Apostila de Experimentação Agrícola

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS 
DEPART. DE PLANEJ. E POL. AGRÍCOLA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA BÁSICA PARA O ACOMPANHAMENTO DA DISCIPLINA 
EXPERIMENTAÇÃO AGRÍCOLA, MINISTRADA AOS ALUNOS DO CURSO DE 
BACHARELADO EM ENGENHARIA AGRONÔMICA 
 
 
 
 
 
Autor: Prof. Dr. José Algaci Lopes da Silva 
 
 
 
 
 
Colaboradores: 
Dyego Leandro da Costa Monte (Est. de Eng. Agronômica). 
Jorge Manuel de Isasa Araújo (Est. de Eng. Agronômica). 
Revisão: 
Antonio Victor Cavalcante Rocha Silva (Est. de Eng. Agronômica).(2017.1) 
Maria Eduarda Cabral da Silva (Est. De Eng. Agronômica).(2017.1) 
 
 
 
 
 
 
 
TERESINA – PIAUÍ – BRASIL 
Junho / 2017
1 
 
AGRADECIMENTOS 
 
 
 
Os escritores em geral devem mais às pessoas com quem convivem do que eles gostariam 
de reconhecer. E o autor desta modesta apostila não foge à regra. Devemos mais aos 
alunos, aos colegas, aos nossos professores, aos amigos do que sabemos reconhecer. Fazer 
agradecimentos não é, pois, tarefa fácil. Mas alguns nomes precisam ser citados, porque 
são de pessoas que deram ajuda, muito de perto para a elaboração deste texto. Ficam então 
aqui registrados nossos agradecimentos aos Professores Fernando Pinheiro Reis e Paulo 
Roberto Cecon (Estatística – UFV – Viçosa-MG), aos pós-graduandos que cursaram a 
disciplina Estatística Experimental (UFPB – CCA) e Técnicas Experimentais em 
Agronomia (UFPI / CCA / PPGA), contribuindo para a melhoria e aplicabilidade do 
conteúdo. Claro, aos dois monotores da dsiciplina Experimentação Agrícola (2013.1), 
estudantes de Eng. Agronômica Jorge Manuel de Isasa Araújo e Dyego Leandro da Costa 
Monte, os quais auxiliaram nesta versão adaptada para a graduação. 
 
 
 
2 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
A presente apostila constitui o material básico utilizado na disciplina 
Experimentação Agrícola do Curso de Bacharelado em Engenharia Agronômica do 
Centro de Ciências Agrárias da Universidade Federal do Piauí, Campus Ministro Petrônio 
Portela. A Experimentação Agrícola é a ciência que tem como objetivo estudar 
experimentos (ensaios, podendo ser a campo ou em laboratórios), englobando etapas como 
o planejamento, execução, coleta e análise dos dados experimentais e interpretação dos 
resultados obtidos. 
Num total de nove capítulos, procurou-se apresentar de uma forma didática o 
conteúdo programático desta disciplina. 
No Capítulo I faz-se uma breve revisão, pois estes conteúdos foram abordados na 
discplina Estatística Aplicada a Agronomia, sobre as principais medidas de posição ou de 
tendência central e de dispersão. 
Noções iniciais sobre Estatística Experimental serão vistas no Capítulo II, onde 
apresentou-se um resumo sobre os princípios básicos da experimentação. 
A partir do Capítulo III até o VIII reuniram-se os principais delineamentos 
experimentais: DIC, DBC, DQL, bem como Arranjos Fatoriais e em Parcelas 
Subdivididas. Logo no início deste capítulo, após a apresentação do Delineamento 
Inteiramente Casualizado (DIC), foram mostrados alguns dos principais testes 
paramétricos de comparações múltiplas como Tukey, Duncan, Scheffé, etc. 
O Capítulo IX traz uma modesta contribuição sobre os temas Análise de 
Regressão e de Correlação, onde destacam-se os métodos de estimação dos parâmetros da 
equação de regressão, a análise de variância da regressão, teste de significância dos betas, 
coeficiente de determinação, etc. 
Ao final de cada capítulo e em um apêndice são propostos exercícios de fixação, 
onde o estudante terá oportunidade de conhecer o estilo do professor quanto aos seus 
questionamentos e nível de raciocínio exigidos. Ao final, a Bibliografia Consultada. 
 
3 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS 
DEP. DE PLANEJ. E POL.AGRÍCOLA 
Prof.: Dr
es
.Algaci Lopes 
 
DISCIPLINA: ExperimentaçãoAgrícola 
Carga Horária: 60h. 4 créds. 
 
EMENTA: Modelos matemáticos de delineamentos básicos; Testes de significância; 
Ensaios fatoriais; Ensaios em parcelas subdivididas; Análise conjunta de ensaios; Estudos 
de regressão; Planejamento de ensaios; Uso de softwares em análises estatísticas. 
 
OBJETIVO GERAL 
 
Proporcionar aos estudantes conhecimento dos fundamentos necessários ao estudo 
dos experimentos e da experimentação sob os aspectos do planejamento, execução, 
condução, amostragem, coleta de dados e análise estatística dos mesmos, bem como 
interpretação dos resultados. 
 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
1. INTRODUÇÃO 
 
 Medidas de tendência central e de dispersão 
 Variações premeditada, sistemática e do acaso 
 
2. PRINCÍPIOS BÁSICOS DE EXPERIMENTAÇÃO 
 
 Parcela 
 Casualização 
 Repetição 
 Controle de local 
 
3. TESTES DE SIGNIFICÂNCIA OU DE COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS 
 
 Teste de F 
 Teste de t 
 Contrastes 
 Teste de Tukey 
 Teste de Duncan 
 Teste de Scheffé 
 
4. DELINEAMENTOS BÁSICOS 
 
 Delineamento inteiramente casualizado – DIC 
 Delineamento em blocos casualizados – DBC 
 Delineamento em quadrados latinos - DQL 
 Experimentos fatoriais com dois e três fatores 
 Experimentos em parcelas subdivididas 
 Análise conjunta de experimentos 
 
4 
 
5. ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E DE REGRESSÃO 
 
 Coeficiente de correlação e regressão linear simples 
 Análise de variância da regressão 
 Coeficiente de determinação 
 Regressão linear múltipla 
 Testes das estimativas dos coeficientes – Teste t 
 Regressão através de polinôminos ortogonais 
 
 
6. Uso do softwareExcel. 
 
METODOLOGIA 
 
TEÓRICA - Aulas expositivas, com apresentação de exemplos teóricos e práticos. 
 
PRÁTICA - Apresentação de exemplos práticos, discussão e interpretação de resultados 
de experimentos à luz de fundamentos estatísticos. 
 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
 
BANZATTO, D.A. e KRONKA, S.N. Experimentação agrícola. Jaboticabal: FUNEP, 
1989. 247 p. 
 
BARBIN, D. Planejamento e análise estatística de experimentos agronômicos. 
Arapongas: Editora Midas, 2003. 208 p. 
 
FERREIRA, P.V. Estatística experimental aplicada à Agronomia. 2
a
 edição. Editora da 
UFAL (EDUFAL). Maceió, Alagoas, 1996, 604 p. 
 
GOMES, F.P. & GARCIA, C.H. Estatística aplicada a experimentos agronômicos e 
florestais. Piracicaba: FEALQ, 2002. 309p. 
 
GOMES, F.P. Curso de estatística experimental. 13 ed. Piracicaba – SP. Livraria 
NOBEL S.A. 1990. 468 p. 
 
HOFFMANN, R. & VIEIRA, S. Análise de regressão. Uma introdução à Econometria. 
São Paulo-SP. Ucitec, (2 ed.). 379p. 1983. 
 
ZIMMERMANN, F.J.P. Estatística aplicada à pesquisa agrícola. Santo Antonio de 
Goiás: EMBRAPA arroz e feijão, 2004. 402 p. 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
 
FONSECA, J.S. MARTINS, G.A. Curso de estatística. 3 ed. São Paulo – SP. Atlas. 1992. 
317 p. 
 
SAMPAIO, I.B.M. Estatística aplica à experimentação animal. Belo Horizonte-MG. 
Fundação de Ensino e Pesquisa em Medicina Veterinária e Zootecnia. 1998. 221 p. 
 
STORCK, R.G.D. ESTEFANEL, V. GARCIA, D.C. Experimentos fatoriais: modelos e 
análises pelos pacotes SAS e SAEG e STORCK, L. LOPES, S.J. Experimentação II. 
Santa Maria – RS. Dep. de Fitotecnia / UFSM, 1997. 207 p. 
5 
 
 
PERIÓDICOS 
Crop Science 
Biometrics 
Pesquisa Agropecuária Brasileira – PAB 
Ciência Rural 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 
 
Muito do conhecimento que a humanidade acumulou ao longo dos séculos foi 
adquirido através da experimentação. A ideiade experimentar, no entanto, não é apenas 
antiga, também pertence ao nosso dia-a-dia. Todos nós já aprendemos algumas coisas, ao 
longo da vida, experimentando. A experimentação, no entanto, só se definiu como técnica 
sistemática de pesquisa neste século, quando foi formalizada através da estatística 
(PIMENTEL GOMES, 1985). 
Hoje são feitos experimentos em quase todas as áreas do trabalho, embora alguns 
pesquisadores acreditem, ingenuamente, que certas técnicas experimentais sejam 
conhecidas apenas em sua área. Na verdade, as técnicas experimentais são universais e se 
aplicam a diferentes áreas – Agronomia, Medicina, Engenharia e Psicologia – e os métodos 
de análise são sempre os mesmos (VIEIRA, S. & HOFFMANN, R., 1989). 
A Estatística Experimental foi proposta inicialmente na área de ciências 
biológicas por Ronald A. Fisher em 1919. Fisher propôs o uso da análise de variância 
(ANOVA) como ferramenta para análise e interpretação de dados. (JANAÍNA RIBEIRO 
COSTA, EMBRAPA, 2003). 
Seguindo o exemplo de R.A. Fisher, podemos definir a Estatística como a 
Matemática aplicada aos dados de observação. Mas tais dados são, em muitos casos, 
colhidos através de trabalhos feitos propositalmente e em condições previamente 
especificadas: temos então dados experimentais, obtidos de experimentos. O estudo dos 
experimentos, seu planejamento, execução e análise, é que constitui o objeto da Estatística 
Experimental. (PIMENTEL GOMES, 1990). 
 
