FEP2195 P2 2007 [Gabarito]

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FEP2195 - F´ısica Geral e Experimental para Engenharia I
Prova P2 - Gabarito
m1
m2
R θ
1. Dois blocos esta˜o conectados por um fio sem
massa que passa por duas polias sem atrito, como
mostrado na figura. Uma extremidade do fio esta´
ligada a um corpo de massa m1 que esta´ a uma
distaˆncia R da polia da esquerda. A outra extre-
midade do fio esta´ ligada a um bloco de massa m2
que esta´ em repouso sobre uma mesa. A massa m1
e´ solta a partir de um aˆngulo θ (medido a partir da vertical). Em termos dos paraˆmetros
dados determine:
(a) (1,0) A velocidade do bloco de massa m1 quando ele passa pelo ponto mais baixo da
sua trajeto´ria.
(b) (0,5) A tensa˜o ma´xima no fio, assumindo que a massa m2 na˜o se move.
(c) (1,0) Sendo m1 = 3, 00 kg, m2 = 6, 00 kg e R = 1, 20 m, qual deve ser o menor valor de
θ do qual m1 deve ser solto para que ele consiga levantar o bloco de m2 da mesa?
SOLUC¸A˜O:
(a)
Usando conservac¸a˜o da energia mecaˆnica e tomando como zero da energia potencial
o ponto mais baixo da trajeto´ria temos como energia mecaˆnica inicial
Ei = m1gR[1− cos(θ)]
Energia mecaˆnica final
Ef =
1
2
m1v
2
Conservac¸a˜o da energia mecaˆnica
Ef = Ei
1
2
m1v
2 = m1gR[1− cos(θ)]
1
Velocidade no ponto mais baixo da trajeto´ria
v =
√
2gR[1− cos(θ)]
(b)
A trac¸a˜o no fio sera´ ma´xima no ponto mais baixo da trajeto´ria. Nesse ponto a forc¸a
resultante e´
FR = T −m1g = m1v
2
R
Usando o valor da velocidade obtida no item (a)
T = m1g + 2m1g[1− cos(θ)]
Trac¸a˜o ma´xima no fio
T = m1g[3− 2 cos(θ)]
(c)
No limite para levantar o bloco de massa m2, a forc¸a normal sobre o bloco deve se
anular, assim T = m2g
m1g[3− 2 cos(θ)] = m2g
cos(θ) =
3
2
− m2
2m1
Usando os valores fornecidos
cos(θ) =
1
2
θ = 60◦
No painel esquerdo, as treˆs bolas de bilhar
antes da colisa˜o; no painel direito, depois da
colisa˜o.
2. Um jogador de bilhar da´ uma tacada na bola
branca, que enta˜o se choca contra duas outras bo-
las – veja a figura. Devido a` tacada, a bola branca
adquire uma velocidade na direc¸a˜o horizontal de
mo´dulo 10 m/s, mas logo apo´s o choque ela se en-
contra em repouso, enquanto as duas outras bolas
2
saem com aˆngulos θ2 e θ3 com respeito a` horizontal
e velocidades v2 e v3. Sabendo que esses aˆngulos
sa˜o tais que sen θ2 = 3/5 e sen θ3 = 4/5, e que m1 = m2 = m3 = 0, 1 kg, responda:
(a) (1,5) Quais os mo´dulos das velocidades v2 e v3?
(b) (1,0) Qual a energia cine´tica do sistema depois da colisa˜o? A energia cine´tica e´ conser-
vada nessa colisa˜o?
SOLUC¸A˜O:
(a)
Por conservac¸a˜o de momento (e lembrando que as massas sa˜o ideˆnticas) temos, na
direc¸a˜o vertical:
v2 sen(θ2) = v3 sen(θ3) ,
e na direc¸a˜o horizontal:
v1 = v2 cos(θ2) + v3 cos(θ3) .
Resolvendo para v2 e v3, obtemos:
v2 = 8 m/s e v3 = 6 m/s
(b)
A energia cine´tica inicial e´:
Ki =
1
2
m1v
2
1 = 5 J ,
enquanto a final e´:
Kf =
1
2
m2v
2
2 +
1
2
m3v
2
3 = 5J .
Portanto, a energia cine´tica e´ conservada.
3
0,
0
0,
5
1,
0
1,
5
2,
0
2,
5
3,
0
3,
5
4,
0
-3-2-101
 
