Sistemas Digitais I - Poli - Psub 2016

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PSUB	
	
[0.8	pontos]	Segundo	Sheldon	Cooper	em	“A	Teoria	do	Big	Bang”,	7310	é	o	melhor	número	de	todos,	entre	outras	
coisas	por	ser	primo	e	por	sua	representação	binária	ser	um	palíndromo	(apresenta	a	mesma	sequência	de	bits	se	
lido	da	esquerda	para	a	direita	ou	vice-versa).	Realize	as	transformações	solicitadas	a	seguir	e	apresente	os	
cálculos	intermediários:	
	
a) Escreva	7310	na	base	2	
	
10010012	
	
b) Escreva	7310	na	base	8,	para	perceber	que	ele	também	tem	uma	propriedade	interessante	nesta	base.	
	
1118	
	
c) Escreva	7310	na	base	16.	O	resultado	continua	sendo	um	palíndromo?	
	
Não:	4916	
	
d) O	reverso	de	7310,	o	número	3710,	também	é	primo.	Ele	é	um	palíndromo	em	binário?	
	
Não:	1001012	
	
[0.9	pontos]	Um	dispositivo	de	5	bits	opera	com	números	no	formato	de	complemento	de	dois	e	mostra	o	
resultado	em	uma	tela	(em	decimal,	incluindo	o	sinal	negativo	quando	houver).	Indique	o	resultado	mostrado	na	
tela,	em	binário	e	em	decimal	com	sinal,	apresentando	os	cálculos	intermediários	e	indicando	se	houve	
transbordo,	para	as	seguintes	operações	aritméticas:	
	
a)	610	+	1210	 	 b)	67	+	127				 	 	 c)	–710	–	910	
	
		00110	 	 	 67	=	610		 																=	00110	 	 710	=	00111è	–710	=	11001	
		01100	 	 	 127	=	(7+2)10	=	(9)10		=	01001	 	 910	=	01001è	–910	=	10111	
		---------	 	 	 	 																		----------	 	 	 																	-----------	
		10010	=	–	14	(overflow)	 	 																			01111	=	15	 	 	 																	10000	=	–16	
	
	
[1.2	pt]	Um	sistema	usa	códigos	de	Hamming	para	corrigir	erros	de	transmissão.	Em	um	certo	momento,	deseja-se	
enviar	a	sequência	de	bits	“1010”.	Responda:	
	
a)	Qual	o	número	mínimo	de	bits	que	serão	necessários	para	representar	a	palavra	de	código	resultante	caso	a	
distância	de	código	desejada	seja	3?	Qual	a	palavra	de	código	resultante,	considerando	paridade	par?	
	
7	bits	 7	 6	 5	 4	 3	 2	 1	
Palavra:	 1	 0	 1	 0	 0	 1	 0	
1	 0	 1	 0	 	 	 	
1	 0	 	 	 0	 1	 	
1	 	 1	 	 0	 	 0	
	
b)	Qual	o	número	mínimo	de	bits	que	serão	necessários	para	representar	a	palavra	de	código	resultante	caso	a	
distância	de	código	desejada	seja	4?	Qual	a	palavra	de	código	resultante,	considerando	paridade	par?		 	
8	bits	 7	 6	 5	 4	 3	 2	 1	 0	
Palavra:	 1	 0	 1	 0	 0	 1	 0	 1	
1	 0	 1	 0	 	 	 	 	
1	 0	 	 	 0	 1	 	 	
1	 	 1	 	 0	 	 0	 	
	
c)	Suponha	que	seja	usado	o	código	com	distância	3,	como	no	item	(a),	que	a	palavra	recebida	tenha	o	número	de	
bits	determinado	naquele	item	e	que	todos	esses	bits	sejam	1s	exceto	pelo	bit	mais	significativo,	que	tem	valor	0.	
Por	exemplo,	se	sua	resposta	no	item	(a)	foi	que	são	necessários	4	bits	para	representar	a	informação,	então	a	
palavra	recebida	foi	“0111”.	Essa	palavra	código	é	uma	palavra	válida?	Caso	não	seja,	para	qual	palavra	código	ela	
será	corrigida	de	acordo	com	o	método	de	correção	de	Hamming?	Justifique.	
7	bits	 7	 6	 5	 4	 3	 2	 1	
Palavra:	 0	 1	 1	 1	 1	 1	 1	
0	 1	 1	 0	(erro)	 	 	 	
0	 1	 	 	 1	 0	(erro)	 	
0	 	 1	 	 1	 	 0	(erro)	
	
