Aula 6 Técnicas de Eletricidade

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1
ELETRICIDADE
AULA 6
TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS
Prof.: Jean
Tel.: 8621-2857
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curso.cpce@yahoo.com.br
CURSO PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EM
ELETROTÉCNICA – CPCE
2
6- TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS
6.1 – Divisor de tensão
Ele é aplicado em circuitos de uma malha onde os elementos passivos estão em série para calcular a
QUEDA DE TENSÃO sobre um dos elementos em série a partir do valor da tensão aplicada sobre
todos os elementos em série e dos seus valores em ohm.
1
321
1 .RRRR
VVR

 2
321
2 .RRRR
VVR

 3
321
3 .RRRR
VVR


Exemplo: Calcule a queda de tensão no resistor de 3 do circuito abaixo.
Solução:
VV 93.33.
14
423.
1031
42
3 


ou
3
6.2 – Divisor de corrente
Ele é aplicado em circuitos de duas malhas onde os elementos passivos estão em paralelo para calcular
a CORRENTE em um dos elementos em paralelo a partir do valor da corrente total que alimenta os
elementos em paralelo e dos seus valores em ohm.
I
RR
RI R .
21
2
1

 I
RR
RI R .
21
1
2


Exemplo: Calcule a corrente que flui pelo resistor de 10 e de 5
Solução:
AIAI 1015.
15
1015.
510
10515.
15
515.
510
5
510 



 
6.3 – Teorema de superposição:
Ele é usado para calcular tensão ou corrente sobre um dado elemento quando o circuito tem duas ou
mais fontes ativas. Neste caso, o problema é resolvido calculando a contribuição de cada fonte, por
vez, (as demais fontes devem ser desativadas e podem ser desativada da seguinte forma: Fonte de
tensão: chave fechada; Fonte de corrente: chave aberta.)
A corrente ou a tensão procurada será a soma (a soma deve ser feita observando as polaridades das
tensões e o sentido das correntes) das contribuições de cada uma das fontes.
Obs:
Tensão:
=> Soma = V1 - V2
OU
V1 V2
V1 V2
4
=> Soma = V1 + V2
Corrente:
=> Soma = I1 - I2
=> Soma = I1 + I2
Exemplo 3: Calcule a corrente I3 no resistor R3 aplicando o teorema de superposição.
Fig. 16
Solução:
 Contribuição da fonte de tensão V = 10 V:
Fig. 17
Como a fonte de tensão enxerga R1 em série com R3 , logo ARR
VIV 5,24
10
31



 Contribuição da fonte de corrente de 1A:
Fig. 18
I1 I2
I1 I2
5
Para calcular ICb pode-se aplicar a técnica do divisor de corrente, pois R1 e R3 estão em paralelo.
A
RR
RICb 5,01.22
21.
31
1 




