Estatistica Aula 01

Prévia do material em texto

CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
1 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
AULA 1 
I INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................ 2 
1 Estatística descritiva e inferencial ............................................................................................................ 2 
2 População e amostra................................................................................................................................. 3 
3 Amostragem aleatória ............................................................................................................................... 4 
II MEDIDAS DE POSIÇÃO PARA DADOS EM ROL. .............................................................................. 4 
1 Dados brutos ............................................................................................................................................. 4 
2 Rol ............................................................................................................................................................. 5 
3 Medidas de posição ................................................................................................................................... 7 
4 Média Aritmética ....................................................................................................................................... 8 
5 Média Geométrica e Harmônica ............................................................................................................. 23 
6 Média ponderada .................................................................................................................................... 28 
7 Propriedades da média aritmética .......................................................................................................... 30 
8 Mediana .................................................................................................................................................. 38 
9 Moda ....................................................................................................................................................... 42 
III DIAGRAMA DE RAMOS E FOLHAS ................................................................................................... 45 
LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSOS UTILIZADAS ......................................................................... 50 
GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSOS ......................................................................................... 57 
ANEXO ................................................................................................................................................................ 58 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
2 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
 
Antes de iniciarmos a primeira aula, vou só relembrar alguns comentários da aula 
demonstrativa. Durante a aula temos dois tipos de exercícios. Há os exercícios propostos, de 
elaboração própria, cuja sigla é EP. E temos os exercícios de concursos anteriores, cuja sigla é 
EC. 
Ao final de cada aula trago a lista dos exercícios de concursos utilizados. Se alguém quiser 
tentar resolver sem ver a resposta, pode ir direto para as últimas páginas. 
Parte desta aula 1 já foi apresentada na aula zero. As diferenças são: acrescentei mais alguns 
comentários em alguns exercícios (EP 7 e EC 4); acrescentei mais um exercício (que, nesta 
aula, está com a numeração de EC 8) - ver fl. 22; acrescentei mais teoria e exercícios, após o 
tópico de “propriedades da média”. 
Aproveito a oportunidade para corrigir um erro cometido na aula anterior. Na fl. 22, eu 
escrevi: 
Para qualquer conjunto de n números não negativos, a média harmônica é menor ou igual à 
média geométrica e esta é menor ou igual à média aritmética. A igualdade só ocorre se todos 
os números forem iguais entre si. 
Mas o correto seria: 
Para qualquer conjunto de n números positivos, a média harmônica é menor ou igual à média 
geométrica e esta é menor ou igual à média aritmética. A igualdade só ocorre se todos os 
números forem iguais entre si. 
A diferença entre os dois textos é a inclusão ou não do número zero. Ocorre que, se um dos 
números for igual a zero, então a média harmônica nem pode ser calculada, pois o zero não 
admite recíproco. 
Vamos à aula! 
 
I INTRODUÇÃO 
1 Estatística descritiva e inferencial 
A estatística é usualmente dividida em duas partes: a descritiva e a inferencial. 
Nos concursos, a estatística descritiva geralmente aparece como “Estatística Básica”. Ela 
busca descrever um conjunto de dados por meio de algumas medidas. Acho que a melhor 
maneira de entender é por meio de um exemplo. 
Considere uma pesquisa sobre os salários das pessoas de um bairro. Entrevistamos diversos 
moradores e anotamos seus salários. Um trecho de nossas anotações poderia ser representado 
assim: 
 
Salários dos moradores bairro Nova Vila: 
R$ 5.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 7.000,00; R$ 1.000,00; R$ 4.000,00, R$ 2.000,00, 
R$ 4.000,00, R$ 3.000,00, R$ 6.000,00... 
 
E a lista prosseguiria, com dezenas e dezenas de salários. Só que simplesmente pegar esta 
listagem e apresentar para alguém não permite, de imediato, tirar conclusões sobre as pessoas 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
3 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
deste bairro. São predominantemente de classe média, baixa, alta? O bairro é mais ou menos 
homogêneo ou abriga pessoas ricas e pobres? 
Se em vez de apresentarmos toda a nossa listagem dissermos que o salário médio das pessoas 
pesquisadas no bairro Nova Vila é de R$ 3.600,00, aí sim já podemos começar a tirar algumas 
conclusões. Esta média descreve, de maneira sucinta, todo o nosso conjunto de dados. É uma 
medida típica na estatística descritiva. 
Já a estatística inferencial tem outro propósito. Se quisermos, a partir da média obtida nesta 
nossa pesquisa, calcular qual a provável média salarial de TODOS os moradores do bairro, 
usaremos ferramentas de estatística inferencial. Seu intuito é fazer generalizações, a partir de 
alguns valores conhecidos. 
Na prova da Receita Federal só é cobrada a estatística descritiva. 
 
2 População e amostra 
Voltemos ao exemplo da seção anterior, em que queríamos pesquisar o salário das pessoas do 
bairro Nova Vila. O conjunto formado pelos salários de todas as pessoas do bairro é a nossa 
população. 
 
População: conjunto de todos os elementos que possuem uma determinada característica em 
comum. 
 
No nosso caso, estamos interessados nos dados que representam salários de pessoas que 
moram no bairro Nova Vila. Esta é a característica de interesse. 
Se entrevistarmos todas as pessoas do bairro, estamos realizando um censo. Agora, 
dependendo da população, fica inviável entrevistar todo mundo. Imagine se for um bairro 
muito grande. De repente não se tem tempo suficiente para esperar que todo mundo seja 
entrevistado. Ou não se tem dinheiro para pagar toda a quantidade de pessoal que seria 
necessária para coletar tais dados. Nestes casos, em vez de entrevistarmos todo mundo, 
escolhemos uma amostra. 
 
Amostra: qualquer subconjunto não vazio da população. 
 
Apesar de eu ter dito “qualquer subconjunto”, este “qualquer” tem exceção. O conjunto de 
todos os salários dos moradores (= população) é um subconjunto de si mesmo. Então uma 
definição mais correta de amostra seria: qualquer subconjunto não vazio da população, exceto 
a própria população. Mas isto já é preciosismo... 
Há diversos fatores que nos levam a fazer uma amostragem. No exemplo da pesquisa salarial 
com os moradores do bairro Nova Vila, já demos algumas razões (tempo, custo).Há outras. 
Considere que se deseje testar a resistência de uma dada mercadoria, produzida em série por 
uma empresa. O teste consiste em submeter esta mercadoria a pressões cada vez maiores, até 
que ele arrebente. Não podemos testar todas as mercadorias produzidas. Se não, não sobra 
nenhum produto e o teste fica sem o menor sentido. Seria o caso daquela piada comum do 
português (com todo respeito aos portugueses) que risca todos os fósforos da caixa para ver se 
estão funcionando. Neste caso, testando toda a população, temos uma situação absurda. 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
4 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
 
EC 1) Analista de Regulação – Economista – ARCE/2006 [FCC] 
O processo estatístico que consiste em uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se 
todos os componentes da população, denomina-se: 
a) amostragem 
b) estimação 
c) censo 
d) parametrização 
e) correlação 
 
Resolução: 
Quando temos acesso a todos os valores da população, estamos realizando um censo. 
Gabarito: C. 
 
3 Amostragem aleatória 
Há diversos tipos de amostragem. A amostragem aleatória simples é a mais cobrada em 
provas de concursos. De forma bem resumida, podemos dizer que se trata da amostragem 
feita de forma que cada elemento da população tem a mesma chance de ser escolhido. Por 
exemplo: queremos escolher algumas pessoas de uma empresa para realizar uma entrevista. 
Escrevemos os nomes de todos os funcionários em pedaços de papel de mesmo tamanho. 
Colocamos todos os nomes em um saco. Misturamos bem todos os papéis. Feito isto 
sorteamos 5 nomes. Este é um exemplo de amostragem aleatória simples. Todos os 
funcionários têm a mesma chance de serem escolhidos. Além disso, qualquer combinação de 
cinco pessoas tem a mesma chance de ser sorteada. 
Como na prova da Receita não cai estatística inferencial, nós basicamente precisamos saber 
que existe essa tal de amostragem aleatória. Em outros concursos, onde é cobrada a parte de 
inferência, aí sim, nós precisaríamos ver com mais detalhes este assunto de amostragem. 
 
II MEDIDAS DE POSIÇÃO PARA DADOS EM ROL. 
Vamos falar agora de medidas de posição para dados em rol. Precisamos, portanto, saber o 
que é um rol e o que são medidas de posição. Comecemos pelo rol. Só que para chegarmos a 
ele, vejamos os chamados “dados brutos”. 
 
1 Dados brutos 
Voltemos ao bairro Nova Vila. Vamos supor que efetuamos a tal pesquisa no bairro. 
Entrevistamos apenas dez pessoas. Os resultados obtidos foram: 
 
Salário dos moradores da Nova Vila – amostra com dez salários: R$ 5.000,00; R$ 2.000,00; 
R$ 2.000,00; R$ 7.000,00; R$ 1.000,00; R$ 4.000,00, R$ 2.000,00, R$ 4.000,00, R$ 3.000,00, 
R$ 6.000,00. 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
5 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
 
O que significa a listagem acima? Significa que chegamos para um primeiro morador e 
perguntamos: qual o seu salário? Ele responde: R$ 5.000,00. A gente pega e anota este valor. 
Fazemos a mesma pergunta para uma segunda pessoa. Ela responde: R$ 2.000,00. A gente 
pega e anota este valor. E assim por diante. 
A estes dados desorganizados, chamamos de DADOS BRUTOS. Eles estão simplesmente na 
ordem em que foram coletados. Não receberam qualquer tratamento. 
 
2 Rol 
Se colocarmos nossos dados em ordem crescente (ou decrescente) temos um ROL. 
Geralmente em concurso só aparece o rol crescente. O rol da nossa pesquisa ficaria assim: 
 
Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00; R$ 4.000,00; R$ 
4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00. 
 