è	Erro	detectado	na	posição	4+2+1	=	7	è	Correção	para	“1111111”	
	
	 	
		
Sistemas	Digitais	I	 Prova	Substitutiva	 Data	 GABARITO	PCS3115	 2016S1	 29/06/2016	
Nome:	 GABARITO	 #USP:	 	 Turma:	 	
	
Questão 2 (valor: 2,5 pontos) 
2.a (1,0 ponto) A Apolo XIII quando foi lançada apresentou problemas com a geração 
de oxigênio. Existe uma lenda de que o problema era no controle digital do sistema de 
geração do oxigênio, que por sua vez dependia do valor de duas variáveis x e y. Para 
corrigir isto, concluiu-se que era necessário gerar a função f(x,y) = (x+y’).y. A 
dificuldade encontrada era não haver mais portas lógicas disponíveis na Nave, apenas 
fios de interligação. Os únicos valores lógicos disponíveis para compor a função 
necessária eram (x+y’) e (x.y). 
Conta-se que um Engenheiro da NASA teve um insight de uma possível solução do 
problema utilizando os sequintes teoremas da Álgebra de Chaveamento: 
 
(T8) X•(Y+Z)=X•Y+X•Z (T8’) X+Y•Z=(X+Y)•(X+Z) → distributiva 
(T6) X+Y=Y+X (T6') X•Y=Y•X → comutativa 
(T5) X+X'=1 (T5') X•X’=0 → complemento 
(T1) X+0=X (T1') X•1=X → identidade 
 
Qual foi a solução que o Engenheiro da NASA vislumbrou? Justifique sua resposta 
por meio dos teoremas citados. 
 (x	+	y′)⋅y	=	x⋅y	+	y′⋅y	(T8	-	Distributividade)	=	x⋅y	+	y⋅y′	(T6′	-	Comutatividade)	=	x⋅y	+	0	(T5′	-	Complementos)	=	x⋅y	(T1	-	Identidade)		Como	 (x	+	 y′)⋅y	=	 x⋅y	bastava	utilizar	 o	 valor	 lógico	 x.y	 disponível,	 conectando		um	fio	com	este	sinal,	e	a	solução	foi	encontrada.	
 			
	 	
2.b	 (1,0	 ponto)	 Considere o diagrama esquemático correspondente ao circuito 
digital da Figura 1. Pede-se: 
(1) Preencha a Tabela Verdade fornecida e determine a função de chaveamento 
correspondente, na sua primeira forma canônica. 
 
(2) Para uma aplicação de mais alta velocidade necessita-se de um circuito 
equivalente com apenas dois níveis de atraso de portas (o da Figura 1 tem 3 níveis de 
atraso – inversão, AND, OR), onde a variável X é a que necessita de menor tempo de 
atraso (por ser mais lenta a estabilização do valor desta última). Encontre a expressão 
de chaveamento para esta versão mais rápida do circuito. Justifique a sua resposta. 
 