 
7 
 
ÍNDICE 
 
 
Pág. 
 
CAPÍTULO I - Medidas de Posição e de Dispersão .................................................... 08 
CAPÍTULO II - Princípios Básicos da Experimentação .............................................. 10 
CAPÍTULO III - Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) ............................... 12 
CAPÍTULO IV - Testes Paramétricos de Comparações Múltiplas ............................. 16 
CAPÍTULO V - Delineamento em Blocos Casualizados (D.B.C.) ............................. 25 
CAPÍTULO VI - Delineamento ao Quadrado Latino (DQL) ...................................... 29 
CAPÍTULO VII - Experimentos Fatoriais ................................................................... 33 
CAPÍTULO VIII - Experimentos em Parcelas Subdivididas ...................................... 47 
CAPÍTULO IX - Análise de Regressão e de Correlação ............................................. 54 
Análise de Correlação .................................................................................................. 54 
Listas de Exercícios ...................................................................................................... 64 
Bibliografias ................................................................................................................. 72 
TABELAS Estatísticas (F, Tukey, Duncan, ..., a 1%, 5% e 10%) ............................... 73 
ANÁLISE ESTATÍSTICA VIA SAEG, Versão 9.1 – For Windows ................... 79 
ANÁLISE CONJUNTA DE EXPERIMENTOS.......................................................... 
CROQUI EXPERIMENTAL........................................................................................ 
84 
95 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
CAPÍTULO I 
 
Medidas de Posição e de Dispersão 
 
1.1. Medidas de Posição ou de Tendência Central 
 
Após serem tabulados, é necessário encontrar valores típicos que possam 
representar a distribuição como um todo. Esses valores tendem a se localizar em um ponto 
central e reproduzir características da população ou da amostra, quanto mais homogêneos 
forem os componentes menores serão estes valores. 
Esses valores são chamados de medidas de tendência central ou de posição. 
Importarão para nossa disciplina duas destas, a média aritmética populacional e amostral, 
originadas da população e da amostra, respectivamente. 
 
1.1.1. Medidas Populacional ((letra grega mi); m): 
 
Dado um conjunto N valores ou observações {X1, X2, X3, X4,...XN}: 
 = Xi/N = {X1 + X2 + X3 +...+ XN}/N; onde N é o tamanho da população. 
 
1.1.2. Média Amostral (
X
): 
 
Dado um conjunto n valores oriundos de amostragem representativa de uma 
população {x1, x2, x3, x4,... xn}: 
X
= xi/n = {x1 + x2 + x3 +...+ xN}/n; onde n é o tamanho da amostra. 
 
1.2. Medidas de Dispersão: 
 
Na seção anterior, vimos a média que é considerada mais importante medida de 
tendência central. Contudo, ela não nos diz como os dados de uma amostra ou população 
se distribuem em torno dela. Por exemplo: 
(1) 10, 10, 10, 10, 10 
X
 = 10; 
(2) 8, 10, 12, 9, 11 
X
 = 10; 
(3) 10, 3, 9, 17, 11 
X
 = 10; 
(4) 17, 15, 7, 3, 8 
X
 = 10; 
Vimos que as amostras (1), (2), (3) e (4) têm a mesma média, mas observamos 
que na amostra (1) todos os valores são iguais a 10, ou seja, igual à média aritmética, logo 
todos os valores estão concentrados na média, não existindo dessa forma qualquer 
diferença entre cada valor e a média, conseqüentemente não existe variabilidade nos dados. 
Ao passo que, nas outras existem diferenças em relação à média, sendo a amostra (4) a 
mais variável ou de maior variância. 
9 
 
Portanto, além da média, necessitamos de uma medida estatística complementar 
para melhor caracterizar cada amostra apresentada. As mais usuais medidas responsáveis 
por esta caracterização são: 
 
1.2.1. Variância (2 = populacional e S2 = amostral) 
 
Define-se variância de um conjunto N ou n observações, como sendo a relação 
entre a SQDx (soma de quadrados dos desvios de x) e os graus de liberdade da população 
(variância popul. ou da amostra (var. amostral). 
Assim: 
2 = SQDx/N – 1 ou S2 = SQDx/n – 1; onde, 
SQDx = (Xi – )2 ou SQDx = (xi – 
X
)
2
; população e amostra, respectivamente. 
Trabalhando esta expressão, chega-se à seguinte fórmula de variância: 
2 = {Xi2 (Xi)2 /N}/N – 1 ou S2 = {xi2 – (xi)2/n}/n – 1 
 
1.2.2. Desvio Padrão ( = populacional e s = amostral) 
 
Ao contrário da variância, apresenta os valores nas suas unidades originais. 
O desvio padrão, amostral ou populacional, é encontrado extraindo-se a raiz 
quadrada da variância, ou seja: 
 = 
2
 e s = 
2S
 
 
1.2.3. Coeficiente de Variação (C.V.): 
 
Expresso em percentagem (%), tem a finalidade de medir o grau de precisão de 
um experimento, sendo eficiente ainda na comparação de grupos com unidades diferentes. 
É encontrado através da seguinte fórmula: 
C.V. = 100 . s/
m
, onde s é o desvio padrão e 
m
 é a média geral do experimento. 
O C.V. ainda pode ser encontrado pela seguinte fórmula, C.V.(%) = 
 
 
 . 100. 
Segundo PIMENTEL GOMES (1985), o grau de precisão de um experimento 
pode, na maioria dos casos, obedecer à seguinte tabela: 
Intervalo do C.V.(%) Qualidade do Experimento 
0  C.V.  10 Ótimo 
11  C.V.  20 Bom 
21  C.V. < 30 Regular 
C.V.  30 Ruim 
 
Natan
Realce
Natan
Realce
10 
 
CAPÍTULO II 
Princípios Básicos da Experimentação 
 
A pesquisa científica está constantemente se utilizando de experimentos para 
provar suas hipóteses. É claro que os experimentos variam de uma pesquisa para outra, 
porém, todos eles são regidos por alguns princípios básicos, dos quais depende a maior ou 
menor validez das conclusões obtidas. Tais princípios são: repetição, casualização e 
controle local (FERREIRA, P.V., 1996). 
 
2.1. Princípio da Repetição: 
 
Uma das maneiras mais eficientes de aumentar a precisão de um experimento 
consiste em aumentar o número de repetições dos tratamentos. Assim, em um experimento 
deve-se ter o maior número possível de repetições.É através da repetição que se estima o 
erro experimental, principal função deste princípio. 
O número de repetições de um experimento depende de uma série de fatores: 
a) tipo de solo em que foi instalado o experimento; 
b) espécie vegetal a ser estudada (ciclo, porte, densidade, etc.); 
c) custo de execução das etapas do experimento; 
d) número de tratamentos, pois, quanto menor o número de tratamentos, maior deve ser o 
número de repetições por tratamento. Via de regra, diz-se que um bom experimento 
deverá ter no mínimo 20 (vinte) parcelas experimentais ou 10 (dez) graus de liberdade 
associado ao resíduo. 
 
2.2. Princípio da Casualização: 
 
A casualização tem por objetivo evitar que um determinado tratamento seja 
favorecido ou desfavorecido quando distribuídos nas diversas unidades experimentais ou 
parcelas. Significa que a distribuição dos tratamentos nas parcelas deve ser feita totalmente 
ao acaso, mediante sorteio ou algum outro procedimento que não permita a influência do 
pesquisador ou de seus ajudantes nos tratamentos. 
Os erros experimentais, através da casualização, tornam-se independentes, o que 
possibilita a aplicação dos testes de significância (Mead & Curnow, 1983). Alguns 
programas computacionais elaboram planilhas de campo já com os tratamentos 
aleatorizados, como por exemplo o MSTAT, SISVAR e outros. (JANAÍNA RIBEIRO 
COSTA, EMBRAPA, 2003). 
 