O rol já é uma primeira forma de organizar nossos dados. É também uma maneira de 
apresentarmos nossos dados. Como ainda vamos utilizar este exemplo durante algum tempo 
ao longo do curso, vamos simplificar a escrita. Vamos tirar o símbolo ‘R$’ e indicar apenas as 
unidades de milhar. 
 
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
 
Então rol é apenas isto. Nada mais é que um conjunto de números (resultados de uma 
pesquisa, de um experimento, etc), colocados em ordem crescente (ou decrescente). 
É muito comum que se queira referir a um elemento em particular da nossa série de dados. 
Uma notação muito usual é: iX (lê-se “xis, índice i”). É utilizada para nos referimos ao “i-
ésimo” elemento. Vamos dar um exemplo. 
Quem é o terceiro elemento? A pergunta pode ser reescrita como: 
 
Qual o valor de 3X ? 
Resposta: o terceiro elemento é 2 ( )23 =X 
 
Para chegar à resposta, simplesmente nos dirigimos ao Rol e contamos. O primeiro elemento 
é o 1, o segundo elemento é o 2 e o terceiro elemento também é 2. 
Abaixo seguem mais valores de iX : 
X1 = 1; X2 = 2; X3 = 2; X4 = 2; X5 = 3; X6 = 4; X7 = 4; X8 = 5; X9 = 6; X10 = 7. 
 
Somatório 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
6 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
Conhecendo esta notação, podemos apresentar uma ferramenta muito importante em 
estatística: o SOMATÓRIO. 
O símbolo de somatório é: ∑ 
A utilidade do somatório é possibilitar uma escrita mais compacta. 
Desejamos saber qual o salário total das pessoas pesquisadas. Ou seja, queremos somar todos 
os valores de salários das dez pessoas entrevistadas. 
Precisamos fazer o seguinte: 
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 = 36. 
 
Ou seja, o salário total das dez pessoas entrevistadas é de R$ 36.000,00. 
Em vez de escrever desta forma, poderíamos escrever: 
∑
=
10
1i
iX =36 
O que significa esta simbologia? Significa que queremos somar valores (pois há um símbolo 
de somatório). Que valores queremos somar? Queremos somar valores de Xi. Quais valores de 
Xi? Aqueles para os quais ‘i’ vai de 1 até 10. 
A expressão ∑
=
10
1i
iX =36 nada mais é que uma forma compacta de escrever X1 + X2 + X3 + X4 + 
X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 = 36. 
 
Passemos para um outro exemplo. Para a nossa mesma série de dados, vamos calcular ∑
=
5
2i
iX . 
Sabemos que queremos somar valores (pois há um símbolo de somatório). Queremos somar 
valores de Xi para os quais ‘i’ vai de 2 até 5. Assim, queremos calcular a seguinte soma: 
X2 + X3 + X4 + X5 
Substituindo os valores, ficamos com: 
∑
=
5
2i
iX = X2 + X3 + X4 + X5 = 2 + 2 + 2 + 3 = 9. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
EP 1. Considere a seguinte seqüência de dados: 
2, 6, 1, 4, 6. 
Obtenha o rol correspondente 
 
EP 2. Considere a seguinte seqüência de dados: 
3, 1, 4, 2, 7, 3 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
7 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
Obtenha o valor de ∑
=
3
1i
iX 
 
EP 3. Para a mesma seqüência de dados do exercício anterior, obtenha ( )∑
=
4
1
2
i
iX . 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Resolução - EP 1. 
ROL: 1, 2, 4, 6, 6 
 
Resolução EP 2: 
Primeiro passo: obtendo o ROL. 
ROL: 1, 2, 3, 3, 4, 7 
Identificando os termos. 
X1=1; X2=2; X3=3; X4=3; X5=4; X6=7 
Fazendo a soma: 
632132
3
1
1 =++=++=∑
=
XXXX
i
i 
 
Resolução EP 3: 
Fazendo a soma: 
( )∑
=
=+++=+++=
4
1
22222 2399413321
i
iX . 
 
3 Medidas de posição 
Medidas de posição nos fornecem informações acerca de posições que os dados ocupam. 
Podem ser de dois tipos: 
· Medidas de tendência central (média, mediana e moda). 
· Medidas separatrizes 
As medidas de tendência central indicam valores em torno dos quais os dados “giram”. Um 
exemplo é a média. Se dissermos que a nota média dos alunos em uma prova foi 6, é razoável 
esperar que as notas “giraram” em torno de 6. Um ou outro aluno deve ter tirado 9 ou 10. Um 
ou outro deve ter tirado 0 ou 1. Mas a maioria deve ter ficado com uma nota intermediária,uns 4, 5, 6 ou 7. 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
8 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
Se dissermos que a nota média desses mesmos alunos em uma outra prova foi 8, é razoável 
esperar que as notas giraram em torno de 8. Um ou outro aluno tirou 0 ou 1. Mas o restante 
deve ter ido muito bem, tirando 6, 7, 8, 9 e 10. 
As medidas separatrizes nos ajudam a separar os dados. Um exemplo de medida separatriz é o 
quartil. Uma série de dados possui três quartis, que separam a série de dados em quatro partes. 
Devido a algumas dificuldades que surgem no estudo de medidas separatrizes, vamos deixá-
las para depois. Nesta aula só estudaremos a principal medida separatriz: a mediana. As 
demais estudaremos na aula 3. 
 
4 Média Aritmética 
A média aritmética dos dados é dada pela soma dos valores observados, dividida pelo total de 
observações. Voltemos à nossa pesquisa sobre o salário dos moradores do bairro. 
Relembrando o nosso rol: 
 
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
 
Calculando a soma dos dados, temos: 
36
10
1
=∑
=i
iX 
Só relembrando. A simbologia acima significa que queremos somar valores (pois há um 
símbolo de somatório). Quais valores? Valores de X para os quais ‘i’ vai de 1 até 10. Ou seja, 
queremos somar todos os 10 valores observados. 
A média fica: 
6,3
10
36___ ==X 
Ou seja, o conjunto de pessoas pesquisadas apresenta um salário médio de R$ 3.600,00. 
Média é apenas isto. Basta somar todos os valores e dividir pelo número de dados. 
Este símbolo adotado para média ( X ) é muito comum. Muitos autores o utilizam. É 
importante saber isto porque às vezes as provas de concursos simplesmente indicam X e não 
explicam que se trata da média. 
Para um conjunto de ‘n’ dados, a média pode ser representada por: 
n
X
X
n
i∑
= 1___ 
A fórmula acima indica que, para obter a média aritmética, somamos todos os dados e 
dividimos por n. 
Uma coisa que muita gente confunde é o seguinte. Muitas pessoas acham que a média precisa 
pertencer ao conjunto de dados. Isto é falso. No exemplo acima, a média foi 3,6. E na nossa 
amostra não há nenhuma pessoa que ganhe um salário de R$ 3.600,00. 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
9 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
Este valor 3,6 só é um indicativo de que os salários das pessoas entrevistadas devem girar em 
torno de R$ 3.600,00. 
Antes de irmos para os exercícios, só um comentário. Além da média aritmética, há outras 
(veremos mais algumas adiante). Contudo, para fins de concurso, a aritmética é a mais 
importante (porque é a mais cobrada). Portanto, se o exercício falar apenas “média”, sem 
mencionar que é a aritmética, pode supor que se trata dela. 
Vamos a alguns exercícios sobre o assunto. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS - MÉDIA 
EP 4. Calcule a média da seguinte seqüência de números: {1, 3, 8}. 
 
EP 5. Numa empresa, temos 4 homens e 5 mulheres. A média salarial dos homens é de R$ 
825,00. A média salarial das mulheres é R$ 600,00. Qual a média geral, de homens e 
mulheres? 
 
EP 6. Numa empresa, temos 6 homens e 4 mulheres. A média salarial dos homens é de R$ 
2.000,00. A média salarial geral (considerando homens e mulheres) é R$ 1.600,00. Qual a 
média salarial das mulheres? 
 
EP 7. Numa empresa, temos 100 funcionários. A média do salário dos homens é de R$ 
1.000,00. A média do salário das mulheres é de R$ 900,00. A média geral, considerando 
homens e mulheres, é R$ 960,00. Quantas mulheres há na empresa? 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Resolução - EP 4 
4
3
831 =++=X 
 
Resolução - EP 5 
Vamos chamar o salário dos homens de H. 
Como assim?? 
Suponha que os quatro homens desta empresa ganhem os seguintes salários: 
725,00; 800,00; 850,00; 925,00. 
Pronto, a média desses salários é de 825,00. 
Se chamarmos esses valores de H queremos dizer o seguinte: 
O salário do primeiro homem é 725. Portanto: 7251 =H 
O salário do segundo homem é 800. Portanto: 8002 =H 
E assim por diante. 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
10 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
 
Pois bem, somando o salário de todos os homens e dividindo por 4, obtemos justamente a 
média de salário dos homens. Fica assim: 
4
825 ∑= H 
Multiplicando cruzado: 
33008254 =×=∑H 
Ou seja, a soma dos salários de todos os homens é igual a R$ 3.300,00. 
 
Vamos chamar de M o salário das mulheres. Se somarmos o salário de todas as mulheres e 
dividirmos por 5, obtemos a média de salário para as mulheres. Fica assim: 
30006005
5
600 =×=⇒= ∑∑ MM 
Ou seja, a soma dos salários de todas as mulheres é igual a R$ 3.000,00. 
 
O exercício pede a média geral, de homens e mulheres. 
Para obter a média geral, somamos os salários de todos os homens, de todas as mulheres, e 
dividimos por 9 (são nove pessoas ao todo). 
Fica assim: 
9
_ ∑∑ += MHgeralMédia 
Substituindo os valores: 
700
9
30003300_ =+=geralMédia 
A média geral, incluindo homens e mulheres, é de R$ 700,00. 
Note que na empresa há mais mulheres do que homens. Portanto, a média geral está mais 
próxima da média das mulheres. 
 