 
 		 													 F	=	X.Y’.Z	+	X.Y.Z’	F	=	X.(Y’.Z	+	Y.Z’)	F	=	X.(Y	⊕	Z)		
Justificativa:	 Função	 de	 chaveamento	 pode	 ser	 obtida	 pelo	 método	 de	propagação	dos	sinais,	e	em	seguida	a	 tabela	é	preenchida.	Ou	então	é	possível	considerar	 a	 combinação	 de	 entradas	 para	 preencher	 a	 tabela	 e	 depois	identificar	os	mintermos	correspondentes.	O	circuito	com	dois	níveis	de	atraso	é	obtido	pela	manipulação	da	expressão	da	primeira	forma	canônica			
2.c	 (0,5	 ponto)	 Um	 Aluno	 aplicou	 o	 Teorema	 de	 De	 Morgan	 na	 função	f(w,x,y,z)=w.x+y.z	obtendo	a	função	g(w,x,y,z)=w’+x’.y’+z’.	Se	considerarmos	que	g(w,x,y,z)=	 f’(w,x,y,z),	 o	 Aluno	 aplicou	 o	 Teorema	 de	 De	 Morgan	 de	 maneira	correta?	Justifique	a	resposta.		 Não	 está	 aplicado	 de	 maneira	 correta.	 O	 Aluno	 não	 considerou	 a	precedência	das	operações	AND	(.)	e	OR	(+)	corretamente.	A	aplicação	do	Teorema	de	De	Morgan	deveria	resultar	em	f’	=	(w’+x’).(y’+z’)		
X	 Y	 Z	 F	0	 0	 0	 0	0	 0	 1	 0	0	 1	 0	 0	0	 1	 1	 0	1	 0	 0	 0	1	 0	 1	 1	1	 1	 0	 1	1	 1	 1	 0	
Figura	1	
 
USP -ESCOLA POLITÉCNICA 
PCS - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO 
E SISTEMAS DIGITAIS 
Spina 
 
PCS - 3115 Sistemas Digitais I – 1o Semestre de 2016 
Psub 
 
 
No. USP ________ Nome ______________________________ Turma ____ 
 
Q3 – (2,5) Um comparador de quatro bits recebe <P1P0 Q1Q0 > sendo P =(P1P0) 
e Q=(Q1Q0) e tem saída “1” somente quando P = Q. Para essa especificação 
apresente: 
 
a) (0,5) A tabela verdade do projeto 
 
 P1 P0 Q1 Q0 P Q F 
0 0 0 0 0 0 0 1 
1 0 0 0 1 0 1 0 
2 0 0 1 0 0 2 0 
3 0 0 1 1 0 3 0 
4 0 1 0 0 1 0 0 
5 0 1 0 1 1 1 1 
6 0 1 1 0 1 2 0 
7 0 1 1 1 1 3 0 
8 1 0 0 0 2 0 0 
9 1 0 0 1 2 1 0 
10 1 0 1 0 2 2 1 
11 1 0 1 1 2 3 0 
12 1 1 0 0 3 0 0 
13 1 1 0 1 3 1 0 
14 1 1 1 0 3 2 0 
15 1 1 1 1 3 3 1 
 
b) (0,5) Duas expressões da primeira forma canônica 
 
∑P1P0Q1Q0 (0,5,10,15) 
 
 
 
F = P1‘P0‘Q1‘Q0‘ + P1P0‘Q1Q‘0 + P1‘P0Q1‘Q0 + P1P0Q1Q0 
 
USP -ESCOLA POLITÉCNICA 
PCS - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO 
E SISTEMAS DIGITAIS 
Spina 
 
c) (0,5) A minimização pelo mapa de Karnaugh 
 
 
 
F = P1‘P0‘Q1‘Q0‘ + P1P0‘Q1Q‘0 + P1‘P0Q1‘Q0 + P1P0Q1Q0 
 
 
d) (0,5) Quais os implicantes primos essenciais? 
 
 
 
 
 
 
e) (0,5) É possível alguma simplificação que utilize menos portas lógicas 
(AND, OR, NOT, XOR, XNOR)? Qual? (explique) 
 
Para P = Q basta que P1=Q1 e P0 = Q0 
Assim: 
 
 
	PSUB+REC-MSimplicio_GABARITO-v2
	PCS3115 1S 2016 SUB Gabarito Q2
	3115-PSub-Q2-Gab-MT-2016-v3
	PCS3115-PsubQ3 Spinav5 GAB