Juros e Descontos Simples

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Juros 
Juro é o aluguel que pagamos pelo tempo em que determinada quantia fica emprestada a nós. Também, é o 
pagamento que recebemos – igualmente ao caso anterior – quando emprestamos certa quantia a alguém. 
 Marcela contraiu empréstimo no banco popular e pagará juros de 12% a.a sobre o capital inicial. 
 Paulo emprestou R$ 2 000,00 a seu amigo João por tempo indeterminado, sob a condição de que ele lhe 
pague juros de 5% a.m. 
a.d → ao dia - a.m → ao mês - a.b → ao bimestre - a.t → ao trimestre - a.s → ao semestre - a.a → ao 
ano 
Juros simples 
Os sumérios, povo que viveu na região da Mesopotâmia, já utilizava ideias sobre juros simples e compostos, 
assim como, crédito. Nessa época – 2100 a.C – esse povo fazia seus registros em tábuas de argila, onde das mais 
de 50 000 encontradas, 400 eram totalmente voltadas à matemática. 
O cálculo dos juros simples é sempre feito sobre o capital inicial a certa taxa e, claro, determinado período de 
tempo. 
Vamos utilizar as seguintes representações: 
Juros (J) - Capital (c) - Taxa (i) - Período (t) 
Podemos calcular os juros simples utilizando a fórmula 
J = c . i . t 
 Diogo contraiu um empréstimo de R$ 1 730,00 a uma taxa de juros simples de 38% a.a. Sabendo que o 
empréstimo foi pago após 10 meses, qual o valor dos juros pagos por Diogo? 
c = R$ 1730,00 i = 38% a.a t = 10 meses 
Observe que a taxa foi dada ao ano, mas o período em que o empréstimo foi quitado é dado em meses. Temos 
então que fazer a conversão. Basta dividir a taxa pelo número de meses que tem um ano (12). 
38% : 12 = 3,166% (valor aproximado) 
Ou seja 
38% a.a = 3,166% a.m 
Observação: o valor da taxa deverá estar escrito em decimal para ser substituído na fórmula. 
3,166 : 100 = 0,03166 
Vamos substituir os valores na fórmula 
J = c . i . t 
J = 1730 . 0,03166 . 10 
J = R$ 547,72 
Conclusão: Diogo pagou R$ 547,72 de juros sob as condições expostas no problema acima. 
Caso queira encontrar o montante (M) – Capital inicial (c) mais juros (j) – poderá utilizar a fórmula: 
M = c + j 
M = 1730,00 + 547,72 
M = R$ 2277,72 
É possível também encontrar o capital, a taxa ou o tempo utilizando a fórmula de juros simples. Na sequência 
darei um exemplo de como encontrar a taxa a partir dos dados descritos na questão. 
 No empréstimo de R$ 780,00 por um período de 7 meses, Roberta pagou R$ 351,00 de juros. Qual a 
taxa mensal de juros simples cobrada nesse empréstimo? 
J = R$ 351,00 c = R$ 780,00 i = ? t = 7 meses 
J = c . i . t 
351 = 780 . i . 7 
351 = 5460i 
i = 351/5460 
i = 0,06428...(dízima não periódica) 
Para escrevermos a taxa em porcentagem, multiplicamos esse resultado por cem. 
i = 0,06428... x 100 = 6,43% (arredondamento) 
i = 6,43 
 
Juros Composto 
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro, sendo portanto o mais útil para cálculos 
de problemas do dia a dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos 
juros do período seguinte. 
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. 
Após três meses de capitalização, temos: 
1º mês: M =P.(1 + i) 
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P.(1 + i).(1 + i) 
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P.(1 + i).(1 + i).(1 + i) 
Simplificando, obtemos a fórmula: 
M = P . (1 + i)n 
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n 
meses. 
Para calcularmos apenas os juros, basta diminuir o principal do montante ao final do período: 
J = M - P 
Exemplo: 
Calcule o montante de um capital de R$ 6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao 
mês. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788) 
Resolução: 
P = R$6.000,00 
t = 1 ano = 12 meses 
i = 3,5 % a.m. = 0,035 
M = ? 
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos: 
M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12 
Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos: 
log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509 
Então M = 6000.1,509 = 9054. 
Portanto o montante é R$ 9.054,00. 
 
COMO CALCULAR DESCONTO SIMPLES 
Na matemática financeira o desconto é a antecipação de valores a receber. Existem dois tipos principais de 
desconto, mas o foco desse artigo é o desconto simples. Ainda dentro do desconto simples, existe dois tipos de 
desconto simples: comercial e racional. Em outro artigo escreverei sobre desconto composto. 
EXEMPLO DE DESCONTO 
Imagine que você é um comerciante e, ao vender uma mercadoria, recebe um cheque de R$1.000,00 com ‘bom 
para’ daqui a 90 dias. Devido a necessidade de capital de giro para comprar mais mercadorias você precisa de 
dinheiro agora, então a solução é descontar (antecipar) o cheque. O mais comum é procurar um banco que vai 
pegar o cheque como garantia e te adiantar R$ 800,00, por exemplo. Essa situação define uma operação de 
desconto de cheque. 
FÓRMULA GERAL DO DESCONTO 
Essa fórmula é bem simples e intuitiva, mas muito importante. Sua utilidade é ampla e serve tanto para o 
desconto simples quanto para o desconto composto. 
Legenda: 
D: desconto 
N: valor nominal ou valor da face 
A: valor atual ou valor antecipado 
DESCONTO SIMPLES COMERCIAL 
O desconto simples comercial, também conhecido como desconto bancário ou desconto por fora, é 
caracterizado por ser calculado com base no valor nominal do documento a ser descontado. A fórmula do 
desconto simples é: 
 
Outra fórmula importante sobre desconto é a fórmula do valor atual, mas com a fórmula anterior já é o 
suficiente para resolver os exercícios de desconto simples. 
 