Resolução - EP 6 
Exercício bem parecido com o anterior. 
Vamos chamar de H o salário dos homens e de M o salário das mulheres. 
A média salarial dos homens é igual a R$ 2.000,00. E para obter esta média, somamos os 
salários de todos os homens e dividimos por 6 (são seis homens). 
Portanto: 
6
2000 ∑= H 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
11 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
Multiplicando cruzado: 
1200020006 =×=∑H 
Assim, a soma dos salários dos homens é igual a R$ 12.000,00. 
 
A média salarial geral é obtida somando o salário de todos os homens, de todas as mulheres, e 
dividindo por 10 (são 10 pessoas ao todo). 
10
1600 ∑∑ += MH 
Multiplicando cruzado: 
16000=+∑∑ MH 
Ou seja, a soma dos salários de todos os homens e todas as mulheres é igual a R$ 16.000,00. 
Mas já sabemos que a soma dos salários dos homens é igual a R$ 12.000,00. Substituindo o 
valor da soma dos salários dos homens: 
1600012000 =+∑M 
4000=∑M 
A soma dos salários das mulheres é igual a R$ 4.000,00. Como são quatro mulheres, a média 
salarial das mulheres fica: 
1000
4
4000_ ==mulheresMédia 
Ou seja, as mulheres ganham em média R$ 1.000,00. 
Como há mais homens na empresa, a média geral é mais próxima da média masculina. 
 
Resolução - EP 7 
Como não sabemos o número de homens e de mulheres, vamos dizer que são ‘a’ homens e ‘b’ 
mulheres. 
 
Portanto: 100=+ ba (há 100 funcionários na empresa). 
Esta é a primeira equação. 
100=+ ba (I) 
 
Vamos, como de costume, chamar o salário dos homens de H e o das mulheres de M. 
A média dos salários dos homens é R$ 1.000,00. Portanto, somando todos os salários dos 
homens e dividindo por ‘a’ (são ‘a’ homens), temos a média salarial masculina (=1000). 
a
H∑=1000 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
12 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
Multiplicando cruzado: 
aH ×=∑ 1000 
Assim, a soma dos salários de todos os homens é igual a mil vezes o número de homens. 
A média dos salários das mulheres é R$ 900,00. Portanto, somando o salário de todas as 
mulheres e dividindo por ‘b’ (são ‘b’ mulheres), temos a média salarial feminina (=900): 
b
M∑=900 
Multiplicando cruzado: 
bM ×=∑ 900 
A soma dos salários de todas as mulheres é igual a 900 vezes o número de mulheres. 
A média geral é R$ 960,00. Ou seja, somando o salário de todos os homens e de todas as 
mulheres, dividindo pelo número de pessoas (= ba + ), temos a média geral. 
baMH
+
+= ∑∑960 
Multiplicando cruzado: 
)(960 baMH +×=+∑∑ 
Ou seja, a soma de salários de homens e mulheres é igual a 960 vezes o número de pessoas. 
Substituindo as somas de salários de homens e mulheres: 
 
)(9609001000 baba +×=×+× (II) 
 
Esta é a equação II. Temos duas equações e duas variáveis. Há diversas formas de resolver. 
Aqui, vamos fazer o seguinte: 
)(9609001000 baba +×=×+× 
 
Substituímos a×1000 por aa ×+× 900100 
)(9609001000 baba +×=×+×
)(960900900100 babaa +×=×+×+× 
Continuando: 
)(960900900100 babaa +×=×+×+× 
Colocando 900 em evidência: 
)(960)(900100 babaa +×=+×+× 
Lembrando que 100=+ ba 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
13 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
100960100900100 ×=×+× a 
Dividindo todos os termos por 100: 
960900 =+a 
4060 =⇒= ba 
São quarenta mulheres na empresa. 
 
Para quem tem facilidade com contas, esta resolução é rápida. Já outras pessoas preferem, em 
vez de ficar montando essas equações, decorar uma fórmula que dá direto o percentual de 
homens (ou de mulheres). Esta fórmula nada mais é que uma combinação das duas equações 
vistas acima. Aí vai de cada um. Eu, particularmente, prefiro decorar o menos possível. Já tem 
tanta coisa pra decorar pra um concurso. Quanto mais eu puder aliviar a memória, melhor. De 
todo modo, vamos passar a fórmula, para quem assim preferir. 
Vamos chamar a média dos salários das mulheres de M . A média dos salários dos homens de 
H . A média geral, considerando homens e mulheres, de X . O percentual de homens e 
mulheres no conjunto fica: 
%60
100
60
9001000
900960hom__ ==−
−=−
−=
MH
MXensdeperc 
%40
100
40
1000900
1000960__ =−
−=−
−=−
−=
HM
HXmulheresdeperc 
Outra opção é tentar fazer um desenho esquemático, identificando os termos da fórmula. 
 
O tamanho total do segmento de reta é igual a 100. Ele equivale, em módulo, aos 
denominadores de ambas as fórmulas. E os numeradores correspondem, em módulo, às 
diferenças abaixo indicadas: 
 
E temos que ter o cuidado na hora de montar as frações. O número 60, que corresponde à 
diferença entre a média feminina e a geral, vai entrar na fórmula do percentual de homens. O 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
14 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
número 40, correspondente à diferença entre a média masculina e a geral, vai entrar na 
fórmula do percentual de mulheres. 
%60
100
60hom__ ==ensdeperc 
%40
100
40__ ==mulheresdeperc 
Por que é que temos que fazer essas inversões? 
Vamos imaginar uma situação em que a proporção de homens é maior que a de mulheres. 
Nesse caso, a média geral vai estar mais próxima da média masculina. É como se a média 
masculina “puxasse” a média geral mais para o seu lado. 
Do contrário, se tivermos mais mulheres que homens, aí a média geral estará mais próxima da 
média feminina. A média feminina “puxa” a média geral para o seu lado. 
Em resumo, o sexo que detiver a maior proporção “puxará” a média geral para próximo da 
sua média. 
Quanto menor a proporção de mulheres, maior é a distância entre a média feminina e a média 
geral. Assim, uma distância grande está relacionada a uma proporção pequena de 
mulheres. Por conseqüência, uma distância grande (entre a média feminina e a média geral) 
indica que o percentual de homens também é grande. 
Numa situação em que a proporção de mulheres é grande, aí o raciocínio é análogo. Teremos 
que a distância entre a média feminina e a geral será pequena. Assim como será pequeno o 
percentual de homens. 
Deste modo, a distância entre a média feminina e a média geral está relacionada de forma 
direta com a proporção de homens. Quanto maior essa distância, maior a proporção de 
homens. 
Usando um raciocínio análogo, temos que a distância entre a média masculina e a média geral 
está relacionada de forma direta com a proporção de mulheres. 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS - MÉDIA 
EC 2) Fiscal ICMS/SC - 1998 
Uma empresa possui dois técnicos em informática recebendo salários, mensalmente, de R$ 
3.400,00 cada um, quatro economistas recebendo R$ 4.500,00 cada um por mês, um diretor 
de recursos humanos com salário mensal de R$ 7.000,00 e três outros profissionais recebendo 
R$ 5.500,00 cada um por mês. A média, mensal, destes salários é: 
a) 5.830,00 
b) 6.830,00 
c) 2.830,00 
d) 3.830,00 
e) 4.830,00 
 
Resolução: 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
15 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
O nosso rol pode ser escrito assim: 
Rol: 3.400; 3.400; 4.500; 4.500; 4.500; 4.500; 5.500; 5.500; 5.500; 7.000. 
São 10 dados (n = 10) 
A média fica: 
n
X
X
n
i∑
= 1___ 
10
000.7500.5500.5500.4500.4500.4500.4400.3400.3___ ++++++++=X 
830.4
10
300.48___ ==X 
Gabarito: E. 
 
EC 3) Analista Contábil-Financeiro- SEFAZ/CE – 2006 [ESAF] 
O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. 
Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana deste conjunto são, respectivamente: 
a) 3, 6 e 5 
b) 3, 4 e 5 
c) 10, 6 e 5 
d) 5, 4 e 3 
e) 3, 6 e 10 
 
Resolução: 
Para treinar, vamos primeiro fazer o rol. 
ROL: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 9, 10, 10 
Ainda não estudamos o que é moda e mediana. 
Vamos calcular só a média. 
10
∑= iXX (dividimos por 10 porque são dez notas). 
6
10
60
10
101098554333 ==+++++++++=X . 
A média vale 6. 
Gabarito: Média = 6 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
16 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
EC 4) Auditor do Tesouro Municipal – Recife – 2003 [ESAF] 
Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e 
mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para 
os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção 
correta. 
a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. 
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. 
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. 
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. 
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 
 
Resolução: 
Repare que a média de homens é de 1300. A média de mulheres é de 1100. 
Se no conjunto tivéssemos mais homens, a média geral (considerando homens e mulheres) 
estaria mais próxima de 1300. 
Do contrário, se tivéssemos mais mulheres, a média geral estaria mais próxima de 1100. 
Contudo, a média geral deu exatamente no meio entre 1300 e 1100. Portanto, o número de 
homens é igual ao número de mulheres. Nem precisou fazer conta. 
 
De todo modo, para treinarmos, vamos ver como ficaria a resolução. 
Vamos chamar o salário dos homens de H. 
Vamos chamar o salário das mulheres de M. 
 
Vamos supor que são ‘a’ homens e ‘b’ mulheres. 
 
A média dos salários dos homens é igual a R$ 1.300,00. 
O que isto significa? Significa que, se somarmos os salários de todos os homens e dividirmos 
por ‘a’ (são ‘a’ homens), obtemos R$ 1.300,00. 
 
