Geometria analitica capitulo 1

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
Prof. Sergio Ricardo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Duque de Caxias 
2013 
Geometria Analítica 
Prof. Sergio Ricardo e Geovane Oliveira. 
1 
 
CAPÍTULO 1 
O ponto no plano 
 
 
 
1 - Estudo do Ponto no Plano (no R2) 
 
1.1 - Par Ordenado e Coordenadas Cartesianas 
 
A notação (a, b) é usada para indicar o par ordenado de números reais a e b, no qual o 
número a é a primeira coordenada (ou abscissa) e o número b é a segunda coordenada (ou 
ordenada). Assim o par (3, 4) é diferente do par (4, 3), pois no primeiro a abscissa é 3 e a 
ordenada é 4, enquanto que no segundo a abscissa é 4 e a ordenada é 3. 
 
1.2 - Produto Cartesiano 
 
O produto cartesiano XxY de 2 conjuntos X e Y é o conjunto formado pelos pares 
ordenados (x, y) cuja primeira coordenada x pertence a X e cuja segunda coordenada y pertence a 
Y. 
 X x Y = {(x, y) ; x∈X e y∈Y} 
 
Exemplo: 
O produto cartesiano AB x CD entre 2 segmentos de reta AB e CD é um retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3 - Sistema de Eixos Ortogonais 
 
Um sistema de eixos ortogonais é constituído por dois eixos perpendiculares Ox e Oy, que possuem 
a mesma origem O. Esses eixos são orientados e utilizam a mesma unidade de medida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 - Plano Cartesiano (Plano R2) 
 
Chamamos de Plano Cartesiano (ou Plano 2 x=ℝ ℝ ℝ ) a um plano munido de um sistema 
de eixos ortogonais, onde qualquer um de seus pontos P = (x, y) possui uma abscissa x∈ℝ e 
uma ordenada y∈ℝ . 
Os eixos ortogonais dividem o plano cartesiano em 4 quadrantes numerados no sentido 
anti-horário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Os pontos P do eixo x são da forma P(x, 0), ou seja, possuem ordenada nula. 
Os pontos P do eixo y são da forma P(0, y), ou seja, possuem abscissa nula. 
Os pontos P do 1o quadrante são da forma P(x, y) com x > 0 e y > 0 : (+, +) 
Os pontos P do 2o quadrante são da forma P(x, y) com x < 0 e y > 0 : (−, +) 
Os pontos P do 3o quadrante são da forma P(x, y) com x < 0 e y < 0 : (−, −) 
Os pontos P do 4o quadrante são da forma P(x, y) com x > 0 e y < 0 : (+, −) 
 
Exemplo: 
Localize no plano cartesiano os pontos A(4, 1), B(1, 4), C(−2, −3), D(2, −2), E(−1, 0), F(0, 3) e 
O(0,0). 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5 - Bissetrizes dos Quadrantes 
 
A reta r que passa por todos os pontos cuja ordenada é igual à abscissa é a bissetriz dos 
quadrantes ímpares, ou seja : ( ){ }2r x,y : y x= ∈ =ℝ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A reta s que passa por todos os pontos cuja ordenada é simétrica da abscissa é a bissetriz 
dos quadrantes pares, ou seja : ( ){ }2r x,y : y x= ∈ = −ℝ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6 - Ponto Médio de um Segmento 
 
Considere no 2ℝ , o segmento de reta AB, cujos extremos são os pontos A = (xA, yA) e 
B = (xB, yB). Representemos o ponto médio desse segmento AB por M = (xM, yM). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.7 - Distância entre dois pontos 
 
Considere no 2ℝ , os pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da congruência dos triângulos retângulos ADM 
e MEB, conclui-se que as coordenadas xM e yM 
do ponto M, são : 
 
 xM = 
2
xx BA + e yM = 
2
yy BA + 
d(A, B) 
xB − xA 
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao 
triângulo retângulo ADB, vem : 
 
 d (A,B) = 2
AB
2
AB
)y(y )x(x −+− 
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1.8 - Ponto que divide um segmento em uma razão dada 
 
Considere no 2ℝ , o segmento de reta AB, cujos extremos são os pontos A = (xA, yA) e 
B = (xB, yB). Dada uma razão r, desejamos as coordenadas do ponto S = (xS, yS) que divide o 
segmento AB na razão r, ou seja : 
AS
SB
 = r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS : 
a) Se r > 0, S está entre A e B (em particular, se r = 1, S é o ponto médio de AB) 
b) Se r < 0 (r ≠ −1), S é externo a AB (à esquerda de A, se −1< r < 0 e à direita de B se 
−∞ < r < −1) 
 