 
U (J)
x 
(m
)
3. Uma part´ıcula de massa m = 1 kg esta´ sujeita a um
potencial U(x) = −x3 + 6x2 − 9x + 1, onde x e´ dado
em metros e U em Joules, representado graficamente na
figura.
(a) (0,5) Determine a forc¸a F (x) atuando na part´ıcula
e represente-a graficamente.
(b) (0,5) Identifique os pontos de equil´ıbrio e classifique-
os (esta´vel ou insta´vel).
(c) (0,5) Em x = 2, a part´ıcula e´ abandonada a partir
do repouso. Em que direc¸a˜o e sentido a part´ıcula
passara´ a se mover? Qual e´ o mo´dulo da forc¸a que
atua nela neste ponto?
(d) (0,5) Para a condic¸a˜o inicial do item (c), em que
ponto a velocidade da part´ıcula sera´ ma´xima e qual
sera´ o seu valor?
(e) (0,5) Para a condic¸a˜o inicial do item (c), quais sera˜o,
aproximadamente, os valores ma´ximo e mı´nimo de
x para essa part´ıcula?
SOLUC¸A˜O:
(a)
Forc¸a que atua sobre a part´ıcula
F (x) = −dU
dx
F (x) = 3x2 − 12x+ 9 N
4
0,
0
0,
5
1,
0
1,
5
2,
0
2,
5
3,
0
3,
5
4,
0
-3-2-10123456789
 
 
F (N)
x 
(m
)
(b)
Pontos de equil´ıbrio ocorrem onde F (x) = 0, ou seja
x = 1 m sendo um ponto de equil´ıbrio esta´vel e
x = 3 m sendo um ponto de equil´ıbrio insta´vel.
(c)
Quando abandonada a partir do repouso em x = 2 m, a part´ıcula se deslocara´ no
sentido de x negativo e o mo´dulo da forc¸a que age sobre ela em x = 2 m sera´
F (2) = 3 N
(d)
A energia total e´ dada por E = U + K. Para E dada, K e´ ma´xima quando U e´
mı´nima, ou seja em x = 1 m.
E(2) = U(2) = −1 J
E(2) = E(1) = U(1) +K(1) = −3 +K(1) ⇒ K(1) = 2 J
Velocidade da part´ıcula em x = 1 m
v(1) =
√
2K(1)
m
=
√
2 · 2
1
v(1) = 2 m/s
5
(e)
O movimento so´ pode ocorrer no intervalo em que E ≤ U(x), ou seja o movimento
esta restrito ao intervalo
(0.25 . x . 2) m
4. Um cachorro de 4, 0 kg esta´ parado no ponto central de um barco, que esta´ em repouso
sobre a a´gua. Nesta posic¸a˜o o cachorro se encontra a 6, 0 m da praia. O cachorro anda
2, 4 m em direc¸a˜o a` praia e para. A massa do barco e´ de 20 kg e supo˜e-se que na˜o haja
atrito entre ele e a a´gua.
(a) (1,0) Quando o cachorro se movimenta, a posic¸a˜o do centro de massa do conjunto
cachorro-barco e´ deslocado? Justifique.
(b) (1,0) Qual a distaˆncia final do cachorro em relac¸a˜o a` praia?
(c) (0,5) Qual a distaˆncia final do cachorro em relac¸a˜o a` posic¸a˜o final do centro de massa
do barco?
SOLUC¸A˜O:
(a)
O Centro de Massa do conjunto na˜o e´ deslocado ja´ que:∑ ~F = 0 ⇒ ~PCM e´ conservado ⇒ VCM e´ conservado.
Inicialmente Barco + Cachorro esta˜o em repouso:
VCM0 = 0 = VCM
dxCM
dt
= 0 ⇒ xCM = constante
(b)
Tomando o centro do barco como a origem do sistema de coordenadas:
xCM0 = 0 = xCM
xCM =
mcxc +mbxb
mc +mb
= 0
xc = ∆xc +∆xb = ∆xc + (xb − xb0) = ∆xc + xb
6
mc (∆xc + xb) +mbxb = 0
xb =
−mc∆xc
mc +mb
=
−4× 2, 4
20 + 4
= −0, 4 m
xc = 2, 4− 0, 4 = 2, 0 m
Distaˆncia do cachorro a` praia
6− 2 = 4 m
(c)
Distaˆncia final do cachorro em relac¸a˜o a` posic¸a˜o final do centro de massa do barco
xc − xb = 2, 0− (−0, 4) = 2, 4 m
7