1300=∑
a
H
 
Ou ainda: 
∑∑ ×=⇒= aHa
H
13001300 
Isto quer dizer que a soma dos salários de todos os homens é igual a 1300 vezes o número de 
homens. 
O mesmo vale para as mulheres. A média dos salários das mulheres é de R$ 1.1000. 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
17 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
Portanto: 
∑∑ ×=⇒= bMb
M
11001100 
Por fim, a média geral, de homens e mulheres, é igual a R$ 1.200,00. 
Mas o que é a média geral? É somarmos o salário de todos os homens, de todas as mulheres e 
dividirmos pelo número de pessoas. 
Fica:1200=+
+∑∑
ba
MH
 
Multiplicando cruzado: 
1200)( ×+=+∑∑ baMH 
Substituindo os valores dos somatórios: 
1200)(11001300 ×+=×+× baba 
baba ×+×=×+× 1200120011001300 
bbaa ×−×=×−× 1100120012001300 
ba ×=× 100100 
ba = 
O número de homens é igual ao número de mulheres. 
Outra opção é fazer o desenho que estudamos. 
 
Os percentuais ficam: 
%50
200
100hom__ ==ensdeperc 
%50
200
100__ ==mulheresdeperc 
 
Gabarito: A. 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
18 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
EC 5) Fiscal ISS/SP – 2007 – Questão adaptada. [FCC] 
No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi de R$ 
530,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são respectivamente 
iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. Calcule o percentual de homens entre os funcionários da 
empresa. 
 
Resolução: 
A questão é da Fundação Carlos Chagas. Está adaptada. O enunciado original, este nós 
veremos ainda nesta aula. 
A questão é bem parecida com a anterior. 
A média dos homens é de 600. A das mulheres é de 500. Note que a média geral está mais 
próxima de 500. Portanto, temos mais mulheres do que homens. 
Vamos supor que são 100 funcionários no total. Na verdade nem precisava supor isto. 
Poderíamos supor que seriam 1000, 10, ou qualquer outro número. Ou então, falar 
simplesmente que são ‘n’ funcionários. O resultado seria o mesmo. 
Vamos chamar o salário dos homens de H. 
Vamos chamar o salário das mulheres de M. 
Vamos supor que são ‘a’ homens e ‘b’ mulheres. 
Portanto: 100=+ ba (pois supusemos que são 100 funcionários). 
100=+ ba (equação I) 
A média dos salários dos homens é igual a R$ 600,00. 
O que isto significa? Significa que, se somarmos os salários de todos os homens e dividirmos 
por ‘a’ (são ‘a’ homens), obtemos R$ 600,00. 
600=∑
a
H
 
Ou ainda: 
∑∑ ×=⇒= aHa
H
600600 
Isto quer dizer que a soma dos salários de todos os homens é igual a 600 vezes o número de 
homens. 
O mesmo vale para as mulheres. A média dos salários das mulheres é de R$ 500. 
Portanto: 
∑∑ ×=⇒= bMb
M
500500 
Por fim, a média geral, de homens e mulheres, é igual a R$ 530. 
Mas o que é a média geral? É somarmos o salário de todos os homens, de todas as mulheres e 
dividirmos pelo número de pessoas. 
Fica: 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
19 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
530=+
+∑∑
ba
MH
 
Multiplicando cruzado: 
530)( ×+=+∑∑ baMH 
Substituindo os valores dos somatórios: 
530)(500600 ×+=×+× baba (equação II) 
Pronto. Temos duas equações e duas variáveis. Há diversas formas de encontrar os valores de 
‘a’ e ‘b’. 
Vamos fazer o seguinte: 
Vamos substituir a×600 por aa ×+× 500100 
530)(500600 ×+=×+× baba
530)(500500100 ×+=×+×+× babaa 
 
Continuando a resolução: 
530)(500500100 ×+=×+×+× babaa 
Colocando 500 em evidência: 
530)()(500100 ×+=+×+× babaa 
Lembrando que 100=+ ba : 
530100100500100 ×=×+× a 
Dividindo todos os termos por 100: 
530500 =+a 
30=a 
Portanto, de cada 100 funcionários, 30 são homens. Logo, o percentual de homens é de 30%. 
 
Outra opção é usar as fórmulas que vimos lá no EP 7. 
%30
500600
500530hom__ =−
−=−
−=
MH
MXensdeperc 
%70
100
70
600500
600530__ =−
−=−
−=−
−=
HM
HXmulheresdeperc 
 
Gabarito: 30% são homens 
 
EC 6) Fiscal ICMS/DF – 2001 [FCC] 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
20 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
Em determinado mês, a média aritmética dos pagamentos de certo tributo, efetuados por 53 
empresas, foi de R$ 2.340,00. Acrescentando-se o pagamento feito por uma nova empresa, a 
média passou a ser R$ 2.480,00. O valor do tributo pago por esta empresa foi de: 
a) 140,00 
b) 990,00 
c) 5.820,00 
d) 7.420,00 
e) 9.900,00 
 
Resolução: 
Antes de fazer a questão, olhemos atentamente as alternativas. Dá pra descartar alguma sem 
precisar fazer contas? 
Sim! É possível descartar as letras ‘a’ e ‘b’. 
Com as 53 empresas, a média era de R$ 2.340,00. Depois, uma qüinquagésima quarta 
empresa se juntou às 53 iniciais. E a média aumentou para R$ 2.480,00. 
Ora, se a média aumentou, é porque o tributo pago por esta última empresa foi maior que a 
média anterior. Ou seja, o tributo pago pela última empresa foi maior que R$ 2.340,00. 
E antes mesmo de resolver a questão, podemos já arriscar um chute. Uma única empresa 
aumentou a média em mais de cem reais. Ela deve ter pago um tributo bem alto. Portanto, se 
fôssemos chutar, sem fazer conta, bons palpites seriam as alternativas D e E. A letra E é 
melhor que a D. Isto porque a letra B é igual à letra E dividido por 10, possivelmente 
esperando um erro de conta do candidato. 
Vamos à resolução. No início, quando eram apenas 53 empresas, a média podia ser escrita 
como: 
53
53
1
∑
=
iX
X 
Substituindo o valor de X por 2.340, temos: 
234053
53
2340
53
1
53
1 ×=⇒= ∑∑ ii X
X
 (I) 
O que isto significa? Significa que se somarmos os tributos pagos pelas 53 empresas, o total 
obtido será 53 x 2340. 
Depois que a última empresa pagou seu tributo, a média passa a ser escrita como: 
54
'
54
1
∑
=
iX
X 
Modifiquei o símbolo da média só para diferenciar da média anterior. 
Substituindo o valor de 'X por 2.480, temos: 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
21 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
248054
54
2480
54
1
54
1 ×=⇒= ∑∑ ii X
X
 (II) 
Isto significa que, somando os tributos pagos pelas 54 empresas (considerando as 53 empresas 
iniciais e mais a última empresa a pagar tributo), o resultado obtido será 54 x 2480. 
Na equação (II) eu tenho o total pago pelas 54 empresas. Na equação (I) eu tenho o total pago 
pelas 53 empresas iniciais. Se subtrairmos um pelo outro obtemos o que? Obtemos o tributo 
pago pela última empresa (X54). Ficamos com: 
54
53
1
54
1
XXX ii =−∑∑ 
Caso tenha ficado difícil de entender, é como se estivéssemos fazendo a seguinte conta: 
(X1 + X2 + X3 + ... + X52 + X53 + X54) – (X1 + X2 + X3 + ... + X52 + X53) = X54. 
Continuando: 
54
53
1
54
1
XXX ii =−∑∑ 
54234053248054 X=×−× 
Se você quiser fazer a conta e marcar a resposta, sem problemas, vai dar certo. 
Só vou dar uma sugestão. Na conta acima, temos duas multiplicações envolvendo números de 
quatro dígitos. São trabalhosas de fazer. Tomam um tempo. Além das multiplicações, temos 
uma subtração. Seria ótimo se eu pudesse primeiro fazer a subtração, diminuir os valores, e 
depois fazer a multiplicação. Com esta idéia, podemos fazer o seguinte: 
23405324805454 ×−×=X
234053248053248054 ×−×+=X 
Continuando a solução: 
234053248053248054 ×−×+=X 
Colocando o ‘53’ em evidência: 
)23402480(53248054 −×+=X 
)140(53248054 ×+=X 
Pronto, agora temos apenas uma multiplicação e envolvendo números menores. 
7420248054 +=X 
E nem precisamos fazer essa soma. Já sabemos que o tributo pago pela última empresa será 
igual a 7.420 mais 2.480. Logo, esse valor será maior que 7.420. Portanto, a única alternativa 
possível é a letra E. 
990054 =X 
Gabarito: E. 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
22 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
 
EC 7) Perito Criminal Federal (Engenharia Química) – PF/2004. [CESPE] 
 Concentração em μg/g Desvio padrão 
Elemento Casaco Vidraça 
As 132 122 9,7 
Co 0,54 0,61 0,026 
La 4,01 3,60 0,20 
Sb 2,81 2,77 0,26 
Th 0,62 0,75 0,044 
Um perito criminal recebeu em seu laboratório, como principal evidência em um caso 
criminal, pequenos fragmentos de vidro encontradosincrustados no casaco de um suspeito de 
assassinato. Esses fragmentos são idênticos em composição a uma rara vidraça belga de vidro 
manchado quebrada durante o crime. O perito decidiu então determinar os elementos As, Co, 
La, Sb e Th no vidro incrustado no casaco do suspeito para verificar se este era do mesmo 
material da vidraça belga. A técnica escolhida para essas determinações foi a espectroscopia 
de absorção atômica. As médias e os desvios-padrão das análises em triplicata desses cinco 
elementos nas amostras de vidro retiradas do casaco, bem como os valores conhecidos para a 
vidraça belga são mostrados na tabela acima. Considerando essa situação hipotética, que 
73,13 = e que o parâmetro t de Student para 2 graus de liberdade e 95% de confiança é 
igual a 4,303, julgue os itens a seguir, que se referem às técnicas espectroscópicas de análise e 
à análise estatística de dados. 
[...] 
A média da concentração de As pode ter sido obtida a partir dos valores individuais 121 μg/g, 
130 μg/g e 143 μg/g. 
 