 Determinação da corrente I3 a partir da contribuição de cada fonte:
Fig. 19
I3 = ICb – ICa = 0,5 – 2,5 = - 2 A
O sinal negativo na corrente I3 indica que o sentido real do fluxo de corrente pelo resistor R3 é
contrário ao indicado (sobe, em vez de descer, pois Ica é maior que Icb).
Exercício de fixação:
Usando a teoria da superposição calcule IR2 e diga se o sentido indicado de IR2 está correto.
Resposta: - 4,5A
Solução
6.4 – Leis de Kirchhoff
6.4.1 – Lei de Kirchhoff para tensão (LKT)
6
Essa lei é também conhecida como a lei das malhas e afirma que a soma das tensões (observando os
sinais das tensões) em uma malha fechada é NULA.
Obs.:
 O sentido das quedas de tensões é contrário a o da corrente, nos elementos passivos.
 A malha é qualquer caminho fechado de um circuito independentemente do caminho conter ou
não fonte de tensão ou de corrente.
 A LKT pode ser aplicada tanto para CORRENTE CONTÍNUA como para CORRENTE
ALTERNADA .
Aplicando a LKT: V1 – VR1 – V2 –VR2 + V3 – VR3 = 0
A partir da equação da LKT acima, pode-se calcular o valor de uma das seis tensões se cinco delas
foram conhecidas.
Exemplo: Calcule a tensão V no circuito da figura abaixo.
Solução:
LKT: 15 – (1 . 1) – V – (1 . 2) + 8 – (1 . 5) = 0
15 – 1 – V – 2 + 8 – 5 = 0
- V = - 15 + 1 + 2 – 8 + 5
- V = - 15
V = 15 V
7
6.4.2 – Lei de Kirchhoff para corrente (LKC)
Essa lei é também conhecida como a lei dos nós e afirma que a soma das correntes que entram em um
nó é igual à soma das correntes que saem desse nó.
Aplicando a LKC no nó A: I1 = I2 + I3 + I4
Aplicando a LKC no nó B: I3 + I4 = I5
Aplicando a LKC no nó C: I2 + I5 = I1
Exemplo: Calcule a corrente IR5
Solução:
LKC no nó B: I3 + 3 = I5, para determinar I5, tem que calcular I3 primeiro.
LKC no nó A: 10 = 3 + I3 + 5 => I3 = 10 -3 -5 = 2 A, logo,
Nó B: 2 + 3 = I5, I5 = 5A
6.5 – Análise das tensões nodais
Nesse método, é possível determinar o valor da tensão em algum nó ou fonte de tensão e
correntes no circuito se foram conhecidos os valores dos elementos passivos do circuito e de algumas
fontes de tensão.
8
Os nós B e T são nós principais (são nós que têm três ou mais conexões). O nó T é o nó de referência,
pois é aterrado.
VA é a tensão entre o nó A e a referência T
VB é a tensão entre o nó B e o T
VC é a tensão entre o nó C e o T
A tensão entre os nós A e B, (VA-VB) é a queda de tensão sobre o resistor R1, VA-VB = VR1
A tensão entre os nós C e B, (VC-VB) é a queda de tensão sobre o resistor R2, VC-VB = VR2
A tensão entre os nós B e T, (VB-VT = VB, pois VT = 0 V) é a queda de tensão sobre o resistor R3 ,
VB = VR3
sendo assim,
33
3
3
22
2
2
11
1
1 R
V
R
VI
R
VV
R
VI
R
VV
R
VI BRRBCRRBARR 




Os sentidos das correntes foram escolhidos arbitrariamente.
Agora, pode-se escrever a Lei de Kirchhoff para corrente (LKC), em função das tensões e resistências,
em qualquer nó desejado.
Exemplo: Calcule as três correntes mostradas no circuito abaixo usando a analise das tensões nodais
Solução:
a) Determinação da tensão VB
Aplicando a LKC no nó B: IR1 + IR2 = IR3
IR3 = IR1 + IR2
3R
VB =
1R
VV BA  +
2R
VV BC  , onde VA= 58V, VC = 10 V
9
3
BV =
4
58 BV +
2
10 BV
Multiplicando cada termo por 12, tem-se:
3
12 BVx =
4
)58(12 BVx  +
2
)10(12 BVx 
BV.4 = )10.(6)58.(3 BB VV 
4VB = 174 – 3VB + 60 – 6VB
13VB = 234
VB = 18 V
b) Determinação das quedas de tensão
VR1 = VA – VB = 58 – 18 = 40 V
VR2 = VC – VB = 10 – 18 = - 8 V
VR3 = VB = 18 V
c) Determinação das correntes
A
R
VI RR 104
40
1
1
1 
A
R
VI RR 42
8
2
2
2 