Legenda: 
Dc: desconto comercial 
N: valor nominal ou valor de face 
I: taxa de desconto comercial 
T: períodos de antecipação 
A: valor atual ou valor antecipado 
DESCONTO SIMPLES RACIONAL 
O desconto simples racional, também conhecido como desconto verdadeiro e desconto por dentro, é 
caracterizado por ser calculado com base no valor atual do documento descontado. A fórmula do desconto 
racional é: 
Pode acontecer do exercício pedir o valor do desconto e não informar o valor atual, então faz 
necessário a fórmula do valor atual no desconto simples racional. 
 
OBS: a diferença entre a fórmula do desconto simples racional e o desconto simples comercial é que na 
racional multiplicamos com o valor atual (A) e na comercial multiplicamos com o valor nominal (N). 
DESCONTO SIMPLES EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
01 – Um boleto de R$2.500,00 com vencimento para daqui a 3 meses foi antecipado com taxa de desconto 
simples comercial de 2%a.m. Calcule o valor do desconto e o valor atual. 
Solução do exercício: nesse exercício todos os dados necessários para calcular o desconto diretamente pela 
fórmula foram dados: valor nominal, taxa de desconto e o prazo. Foi informado também que o desconto é 
comercial. Vamos aplicar a fórmula: 
 
Calculamos que o desconto foi de R$150,00. Agora vamos calcular o valor atual utilizando a fórmula geral do 
desconto. 
 
O valor atual (valor adiantado) foi de R$2.350,00. 
02 – Um comerciante recebeu um cheque para daqui a 4 meses no valor de R$10.000,00 como pagamento . 
Como precisa de dinheiro imediatamente, ele foi a um banco para descontar o cheque. A taxa mensal de 
desconto é de 3,2%. Quanto o comerciante conseguiu antecipar e qual foi o valor do desconto? Considere a 
modalidade de desconto simples racional. 
Solução do exercício: foi dado o valor nominal do cheque, o prazo e a taxa. Nesse caso, vamos utilizar a 
fórmula do valor atual racional. 
 
O valor atual (antecipado) é R$8.865,24.Vamos usar a fórmula geral do desconto para calcular o valor do 
desconto. 
 
Portanto o valor do desconto é R$1.134,76. 
Desconto Simples Comercial ou Bancário (Por Fora) 
 Um dos modelos de juros simples mais utilizados no mercado financeiro é o chamado juro antecipado, juro 
adiantado, desconto de títulos ou simplesmente desconto bancário. Este é o modelo utilizado na modalidade de 
desconto e também por empresas de factoring, bem como em transações de curto prazo quando o pagamento 
for efetuado em uma única parcela, inclusive para cálculo de preço de venda. 
Este modelo consiste em calcular o Valor Presente descontando do Valor Futuro (Valor de Face) uma parcela 
igual ao produto do Valor Futuro pela “taxa de juros” e pelo número de períodos até o vencimento do título 
negociado. (KUHNEN, 2008). 
 
 
1.6.1 Fórmulas 
 
Valor do Desconto Simples Comercial 
 
 
Valor Presente com Desconto Simples Comercial 
 
 
Valor Futuro com Desconto Simples Comercial 
 
 
Número de Períodos com Desconto Simples Comercial 
 
 
Taxa de Desconto Simples Comercial 
 
 
 
1.6.2 Exemplos 
 
1) (CRESPO, 2002). Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 
dias para o vencimento do título, determine: 
a) O valor do desconto comercial; 
b) O valor atual comercial. 
 
Solução: 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
2) (VIEIRA SOBRINHO, 2000). Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, 
cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00? 
 
Solução: 
 
 
 
3) (VIEIRA SOBRINHO, 2000). Uma duplicata no valor de R$ 6.800,00 é descontada por um banco, 
gerando um crédito de R$ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 
3,2% ao mês, determinar o prazo de vencimento da duplicata. 
 
Solução: 
 
 
 
Desconto Simples Racional (Por Dentro) 
 O desconto simples racional (Dr) também chamado de desconto por dentro ou desconto real é equivalente 
ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente. 
Na pratica, somente o desconto comercial é utilizado; porém, é necessário fazermos um rápido estudo do 
desconto racional porque, o desconto composto está ligado a esse conceito. (CRESPO, 2002). 
 
 
1.7.1 Fórmulas 
 
Valor do Desconto Simples Racional 
 
 
Valor Presente com Desconto Simples Racional 
 
 
Valor Futuro com Desconto Simples Racional 
 
 
Número de Períodos com Desconto Simples Racional 
 
 
Taxa de Desconto Simples Racional 
 
 
 
1.7.2 Exemplos 
 
1) (ASSAF NETO, 2001). Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está 
sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, 
pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação. 
 
Solução: 
Desconto 
 
 
Valor Descontado 
 
 
 
2) (ASSAF NETO, 2001). Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 
dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de regate igual a R$ 26.000,00 e valor atual na data do 
desconto de R$ 24.436,10. 
 
Solução: