Sistemas Digitais I - Poli - P2 2010

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PCS - 2215 Fundamentos de Engenharia de Computação II 
 
2ª Prova – 13 de Outubro de 2010– Gabarito 
NOME: __________________GABARITO__________________ NUSP: ________________ 
 
Questão 1 (valor: 2,5 pontos) 
 
Mostre que as funções booleanas f e g são idênticas, utilizando as Identidades Básicas. 
 
 
 (a) [0,5 ponto] f(x,y,z) = (x.y.z).(x + y + z) e g(x,y,z) = x y z 
 
 
 
 
 Solução: 
 f(x,y,z) = (~x + ~y + ~z).(~x~y~z) 
 = ~x~y~z + ~x~y~z + ~x~y~z = 
 = ~x~y~z = g(x,y,z) 
 
 f é idêntica a g 
 
 
 (b) [0,5 ponto] f(x,y,z,w) = x.z(x. y. w) + x.y.z.w + x.y.z e g(x,y,z,w) = y.z + x.w(y + z) 
 
 Solução: 
 f(x,y,z,w) = ~xz(x + ~y + ~w) + ~xy~z~w + x~yz = 
 = ~x~yz + ~xz~w +~xy~z~w + x~yz = 
 = ~yz ( ~x + x) + ~x~w(z + y~z) = 
 = ~yz + ~x~w(y + z) = g(x,y,z,w) 
 
 f é idêntica a g 
 
 (c) [0,5 ponto] f(x,y,z,w) = x(y + z) + x.z + z.(y + x.y) e g(x,y,z,w) = x 
 
 Solução: 
f(x,y,z,w) = x.(~y + z) + x.~z + z.(y + x.~y) = 
= x.~y + x.z + x.~z + z.(y + x) = 
= x.~y + x.z + x.~z + y.z + x.z = 
= x.~y + x.z + x.z + x.~z + y.z = 
= x.~y + x.(z + ~z) + y.z = 
= x.~y + x.1 + y.z = 
= x.~y + x + y.z = 
= x + y.z ≠ g(x,y,z,w) 
 
 f não é idêntica a g 
 
 
 
Considere o seguinte circuito da Figura 1: 
 
 Figura 1. 
 
 (d) [0,5 ponto] Complete as Figuras 2 e 3 nas posições indicadas, enumerando os caminhos com expressões 
booleanas nas saídas das portas NANDs, a partir dos valores 0 ou 1, definidos previamente para x1. 
 
 Para x1 = 1 Para x1 = 0 
 
 
 
 Figura 2 Figura 3 
 
(e) [0,5 ponto] Aplique o Teorema da Expansão de Shannon para encontrar a função booleana f(x1, x2, x3) do 
circuito. 
 
 f(x1, x2, x3) = _~x1_ f ( 0, x2, x3) + _x1_ f ( 1, x2, x3) 
 
 = ~x1 (x2 x3) + x1 (x3) = 
 = ~x1x2 x3 + x1x3= 
 = (~x1x2 + x1) x3= 
 = (x1 + x2) x3 = 
 = x1 x3 + x2 x3 
 
 
 
 
 
 
 
x2x3
 
x2x3
 
x2x3
 
1 
x2x3
 
x3 
1 
1 
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Segunda Prova – 13 de Outubro de 2010 – Gabarito 
NOME: ________ GABARITO _____________________ NUSP: ____________ TURMA: _____ 
Questão 2 (valor: 2,5 pontos) 
(a) [1 ponto] Identifique (desenhe) no Mapa de Karnaugh da Figura 1 todos os implicantes primos e 
apresente suas expressões algébricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 
 
 
As expressões algébricas dos 5 implicantes primos são: 
 
IP1 = ~A . ~B . ~C . D = IPE1 
IP2 = ~A . B . ~C . ~D = IPE2 
IP3 = ~A . B . ~D . ~E 
IP4 = ~B . C . ~D . ~E = IPE4 
IP5 = ~A . C . ~D . ~E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) [0,5 ponto] Quais são os implicantes primos essenciais? 
 
 
São IPE1, IPE2 e IPE4. 
 
 
(c) [0,5 ponto] Apresente 2 expressões mínimas, contendo implicantes primos, que representam a função 
descrita pelo Mapa de Karnaugh da Figura 1. 
 
f = IPE1 + IPE2 + IPE4 + IP3 
 
ou 
 
f = IPE1 + IPE2 + IPE4 + IP5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) [0,5 ponto] Modifique algebricamente uma das expressões mínimas de tal forma que a expressão 
resultante tenha um ou-exclusivo 
 
f = IPE1 + IPE2 + IPE4 + IP3 = ~A . ~B . ~C . D + ~A . B . ~C . ~D + ~B . C . ~D . ~E + ~A . B . ~D . ~E = 
= ~A . ~C . ( ~B . D + B . ~D) + ~B . C . ~D . ~E + ~A . B . ~D . ~E = 
= ~A . ~C . (B ⊕ D) + ~B . C . ~D . ~E + ~A . B. ~D. ~E 
 
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2ª Prova –13 de Outubro de 2.010 
NOME: ____________GABARITO____________________ NUSP: ____________ TURMA: _____ 
 
Questão 3 (valor: 2,5 pontos) – Considere um circuito detector de números que são divisores de 12, cuja 
saída f é UM quando a entrada X=(x3 x2 x1 x0) for divisor de 12. Vamos implementá-lo utilizando blocos 
lógicos funcionais de circuitos combinatórios (decodificadores e multiplexadores). (x3 é o mais 
significativo) 
 
a. (0,5 ponto) Preencha a tabela verdade do detector de divisores de 12. 
 
x3 x2 x1 x0 f 
0 0 0 0 0 
0 0 0 1 1 
0 0 1 0 1 
0 0 1 1 1 
0 1 0 0 1 
0 1 0 1 0 
0 1 1 0 1 
0 1 1 1 0 
1 0 0 0 0 
1 0 0 1 0 
1 0 1 0 0 
1 0 1 1 0 
1 1 0 0 1 
1 1 0 1 0 
1 1 1 0 0 
1 1 1 1 0 
 
 
 
b. (1,0 ponto) Implemente o circuito detector de divisores de 12, utilizando apenas um multiplexador 4x1. 
Atenção: considere que as entradas de seleção do multiplexador serão os sinais x3 e x2 (veja figura no item 
c). 
Monte o mapa de Karnaugh para a saída f e determine a expressão algébrica para cada uma das entradas do 
multiplexador. 
 
I0 = x1+ x0 
 
 
I1 = ~x0 
 
 
I2 = 0 
 
 
I3 = ~x1 . ~x0 
 
 
 
 
 x3x2 
x1x0 00 01 11 10 
 00 0 1 1 0 
01 1 0 0 0 
11 1 0 0 0 
10 1 1 0 0 
Detecto
r de n ú mero
s 
x 3 
x 2 
x 1 
x 0 
f 
Detecto
r de n ú mero
s 
divisores 
de 12 
x 3 
x 2 
x 1 
x 0 
f 
f 
c. (0,5 ponto) Complete a figura a partir do resultado do item b, com o circuito do detector de divisores de 
12 utilizando apenas um multiplexador 4x1. Utilize portas lógicas, se necessário. 
 
 
 
 
 
 
d. (0,5 ponto) Analise o circuito combinatório abaixo com um decodificador 4x16. Escreva a expressão 
algébrica de f. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 S0 
A S1 
 S2 
B S3 
 S4 
C S5 
 S6 
D S7 
 S8 
 S9 
 S10 
 S11 
 S12 
 S13 
 S14 
 S15 
 
X0 
 
X1 
 
X2 
 
X3 
F = X’3X’2X’1X0 + X’3X’2X1X’0 + 
X’3X’2X1X0 + X’3X2X’1X’0 + 
X’3X2X1X’0 + X3X2X’1X’0 
0 
DEC 4 x 16 
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2a Prova –13 de Outubro de 2.010 
NOME: ____________GABARITO________________ NUSP: ____________ TURMA: _____ 
Questão 4 (valor: 2,5 pontos) – 
Considere o somador BCD fornecido abaixo e responda: 
(a) (0,3 ponto) Dado que cada entrada BCD corresponde a um dígito de 0 a 9, qual a faixa de valores da 
soma de dígitos BCD mais vem-um? 0+0+0 = 0 a 9+9+1=19. 
(b) (0,2 ponto) Quanto vale o vai-um da soma BCD quando seu resultado encontra-se na faixa de valores 
entre 10 e 19? 1 
(c) (0,5 ponto) Complete o Mapa de Karnaugh do sinal X da figura 1. 
 
As entradas consideradas para a formação do sinal X são S3, S2, S1 e Cout. Uma possível configuração 
do mapa de Karnaugh é dada por: 
 
 
 
 
(d) (1,0 ponto) Analise, no somador BCD fornecido na figura 1, qual o papel do circuito intermediário 
formado pelas portas lógicas elementares AND e OR na soma A+B, e porque sua saída alimenta a entrada 
do segundo somador binário de 4bits. Justifique cuidadosamente sua resposta 
 
 Figura 1 
 
O circuito é do tipo AND-OR e tem como saída o resultado da seguinte função lógica: 
 f = Cout + S3S2 + S3S1. 
Todos os literais que fazem parte da soma de produtos que gera fn são saídas do somador binário de 
4bits. A saída de f é entrada dos bits 1 e 2 da entrada BCD do segundo somador binário de 4 bits. Os 
bits 0 e 3 estão aterrados (em ZERO/LOW sempre). 
(b) (0,5 ponto) Considere o seguinte problema: você precisa sintetizar (projetar) um circuito combinatório 
que, dadas entradas numéricas decimais de 2 dígitos (00 a 99) descritas em BCD, efetue a SOMA 
DECIMAL destas entradas, apresentando o resultado final em 3 displays de 7 segmentos, uma vez que o 
mesmo pode exigir um dígito extra para ser descritos (resultados entre 100 e 198). 
Complete o diagrama lógico abaixo para apresentar uma solução ao problema proposto. Você deve efetuar 
as ligações necessárias entre os blocos responsáveis pela soma X+Y, justificando-as cuidadosamente. 
Indique claramente qual bloco está responsável por qual parte da soma, através dos dígitos que servirão de 
entrada para cada bloco. Obs.: X=X2X1 e Y=Y2Y1são números decimais entre 00 e 99, onde Xi e Yi estão 
descritos em BCD. 
 
 
 
Dec. BCD p/ 
decimal 
0 
X
2 
Y
2 
X
1 
Y1 
0