A
R
VI RR 63
18
3
3
3 
Obs.: O sinal negativo da corrente IR2 é devido ao fato do sentido adotado para esta corrente (sentido
para a esquerda) não é o correto (o certo seria o sentido para a direita).
Exercício de fixação:
Usando a teoria das tensões nodais calcule IR2 e diga se o sentido indicado de IR2 está correto.
10
Resposta: - 4,5A
Dicas:
 Identifique nominalmente cada nó, por exemplo
 identifique o sentido da corrente entre os nós V1 e VB.
 escreva a equação da lei de Kirchhoff no nó VB e calcule o valor de VB.
 Atente-se para a polaridade de V2 em relação ao terra.
Solução
PETROBRAS – TÉCNICO DE MANUTENÇÃO I – ELÉTRICA 2005 CESGRANRIO
De acordo com a lei das correntes de Kirchhoff, a soma das correntes que chegam a um determinado
nó do circuito deve ser igual à soma das correntes que partem desse mesmo nó
11
Escreva a equação que resulta da aplicação dessa lei sobre o nó 2 (V2), no circuito ilustrado
acima.
Dicas:
 arbitrar o sentido da corrente que flui entre V1 e V2 e entre V2 e V3
 escrever a equação da LKC no nó 2 em função de IL e IC, não precisa resolver essa equação.
E- TRANSPETRO – ELETRICISTA ESPECIALIZADO JUN 2006 CESGRANRIO
No circuito mostrado acima, sabendo-se que a tensão no nó A é de 12V, calcule a tensão da fonte E,
em Volts. Resposta = 25,6V
6.6 – Teorema de Thévenin
Atenção!!!
Esta técnica de resolução de circuito é de suma importância, portanto, os alunos devem se empenhar
ao máximo para apreendê-la.
Ele permite reduzir um circuito de várias malhas (circ. Complexo, fig1), visto entre dois pontosquaisquer (a e b, por exemplo), em um circuito de apenas uma malha, fig2. Se quisermos determinar a
corrente I no resistor de 6  da fig. 1, seu cálculo será mais fácil se usarmos o circuito equivalente de
Thévenin. Para determinar o circuito equivalente de Thévenin, basta calcular a tensão de Thévenin
(VTh) e a resistência de Thévenin (RTh).
Fig.1: Circuito original Fig. 2: Circuito equivalente de Thévenin
(várias malhas) (o circ. de várias malhas vira o de uma só malha)
6.6.1 – Regras para determinar VTh e RTh
As regras serão apresentadas resolvendo o exemplo a seguir.
Exemplo1: Calcule a corrente I no circuito abaixo.
=>
12
Fig. 3
 Determinação de VTh
Olhando para o circuito, observa-se que os pontos a e b devem estar sobre o resistor de 10 
Fig. 4
1ª regra: O elemento, passivo ou ativo, entre a e b (se houver) deve ser retirado.
Fig. 5
2ª regra: Nesta nova configuração, calcular a tensão entre a e b, e ela será a VTh (Vab = VTh)
Fig. 6
Solução: A tensão entre a e b é a queda de tensão sobre o resistor de 40 (V40), a qual pode ser
calculada aplicando a técnica do divisor de tensão, pois os dois resistores estão em série.
VVVV abTh 2,4340.4010
54
40 


VTh = 43,2 V
 Determinação de RTh
13
1ª regra: O elemento, passivo ou ativo, entre a e b (se houver) deve ser retirada.
Fig. 7
2ª Regra: Todas as fontes independentes de tensão e de corrente devem ser desativadas
Para desativar uma fonte de tensão: Coloque uma chave fechada no seu lugar.
Para desativar uma fonte de corrente: Coloque uma chave aberta no seu lugar.
Continuando na resolução do problema
Fig. 8
3ª Regra: Calcule a Req vista por uma fonte de tensão imaginária inserida entre os nós a e b, Rab = RTh
Aplicando esta regra, temos:
Os dois resistores estão em paralelo.