2.3. Princípio do Controle de Local 
 
É opcional, depende da necessidade ou não de utilizá-lo. É uma forma de 
homogeneizar as condições experimentais. Neste caso, o material experimental é dividido 
em porções homogêneas ou blocos, cada um dos quais contendo todos os tratamentos. É 
mais utilizado em locais onde as condições experimentais são heterogêneas, ex.: solo com 
relevo apresentando declividade. 
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
11 
 
Segundo Hinkelmann & Kempthorne (1994), o princípio do controle local é o 
reconhecimento de padrões supostamente associados às parcelas. Este princípio é utilizado 
para atenuar problemas de heterogeneidade ambiental (por exemplo distribuição desigual 
de água em determinados blocos no caso de experimentos irrigados). 
Os princípios acima mencionados norteiam modelos experimentais que objetivam 
basicamente controlar ou isolar as diversas variações experimentais, dentre as quais 
podemos destacar três tipos básicos de variações: 
a) Variação premeditada – que seria aquela introduzida pelo experimentador, com o 
objetivo de fazer comparações (são os tratamentos). Ex.: competição entre variedades, 
diferentes adubações, temperaturas, etc. 
b) Variação sistemática – é um tipo de variação não intencional, de origem conhecida, 
podendo ser controlada pelo experimentador. São as variações inerentes às condições 
experimentais: clima, área, animais em estudo, etc. Pode ser controlada extratificando-
se o experimento em blocos, linhas ou colunas, conforme o delineamento experimental 
adotado. Se desprezada, esta variação estará sendo somada à variação residual, 
aumentando demasiado o erro experimental, reduzindo a precisão do experimento e 
dificultando a validez dos testes de comparações múltiplas e da própria análise de 
variância, os quais serão vistos nos capítulos posteriores. 
c) Variação aleatória – são as variações não intencionais, de origem desconhecida, que 
não podem ser controladas pelo experimentador. Constitui o erro experimental ou 
resíduo. 
 
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
12 
 
CAPÍTULOS III A IX 
Delineamentos, Arranjos Experimentais e Testes de Comparações Múltiplas 
 
CAPÍTULO III 
Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) 
 
O delineamento inteiramente casualizado é o mais simples de todos os 
delineamentos experimentais. Os tratamentos são dispostos nas unidades experimentais de 
forma inteiramente casual, isto é, sem qualquer restrição na casualização. Utilizam-se 
apenas os princípios da repetição e da casualização. Assim, para utilizar este delineamento 
deve-se ter homogeneidade das condições ambientais e do material experimental. Seu uso 
é mais freqüente em experimentos de laboratório e nos ensaios com vasos, realizados em 
casa-de-vegetação, onde as condições ambientais podem ser perfeitamente controladas. 
Este delineamento apresenta as seguintes vantagens, em relação a outros 
delineamentos: 
a) É um delineamento bastante flexível visto que qualquer número de repetições ou 
tratamentos pode ser usado e o número de repetições pode variar de um tratamento para 
outro sem que isto dificulte a análise. Sempre que possível, no entanto, deve-se usar o 
mesmo número de repetições para todos os tratamentos. 
b) A análise estatística é simples, mesmo quando o número de repetições por tratamento é 
variável. 
c) Apresenta maior número de graus de liberdade associado ao resíduo. 
 
3.1. Modelo Estatístico 
 
Yij = m + ti + eij com i = 1, 2,... I; e j = 1, 2,... j; 
 
Yij = Valor observado na parcela que recebeu o tratamento i na repetição j; 
m = média de população; 
ti = efeito do tratamento i aplicado na parcela; 
eij = efeito dos fatores não controlados na parcela. 
 
3.2. Esquema de Casualização dos Tratamentos 
 
Seja um experimento com 5 tratamentos (A, B, C, D, E) e 4 repetições (20 parcelas) 
A B D E C 
B A C D E 
E A B C D 
D E A B C 
 
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Nota
COMO NÃO SE UTILIZA DO PRINCIPIO DO CONTROLE LOCAL, QUE EVITA OS ERROS GERADOS PELA HETEROGENEIDADE DO LOCAL, DEVE-SE TER UM LOCAL HOMOGÊNEO.
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
13 
 
Coleta de dados: TRATAMENTOS 
A(1) B(2) C(3) D(4) E(5) 
Y11 Y21 Y31 Y41 Y51 
Y12 Y22 Y32 Y42 Y52 
Y13 Y23 Y33 Y43 Y53 
Y14 Y24 Y34 Y44 Y54 
TA TB TC TD TE 
 
3.3. Análise de Variância (ANOVA): Consiste na decomposição da variação total em 
partes conhecidas (devido ao efeito de tratamentos) e outra parte desconhecida, de 
natureza aleatória que constitui o erro experimental ou resíduo. 
 
3.3.1. Pressuposições da Análise de Variância: 
 
 Os diversos efeitos são aditivos; 
 Os erros eij são normais e independentemente distribuídos, com variância 
homogênea igual a 2. 
 
 
 Generalizando para um experimento com I tratamentos e J repetições. 
SQ total = 
 
cij Ij
G
Yij
2
2
 
 
 
 
 
 
 
SQT = 
Ij
G
Ti
J i
2
21 
 SQ Res = SQ total – SQT 
 
3.3.2. Quadro de Análise de Variância - ANOVA 
 
Fonte de Variação GL SQ QM F 
Tratamento 
Resíduo 
I – 1 
I(J – 1) 
SQT 
SQR 
QMT 
QMR 
QMT/QMR 
Total I J–1 SQTotal 
F (gl de trat; gl de res.) 
 
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
14 
 
 Hipótese Estatística: 
Ho: T1 = T2 = ... = Tn ou seja, os tratamentos são, estatisticamente, iguais entre si; 
H1: Existe diferença estatística entre os tratamentos. 
 
 Exemplo prático 1: Os dados abaixo foram obtidos do trabalho “Aplicação da 
Vermiculita em Afobres” (Dias, 1973), citado por BANZATTO e KRONCA. Utilizou-
se, o delineamento inteiramente casualizado, com 4 repetições. Foram comparados os 
efeitos de 5 tratamentos com relação ao crescimento de mudas de Pinus oocarpa, 60 
dias após a semeadura. 
Os tratamentos utilizados foram: 
1. Solo de cerrado; 
2. Solo de cerrado + esterco; 
3. Solo de cerrado + esterco + NPK; 
4. Solo de cerrado + Vermiculita; 
5. Solo decerrado + Vermiculita + NPK. 
 
Os resultados obtidos para as alturas médias de Pinus oocarpa sob aqueles 
tratamentos, em cm, aos 60 dias após a semeadura são apresentados a seguir: 
Alturas médias de Pinus ooscarpa, aos 60 dias após a semeadura, em cm. 
Tratamentos 
Repetições 
Totais 
1 2 3 4 
1 4,6 5,7 5,8 5,5 21,6 
2 6,0 7,1 7,2 6,8 27,1 
3 5,8 7,2 6,9 6,7 26,6 
4 5,6 4,9 5,9 5,7 22,1 
5 5,8 6,4 6,6 6,8 25,6 
 G = 123,0 
 
 Proceder a ANOVA adotando  = 5%. 
Ho: Todos os possíveis contrastes entre médias de tratamentos são estatisticamente 
nulos, ao nível de 5% de probabilidade. 
H1: Existe pelo menos um contraste entre médias de tratamentos, estatisticamente 
diferente de zero, ao nível de 5% de probabilidade. 
SQ total = 
Ij
G
Yij
cij
2
2 
 Assim: 
SQ total = (4,6)
2
 + (6,0)
2
 + ... + (6,8)
2
 –  
20
123
2 = 10,63 
SQT = 
Ij
G
Ti
J i
2
21 
 
15 
 
SQT = 
   
20
123
6,25...1,276,21
4
1
2
222 
 = 6,63 
SQ Res = 10,63 – 6,63 = 4,01 
Quadro – ANOVA 
F.V. GL SQ QM F 
Tratamento 
Resíd. 
 4 
15 
6,63 
4,00 
1,66** 
0,27 
6,15 
Total 19 10,63 
F1% (4; 15) = 4,89 F5% (4; 15) = 3,06 
** Significativo ao nível de 1% de probabilidade. 
 
Conclusão: Rejeita-se Ho, logo, existe pelo menos um contraste entre médias de 
tratamentos, estatisticamente diferente de zero, ao nível de 1% de probabilidade. Neste 
caso, recomenda-se a aplicação de testes de comparações múltiplas entre as médias de 
tratamentos. 
Para calcular o Coeficiente de Variação faz-se o uso das seguintes fórmulas: 
C.V.(%) = (Raiz(QMRes) / mg) . 100%. 
Onde: 
Média geral (mg) = 
 
 
 n=(IJK) 
 
 
16 
 
CAPÍTULO IV 
Testes Paramétricos de Comparações Múltiplas 
 
 
Uma vez significativo o teste F, que sugeriu que pelo menos um contraste entre 
médias de tratamentos seria significativo, faz-se necessária a aplicação de testes 
específicos, que têm como objetivo ranquear os tratamentos, e assim permitir ao 
pesquisador tirar conclusões mais seguras e fazer suas recomendações ao público alvo do 
experimento. 
 
4.1. Teste Tukey: É usado para testar todo e qualquer contraste entre duas médias. 
Fórmula geral:  = 
 cvq ˆˆ
2
1 
 = diferença mínima significativa. 
q = amplitude total estudentizada. 
q = f (, n, n’) 
 = nível de significância. 
n = número de tratamentos. 
n' = número de graus de liberdade do resíduo. 
 
Seja 
umimc ˆˆˆ 
 
V 
   umimVc ˆˆˆ 
 
Admitindo as médias mi independentes V 
   umimVc ˆˆˆ 
 
Admitindo que: 
 
ru
V
ri
V
cV repetições ri de Vem im
22
ˆˆ 
; 
repetiçõesru de Vem umˆ
 
  QMRV
ru
V
ri
V
cV  2
22
ˆˆ
 
  






ruri
QMRcV
11
.ˆˆ
 
 = 







ruri
QMR
q
11
2
; Se ri = ru = r, então, 
 = 
r
QMR
q
 
Regra Decisória: 
Se |
cˆ
|  O contraste é significativo (estatisticamente  0) 
Se |
cˆ
| < O contraste é não-significativo (estatisticamente nulo) 
17 
 
No exemplo 1, comparar as médias pelo teste TUKEY 
Ho: mi = mj 
H1: mi  mj i  j 
 
77,6ˆ 2 m
 
65,6ˆ 3 m
 
40,6ˆ 5 m
  = q
ao
q
r
QMR
5;
(5;15) = 4,37  = 4,37
4
26,0 = 1,11 
52,5ˆ 4 m
 
40,5ˆ 1 m
 
 
m2 = 6,77 a 
m3 = 6,65 a 
m5 = 6,40 ab 
m4 = 5,52 b 
m1 = 5,40 b 
 
Conclusão: As medias seguidas de pelo menos uma letra, não diferem entre si, ao 
nível de 5% de probabilidade, pelo teste TUKEY. Assim o são, os respectivos 
tratamentos. 
 
