvio Médio (DM) é determinado através do cálculo de média aritmética 
ponderada dos valores absolutos dos desvios de cada um dos elementos da série em 
estudo em relação à média aritmética dessa série. A ponderação será proporcionada 
pelas respectivas frequências. Calculamos o desvio médio através da equação:
DM
x x f
f
=
−∑
∑
i 1
i
*
13
UNIDADE Medidas de Dispersão
Exemplificando o cálculo do desvio médio, consideremos a tabela a seguir:
xi fi
3 1
4 7
5 9
8 3
1º Calculamos a média aritmética da série de dados da tabela, através da fórmula 
de média aritmética x
x f
f
=∑
∑
i i
i
* 
x= + + +
+ + +
= =
3 1 4 7 5 9 8 3
1 7 9 3
100
20
* * * *
5
2º Calculamos os desvios e completamos a tabela de dados:
xi fi |xi-x| |xi-x|*fi
3 1 2 2
4 7 1 7
5 9 0 0
8 3 3 9
=∑ 20 18=∑
3º Calculamos o desvio médio através da fórmula:
DM
x x f
f
DM
i i
i
=
−
= =
∑
∑
*
,1820 0 9
14
15
Variância
Calcularemos a variância populacional e a variância amostral. Como tratam-se 
de dados agrupados, distribuído em tabela, incluiremos à tabela a frequência:
a. Variância populacional – é calculada através da fórmula:
( )22 21 i ii i
f X
fX
N N
σ
 
 = −
 
 
∑∑
b. Variância amostral – é calculada através da fórmula:
( )22 21 
1
i i
i i
f x
S fx
n n
 
 = −
 −
 
∑∑
Também podemos descrever a fórmula da variância amostral da seguinte forma:
( )
( )
22
2 
1
i i i in f x fxS
n n
−
=
−
∑ ∑
Desvio padrão
Calcularemos o desvio padrão populacional e a desvio padrão amostral. 
Como tratam-se de dados agrupados, distribuído em tabela, incluiremos à tabela 
a frequência.
c. Desvio padrão populacional – é calculado através da fórmula:
22
 i i i i
f X fX
N N
σ
 
= −   
 
∑ ∑
d. Desvio padrão amostral – é calculado através da fórmula:
( )
( )
22
 
1
i i i in f x fxS
n n
−
=
−
∑ ∑
15
UNIDADE Medidas de Dispersão
Exemplificando os cálculos da variância e desvio padrão para valores 
agrupados, temos:
Calcular a variância e desvio padrão populacional dos dados da tabela a seguir:
xi fi
3 1
4 7
6 9
5 4
8 3
1º Vamos completar a tabela com colunas de 2 2; ; i i i i ix f x fx
ix
2
ix if i if x
2
i if x
3 9 1 3 9
4 16 7 28 112
6 36 9 54 324
5 25 4 20 100
8 64 3 24 192
24=∑ 129=∑ 737=∑
2º Faremos o cálculo da variância inserindo os dados na fórmula da variância 
populacional:
σ
σ
σ
2 2
2
2
2
2
1
1
24
737
129
24
= −
( )







= −
( )







=
∑ ∑N f X
f X
Ni i
i i
443 625
24
1 82
,
,≅
3º Extraindo a raiz quadrada da variância, teremos, então, o desvio padrão 
populacional:
 1,82 ,σ = ≅ 1 35
16
17
Variável contínua
Amplitude
Calculada através da subtração entre o limite superior da última classe e o limite 
inferior da primeira classe:
 max maxAT L l= −
Desvio médio
O desvio médio (DM) é determinado através do cálculo de média aritmética 
ponderada dos valores absolutos dos desvios de cada um dos elementos da série em 
estudo em relação à média aritmética dessa série. A ponderação será proporcionada 
pelas respectivas frequências. Os dados são apresentados na forma de distribuição 
de frequências em classes de valores.
 