 8
4010
4010xRR Thab
RTh = 8 
14
Circuito equivalente de Thévenin encontrado:
Fig. 9
A
R
V
I
Th
Th 4,2
108
2,43
10




 (Que facilidade, ném ????)
Faz de tudo para apreender esta técnica pois é de grande uso.
Obs.: Toda fonte de tensão real é um circuito equivalente de Thevenin.
Exercício de fixação:
Usando a teoria Thevenin calcule IR2 e diga se o sentido indicado de IR2 está correto.
Resposta: - 4,5 A
Dicas:
15
 Para calcular a tensão de Thevenin, calcule o potencia nos pontos a e b, depois, VTH = Va - Vb
 Observe que para calcular o potencial do ponto a, temos dois caminhos sendo que um dos dois
é inviável para o calculo de Va por conter variável desconhecida.
 Para calcular Vb, preste atenção na polaridade de V2 em relação ao terra.
Solução
6.7 – Teorema de Norton
Ele permite reduzir um circuito de várias malhas (circ. Complexo, fig1), visto entre dois pontos
quaisquer a e b, por exemplo, em um circuito de duas malhas, fig10. Onde, IN é a corrente de Norton e
RN a resistência de Norton. A corrente entre os pontos a e b poderá ser calculada aplicando a técnica
de divisor de corrente.
Fig. 10: Circuito equivalente de Norton do circ. da fig.1
Obs.:
 Existe uma relação entre o teorema de Thévenin e o de Norton. Conhecendo um, conhece o
outro.
 Toda fonte real de corrente é um circuito equivalente de Norton
16
6.8- Relação entre Thevenin e Norton.
Fig. 11: Modelo de Thévenin Fig. 12: Modelo de Norton
Obs: A corrente de Norton (IN) é também conhecida como CORRENTE DE CURTO-CIRCUITO
(Icc ou Isc), pois pode ser determinada colocando os terminais a e b em curto e a corrente de curto entre
a e b, nessa condição de curto, será a de Norton (IN).
Resolvendo o circuito da fig. 4 pelo teorema de Norton:
Exemplo 2: Calcule a corrente sobre o resistor de 10  no circuito abaixo.
Fig. 13
Solução:
Usando os valor de RTh e de VTh obtidos anteriormente (no item 6.6.1), temos:
RN = RTh = 8 
IN = VTh/RTh = 43,2/8 = 5,4 A, ou se quisermos obter IN através do calculo da corrente de curto-
circuito, temos:
Fig. 14
ICC = IN = 54/10 = 5,4 A
17
Fig. 15
Aplicando o divisor de corrente: AIR
R
I N
N
N 4,24,5.
108
8.
10





6.9 – Teorema de Millman:
Duas ou mais fontes de tensão iguais em paralelo podem ser substituídas por uma única fonte como
mostra o exemplo abaixo
Para calcular os valores de Req e Veq, vamos transformar as fontes reais de tensão em fontes reais de
corrente
Reorganizando o circuito
18
TeqeqeqT IRVRRRRRR
RRRRRRR
R
V
R
V
R
VIIII .
..
..////
133221
321
321
3
3
2
2
1
1
321 


Exercício de fixação :
Calcule a potência dissipada na carga do circuito abaixo.
Resposta: 1,7 W
Solução:
6.10 – Teorema da substituição:
Esse teorema afirma que um ramo contido entre dois pontos a e b com tensão contínua V e percorrido
por uma corrente I pode ser substituído por um outro qualquer que tenha a mesma tensão V e
percorrido por uma corrente de mesmo valor I. Veja o exemplo a seguir.
19
O ramo 3 pode ser substituído por qualquer um dos ramos 3a, 3b e 3c.
Esse teorema não pode ser aplicado a circuitos com duas ou mais fontes que não esteja em série ou
em paralelo. Para ser aplicado, é necessário conhecer previamente através de um dos métodos vistos
anteriormente o valor da tensão V ou da corrente I, veja o exemplo a seguir.
Substituição da tensão V
20
Substituição da corrente I
6.11 – Transferência máxima de potência:
Uma fonte real (que tem uma resistência interna Rint diferente de zero) só fornecerá a potência
máxima a uma carga resistiva R conectada a ela através dos terminais a e b, se R = Rint.
 Quando a impedância interna é puramente resistiva, Zint = Rint