4.2. Teste Duncan: É também usado para testar contrastes entre duas médias: É menos 
rigoroso que o teste de Tukey em termos de rejeitar Ho. Assim, o teste Duncan pode 
indicar resultados significativos em casos em que o teste de Tukey não indicaria. 
Fórmula geral: Di = Z
 cV ˆˆ
2
1 
Di = diferença mínima significativa. 
Zi = amplitude total estudentizada. 
Z = f (, n, n’). 
 = nível de significância. 
ni = número de médias ordenadas abrangidas pelo contraste. 
n' = número de graus de liberdade do resíduo. 
Obs.: Quando a maior média não diferir significativamente da menor, pelo teste 
Duncan, não se admitirá diferenças significativas, pelo mesmo teste, entre 
médias intermediárias. 
 
Vimos que: 
umimc ˆˆˆ 
 
Compara as diferenças entre as médias com o 
valor de delta (). 
18 
 
  QMR
ruri
cV 






11
ˆˆ
 Di = Z . 







ruri
QMR 11
2
; Se ri = ru = r 
Di = Z .
r
QMR 
Consideramos o exemplo 1, aplicar o teste Duncan adotando  = 5%. 
Ho: mi = mj 
H1: mi  mj i  j 
 77,6ˆ
2 m 
65,6ˆ 3 m 
40,6ˆ 5 m 
52,5ˆ 4 m 
25,5ˆ 1 m 
 
 
Z5% (5; 15) = 3,31  D5 = 3,31 
4
26,0 = 0,84 |
12
ˆˆ mm 
| = 1,52* 
Z5 (4; 15) = 3,25  D4 = 3,25 
4
26,0 = 0,83 |
42
ˆˆ mm 
| = 1,25*; |
13
ˆˆ mm 
| = 1,40* 
Z5 (3; 15) = 3,16  Dj = 3,16 
4
26,0 = 0,80 
|
52
ˆˆ mm 
| = 0,37
n.h.
; |
43
ˆˆ mm 
| = 1,13*; |
15
ˆˆ mm 
 = 1,15*| 
Z5 (2; 15) = 3,01  D2 = 3,01 
4
26,0 = 0,77 
|
45
ˆˆ mm 
| = 0,88*; |
14
ˆˆ mm 
| = 0,27
n.s.
 
 
 
 
Conclusão: As medias unidas por uma mesma barra, não diferem entre si, ao nível de 
5% de probabilidade, pelo teste Duncan. 
 
4.3. Teste de Newman-Keuls: Usado para testar contrastes entre duas médias. Em termos 
de rigor é intermediário entre os testes de Tukey e Duncan. Usa-se a metodologia de 
Duncan com a tabela de Tukey. 
m2 = 6,77 
m3 = 6,65 
m5 = 6,40 
m4 = 5,52 
m1 = 5,40 
19 
 
Fórmula geral: i = q
 cV ˆˆ
2
1 ; q = f(; g’; n’) 
 = nível de significância. 
g' = número de médias ordenadas abrangidas pelo contraste. 
n' = número de graus de liberdade do resíduo. 
 
  






ruri
QMRcV
11
ˆˆ
 i = qi = 







ruri
QMR 11
2
; Se ri = ru = r 
i = qi =
r
QMR 
No exemplo comparar as médias pelo teste de N.K. 
Ho: mi = mj 
H1: mi  mj para i  j 
 
m2 = 6,77 
m3 = 6,65 
m5 = 6,40 
m4 = 5,52 
m1 = 5,25 
 
q (5,15) = 4,37 
5 = 4,37
|*52,1ˆˆ;11,1
4
26,0
1  mm| 2
 
q5 = (4,15) = 4,08 4 = 4,08
04,1
4
26,0

 
 mm| 1,25; mm 3 |ˆˆ|ˆˆ| 142 
= 1,40 
q5%(3; 15) = 3,67 3 = 3,36
4
26,0 = 0,93 
|ˆˆ| 52 mm 
 = 0,37
n.s
 |
43
ˆˆ mm 
| = 1,13* |
15
ˆˆ mm 
| = 1,15* 
q5 ao (2, 15) 3,01 2 = 3,01
4
26,0 = 0,77 
|
45
ˆˆ mm 
| = 0,88*, |
14
ˆˆ mm 
| = 0,27
ns
 
 
Conclusão: As médias unidades por uma mesma barra não diferem entre si pelo teste 
N.K. Ao nível de 5% de probabilidade. 
 
20 
 
4.4. Teste de Dunnett: Este teste é utilizado quando as únicas comparações que 
interessam ao experimentador são aquelas feitas entre um determinado tratamento 
padrão, geralmente a testemunha ou controle, e cada um dos demais tratamentos, não 
havendo interesse na comparação dos demais tratamentos entre si. Assim, um 
experimento com I tratamentos (um dos quais a testemunha ou padrão P) permite a 
aplicação do teste a I-1 comparações. 
O valor do teste ou diferença mínima d’ é dado por: 
d’ = td.s
 cˆ
 
td é o valor dado na tabela para uso: no teste de Dunnett. 
td = f(, n1, n2) 
d’ = diferença m nima significativa 
 
 = nível de significância 
n1 = número de g.l. para tratamento s
   cVc ˆˆˆ 
 
  QMR
rpri
cV 






11
ˆˆn2 = número de g.l. para o resíduo. 
 
d’ = td.







ruri
QMR 11
; Se ri = ru = r d’ = td.
r
QMR.2 
Todo |
cˆ
| d’ será significativo, indicando que a média da testemunha (ou padrão) 
difere significativamente da média do tratamento com ela comparado. 
Todo |
cˆ
| < d’ será não-significativo. As médias do contraste não diferem entre si. 
 
 No exemplo anterior, admitindo o tratamento 1 (solo de cerrado) como testemunha, 
podemos compara-lo, através do teste de Dunnett, com os demais tratamentos. 
d' = td.s
 cˆ
 td5%(4; 15) = 2,73 
  






4
1
4
1
ˆˆ cV
. 0,26 = 0,13 
  13,0ˆ cs
= 0,36 
d’ = 2,73 x 0,36 = 0,98 
 
*52,1ˆˆˆ 121  mmc
 
*40,1ˆˆˆ 132  mmc
 
..
143 27,0ˆˆˆ
snmmc 
 
*15,1ˆˆˆ 154  mmc
 
 
Conclusão: Verifica-se, portanto, que os tratamentos 2, 3 e 5 diferiam da testemunha 
e foram estatisticamente superiores. O tratamento 4 não diferiu da testemunha. 
 
21 
 
4.5. Teste de Scheffé: esse teste pode ser aplicado para testar todo e qualquer contraste 
entre médias de tratamentos. É frequentemente utilizado para testar contrastes que 
envolvem grupos de médias. 
 
A estatística do teste, denotada por S, é calculada por: 
S = 
   cVFI ˆˆ1 
 
Onde: 
I = número de tratamentos de experimento; 
F = valor tabelado; F = F(n1, n2); 
n1 = g.l. para tratamento; 
n2 = g.l. para o resíduo. 
 
Seja 
kk mamamac ˆˆˆˆ 2211  

   kk mamamaVcV ˆˆˆˆ 2211  
 
Admitindo as médias independentes: Obs.: V(k . x) = k
2
 . V(x); K = cte. 
       kk maVmaVmaVcV ˆˆˆˆ 2211  
 
       kk2 mV amV amV acV ˆˆˆˆ
22
21
2
1  
; se: 
 
ri
V
mV i
2
ˆ 
 
 
k
2
k
22
r
V
 a
r
V
 a
r
V
 acV 2
2
2
2
1
2
1
ˆ  
 
  






k
k
a
a
r
a
r
a
VcV
2
2
2
2
1
2
12ˆ 
 
Substituindo V
2
 por QMR 
 
i
i
k
k
r
a
QMR
a
a
r
a
r
a
QMRcV








22
2
2
2
1
2
1 .ˆˆ 
 Assim: 
S = 
  QMR
r
a
r
a
r
a
FI
k
k







2
2
2
3
1
2
11 
 S = 
 
i
i
r
a
QMRFI


2
...1 
 
Hipóteses: 
 
0:
0:
1 

cH
cHo

Ho se-Aceita :S | c|Se
Ho se-Rejeita :S |c| Se


ˆ
ˆ
 
 
 
4.6. Teste “t” de Student: como o teste de Scheffé, é utilisado para testar contrastes entre 
duas médias ou contrastes que envolvem grupos de médias. É mais complexo que o 
22 
 
teste de Scheffé. Para a aplicação correta deste teste devemos considerar os seguintes 
requisitos básicos: 
a) Os contrastes a serem testados devem ser ortogonais entre si; 
b) Os contrastes devem ser estabelecidos antes de serem examinados os dados (na 
fase de planejamento do experimento). 
 A estat stica do teste, denotada por “t”, é calculada por: 
t = 
 cV
c
ˆˆ
0ˆ 
 ou seja, tcalculado = 
i
i
r
a
QMR
c

2
.
ˆ 
Hipóteses: Ho : c = 0 
 H1 : c  0 
 Regra Decisória: 
{Se |t calc|  t  (g.l. resíduo) : Rejeita-se Ho 
{Se |t calc| < t  (g.l. resíduo) : Aceita-se Ho 
 
 Aplicação prática 
Em um experimento de competição de adubos nitrogenados para o abacaxizeiro, 
foram utilizados 6 tratamentos (5 tipos de adubo e 1 testemunha), com 4 repetições por 
tratamento, no D.I.C. 
Os tratamentos utilizados, com as respectivas médias de produção, em Kg/parcela, 
foram: Tratamentos 
1. testemunha 
1mˆ
 = 21,57 
2. sulfato de amônio 
2mˆ
 = 27,76 
3. Salitre do chile 
3mˆ
 = 24,58 
4. Uréia 
4mˆ
 = 28,44 
5. Nitrogênio de cubatão 
5mˆ
 = 28,85 
6. Nitrocálcio de cubatão 
6mˆ
 = 28,30 
A estimativa da variância residual ou QMR = 0,64. 
 
