Cálculo: Derivadas e Propriedades

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Derivação
Taxa de variação média
∆f = f(x1)-f(x0) = f(x+∆x)-f(x)
 ∆x x1-x0 ∆x
Taxa de variação instantânea
f’(x) = lim f(x+∆x)-f(x) = df
 ∆x0 ∆x dx
Interpretação geométrica
reta secante no limite  reta tangente
m = tg α = f’(x0)
Cálculo I
Derivada
Figura 5.13: Definição de diferencial.
MORETTIN, Pedro A; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton de O. Cálculo: funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003.
Cálculo I
Derivada
Derivada das principais funções elementares
Derivada da função constante
f(x) = c  f’(x) = 0
Derivada da função potência
f(x) = xn  f’(x) = n.xn-1
Derivada da função logarítmica
f(x) = ln x  f’(x) = 1/x
Cálculo I
Derivada
Derivada das principais funções elementares
Derivada da função seno
f(x) = sen x  f’(x) = cos x
Derivada da função coseno
f(x) = cos x  f’(x) = - sen x
Derivada da função exponencial
f(x) = ax  f’(x) = ax ln a
f(x) = ex  f’(x) = ex
Cálculo I
Derivada
Propriedades operatórias
Derivada do produto por escalar
f(x) = k.g(x)  f’(x) = k.g’(x)
Derivada da soma
f(x) = u(x)+v(x)  f’(x) = u’(x)+v’(x)
Derivada da diferença
f(x) = u(x)-v(x)  f’(x) = u’(x)-v’(x)
Cálculo I
Derivada
Propriedades operatórias
Derivada do produto
f(x) = u(x).v(x)  f’(x) = u(x).v’(x)+u’(x).v(x)
Derivada da divisão
f(x) = u(x)  f’(x) = v(x).u’(x)-v’(x).u(x)
 v(x) v2(x)
Derivada da exponencial
f(x) = u(x)v(x)  f’(x) = f(x).[v(x).ln u(x)]’
Cálculo I
Derivada
Função composta – regra da cadeia
f(x) = v(u(x))  f’(x) = v’(u(x)) . u’(x) 
df = dv . du 
 dx du dx
então f’(x) = v’(u) . u’(x) = v’(u(x)) . u’(x)
Múltiplas derivadas
Cálculo I
Derivada
THOMAS, GEORGE B. Cálculo. 11 ed. São Paulo: Addison Wesley, v. 1. 2009. 783 p. ISBN 85-88639-31-7. 
Capítulo 3.
Cálculo I
Derivada