Observação: Toda fonte real (Rint diferente de zero) pode ser representada pelo modelo equivalente de
Thevenin.
Em um dado circuito, a fonte ou as fontes só fornecerão a máxima potência à carga R, se Rcarga = RTh
do circ. equivalente de Thevenin do circ. original.
O valor dessa potência máxima transferida para a carga pode ser calculado pela fórmula a seguir:
ac
ab
ac
ac
Th
ac R
VIR
R
VP
arg
2
2
arg
arg
2
arg *.4


21
Exemplo 1: Calcule o valor do resistor R do circuito a seguir para que a fonte transfira a máxima
potência possível à carga R e calcule o valor dessa potência.
Solução:
Com auxílio do exemplo 1, sabemos que o circuito equivalente de Thévenin do circ. acima entre os
pontos a e b produz uma tensão VTh = 43,2 V e RTh = 8 
Para que a fonte de tensão forneça a potência máxima ao resistor R, R deve ser igual a RTh, ou seja R =
8. Neste caso, a potência em questão será obtida da seguinte forma:
WIRPA
RR
V
I máx
Th
Th 32,58)7,2.(8.7,2
88
2,43 22 




 Quando a impedância interna da fonte é indutiva, Zint = Rint + jXint
Circuito original Circuito equivalente de Thevenin da fonte
Obs: Neste caso, em particular, o circuito original já é um circuito equivalente de Thevenin.
Como toda fonte real (Rint diferente de zero) pode ser representada pelo modelo equivalente de
Thevenin, como mostrado acima, então, V = VTh e Zint = ZTh. Neste caso, para que haja a máxima
transferência de potência da fonte para a carga, é necessário que a impedância da carga seja igual ao
conjugado da impedância de Thevenin do circuito equivalente.
22
Zcarga = Z*Th
Rcarga + j Xcarga = RTh + j X*Th
Rcarga = RTh
Xcarga = X*Th = - XTh
Isto é, se ZTh = RTh + jXTh Z*Th = RTh – jXTh Z*Th é o conjugado de ZTh
Em outras palavras, se ZTh for uma impedância indutiva, Z*Th será uma impedância capacitiva, vice
versa.
A idéia principal é determinar o valor de Xcarga de modo a zerar o reativo total do circuito (forçar
uma ressonância série) e de Rcarga de modo a ser igual a RTh
Exemplo:
Aproveitando o circuito original acima, se V = 100V, Rint = 5Ω e Xint = 8Ω, qual deveser o valor 
de Zcarga para que haja a máxima transferência de potência da fonte para a carga? E calcule o valor
dessa potência.
Solução:
Zint = Zth = 5 + j8Ω, logo, para que haja a máxima transferência de potência para a carga,
Zcarga = 5 – j 8Ω
Pcarga = Rcarga.I2 I = A1055
100


, logo Pcarga = 5. 102 = 500 W ou
WP ac 5005.4
1002
arg 
23
 Quando a impedância interna é capacitiva, Zint = Rint - jXint
Usar o mesmo raciocínio do caso anterior.
Exercício de fixação 1:
Se V = 100V, Zint =5 - j8 Ω, qual deve ser o valor de Zcarga para que haja a máxima transferência de
potência da fonte para a carga? E calcule o valor dessa potência
Solução:
Exercício de fixação 2:
Calcule a máxima potência que as três fontes podem fornecer para R2.
Resposta: 40,5 W
Dicas:
 Usar Thevenin.
Solução:
24
RESUMO
1º caso: Zint resistiva => Zcarga resistiva
2º caso: Zint indutiva => Zcarga capacitiva
3º caso: Zint capacitiva => Zcarga indutiva
Observe que os dois primeiros casos consistem em provocar uma ressonância série para que haja a
máxima transferência de potência