 Verificar, pelos testes “t” e Scheffé, se os adubos nitrogenados promoveram efeito na 
produção do abacaxizeiro, adotando  = 5% de significância. 
 
1. Teste de Scheffé 
Esquema resumido da ANOVA. 
F.V. GL 
Tratos 
Resíduos 
 5 
(18) 
total 23 
 
 O contraste que nos permite efetuar a comparação acima é: 
23 
 
C = 5m1 – m2 – m3 – m4 – m5 – m6, pois m1 é o controle (sem adubo nitrogenado). 
Ho : c = 0 
H1 : c  0 
 
Scheffé (S) 
654321
ˆˆˆˆˆˆ5ˆ mmmmmmc 
 
cˆ
 = 5(21,57) – 27,76-24,58-28,44-28,85-28,30 = -30,08 kg/parcela, indicando que os 
adubos nitrogenados proporcionaram, em média, um aumento de produção de 6,02 
kg/parcela (
cˆ
/5 = 30,08/5 = 6,02) em relação à testemunha. 
   30
4
6402



,ai
r
QMR
cˆVˆ
 = 4,80 
S = 
   cˆVˆFI 1
 
I = 6; F5% (5; 18) = 2,77; S = 
8047725 ,, 
 = 8,15 
 
 |
cˆ
| > S: Rejeita-se Ho, ou seja, os adubos nitrogenados produziram, em média, mais 
que a testemunha. 
 
2. Teste t 
C = 5m1 – m2 – m3 – m4 – m5 – m6 
Ho : c = 0 
H1: c  0 
 
  8040830 ,cˆVˆ ;,cˆ 
 
t = 
 
7313
804
08300
,
,
,
cˆVˆ
cˆ




 pela tabela “t” t5%(18) = 2,10 
|tcalc| > t5% (18): Rejeita-se o Ho, ou seja, os adubos nitrogenados produziram, em 
média, mais que a testemunha. 
 
 Considerando este mesmo experimento e  = 5%, podem-se: 
a) Aplicar o teste Tukey 
b) Aplicar o teste Duncan 
c) Aplicar o teste de Dunnett 
d) Verificar, usando os testes de Scheffé e “t”, se existe diferença entre nitrocálcio de 
Cubatão (com e sem enxofre) e os demais adubos nitrogenados. 
>> O contraste que nos fornece esta comparação (item d) é: 
C=2m2+2m3+2m4–3m5–3m6
24 
 
CAPÍTULO V 
 
Delineamento em Blocos Casualizados (D.B.C.) 
 
 
5.1. Introdução 
 
O delineamento em blocos casualizados leva em consideração, além dos 
princ pios da “repetição” e da “casualização”, também o princ pio do “controle local”. é o 
mais utilizado de todos os delineamentos experimentais. 
Sempre que não houver homogeneidade dos materiais e/ou das condições 
experimentais, utilizamos este tipo de delineamento que, nestas condições, é mais eficiente 
que o inteiramente casualizado. 
Cada bloco constitui uma repetição e nele os tratamentos são distribuídos 
inteiramente ao acaso. Deve-se ressaltar que, dentro de cada bloco, o ambiente deve ser o 
mais homogêneo possível. 
 
5.2. Casualização 
 
Seja um experimento com 5 tratamentos (A, B, C, D, E) e 4 repetições no D.B.C. 
Obs.: Gradiente de fertilidade de cima para baixo (do bloco 1 para o 4). 
B C D E A Bloco 1 
 
E A B D C Bloco 2 
 
D B C A E Bloco 3 
 
C E A B D Bloco 4 
 
Em experimentos zootécnicos, cada bloco seria constituído por animais com 
características semelhantes, tais como: idade, peso, sexo, raça, etc. 
 
5.3. Modelo Estatístico 
 
Yij = m + ti + bj + eij, para: 
i = 1, 2, 3, ..., I 
j = 1, 2, 3, ..., J, onde: 
Yij = Valor observado, na parcela relativa ao tratamento i no bloco j; 
m = média geral; 
ti = efeito devido ao tratamento i; 
bj = efeito devido ao bloco j. 
Natan
Realce
Natan
Realce
25 
 
eij = efeito devido aos fatores não controlados (erro experimental ou residual). 
5.4. Análise de Variância 
 
Consiste na decomposição da variação total nos efeitos de tratamentos, blocos e 
erro experimental ou resíduo. 
 
 Seja um experimento com dois tratamentos e 3 repetições no D.B.C. 
Blocos Trat. 1 Trat. 2 Totais blocos 
I Y11 Y21 B1 
II Y12 Y22 B2 
III Y13 Y23 B3 
Totais trat. T1 T2 G 
 
 
 Generalizando para I tratamentos e J repetições ou blocos:SQtotal = 
 
ij
ij
IJ
G
Y
2
2
; SQT = 
 
i IJ
G
Ti
J
2
21
; SQB = 
IJ
G
B
jI
j
2
21 
 
SQRes = SQtotal – SQTratamento – SQBlocos I’= IxJ 
Quadro da ANOVA: 
F.V. GL SQ QM F 
Blocos J-1 SQB 
Tratos I-1 SQT QMT QMT 
QMR Resíduo (I-1).(J-1) SQR QMR 
Total IJ-1 SQtotal 
 
 Exemplo Prático: Os dados abaixo foram obtidos de um experimento no D.B.C. com 
4 repetições. Os tratamentos constaram de 5 variedades de caju e o peso médio dos 
frutos, em gramas, são dados a seguir: 
Trats. 
Blocos 
Totais 
I II III IV 
1 142,36 144,78 145,19 138,88 571,21 
2 139,28 137,77 144,44 130,61 552,10 
3 140,73 134,06 136,07 144,11 554,97 
4 150,88 135,83 136,97 136,36 560,04 
5 153,49 165,02 151,75 150,22 620,48 
Totais 726,74 717,46 714,42 700,18 2.858,80 
26 
 
 
 Para  = 5%, podem-se: 
a) Proceder a ANOVA 
b) Aplicar o teste TUKEY 
c) Aplicar o teste Duncan 
d) Determinar o Coeficiente de Variação (C.V.) 
e) Decompor a SQT em contrastes ortogonais e testa-los 
f) Testar o contraste C = m1 + m2 + m3 – m3, utilizando o teste “t” e Scheffé. 
 
 Soluções: 
a) ANOVA: 
SQtotal = 
 
IJ
G
Yij
2
2
 
SQtotal = 142,36
2
 + 139,28
2
 + ... + 150,22
2
 -  
20
80,858.2
2 
SQtotal = 1.273,9522 
    
i
i
IJ
G
T
J
SQT
20
80,858.2
48,62021,571
4
11
2
22
2
2 
 
SQT = 798,9298 
SQB = 
   
20
80,858.2
18,70024,726
5
11
2
22
2
2  
IJ
G
I j
j
 
SQB = 72,6976 
SQRes = SQtotal – SQT – SQB = 406,3248 
 
27 
 
Quadro da ANOVA 
F.V. GL SQ QM F 
tratos 
Blocos 
Resid. 
4 
3 
12 
794,9298 
72,6976 
406,3248 
198,7325** 
 
 33,8604 
5,87 
total 19 1.273,9522 F1% (4; 12) = 5,41 F5% (4; 12) = 3,26 
** Significativo a 1% de probabilidade. 
 
Conclusão: Existe pelo menos um contraste entre médias de tratamentos, estatisticamente 
diferente de zero, ao nível de 1% de probabilidade. 
 
b) Teste de TUKEY 
Ho : mi = mj 
H1 : mi = mj para i  j 
03,138ˆ
74,138ˆ
01,140ˆ
80,142ˆ
12,155ˆ
2
3
4
1
5





m
m
m
m
m
 
b m
b m
b m
b a m
a m
2
3
4
1
5
 q5% (5; 12) = 4,51  = 4,51 

4
8604,33 13,12 
Conclusão: As médias seguidas de pelo menos uma mesma letra, não diferem entre si, ao 
nível de 5% de probabilidade, pelo teste de Tukey. 
Obs.: Resolver os itens seguintes. 
 