Resolução: 
Para o elemento As, foram obtidas três amostras. A média da concentração dessas três 
amostras foi de 132. 
A questão diz que esta média pode ter sido obtida a partir dos valores 121, 130 e 143. 
Fazendo a média destes três valores, temos: 
33,131
3
143130121 =++=X . 
Portanto a alternativa está incorreta. 
Gabarito: Errado 
 
EC 8) Analista Judiciário – TRT 2ª Região/2008 [FCC] 
A média aritmética dos salários dos 200 funcionários de uma empresa é igual a R$ 1.500,00. 
Caso haja a demissão de todos os funcionários que ganham, cada um, R$ 2.000,00 e admissão 
de 10 funcionários ganhando, cada um, R$ 1.200,00, a média aritmética fica com o valor de 
R$ 1.325,00. Isto significa que o número de funcionários da empresa passa a ser de: 
a) 135 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
23 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
b) 140 
c) 150 
d) 160 
e) 170 
 
Resolução: 
Inicialmente, a média era dada por: 
200
500.1 ∑= X 
Logo: 
000.300200500.1 =×=∑ X 
A soma dos salários de todos os funcionários é igual a R$ 300.000,00. 
Depois das demissões, o salário total diminui. Se foram demitidos k funcionários, e cada um 
deles ganhava R$ 2.000,00, então a nova soma de salários fica: 
k×− 000.2000.300 
Em seguida, temos as admissões. São contratados 10 funcionários e cada um deles ganha R$ 
1.200,00. O novo total passa a ser de: 
10200.1000.2000.300 ×+×− k 
Nesta situação, temos o número de funcionários na empresa é igual a: 
10200 +− k 
E a nova média salarial fica: 
10200
10200.1000.2000.300325.1 +−
×+×−=
k
k 
k
k
−
×−=
210
000.2000.312325.1 
Multiplicando cruzado: 
kk ×−=×−× 000.2000.312325.1210325.1 
50=k 
Descobrimos que foram demitidos 50 funcionários. Como, em seguida, foram contratados 10 
empregados, então o número de funcionários na empresa passou a ser de: 
10200 +− k 160= 
Gabarito: D 
 
5 Média Geométrica e Harmônica 
Este assunto não é muito cobrado em concursos, mas não custa nada comentar. 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
24 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
Aqui, também estamos interessados em calcular um valor médio, assim como feito com a 
média aritmética. Só que a conta que fazemos é outra. 
Por definição, a média geométrica de n valores não negativos (X1, X2, ..., Xn) é: 
n
n
i
i
n
n XXXXG ∏
=
=×××=
1
21 ... 
Por definição, a média harmônica de n valores diferentes de zero (X1, X2, ..., Xn) é: 
1
1
11
−
=
− ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑n
i
iXn
H 
Fórmulas meio complicadas, não? 
Vamos ver alguns exemplos que fica mais fácil. 
Suponhamos que nossos dados são apenas: 3 e 12. Apenas dois números (pra facilitar as 
contas). 
Para calcular a média aritmética, conforme vimos na seção anterior, ficamos com: 
5,7
2
123 =+=X 
A média geométrica é diferente. Para obtê-la, multiplicamos todos os dados. Depois tiramos a 
raiz “enésima”. Como neste caso são apenas dois valores, será a raiz quadrada. 
61232 =×=G 
A média harmônica é um pouco mais complicada. Vamos dividir em três passos. 
Primeiro passo: achamos os recíprocos de cada valor. 
Para obter o recíproco de um número, basta inverter seu numerador com seu denominador. 
Vamos a um exemplo. 
Tomemos o número 
3
2 . Seu recíproco é 
2
3 . 
No nosso caso, os valores são 3 e 12. 
O recíproco de 3 é 
3
1 . 
O recíproco de 12 é 
12
1 . 
 
Segundo passo: calculamos a média aritmética dos recíprocos. 
Ficamos com: 
24
5
2
12
14
2
12
1
3
1
=
+
=
+
 
Terceiro passo: calculamos o recíproco do valor obtido acima. Pronto. Esta é a média 
harmônica. 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
25 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
5
24=H 
8,4=H 
Se resumirmos todos esses três passos numa frase, podemos dizer que a média harmônica é o 
recíproco da média aritmética dos recíprocos dos valores. 
Agora o que mais cai em concurso não é essa parte de contas. É simplesmente saber o 
seguinte: 
Para qualquer conjunto de n números positivos, a média harmônica é menor ou igual à média 
geométrica e esta é menor ou igual à média aritmética. A igualdade só ocorre se todos os 
números forem iguais entre si. 
Vamos olhar no caso dos números 3 e 12. A média aritmética foi de 7,5. Foi a maior das 
médias. A média harmônica foi de 4,8. Foi a menor das três. E a média geométrica foi de 6, o 
valor intermediário. 
Se, em vez de 3 e 12, os valores fossem 12 e 12, aí teríamos: 
12=== HGX 
Quando todos os valores são iguais, as médias coincidem. 
Resumindo, o que geralmente cai em prova é saber que: 
XGH ≤≤ (e a igualdade só ocorre se todos os dados forem iguais) 
 
→ 
COMPARAÇÃO DAS MÉDIAS: 
XGH ≤≤ (e a igualdade só ocorre se todos os dados forem iguais) 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
EP 8. Para a seqüência (4,6,9), calcule as médias aritmética, harmônica e geométrica. 
 
EP 9. Para a seqüência (4,4,4), calcule as médias aritmética, harmônica e geométrica. 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Resolução - EP 8 
Média aritmética: 
3
19
3
964
3
=++== ∑ iXX 
Média geométrica: 
6216964 33 ==××=G 
 
Média harmônica: 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
26 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
Primeiro passo: encontrando os recíprocos: 
9
1,
6
1,
4
1 
Segundo passo: média dos recíprocos: 
108
19
3
1
36
469
3
9
1
6
1
4
1
=×++=
++
 
Terceiro passo: recíproco do valor acima: 
19
108=H 
 
Resolução EP 9: 
Como todos os valores são iguais, todas as médias são iguais a 4. 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS - MÉDIAS GEOMÉTRICA E HARMÔNICA 
 
EC 9) Analista Contábil - SEFAZ/CE – 2006 [ESAF] 
 Indicando por: 
- X : a média aritmética de uma amostra; 
- mg : a média geométrica da mesma amostra; e 
- mh : a média harmônica também da mesma amostra. 
E desde que todos os valores da amostra sejam positivos e diferentes entre si, é verdadeiro 
afirmar que a relação entre estas médias é: 
a) X < mg < mh . 
b) X > mg > mh . 
c) mg < X < mh . 
d) X < mg = mh . 
e) X = mg = mh . 
 
Resolução: 
Aplicação direta do nosso “resumo” visto acima. Como o enunciado informou que todos os 
valores são diferentes entre si, então a igualdade entre as médias fica excluída. 
Gabarito: B. 
 
EC 10) AFRF – 2005 [ESAF] 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
27 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética ( X ), geométrica (G) e 
harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos(X1, X2, ..., Xn). 
a) XHG ≤≤ , com XHG == somente se os n valores forem todos iguais. 
b) HXG ≤≤ , com HXG == somente se os n valores forem todos iguais. 
c) HGX ≤≤ , com HGX == somente se os n valores forem todos iguais. 
d) XGH ≤≤ , com XGH == somente se os n valores forem todos iguais. 
e) GHX ≤≤ , com GHX == somente se os n valores forem todos iguais. 
 
Resolução: 
Outra questão da ESAF. Aplicação direta do resumo visto acima. 
Gabarito: D. 
 
EC 11) Estatístico ENAP – 2006 [ESAF] 
O valor mais próximo da média harmônica do conjunto de dados: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 
3} é igual a 
a) 6. 
b) 6,5. 
c) 4,794. 
d) 10. 
e) 3,9. 
 
Resolução: 
Os recíprocos são: 
1/10; 1/5; 1/3; 1/4; 1/5; 1/10; 1/3; 1/8; 1/9; 1/3. 
Fazendo a média desses valores, temos: 
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++++++×
3
1
9
1
8
1
3
1
10
1
5
1
4
1
3
1
5
1
10
1
10
1 
Agrupando os termos iguais: 
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×+×+×+++×
10
12
5
12
3
13
9
1
8
1
4
1
10
1 
Simplificando ‘2’ com ‘10’: 
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +×+×+++×
5
1
5
12
3
13
9
1
8
1
4
1
10
1 
Agrupando ‘2/5’ com ‘1/5’; agrupando ‘1/4’ com ‘1/8’: 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
28 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×+×+++×=
5
13
3
13
9
1
8
1
8
2
10
1 
Fazendo as divisões: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++×= 6,01
9
1375,0
10
1 
Observe que 1/9 é uma fração mais “complicada”. Dá uma dízima periódica. Vamos 
aproximar 1/9 por 0,11. 
)085,2(
10
16,01
9
1375,0
10
1 ≅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++× 
E a média harmônica fica: 
085,2
10≅H 
Outra divisão “complicada” de fazer. Vamos aproximar. Vamos trocar o denominador 2,085 
por 2. 
5
2
10
085,2
10 =≅≅H 
Quando nós trocamos o denominador 2,085 por 2, nós aumentamos um pouco a nossa fração. 
Portanto, na verdade, a média harmônica é um pouco menor que 5. 
O número mais próximo disto é o 4,794. 
Gabarito: C. 
 
6 Média ponderada 
A média ponderada é uma variação da média aritmética. Vamos ver do que se trata por meio 
de um exemplo. 
Num curso, o aluno faz quatro provas. A sua nota final é a média dessas quatro provas. 
Suponha que suas notas foram: 10, 9, 7, 6. 
A nota final fica: 
8
4
67910 =+++=NF 
Ok, até aqui nenhuma novidade. Fizemos a média aritmética normal, a mesma que vimos no 
começo da aula. 
Esse mesmo aluno faz um outro curso, em que são aplicadas apenas duas provas. Suas notas 
são: 9,5 e 7,5. 
A média aritmética dessas notas fica: 
5,8
2
5,75,9 =+ 
Só que, nesse segundo curso, a nota final não é calculada simplesmente por meio da média 
aritmética. Isso porque a primeira prova é de múltipla escolha. A segunda é discursiva. Como 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
29 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
a segunda prova é mais complicada, mais difícil, ela “vale mais”. Ela tem peso três. A 
primeira prova, mais simples, tem peso 1. O que significa isso? 
Significa que, na hora de calcular a nota final, a segunda prova vale três vezes mais. 
A nota final, nesse segundo curso, é igual a: 
8
4
5,735,91' =×+×=NF 
É como se a segunda prova fosse “triplicada”. É como se estivéssemos, na verdade, fazendo 
uma média aritmética entre os valores 9,5; 7,5; 7,5; 7,5. Triplicamos a segunda nota porque 
ela tem peso 3. 
 
( )5,735,91
4
1' ×+××=NF
primeira nota
segunda nota
peso da primeira nota
peso da segunda nota
soma dos pesos
(=1+3)
 
Essa nota final, neste segundo curso, é uma média ponderada das notas das duas provas. É 
uma modificação da média aritmética. Na média ponderada, cada valor tem um peso 
diferente. 
 
Vamos relembrar do EP 5. Seu enunciado era: 
Numa empresa, temos 4 homens e 5 mulheres. A média salarial dos homens é de R$ 825,00. 
A média salarial das mulheres é R$ 600,00. Qual a média geral, de homens e mulheres? 
 
Vamos reescrever a solução? Ficou assim: 
Chamamos os salários dos homens de H. 
Somando o salário de todos os homens e dividindo por 4, obtemos justamente a média de 
salário dos homens. Fica assim: 
4
825 ∑= H 
Multiplicando cruzado: 
8254×=∑H 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
30 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
Vamos chamar de M o salário das mulheres. Se somarmos o salário de todas as mulheres e 
dividirmos por 5, obtemos a média de salário para as mulheres. Fica assim: 
6005
5
600 ×=⇒= ∑∑ MM 
O exercício pede a média geral, de homens e mulheres. 
Para obter a média geral, somamos os salários de todos os homens, de todas as mulheres, e 
dividimos por 9 (são nove pessoas ao todo). 
Fica assim: 
9
_ ∑∑ += MHgeralMédia 
Substituindo os valores: 
700
9
60058254_ =×+×=geralMédia 
Observe que a média geral é uma média ponderada entre as médias dos homens e das 
mulheres. O peso da média dos homens é o número de homens. O peso da média das 
mulheres é o número de mulheres. 
 
média dos 
homens
média das 
mulheres
peso da média dos 
homens peso da média das 
mulheres
soma dos pesos
(=4+5)
( ) 70060058254
9
1_ =×+××=geralMédia
 
Ainda nesta aula veremos mais exercícios parecidos com este. 
 
7 Propriedades da média aritmética 
Voltemos à nossa pesquisa de salários dos moradores do bairro Nova Vila. 
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
Suponhamos que todas essas dez pessoas receberam um aumento salarial de R$ 1.000,00. 
Agora, seus salários são: 
Salários após o aumento: 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8. 
Qual a nova média? 
A nova média será: 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
31 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
6,4
10
8765543332 =+++++++++=X 
O salário médio agora é de R$ 4.600,00. 
Antes, com os salários antigos, a média era de R$ 3.600,00. Agora, todos os dados foram 
somados em R$ 1.000,00. E a média também foi somada de R$ 1.000,00. 
 
Suponhamos agora que todos esses funcionários, além do salário normal (já reajustado em R$ 
1.000,00), vão receber em dezembro o décimo terceiro integral. Assim, no mês de dezembro, 
os salários vão ficar: 
Salário mais décimo terceiro: 4, 6, 6, 6, 8, 10, 10, 12, 14, 16. 
A nova média fica: 
2,9
10
161412101086664 =+++++++++=X 
 
Note que todos os valores foram dobrados. A média, que era de R$ 4.600,00, passou a R$ 
9.200,00. Portanto, a média também dobrou. 
 
Podemos resumir essas propriedades da seguinte forma: 
· somando ou subtraindo uma constante c de cada elemento do conjunto de dados, a média 
do novo conjunto fica aumentada ou diminuída de c. 
· multiplicando ou dividindo cada elemento do conjunto de dados por uma constante c, a 
média do novo conjunto fica multiplicada ou dividida por c. 
 
Outras duas propriedades da média são: 
· a média aritmética é o valor em relação ao qual é mínima a soma dos quadrados dos 
desvios. 
· a soma de todos os desvios em relação à média aritmética é igual a zero. 
Sobre essas duas últimas propriedades, por enquanto vai ficar só o registro de que elas 
existem. Explicaremos com mais detalhes na aula de medidas de dispersão. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS – PROPRIEDADES DA MÉDIA 
 
EP 10. Calcule a média aritmética da seguinte seqüência: {1, 3, 5} 
 
EP 11. Calcule a média aritmética da seguinte seqüência: {3, 5, 7} (observe que esta foi 
obtida a partir da seqüência anterior, somando 2 a todos os elementos). 
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
32 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
EP 12. Calcule a média aritmética da seguinte seqüência: {6, 10, 14} (observe que esta 
seqüência foi obtida a partir daanterior, multiplicando todos os elementos por 2). 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Resolução EP 10: 
3
3
531 =++=X 
 
Resolução EP 11: 
5
3
753 =++=X . 
Repare que, como somamos 2 a todos os elementos (em relação à seqüência anterior), a média 
também foi adicionada de 2. Ou seja, a média sofre a mesma alteração sofrida pelos dados. 
 
Resolução EP 12: 
10
3
14106 =++=X 
Repare que, como multiplicamos por 2 todos os elementos (em relação à seqüência anterior), 
a média também foi multiplicada por 2. Ou seja, a média sofre a mesma alteração sofrida 
pelos dados. 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS – PROPRIEDADES DA MÉDIA 
 
EC 12) Auditor Fiscal ICMS/BA – 2004 [FCC] 
Uma administradora de locação de imóveis, com o objetivo de analisar o mercado em sua 
região, procedeu às seguintes operações: 
I. Multiplicou por dois os valores de todos os alugueis de sua carteira 
II. Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no item I. 
III. Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no item II 
IV. Calculou a média aritmética de todos os valores apurados no item III. 
Se o valor encontrado no item IV foi de 3/10, então a média aritmética dos valores dos 
alugueis em reais é: 
a) 2300 
b) 1700 
c) 1500 
d) 1300 
e) 750 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
33 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
 
Resolução: 
Vamos chamar a média dos aluguéis de X . 
Primeiro, todos os valores são dobrados. Ou seja, a média desses novos valores também será 
dobrada. 
Média dos valores obtidos no item I: X2 
 
Depois, todos os valores são subtraídos por R$ 1.200,00. Ou seja, a média desses novos 
valores também será reduzida de R$ 1.200,00. 
Média dos valores obtidos no item II: 12002 −X 
 
Por fim, todos os valores são divididos por R$ 1.000,00. Portanto, a média também ficará 
dividida por mil. 
Média dos valores obtidos em III: 
1000
12002 −X 
O enunciado me disse que a média dos valores obtidos no item III é de 3/10. Portanto: 
750
10
3
1000
12002 =⇒=− XX 
Gabarito: E. 
 
EC 13) Fiscal ISS/SP – 2007 [FCC] 
No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi de R$ 
530,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são respectivamente 
iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No próximo mês, todos os homens receberão um adicional de 
R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 10%, sobre os salários atuais. Supondo 
que o quadro de funcionários não se alterou, após esses reajustes, o salário médio mensal de 
todos os funcionários passará a ser igual a: 
a) 540,00 
b) 562,00 
c) 571,00 
d) 578,00 
e) 580,00 
 
Resolução: 
Lá no EC 5) nós vimos que, nesta empresa, de cada 100 funcionários, 30 são homens. 
Suponhamos que a empresa tenha 100 funcionários. Inicialmente, temos que a média dos 
homens é de R$ 600,00 e a média das mulheres é R$ 500,00. 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
34 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
Todos os homens recebem um adicional de R$ 20,00. Ora, se todos os homens têm seus 
salários acrescidos de R$ 20,00, isto significa que a média dos homens sofrerá a mesma 
alteração. A nova média dos homens ficará igual a R$ 620,00. 
 
Ok, a média dos salários dos homens é igual a 620. Significa que, somando todos os salários 
dos homens (após o aumento) e dividindo por 30, obtemos 620. 
30620
30
620 ×=⇒= ∑∑ HH 
Todas as mulheres terão seus salários multiplicados por 1,1. Isto porque aumentar algo em 
10% é o mesmo que multiplicar por 1,1. Portanto, a média dos salários das mulheres sofrerá a 
mesma alteração. Será também multiplicada por 1,1, passando a ser igual a R$ 550,00. Assim, 
somando os salários das mulheres (após o aumento) e dividindo por 70, obtemos 550. 
70550
70
550 ×=⇒= ∑∑ MM 
A média geral é simplesmente somar todos os salários dos homens, todos os salários das 
mulheres, e dividir por 100. 
 