DM
x x f
f
i i
i
=
−∑
∑
*
Exemplificando o cálculo do desvio médio em relação aos dados da tabela a seguir:
Intervalo de Classe if
0 4 4
4 8 7
8 12 6
12 16 3
1º Completamos a tabela com as colunas xi, xi fi e |xi-x|fi e calculamos a média 
aritmética:
Intervalo de 
Classe
fi xi xi fi |xi-x| fi
0 4 4 2 8 22,4
4 8 7 6 42 11,2
8 12 6 10 60 14,4
12 16 3 14 42 19,2
20=∑ 152=∑ 67,2=∑
152
7,6
20
i i
i
x f
x
f
= = =∑
∑
17
UNIDADE Medidas de Dispersão
2º Calcular o desvio médio aplicando a fórmula:
DM
x x f
f
DM
i i
i
=
−
= =
∑
∑
*
,
,
67 2
20
3 36
Variância e desvio padrão
Calculamos essas 2 medidas através da mesma fórmula para os dados agrupados 
utilizando os valores de xi como sendo os pontos médios de cada classe da série 
de dados.
Exemplificando e utilizando a tabela do exemplo anterior, vamos calcular a 
variância e desvio padrão através dos dados da tabela: 
Intervalo de Classe if
0 4 4
4 8 7
8 12 6
12 16 3
Incluímos na tabela os valores de 2, e :i i i i ix x ffx
Intervalo de 
Classe i
f ix x fi i f xi i2
0 4 4 2 8 16
4 8 7 6 42 252
8 12 6 10 60 600
12 16 3 14 42 588
20=∑ 152=∑ 1456=∑
Aplicando a fórmula da variância populacional, temos:
σ
σ
2 2
2
2
2
1
1
20
1456
152
20
=
=
−
( )











−
( )





∑∑N f X
f X
Ni i
i i




= ⇒
= = = ⇒
=σ
σ σ
2
2 2
300 8
20
15 04
15 04 3 87
,
,
, ,
variância
desvio padrrão
18
19
 Fazendo uma comparação entre os resultados de DM e desvio padrão, temos:
• 3,87 3,36DMσ = > = ⇒o valor do desvio padrão é sempre maior que 
do desvio médio.
Propriedades da variância (S2) e desvio 
padrão (S)
a. A variância e desvio padrão de uma constante é sempre igual a zero:
2 ( ) 0 ( ) 0S c S c= ⇒ =
b. Com a soma ou subtração de uma constante que seja diferente de zero, 
teremos a nova variância e desvio padrão iguais à variância e desvio padrão 
anteriores, não há alteração de valores.
y x c Si i y x y xS S S= ± ⇒ = ⇒ =2 2
c. Com a multiplicação ou divisão de todos os valores por uma constante que 
seja diferente de zero, teremos a nova variância multiplicada ou dividida 
pelo quadrado da constante utilizada. O novo desvio padrão será obtido 
multiplicado ou dividido por essa constante.
S cx c S x
S cx cS x
2 2 2( )= ( )
=( ) ( )
19
UNIDADE Medidas de Dispersão
Material Complementar
Para complementar os conhecimentos adquiridos e enriquecer sua compreensão sobre o 
assunto tratado nesta unidade, consulte os livros a seguir, disponíveis na Minha Biblioteca:
 Livros
Estatística : para cursos de engenharia e informática.
BARBETTA, Pedro Alberto; REIS, Marcelo Menezes; BORNIA, Antonio Cezar. Estatística: para cursos 
de engenharia e informática. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2010.
Curso de estatística.
FONSECA, Jairo Simon da; MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de estatística. 6. ed. São Paulo: 
Atlas, 2012.
Controle estatístico de processos: uma abordagem prática para cursos de engenharia e administração.
LOUZADA, Francisco et al. Controle estatístico de processos: uma abordagem prática para cursos de 
engenharia e administração. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 
20
21
Referências
BUSSAB, Wilton O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. São Paulo: Editora 
Saraiva, 2006. 5ª ed.
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Estatística aplicada a todos os níveis. Curitiba: 
IBPex, 2005.
FONSECA, Jairo S.; MARTINS, Gilberto A. Curso de estatística. Editora Atlas, 
2008. 6ª ed.
MURRAY, Spiegel R. Estatística. Porto Alegre: Bookman, 4ª ed., 2009.
SOARES, José Francisco; FARIAS, Alfredo A. de; CESAR, Cibele Comini. 
Introdução à estatística. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 1991.
TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. Tradução: Vera Regina de Farias e 
Flores. Rio de Janeiro: LTC, 2005. 9ª ed
21