 Exercício proposto: Em um experimento no D.B.C, com 8 repetições, são dados: 
Totais de tratamentos: T1 = 92,1; T2 = 68,6; T3 = 72,8; T4 = 83,8; T5 = 81,7: 
SQResíduo = 28,52 
Para  = 5%, pedem-se: 
a) Análise de variância 
 b)Aplicar o teste de Tukey 
c) Aplicar o teste de Duncan 
d) Aplicar os testes de Scheffé e “t” ao contraste: 
 C = 4m1 – m2 – m3 – m4 – m5 
e) Calcular o Coeficiente de Variação 
 f) Interpretar os resultados dos itens anteriores
28 
 
 CAPÍTULO VI 
 
 
Delineamento em Quadrado Latino (DQL) 
 
 
6.1. Introdução 
 
Quando podemos observar a presença de duas fontes de variabilidade nas 
unidades experimentais como, por exemplo, número de partos e raças, idade e peso, 
desníveis no solo, dentre outros, empregamos o delineamento em Quadrado Latino. Cada 
unidade experimental deve pertencer ao nível de uma e da outra fonte de variabilidade. O 
número de níveis de ambas as fontes e o número de tratamentos devem ser iguais. Os 
níveis de uma das fontes formam as linhas e os níveis da outra fonte formam as colunas. 
 
 Exemplos: 
1) Suponhamos que se deseja comparar 5 rações para animais. Sabe-se que diferentes 
idades e diferentes pesos iniciais afetam o ganho de peso desses animais. Assim, 
pode-se colocar 5 animais de mesma idade nas linhas e 5 animais com mesmo 
peso inicial nas colunas. 
IDADE 
PESOS 
P1 P2 P3 P4 P5 
I1 B D A E C 
I2 D A C B E 
I3 E B D C A 
I4 A C E D B 
I5 C E B A D 
 
2) Este delineamento pode também ser usado para eliminar o efeito da 
heterogeneidade do solo em duas direções perpendiculares (linhas numa direção e 
colunas na outra). 
 
 
6.2. Características 
 
1) Este delineamento é recomendável quando as unidades experimentais puderem ser 
agrupadas de acordo com os níveis de duas fontes de variação. 
2) O número total de unidades experimentais necessárias para esse delineamento é 
igual a I
2
, sendo I o número de tratamentos, linhas ou colunas. 
3) Cada tratamento é representado uma única vez e ao acaso em cada linha e em cada 
coluna. 
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
29 
 
4) O número de tratamentos é igual ao número de repetições, logo, este delineamento 
é menos flexível que DIC e DBC. 
5) Dentro das linhas e dentro das colunas deve-se ter a maior uniformidade possível. 
6) Os quadrados latinos constituem um bom tipo de delineamento, mais sua 
flexibilidade é muito menor em relação aos demais. Como o número de repetições 
deve ser igual ao número de tratamentos, linhas ou colunas, em geral não se usam 
quadrados latinos no caso de se ter mais de 8 tratamentos, pois o número de 
repetições seria, na maioria das vezes, um tanto exagerado. 
7) Os quadrados latinos 2x2, 3x3 e 4x4 apresentam, respectivamente, 0, 2 e 6 graus 
de liberdade para o resíduo. Em tais casos, recomenda-se repetir suficientemente o 
experimento, objetivando um número de graus de liberdade aceitável para a 
variância residual ex.: Dois QL de 4x4 dão 15 g.l.res.). Os quadrados latinos mais 
usuais são 5x5 até 8x8. 
 
6.3. Casualização 
 
Seja um experimento no DQL com 5 tratamentos (A, B, C, D, E). 
1) Faz-se a distribuição sistemática dos tratamentos nas linhas de maneira que cada 
coluna contenha também todos os tratamentos: 
 C1 C2 C3 C4 C5 
L1 A B C D E 
L2 E A B C D 
L3 D E A B C 
L4 C D E A B 
L5 B C D E A 
 
2) Em seguida faz-se a redistribuição, ao acaso, das linhas e colunas. 
2.1. Permutação, ao acaso, das linhas. 
L2 E A B C D 
L4 C D E A B 
L5 B C D E A 
L1 A B C D E 
L3 D E A B C 
 
2.2. Permutação, ao acaso das colunas. 
 C2 C4 C5 C3 C1 
L1 B D E C A 
L2 E B C A D 
L3 D A B E C 
L4 C E A D B 
L5 A C D B E 
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
Natan
Realce
30 
 
 
2.3. Renumeração das linhas e das colunas. 
 C1 C2 C3 C4 C5 
L1 B D E C A 
L2 E B C A D 
L3 D A B E C 
L4 C E A D B 
L5 A C D B E 
(Quadrado Latino casualizado e pronto para instalação) 
 
 
 
6.4. Modelo Estatístico 
 
Yijk = m + li + cj + (tk)ij + eijk 
Onde: 
Yijk = observação relativa ao tratamento k na linha i e coluna j; 
m = média geral; 
li = efeito da linha i; 
cj = efeito da linha j; 
(tk)ij = efeito do tratamento k na linha i e coluna j; 
eijk = erro experimental. 
6.5. Fórmulas das Somas de Quadrados 
 
Através de procedimento semelhante ao utilizado no D.B.C., chega-se às 
seguintes expressões para o cálculo das somas de quadrados: 
SQtotal = 
  ;
2
2
2
I
G
Yijk
 SQL = 
;
1
2
2
2
I
G
L
I i
i 
 SQC = 
 
2
2
21
I
G
c
I
j
 
SQTr = 
 
2
2
21
I
G
T
I
k
 
SQRes = Sqtotal – SQL – SQC – SQT I’=IJ 
 
 Quadro ANOVA: 
F.V. GL SQ QM F 
Linhas 
Colunas 
Tratamentos 
I-1 
I-1 
I-1 
SQL 
SQC 
SQT QMT QMT/QMR 
Resíduo (I-2) (I-1) SQR QMR 
Total I’2-1 SQtotal 
 
31 
 
 Exemplo: 
 
Em um experimento de competiçãode variedades de cana-de-açúcar foram usadas 
5 variedades (A, B, C, D, E) dispostas no DQL. As produções de cana-planta, em kg por 
parcela, são dadas a seguir: 
 C1 C2 C3 C4 C5 Totais 
L1 
L2 
L3 
L4 
L5 
D 
432 
C
 724 
E
 489 
B
 494 
A
 515 
A
 518 
E
 478 
B
 384 
D
 500 
C
 660 
B
 458 
A
 524 
C
 556 
E
 313 
D
 438 
C
 583 
B
 550 
D
 297 
A
 486 
E
 394 
E
 331 
D
 400 
A
 420 
C
 501 
B
 318 
2322 
2676 
2146 
2294 
2325 
Totais 2654 2540 2289 2310 1970 11763 
SQtotal = 432
2
 + 724
2
 + ... + 318
2
 -  
257724
25
11763
2

 
SQL = 
    30480
25
11763
232526762322
5
1
2
222  
 
SQC = 
    55640
25
11763
197022892654
5
1
2
222  
 
Totais dos tratos: TA = 2463; TB = 2204; TC = 3024; TD = 2067; TE = 2005 
SQT = 
    137488
25
11763
200522042463
5
1
2
222  
 
SQRes = SQtotal – SQL – SQC – SQT = 34116 
 
 Quadro ANOVA: 
F.V. GL SQ QM F 
Linhas 
Colunas 
Tratos 
Resíduo 
 4 
 4 
 4 
12 
30480 
55640 
137488 
34116 
34372** 
(2843) 12,09 
total 24 257724 
** significativo ao nível de 1% de probabilidade, pois F1% (4; 12) = 5,41 
 
Conclusão: Existe pelo menos um contraste entre médias de tratamentos, estatisticamente 
diferente de zero, ao nível de 1% de probabilidade. 
 
 Teste TUKEY: 
Ho : mi = mj 
H1 : mj mj para i  j 
80,604ˆ cm
 mc a 
r
QMR
q
 
32 
 
60,492ˆ Am
 mA b 
80,440ˆ Bm
 mB b 
5
843,2
q
 
40,413ˆ Em
 mD b 
00,401ˆ Em
 mE b 
54,107
 
Conclusão: As médias seguidas de pelo menos uma mesma letra, não diferem entre si, ao 
nível de 5% de probabilidade, pelo teste Tukey. 
Aplicar o teste Duncan 
Testar o contraste: C = 3m1 – m2 – m3 – m4 pelos testes de Scheffé e “t”. 
 