571385186755362
100
7055030620
100
_ =+=×+×=×+×=+= ∑∑ MHgeralMédia 
Gabarito: C. 
Na verdade, nem precisava fazer a conta final. Repare na soma: 385186 + 
O algarismo das unidades da soma será igual a 1 (advindo da soma de 6 com 5). Pronto, só aí 
já dá para marcar letra C. 
Outra opção para calcular a média geral era lembrar que ela é uma média ponderada entre as 
médias dos homens e das mulheres (conforme vimos lá na página 28). E os pesos são, 
respectivamente, o número de homens e o número de mulheres. 
Ficaria assim: 
( ) 5715507062030
100
1_ =×+××=geralMédia 
 
EC 14) Assessor especializado – IPEA/2004 [FCC] 
No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi de R$ 
463,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são, respectivamente, 
iguais a R$ 580,00 e R$ 400,00. No próximo mês, todos os homens receberão um abono de 
R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 25% sobre os salários atuais. Supondo 
que o quadro de funcionários não se alterou, após esses reajustes o salário médio mensal de 
todos os funcionários passará a ser igual a: 
a) R$ 525,00 
b) R$ 530,00 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
35 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
c) R$ 535,00 
d) R$ 542,00 
e) R$ 545,00 
 
Resolução: 
Vamos primeiro nos concentrar na situação inicial, antes dos reajustes. 
A média dos homens é de 580. A das mulheres é de 400. Note que a média geral está mais 
próxima de 400. Portanto, temos mais mulheres do que homens. 
Vamos novamente supor que são 100 funcionários no total. Lembrando que nem precisava 
supor isto. Poderíamos supor que seriam 1000, 10, ou qualquer outro número. Ou então, falar 
simplesmente que são ‘n’ funcionários. O resultado seria o mesmo. 
Vamos chamar o salário dos homens de H. 
Vamos chamar o salário das mulheres de M. 
 
Vamos supor que são ‘a’ homens e ‘b’ mulheres. 
Portanto: 100=+ ba (pois supusemos que são 100 funcionários). 
100=+ ba (equação I) 
A média dos salários dos homens é igual a R$ 580,00. 
O que isto significa? Significa que, se somarmos os salários de todos os homens e dividirmos 
por ‘a’ (são ‘a’ homens), obtemos R$ 580,00. 
580=∑
a
H
 
Ou ainda: 
∑∑ ×=⇒= aHa
H
580580 
Isto quer dizer que a soma dos salários de todos os homens é igual a 580 vezes o número de 
homens. 
O mesmo vale para as mulheres. A média dos salários das mulheres é de R$ 400. 
Portanto: 
∑∑ ×=⇒= bMb
M
400400 
Por fim, a média geral, de homens e mulheres, é igual a R$ 463. 
Mas o que é a média geral? É somarmos o salário de todos os homens, de todas as mulheres e 
dividirmos pelo número de pessoas. 
Fica: 
463=+
+∑∑
ba
MH
 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
36 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
Multiplicando cruzado: 
463)( ×+=+∑∑ baMH 
Substituindo os valores dos somatórios: 
463)(400580 ×+=×+× baba (equação II) 
Pronto. Temos duas equações e duas variáveis. Há diversas formas de encontrar os valores de 
‘a’ e ‘b’. 
Vamos fazer o seguinte: 
Vamos substituir a×580 por aa ×+× 400180 
463)(400400180 ×+=×+×+× babaa 
Colocando 400 em evidência: 
463)()(400180 ×+=+×+× babaa 
Lembrando que 100=+ ba : 
463100100400180 ×=×+× a 
Dividindo todos os termos por 100: 
4634008,1 =+× a 
35=a 
Portanto, de cada 100 funcionários, 35 são homens. Logo, o percentual de homens é de 35%. 
 
Outra opção de resolução é usar as fórmulas que vimos lá no EP 7. 
%35
180
63
400580
400463hom__ ==−
−=−
−=
MH
MXensdeperc 
%65%35%100__ =−=mulheresdeperc 
 
Pronto, já sabemos qual o percentual de homens e de mulheres na empresa. 
Vamos agora paraa segunda situação, após os reajustes. 
Os homens recebem R$ 20,00 a mais. Ou seja, estamos aumentando todos os salários dos 
homens em R$ 20,00. Consequentemente, a média dos salários dos homens também aumenta. 
Vai para R$ 600,00 (=580 + 20). 
As mulheres têm um reajuste de 25%. Consequentemente, a média feminina sofre a mesma 
variação. Também aumenta 25%. Vai para R$ 500,00 (=400 + 25% de 400). 
 
A nova média geral é simplesmente a média ponderada entre a média dos homens e a média 
das mulheres. Os pesos são o percentual de homens e o percentual de mulheres. 
535
100
5006560035 =×+× 
Gabarito: C. 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
37 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
 
EC 15) Analista – Área documentação. Especialidade – Estatística – MPU/2007 [FCC] 
Dados os conjuntos de números P = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e Q = {220, 225, 230, 235, 240, 245}, 
pode-se afirmar, de acordo com as propriedades da média, que a média dos elementos de Q é 
igual a: 
a) constante 220 somada ao produto da média dos elementos de P por 5. 
b) média dos elementos de P mais a constante 220. 
c) média dos elementos de P multiplicada por uma constante arbitrária. 
d) média dos elementos de P mais a constante 220 e esse último resultado multiplicado por 5. 
e) média dos elementos de P mais a constante 200 
 
Resolução: 
Cada elemento de Q pode ser obtido a partir de P da seguinte forma: 
I – multiplicamos por 5 
II – somamos 220. 
Vamos pegar os primeiros valores. 
220220500 11 =+×=⇒= QP 
Vamos pegar o segundo valor de P e o segundo valor de Q: 
225220511 22 =+×=⇒= QP 
Agora, vamos para o terceiro valor de P e o terceiro valor de Q: 
230220522 32 =+×=⇒= QP 
E assim por diante. 
Generalizando, para cada valor de P, podemos obter o respectivo valor de Q: 
2205 +×= PQ 
Já vimos que sempre que multiplicamos, dividimos, somamos ou subtraímos uma constante 
de cada um dos dados, a média sofre a mesma alteração. 
Então a média de Q fica: 
2205 +×= PQ 
A média de Q é igual à média de P, multiplicada por 5 e somada com 220. 
Esse procedimento está descrito na letra A. 
Gabarito: A. 
 
EC 16) Analista BACEN/2006 – Área 5 [FCC] 
A média aritmética dos salários dos 100 empregados em uma empresa é de R$ 1.500,00. Na 
hipótese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2.500,00, e 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
38 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
ser concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salários remanescentes, a 
nova média aritmética dos salários será de: 
a) R$ 1.375,00 b) 1.350,00 c) R$ 1.345,00 d) 1.320,00 e) 1.300,00 
 
Resolução: 
A média inicial era de R$ 1.500,00. E como obtemos essa média? Somamos todos os 100 
salários e dividimos por 100. 
000.150
100
1500
100
1
100
1 =⇒= ∑∑
=
=
i
i
i
i
X
X
 
A soma de todos os 100 salários é de R$ 150.000,00. 
Foram demitidos 20 funcionários que ganhavam, cada um, o salário de R$ 2.500,00. A soma 
dos salários desses 20 funcionários é: 
000.50500.220 =× 
Agora, a soma dos salários dos oitenta funcionários remanescentes fica: 
000.100000.50000.150 =− 
E a nova média fica: 
00,250.1
80
000.100
80
80
1 ==
∑
=i
iX
 
A nova média é de 1.250,00. 
Depois disso, todos os funcionários ganham um reajuste de 10%. Portanto, a média sofre a 
mesma alteração, e também é aumentada em 10%. 
375.11,1250.1 =× 
Gabarito: A. 
 
8 Mediana 
Mediana é outra medida de posição. Assim como a média aritmética, também é uma medida 
de tendência central. O símbolo que vamos adotar para mediana é ‘D’. 
Mediana nada mais é que o termo do meio da minha seqüência de dados. Imaginemos o 
seguinte rol: 2, 7, 8, 11, 13. 
São cinco elementos. O do meio é o terceiro. Portanto, a mediana para este conjunto de dados 
é: 
8=D 
Repare que a mediana divide a série em duas partes com a mesma quantidade de dados. À 
esquerda do número 8 temos dois valores (2 e 7). À direita do número 8 também temos dois 
valores (11 e 13). 
Para o exemplo que estamos trabalhando desde o início da aula, o rol é: 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
39 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
Quem é a mediana? 
Neste rol, o número de dados é par. Ou seja, não tem um termo que seja o do meio. Nestes 
casos, adotamos o seguinte procedimento: 
1 – tomamos os dois termos centrais (neste caso, o quinto e o sexto elemento) 
2 – fazemos a média entre eles. 
O quinto elemento é 3 (X5 = 3). O sexto elemento é 4 (X6 = 4). 
A mediana fica: 
5,3
2
43 =+=D 
Quando a série tem um número ímpar de elementos, fatalmente a mediana fará parte do 
conjunto de dados. Como existirá um termo do meio, ele será a mediana. 
Quando a série tem um número par de elementos, a mediana não necessariamente fará parte 
do conjunto de dados. Ela foi simplesmente resultado de uma conta. 
A mediana, além de ser uma medida de tendência central, também é uma medida separatriz. 
Ela separa a série de dados de forma bem específica, em duas partes com mesmo número de 
elementos. 
Por falar em medidas separatrizes, a mediana é a única que nós veremos (ao menos por 
enquanto). As demais ficam para a aula 3. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
EP 13. Encontre a mediana para os seguintes conjuntos de dados: 
a) 1, 2, 5, 4, 6, 2, 3, 3, 3 
b) 2, 8, 5, 1 
c) 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 40, 40 
 
Resolução do EP 13. 
a) A seqüência tem nove termos. A mediana é simplesmente o termo central, ou seja, o quinto 
termo. O quinto termo é o seis. Portanto: 
6=D 
 
Certo??? 
 
