exercicios de trigonometria

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
TRIGONOMETRIA 1 
1) Uma escada está apoiada em um muro de 2 
m de altura, formando um ângulo de 45º. 
Forma-se, portanto, um triângulo retângulo 
isósceles. Qual é o comprimento da 
escada? 
 
45
° 
45
° 
2m 
x 
Resposta: O comprimento aproximado da escada 
é de 2,83 m 
2m 
1 
2 
 A questão também poderia ser 
respondida através da aplicação 
do Teorema de Pitágoras. 
 2m 
x 
2m 
Resposta: O comprimento aproximado da escada é 
de 2,83 m 
2) Usando os triângulos retângulos a seguir, 
determine as razões trigonométricas para o 
ângulo x. 
 
3) No exercício anterior, o que podemos 
concluir sobre o ângulo x? Quanto mede 
esse ângulo? 
2) 
3) O ângulo mede 45° 
4) Observe a figura a seguir e determine a 
altura “h” do edifício, sabendo que AB mede 
25m e cos ϴ= 0,6 . 
 
ϴ 
h 
O problema informa o valor de 
cos ϴ, mas para utilizar a razão 
trigonométrica cosseno, 
deveríamos relacionar a medida 
do cateto adjacente ao ângulo ϴ 
com a medida da hipotenusa. 
Cateto 
Oposto ao 
ângulo ϴ 
Hipotenus
a 
No caso, precisamos calcular a medida do 
cateto oposto ao ângulo ϴ, conhecendo a 
medida da hipotenusa, ou seja, o ideal seria 
termos o valor de sen ϴ e, para isso, 
aplicaremos a Relação Fundamental da 
Trigonometria: 
A partir daí, o cálculo da altura torna-
se bastante simples: 
Resposta: A altura do prédio é de 20 m 
Para ângulos agudos, 
as razões 
trigonométricas são 
positivas e, portanto, 
não há necessidade de 
usar ± 
5) Em certa hora do dia, os raios do Sol incidem 
sobre um local plano com uma inclinação de 
60° em relação à horizontal. Nesse momento, o 
comprimento da sombra de uma construção de 
6m de altura será aproximadamente igual a: 
 
a) 10,2 m 
b) 8,5 m 
c) 5,9 m 
d) 4,2 m 
e) 3,4 m 
 
60° 
6m 
x 
Cateto adjacente 
ao ângulo de 60° 
Cateto oposto ao 
ângulo de 60° 
Conhecemos a medida do cateto 
oposto ao ângulo de 60° e 
desejamos calcular a medida do 
cateto adjacente a esse mesmo 
ângulo. 
 
A melhor escolha é trabalhar com 
a tangente de 60°! 
Resposta: Opção E 
x 
Os raios do Sol incidem sobre um 
local plano com uma inclinação de 
60° em relação à horizontal. Calcular 
o comprimento da sombra de uma 
construção de 6m de altura. 
1 
2 
 6) A figura representa um barco atravessando 
um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A 
forte correnteza arrasta o barco em direção ao 
ponto C, segundo um ângulo de 60º. Sendo a 
largura do rio de 120 m, a distância percorrida 
pelo barco até o ponto C, é: 
 
a) 240 m 
b) 240 m 
c) 80 m 
d) 80 m 
e) 40 m 
120m x 
A 
B C 
Cateto adjacente 
ao ângulo de 60° Hipotenusa 
Conhecemos a medida do cateto adjacente ao ângulo de 60° e desejamos 
calcular a medida da hipotenusa do triângulo ABC. 
 
Dessa vez é melhor escolher trabalhar com o cosseno de 60°! 
Resposta: Opção C 
 7) Para permitir o aceso a um monumento que 
está em um pedestal de 2m de altura, vai ser 
construída uma rampa com inclinação de 30° 
com o solo, conforme a ilustração. O 
comprimento da rampa será igual a: 
 
a) /2 m 
b) m 
c) 2 m 
d) 4 m 
e) 4 m 
 
 
 
30° 
2m 
x 
Hipotenusa 
Cateto oposto ao 
ângulo de 30° 
Conhecemos a medida do cateto oposto ao ângulo de 30° e desejamos 
calcular a medida da hipotenusa do triângulo esboçado acima. 
 
Sem dúvida é um caso para aplicar o seno de 30°! 
Resposta: Opção D 
 8) Um observador, no ponto O da figura, vê 
um prédio segundo um ângulo de 75°. Se 
esse observador está situado a uma distância 
de 12m do prédio e a 12m de altura do plano 
horizontal que passa pelo pé do prédio, então 
qual é a altura do prédio, em metros? 
45° 
75° 
30° 
 
 12 
12 
 
 
 
 O 
A 
B 
C 
x 
45° 
O triângulo AOB é 
isósceles e, 
portanto, o ângulo 
AÔB é igual ao 
ângulo OÂB 
Sendo o 
triângulo AOB 
isósceles e 
retângulo, 
temos 
 = Ô = 45° 
O ângulo AÔC, que 
mede 75° ficou 
dividido em duas 
partes: 
m(AÔB) = 45° 
m(BÔC) = 30° 
•Vamos trabalhar então no triângulo 
retângulo BÔC onde Ô = 30°. 
 
•Desejamos calcular a medida do 
cateto oposto a esse ângulo e 
conhecemos a medida de seu cateto 
adjacente. 
 
•Um caso claro de utilização da 
tangente! 
1 4 
Finalmente, a altura total do prédio é a medida do segmento AC, 
ou seja: 
Resposta: A altura 
aproximada do prédio é 
18,93 m 
9) Determine a área do triângulo abaixo de base 
igual a 6 cm: 
 
60° 
A 
45° 
75° 
  
b c 
 
 
 
H 
B C 
a = 6 
h 
h 6 – h 
 
O triângulo AHB é 
retângulo e tem um 
ângulo medindo 
45°, logo é 
isósceles com AH 
= BH 
Sabendo que 
BH= h, como BC 
= 6, podemos 
escrever que 
HC = 6 – h 
No triângulo ABC, 
se  = 75° e B = 
45°, como  + B + 
C = 180°, então C 
= 60° 
^ ^ 
^ 
^ 
60° 
A 
 
b 
 
 
H 
C 
h 
6 – h 
 
1 
3 
10) Um turista vê o topo de uma torre construída em 
um terreno plano, sob um ângulo de 30°. 
Aproximando-se da torre mais 374 m, passa a vê-la 
sob um ângulo de 60°. Considerando que a base 
da torre está no mesmo nível do olho do turista, 
calcule a altura da torre. (Você imagina por onde 
anda esse turista?) 
 
 
30° 
30° 
60° 
 
  
30° 
374m A B C 
T 
 
h 
• ∆ BCT é retângulo em C com CBT = 60° ⇒ CTB = 30° 
 
• ∆ ACT é retângulo em C com CÂT = 30° ⇒ CTA = 60° 
 
• Sendo CTA = 60° e CTB = 30° ⇒ BTA = 30° e ∆ ABT é isósceles com 
AB = BT = 374 m 
 
• Aplicando agora o seno de 60° no ∆BCT, temos: 
 
 
^ ^ 
^ 
^ ^ ^ 
60° 
60° 
 
  
30° 
374m A B C 
T 
30° 
30° 
 
h 
Resposta: 324 m de altura, e só pode ser a Torre 
Eiffel... 
O turista está em Paris! 
1 187 
Professora Telma Castro Silva 
ISERJ – 2012