 
Baricentro (centro de Gravidade) de um Triângulo 
 
Seja ABC um triângulo do 2ℝ , cujos vértices são os pontos A = (xA, yA), B = (xB, yB) e 
C = (xC, yC). As 3 medianas de ABC passam por um mesmo ponto G = (xG, yG) chamado 
baricentro do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como AS = r ⋅ SB, também 
→ 
AS = r ⋅
→ 
SB 
Daí, temos sucessivamente : 
 S − A = r (B − S) = r B − r S 
 S + r S = A + r B 
 S (1 + r) = A + r B 
 S = 
r 1
B r A
+
+ 
 
Portanto : 
 
 xS = 
r 1
x r x
BA
 
 
+
+
 e yS = 
r 1
 yr y
BA
 
 
+
+
 
 
 
Da semelhança dos triângulos FGD e AGC segue-se 
que : AG/GD = AC/FD = 2 
Assim AG = 2 ⋅ GD e também AG
����
 = 2 ⋅GD
����
 
Daí, temos sucessivamente : 
 G − A = 2 (D − G) = 2 D − 2 G 
 3 G = A + 2 D 
Mas, 2 D = B + C, pois D é médio de BC 
 Logo : 3 G = A + B + C 
 G = 
3
C B A ++
 
Portanto : 
 
 xG = 
3
xx x
CBA
++ 
 e yG = 
3
yy y
CBA
++ 
 
 
 
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2. Atividades 
Exercício 1 
Um ponto P tem coordenadas (2x − 6, 7) e pertence ao eixo das ordenadas. Determine x. 
 
Exercício 2 
Os pares ordenados (2x, y) e (3y − 9, 8 − x) são iguais. Determine x e y. 
 
Exercício 3 
Sabe-se que o ponto A(3k−1, 2−k) pertence à bissetriz dos quadrantes pares de um plano 
cartesiano. Determine o valor de k. 
 
Exercício 4 
Sendo A = (−4, 7) e B = (6, −8), determine as coordenadas do ponto médio M do segmento AB. 
 
Exercício 5 
Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A = (4, −3), B = (7, −1) e C = (−5, 4). Sendo E o 
ponto médio da mediana AD, determine as suas coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 6 
Num paralelogramo ABCD tem-se A = (−2, −1) e B = (1, 4). Sabe-se, também, que suas diagonais 
encontram-se no ponto G = (3, 2), determine as coordenadas dos vértices C e D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 7 
Determine a distância entre os pontos A = (−4, 5) e B = (2, −3). 
 
Exercício 8 
Calcule o perímetro do triângulo ABC em que A = (2, 2), B = (5, 4) e C = (3, 6). 
 
Exercício 9 
Determine o(s) ponto(s) do eixo das abscissas, cuja distância ao ponto A = (2, 3) vale 5. 
 
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Exercício 10 
Determine o comprimento da mediana AM de um triângulo ABC cujos vértices são A = (−3, )
3
2
, 
B = (1, 5) e C = (6, −1). 
 
 
 
 
 
Exercício 11 
Determine o ponto S, que divide o segmento AB na razão r = 
2
3
, sendo A = (−1, 6) e B = (4, −4). 
 
Exercício 12 
Dado o segmento AB, onde A = (4, 3) e B = (−8, −1), determine as coordenadas do ponto S, 
colinear com A e B, tal que AS = 3⋅SB. 
 
 
 
Exercício 13 
Os pontos A = (4, 1), B = (−1, 2) e C = (3, 7) são vértices de um triângulo. Determine as 
coordenadas de seu baricentro. 
 
 
 
Exercício 14 
Em um triângulo ABC são dados o vértice A = (4, 1), o baricentro G = (−2, 0) e o ponto M = (2, −1) 
médio do lado AB. Determine as coordenadas do vérticeC. 
 
 
 
Exercício 15 
No triângulo ABC, cada lado é dividido em 3 partes iguais como indicado na figura abaixo. Sendo 
P = (8, 3), Q = (11, 4) e R = (9, 2), determine as coordenadas do ponto M. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Gabarito 
1) 3=x 
2) 53 == yex 
3) 
2
1
=k 
4) )
2
1
,1( −=m 
5) )
4
3
,
2
5()
2
3
,1( −= EeD 
6) )5,8()0,5( CeD = 
7) 10),( =BAd 
8) 17813 ++=Perímetro 
9) )0,6()0,2( 21 pep −= 
10) 
2
170),()2,
2
7( == BAdem 
11) )2,1(=S 
12) )0,5(−=S 
13) )
3
10
,2(=G 
14) )2,10(−=C 
15) ).2,1()0,3();1,4();5,14();2,5();4,1( −−−−= MeNSCBA