ERRADO! 
 
Antes de fazermos qualquer coisa com a série de dados, temos que passá-la para um ROL, 
colocando os termos em ordem crescente. 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
40 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
ROL: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6 
Pronto. Agora a seqüência está ordenada. O quinto termo é o ‘3’. 
3=D 
 
b) Primeiro, achemos o ROL. 
ROL: 1, 2, 5, 8. 
A seqüência tem quatro termos (número par). Não há termo central. Fazemos a média dos 
dois termos centrais. 
5,3
2
52 =+=D 
 
c) ROL: 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 40, 40 
São vinte e um termos. O do meio é o décimo primeiro. 
3=D 
 
Apenas por curiosidade, vamos calcular a média deste conjunto. 
52,7
21
158
21
=== ∑ iXX 
A mediana deu 3. É uma medida de tendência central. Nós vimos lá na página 7 desta aula 
que medidas de tendência central nos dão um indicativo de valores em torno dos quais os 
dados giram. Portanto, tomando a mediana, dizemos que os dados giram em torno de 3. 
Mas a média também é uma medida de tendência central. Tomando apenas a média, dizemos 
que os dados giram em torno de 7,52. 
Como pode? Os dados giram em torno de 3 ou 7,52??? Na verdade, as medidas de tendência 
central não precisam necessariamente coincidir. Elas coincidem quando a seqüência for 
simétrica. Ainda falaremos sobre simetria/assimetria mais adiante. 
Média e mediana são obtidas por meios diferentes. A primeira resulta da soma de todos os 
valores, dividido pelo número de dados. A segunda resulta de uma contagem, em que 
tomamos o termo do meio. Cada uma delas procura expressar a tendência central, mas de 
forma distinta. 
Suponha que esta série de dados da letra C represente os salários dos funcionários de uma 
dada empresa, em números de salários mínimos. 
Assim, os quatro primeiros funcionários ganhariam 1 salário mínimo. Os seis seguintes, dois 
salários mínimos. E assim por diante, até os dois últimos,que ganham quarenta salários 
mínimos. 
Olha como a coisa é interessante. Nesta empresa, como em qualquer outra, a maior parte dos 
funcionários recebe um salário mais baixo. São operários, técnicos, secretárias etc. E poucos 
funcionários recebem um salário muito alto. São diretores, gerentes, etc. 
Se a empresa quiser fazer uma propaganda sua, dizendo que é um ótimo lugar para trabalhar, 
dirá que o salário médio por ela pago é de mais de 7 salários mínimos. É que, mesmo com a 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
41 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
grande maioria dos funcionários ganhando um salário muito baixo, temos uns poucos 
‘felizardos’ que ganham um salário tão alto a ponto de fazer com que a média não seja assim 
tão baixa. 
Por outro lado, se os funcionários quiserem fazer uma campanha para aumento salarial, 
poderão dizer que o salário mediano na empresa é de apenas 3 salários mínimos. 
Olha que interessante. Suponha que, por algum motivo, a gente exclua dos nossos dados os 
dois funcionários que ganham 40 salários mínimos. Ficaríamos com o seguinte conjunto: 
1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19. 
A mediana agora é igual a 2. E a média passa a ser igual a 4,1. A mediana variou bem menos 
que a média. Isso porque a mediana é menos influenciada por valores extremos. Ela é pouco 
sensível a tais valores. A média, contrariamente, é mais influenciada por valores muito 
grandes (ou muito pequenos). Dizemos que a média é mais sensível que a mediana. 
Por isso, em pesquisas de distribuição de renda, muitas vezes é utilizada a mediana como 
medida de tendência central. Geralmente poucas pessoas têm renda extremamente alta. Estas 
pessoas contribuiriam para aumentar a renda média, num quadro em que grande parte da 
população tem renda baixa. A mediana, nesses casos, tende a fornecer valores mais baixos, 
que descrevem melhor a população pesquisada. 
Retomaremos o assunto quando falarmos em assimetria. De todo modo, mesmo sem saber 
exatamente o que é assimetria, com essa noção acima dá para ver um exercício de concurso. 
 
EC 17) Analista MPU – Área Pericial – Especialidade: Estatística. [ESAF] 
A mediana é uma medida de posição usualmente utilizada na análise de distribuições de renda 
porque as distribuições de renda 
a) têm intervalos de classe distintos. 
b) sempre são normais. 
c) tipicamente são do tipo uniforme. 
d) geralmente se mostram bastante assimétricas. 
e) sempre são bimodais. 
 
Resolução: 
Questão da ESAF. Basicamente repete o conceito que acabamos de ver. 
Gabarito: D. 
 
EC 18) AFC/CGU - 2008. Área: Estatística e cálculos atuariais. [ESAF] 
Determine a mediana do seguinte conjunto de dados: 
58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 56. 
a) 28 
b) 31 
c) 44 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
42 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
d) 50 
e) 56 
 
Resolução: 
A questão é sobre mediana. Basta fazer o ROL e achar o termo do meio. 
ROL: 5, 9, 12, 17, 21, 28, 31, 44, 56, 57, 58, 63, 73, 88, 95. 
São quinze valores. O do meio é o oitavo. 
 
 
A mediana é igual a 44. 
44=D 
Gabarito: C. 
 
EC 19) Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas – SEFAZ/SP 2009 [ESAF] 
Determine a mediana das seguintes observações: 
17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9. 
a) 13,5 
b) 14 
c) 17 
d) 15,5 
e) 14,5 
 
Resolução: 
Fazendo o ROL: 
3, 5, 7, 8, 8, 9, 9, 12, 12, 13, 14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34, 42 
São 23 termos. O do meio é o 12º, que é o número 17. 
Gabarito: C 
 
9 Moda 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
43 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
A moda é mais uma medida de tendência central. A moda é o termo que mais se repete. Fácil, 
não? Podemos até nos lembrar do uso comum da palavra. Geralmente o que está na ‘moda’ é 
o que todo mundo usa. 
Pois bem, o termo que aparecer mais vezes na nossa série de dados será a moda. Pra variar um 
pouco, voltemos aos moradores do nosso bairro Nova Vila: 
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7. 
Qual o salário que mais se repetiu? Foi o salário de R$ 2.000,00. Três pessoas ganham um 
salário de R$ 2.000,00. Este valor é justamente a moda. 
2=M (valor em R$ 1.000,00) 
 
Comparada às demais medidas de posição, a moda tem o inconveniente de não se prestar à 
análise matemática. Tanto a mediana quanto a média (principalmente a média!) possuem 
propriedades matemáticas que as tornam mais úteis. 
Em relação à moda, o autor William Stevenson, em seu livro “Estatística Aplicada à 
Administração”, traz: 
“Todavia, de um ponto de vista puramente descritivo, a moda indica o valor ‘típico’ 
em termos da maior ocorrência. A utilidade da moda se acentua quando um ou dois 
valores, ou um grupo de valores, ocorrem com muito maior freqüência que outros. 
Inversamente, quando todos ou quase todos os valores ocorrem aproximadamente 
com a mesma freqüência, a moda nada acrescenta em termos de descrição dos 
dados.” 
 
EP 14. Encontre a moda para os seguintes conjuntos de dados: 
a) 1, 2, 5, 4, 6, 2, 3, 3, 3 
b) 1, 2, 2, 3, 3, 4 
c) 2, 8, 5, 1 
d) 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 20, 20 
 
Resolução do EP 14 
a) O termo que mais se repete é o três. 
3=M 
b) Há dois termos que se repetem mais vezes. Tanto o 2 quanto o 3 ocorrem duas vezes. 
Dizemos que o conjunto tem duas modas. É bimodal. 
Um conjunto não precisar ter uma única moda. Pode ter duas, três, quatro, ou mais modas. 
 
c) Note que todos os termos da seqüência ocorrem com a mesma freqüência. Dizemos que o 
conjunto é amodal. Não tem moda. 
 
d) O termo que mais se repete é o 2. Ocorre cinco vezes. 
2=M . 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
44 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS 
EC 20) AFRF/98 [ESAF] 
Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra 
aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade 
monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 
10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23. 
Assinale a opção que corresponde ao preço modal: 
a) 7 
b) 23 
c) 10 
d) 8 
e) 9 
 
Resolução: 
Temos uma série de dados em rol. O exercício pede que determinemos a moda. A moda será o 
termo que mais se repete. Contemos alguns deles. 
O número 4 aparece uma vez. O número 5 aparece duas vezes. O número 6 aparece quatro 
vezes. E assim por diante. Você verá que o número que mais se repete é o oito (são nove 
vezes). 
Gabarito: D. 
 
EC 21) Analista Contábil-Financeiro- SEFAZ/CE – 2006 [ESAF] 
O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. 
Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana deste conjunto são, respectivamente: 
a) 3, 6 e 5 
b) 3, 4 e 5 
c) 10, 6 e 5 
d) 5, 4 e 3 
e) 3, 6 e 10 
 
Resolução: 
Outra questão da ESAF. Nós até já começamos a resolvê-la na página 15. 
Relembrando: vamos primeiro fazer o rol. 
ROL: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 9, 10, 10 
A média fica: 
CURSO ON-LINE – ESTATÍSTICA P/ RECEITA FEDERAL 
PROFESSOR: VÍTOR MENEZES 
 
45 
www.pontodosconcursos.com.br 
 
10
∑= iXX (dividimos por 10 porque são dez notas). 
6
10
60
10
101098554333 ==+++++++++=X . 
A média vale 6. 
 
A moda é o termo que mais se repete. O termo que mais se repete é o 3. 
3=M 
 
São dez termos. Não há um termo