33 
 
 CAPÍTULO VII 
Experimentos Fatoriais 
 
7.1. Introdução 
Experimentos Fatoriais são aqueles em que se estudam simultaneamente dois ou 
mais fatores. Esses experimentos em si, não constituem um delineamento experimental, 
mas, podem ser executados em quaisquer dos delineamentos, tais como: inteiramente 
casualizado, blocos casualizados, quadrado latino, etc. 
Os experimentos fatoriais geralmente são mais eficientes do que os experimentos 
simples com um só conjunto de tratamentos (por exemplo só competição de cultivares, sem 
variação de espaçamentos ou só espaçamentos com único cultivar) e permitem tirar 
conclusões mais gerais. Assim, se plantarmos 4 cultivares novos (A, B, C, D) num mesmo 
espaçamento E1, somente poderemos concluir que A, por exemplo, é o melhor se este 
espaçamento for usado. É possível, porém, que com outro espaçamento E2 o cultivar B 
venha a superar largamente qualquer outro cultivar com qualquer outro espaçamento. Num 
experimento fatorial com cultivares e espaçamentos simultaneamente esta possibilidade é 
pesquisada, de modo que as conclusões são mais gerais. 
Nos experimentos fatoriais cada nível de um fator se combina com cada um dos 
níveis de outros fatores, constituindo um tratamento. Assim, em um experimento com dois 
fatores A e B, onde o fator A tem 4 níveis (A1, A2, A3, A4) e o fator B 3 níveis (B1, B2, B3), 
teremos, então, um fatorial 4x3 e os tratamentos, resultantes de todas as combinações 
possíveis, são: 
A1B1 A2B1 A3B1 A4B1 
A1B2 A2B2 A3B2 A4B2 
A1B3 A2B3 A3B3 A4B3 
 
 Assim, poderíamos combinar os 3 fatores (N, P, K) com 3 níveis cada (as 
doses): 
3 doses de N 
3 doses de P 
3 doses de K 
 Um Fatorial 3x22 ou 3x2x2 se caracteriza pela combinação de 3 fatores, 
sendo um com 3 níveis e os outros dois com dois níveis, resultando assim em 12 
combinações que constituem os tratamentos. 
3 doses de N 
2 doses de P 
2 doses de K 
 Um Fatorial 23 ou 2x2x2 se caracteriza pela combinação de 3 fatores, cada 
um com 2 níveis, constituindo, portanto, 8 tratamentos. 
2 doses de N (N0, N1) 
2 doses de P (P0, P1) 
2 doses de K (K0, K1) 
34 
 
Os tratamentos serão: 
N0P0K0 N1P0K0 
N0P0K1 N1P0K1 
N0P1K0 N1P1K0 
N0P1K1 N1P1K1 
 Quando os tratamentos são quantitativos, é comum apresentar somente 
através dos níveis. Assim, temos as combinações. 
0 0 0 1 0 0 
0 0 1 1 0 1 
0 1 0 1 1 0 
0 1 1 1 1 1 
 
7.2. Classificação dos efeitos: 
 
1. Efeito principal: É o efeito de cada fator, independente da influência de outros 
fatores. 
2. Efeito de interação: É a resposta diferencial da combinação de tratamentos que não 
se deve a efeitos principais. Ocorre interação quando os efeitos dos níveis de um fator 
são modificados por níveis do outro fator. 
Assim temos: 
 
2.1. Não há interação: 
B\A a1 a2 a3 
b1 2 4 6 
b2 5 7 9 
 
 
 
2.2. Há interação: 
B\A a1 a2 a3 
b1 2 4 6 
b2 5 10 2 
 
 
 
b2 
b1 
 
 
 
 
 
a1 a2 a3 
 
 
b1 
 
 
 
b2 
 
a1 a2 a3 
35 
 
7.3. Análise de Variância: 
 
Seja um experimento fatorial com dois fatores A e B, onde: 
O fator A tem I níveis: A1, A2, ... AI e 
O fator B tem J níveis: B1, B2, ... BJ 
No delineamento inteiramente casualizado, com K repetições; 
 O modelo estatístico associado a este tipo de experimento é: 
Yi j k =  + i + j + ()i j + ei j k 
Onde: I = 1, 2, …, I j = 1, 2, ..., J k = 1, 2, …, K 
O destaque no modelo, em negrito, é o efeito de tratamento ti, decomposto nos 
efeitos principais e de interação. 
 i é o efeito do i-ésimo nível do fator A; 
 j = efeito do j-ésimo nível de fator B; 
 ()i j é o efeito da interação entre o i-ésimo nível do fator A e o j-ésimo nível do fator 
B; 
 ei j k é o erro aleatório associado à observação Yi j k, é o erro experimental. 
 
7.4. Cálculo das somas de quadrado: 
 
Consideremos o quadro abaixo: 
A1 A2 ... A1 
B1 B2 ... Bj B1 B2 … BJ B1 B2 … Bj B1 B2 … BJ 
Y111 Y121 ... Y1J1 Y211 Y221 ... Y2J1 ... ... ... ... Y111 Y121 ... YIJ1 
Y112 Y122 ... Y1J2 Y212 Y222 ... Y2J2 ... ... ... ... Yi12 YI22 ... YIJ2 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
Y11k Y12k ... Y1Jk Y21k Y22k ... Y2Jk ... ... ... ... Y11k Y12k ... YIJk 
 
SQtotal = 
IJK
G
C;CY
ijk
ijk
2
2

 
SQ(A) = 
CA
Jk i
i 
21
 
SQ(B) = 
CB
Ik j
j 
21
 
SQ(AxB) = SQ(A, B) – SQ(A) – SQ(B) 
36 
 
Onde: 
SQ(A, B) = SQT = 
  
ij
J CBA
k
2
1
1
 
 SQResíduo = SQtotal – SQT 
 
Observação: Se o delineamento for blocos casualizados, o SQResíduo será: 
SQResíduo = SQtotal – SQT - SQblocos 
 
ANOVA 
 
 Quadro da análise de variância (D.I.C.) 
F.V. GL SQ QM F 
A 
B 
A x B 
I-1 
J-1 
(I-1) (J-1) 
SQ (A) 
SQ (B) 
SQ (AxB) 
QM (A) 
QM (B) 
QM (AxB) 
QMA / QMR 
QMB / QMR 
QM (AxB) / QMR 
(tratos) (IJ-1) (SQT) 
Resíduo IJ (k-1) SQR QMR 
total Ijk-1 SQtotal 
 
 
7.5. Exemplos ilustrativos: 
1) Seja um experimento com dois fatores A e B, com 3 e 4 níveis, 
respectivamente, constituindo 12 tratamentos, dispostos no delineamento inteiramente 
casualizado com 3 repetições. Os totais de tratamentos constam do quadro AUXILIAR: 
 
 Fator B 
Fator A 1 2 3 4 Totais 
1 120* 132 150 162 564 
2 126 141 162 171 600 
3 144 150 171 186 651 
totais 390 423 483 519 1.815,00 
* cada valor como este vem de 3 repetições (DIC, com 3 repetições). 
Dados: SQtotal = 1.498,67  
25,506.91
36
00,815.1
2
C
 
    50318651600564
12
1 222 ,cASQ 
 
    751124519483423390
9
1 2222 ,cBSQ 37 
 
  751454186126120
3
1 222 ,cSQT  
 
SQ (AxB) = 1.454,75 – 318,50 – 1.124,75 = 11,50 
SQ Re síduo = SQTotal – SQTrats (A, B) 
SQ Re síduo = 1.498,67 – 1.454,75 = 43,92 
 
 Quadro ANOVA: 
F.V. GL SQ QM Fc 
Fator A 
Fator B 
Int. A x B 
2 
3 
6 
318,50 
1.124,75 
11,50 
159,25** 
374,91** 
1,92
 n.s.
 
87,02 
204,87 
1,05 
(tratamentos) (11) (1.454,75) 
Resíduo 24 43,93 1,83 
total 35 1.498,67 
C.V.(%) 2,68 
**significativo ao nível de 1% de probabilidade; n.s. não significativo ao nível 
de 5% de probabilidade, pelo teste F. 
 
FtabA= F1%(2;24) = 5,61 FtabA= F5%(2;24) = 3,40 
FtabB= F1%(3;24) = 4,72 FtabB= F5%(3;24) = 3,01 
FtabAxB= F1%(6;24) = 3,67 FtabAxB= F5%(6;24) = 2,51 
 
 Conclusões: 
a) Haverá pelo menos um contraste entre médias dos níveis do fator A, 
estatisticamente diferente de zero, ao nível de 1% de probabilidade, pelo teste F. 
b) Haverá pelo menos um contraste entre médias dos níveis do fator B, 
estatisticamente diferente de zero, ao nível de 1% de probabilidade, pelo teste F. 
c) Não observou-se interação entre os fatores A e B. Isto significa que o 
comportamento de um fator não depende dos níveis do outro fator, e vice versa, 
sendo portanto, independentes. Neste caso, em que não houve interação, os fatores 
podem ser estudados isoladamente. 
 
Podemos, neste caso, aplicar um dos métodos de comparações múltiplas (Tukey, 
Duncan etc.) para comparar as médias dos efeitos principais que foram significativos. 
 
 Aplicando o teste Tukey os fatores A e B, temos: 
(adotar  = 5%) 
 
 
 
38 
 
Fator A 
3004712564
12
A
Ai mˆ,/
T
mˆ 
 
25543 ,mˆA 
a 
00502 ,mˆA 
b 
 
12
83,1
53,3
12
24;35 
QMR
q ao
 
00471 ,mˆA 
c 

=1,38 
 
Conclusão: As médias dos níveis do fator A seguidas de pelo menos uma mesma letra, não 
diferem entre si, ao nível de 5% de probabilidade, pelo teste Tukey. 
 
Fator B 
  903244
9
5 ,;q;
T
mˆ ao
Bi
Bj 
 
66574 ,mˆB 
a 
66533 ,mˆB 
b 
761
9
831
903 ,
,
, 
 
00472 ,mˆB 
c 
33431 ,mˆB 
d 

=1,76 
 
Conclusão: As médias dos níveis do fator B seguidas de pelo menos uma letra, não 
diferem entre si, ao nível de 5% de probabilidade pelo teste Tukey. 
 
 Testar o contraste C = mB1 + mB2 + mB3 – 3mB4 pelo teste de Scheffé: 
(adotar  = 5%) 
HO: C = 0 
H1 : C  0 
  992866573665300473343 ,,,,,cˆ 
 
    442
9
12831
9111
9
831
,
x,,
cˆVˆ 
 
S = 
   cˆVˆFI 1
, onde: I = número de níveis de B; F5% (g.l. de B; g.l. resíduo). 
J = 4 e F5%(4; 24) = 2,78 
S = 
6944420133 ,,x,x 
 
:Scˆ 
Re jeita-seHO, ou seja, em média, o nível B4 difere e supera os níveis B1, B2 e B3. 
 Aplicar o teste “t” ao contraste acima. 
 Aplicar o teste Duncan aos níveis dos fatores A e B. 
39 
 
7.6. Um exemplo com interação significativa: 
 
Em um experimento fatorial 3 x 4 no delineamento em blocos casualizados, com 3 
repetições, são dados: 
 B 
A B1 B2 B3 B4 totais 
A1 
A2 
A3 
69,40 
74,50 
64,50 
74,50 
79,40 
63,50 
78,40 
84,80 
65,2 
82,60 
71,50 
62,80 
304,90 
310,20 
256,00 
totais 208,40 217,40 228,40 216,90 871,10 
 
Dados: SQResíduo = 24,6400; para  = 5%, pedem-se: 
2.1. Proceder a ANOVA; 
2.2. Aplicar o teste de Tukey 
2.3. Testar o contraste C = mB1/A1 + mB2/A1 + mB3/A1 – 3mB4/A1 pelo teste “t”, ao n vel 
de 5% de probabilidade. 
 
ANOVA: 
    5364,215
36
1,871
8,625,744,69
3
1
);(
2
222  BASQT
 
      8039148
36
1871
025623109304
12
1
2
222 ,
,
,,,ASQ 
 
      4097,22
36
1,871
9,2164,2284,2174,208
9
1
2
2222 BSQ
 
SQ (A x B) = 215,5364 – 148,8039 – 22,4097 = 44,3228 
Quadro da ANOVA 
F.V. GL SQ QM F 
A 
B 
A x B 
2 
3 
6 
148,8039 
22,4097 
44,3228 
74,4019** 
7,4699** 
7,3871** 
66,43 
6,67 
6,59 
(Tratamentos) (11) 215,5364 
Blocos 
Resíduo 
2 
22 
 
24,6400 
 
(1,1200) 
 
total 35 
** Significativo ao nível de 1% de probabilidade. F1%(2;22)=5,72. F1%(3;22)=4,82. F1%(6;22)=3,76 
 
 Conclusões: 
40 
 
a) Haverá pelo menos um contraste entre médias dos níveis do fator A, 
estatisticamente diferente de zero, ao nível de 1% de probabilidade. 
b) Haverá pelo menos um contraste entre médias dos níveis do fator B, 
estatisticamente diferente de zero, ao nível de 1% de probabilidade. 
c) Houve interação entre os fatores A e B ao nível de 1% de probabilidade. Isto 
significa que o comportamento de um fator depende dos níveis do outro fator, 
evidenciando uma dependência entre os fatores. Neste caso, não estudamos os 
fatores isoladamente, mas modificamos a análise anterior desdobrando a interação, 
avaliando o comportamento de um fator em cada nível do outro fator. 
 
 Estudo do fator A dentro dos níveis do fator B. 
      668916
9
4208
564574469
3
1
2
222
1 ,
,
,,,B/ASQ 
 
      202244
9
4217
563479574
3
1
2
222
2 ,
,
,,,B/ASQ 
 
      59566
9
4228
265884478
3
1
2
222
3 ,
,
,,,B/ASQ 
 
      66065
9
9216
862571682
3
1
2
222
4 ,
,
,,,B/ASQ 
 
Obs.: SQ(A/B) = SQ(A/B1) + SQ(A/B2) + SQ(A/B3) + SQ(A/B4) = … = SQ(A) + 
SQ(AxB) 
ANOVA Complementar!! 
F.V. GL SQ QM F 
Fator: B 
Fator: A/B1 
A/B2 
A/B3 
A/B4 
3 
2 
2 
2 
2 
22,4097 
16,6689 
44,2022 
66,5955 
65,6600 
 
 8,3344** 
22,1011** 
33,2977** 
32,8300** 
 
 7,44 
19,73 
29,73 
29,31 
(Tratamentos) (11) (215,5364) 
Blocos 
Resíduo 
2 
22 
 
24,6400 
 
(1,1200) 
 
total 35 
F1% (2; 22) = 5,72 ** Significativo ao nível de 1% de probabilidade. 
 
Conclusão: Dentro de cada nível de B, existe pelo menos um contraste entre médias dos 
níveis de A, estatisticamente diferente de zero, ao nível de 1% de probabilidade. Nesse 
caso, aplica-se um teste de comparação múltipla para o fator A em cada nível do fator B, 
uma vez que em todos houve interação. 
41 
 
 Teste de Tukey 
q5ao (3; 22) = 3,58;  = 
192
3
121
583 ,
,
, 
 
Obs.: o r é o mesmo usado para obter as médias. 
83,24/ˆ 12 BmA
a 
42622 ,B/mˆA 
a 
132311 ,B/mˆA 
a b 
832421 ,B/mˆA 
a 
502113 ,B/mˆA 
b 
172123 ,B/mˆA 
b 
 
272832 ,B/mˆA 
a 
572741 ,B/mˆA 
a 
132631 ,B/mˆA 
a 
832342 ,B/mˆA 
b 
732133 ,B/mˆA 
b 
932043 ,B/mˆA 
c 
Conclusão: Dentro de um mesmo nível de B, as médias dos níveis de A seguidas de pelo 
menos uma mesma letra, não diferem entre si, ao nível de 5% de probabilidade, pelo teste 
Tukey. 
 
 Estudo do fator B dentro dos níveis de A 
      642531
12
9304
682478574469
3
1
2
2222
1 ,
,
,,,,A/BSQ 
 
 Procedendo de maneira análoga, temos: 
SQ (B/A2) = 33,9633 
SQ (B/A3) = 1,1267 
 
Anova Suplementar 
F.V. GL SQ QM F 
Fator A 
Fator B/A1 
B/A2 
B/A3 
2 
3 
3 
3 
148,8039 
31,6425 
33,9633 
1,1267 
 
10,5475** 
11,3211** 
0,3756
 n.s
 
 
9,42 
10,11 
0,33 
(tratamentos) (11) (215,5364) 
Blocos 
Resíduo 
2 
22 
 
24,64 
 
(1,12) 
 
total 35 
F1% (3; 22) = 4,82 ** Significativo ao nível de 1% de probabilidade. ns – não 
significativo ao nível de 5% de probabilidade. 
42 
 
Conclusões: 
a) Dentro dos níveis A1 eA2, existe pelo menos um contraste entre médias dos níveis B, 
estatisticamente diferente de zero, ao nível de 5% de probabilidade. 
b) Todos os contrastes entre médias dos níveis de B dentro de A3, são estatisticamente 
nulos, ao nível de 5% de probabilidade. 
Observação: 
SQ(B/A) = SQ(B/A1) + SQ(B/A2) + SQ(B/A3) = SQ(B) + SQ(AxB) 
 
 Teste de Tukey 
Para comparar as médias dos níveis de B dentro de A1 e A2 (onde houve efeito 
significativo), procede-se de maneira análoga ao desdobramento anterior, onde a 
expressão para o teste Tukey será: 
 
r
QMR
;q ao 22 45
 
  = 2,42 
422
3
121
963 ,
,
, 
 
mB4/A1 = 27,53 a mB3/A2 = 28,27 a 
mB3/A1 = 26,13 a b mB2/A2 = 26,47 a b 
mB2/A1 = 24,83 b mB1/A2 = 24,83 b c 
mB1/A1 = 23,13 b mB4/A2 = 23,83 c 
 
mB3/A3 = 21,73 a 
mB1/A3 = 21,50 a 
mB2/A3 = 21,17 a 
mB4/A3 = 20,93 a 
 
 
 Testar o contraste: 
C = mB1/A1 + mB2/A1 + mB3/A1 – 3mB4/A1 
HO : c = o 
H1 : c  o 
  50853273132683241323 ,,,,,cˆ 
 
     4849111
3
121
3
2 ,
,
a
QMR
cˆVˆ i
 
 
014
484
508
,
,
,
cˆVˆ
cˆ
t 


 
t5%(g.l.res.) => t5% (22) = 2,07; |tcalc|>t5% (22): Rejeita-se Ho (...) 
 
43 
 
 Aplicar o teste de Scheffé ao contraste anterior. 
 Aplicar o teste Duncan às médias anteriores dos desdobramentos. 
 
44 
 
7.7. Um exemplo com três fatores: 
Num experimento, sob o esquema fatorial 2
3
 ou 2 x 2 x 2, com adubação à base de 
N-P-K em cana-de-açúcar, seguindo o delineamento em blocos casualizados, com 4 
repetições, as produções em t/ha, foram: 
Tratamentos 
BLOCOS 
Totais 
I II III IV 
000 controle 
100 N 
010 P 
001 K 
110 NP 
101 NK 
011 PK 
111 NPK 
63,9 
32,5 
64,9 
46,5 
59,7 
45,2 
73,6 
70,8 
43,1 
50,3 
61,1 
40,1 
73,2 
58,4 
45,3 
68,5 
58,9 
50,3 
58,2 
56,0 
73,7 
53,7 
88,8 
78,7 
57,2 
68,4 
71,2 
51,8 
82,7 
76,0 
62,7 
84,9 
223,1 
201,5 
255,4 
194,4 
289,3 
233,3 
270,4 
302,9 
Totais 457,1 440,0 518,3 554,9 1.970,3 
 
As doses de nutrientes usadas foram: 
N : 0 e 60 kg/ha de N 
P : 0 e 75 kg/ha de P2O5 
K : 0 e 75 kg/ha de K2O 
 Proceder a análise de Variância: 
 
06315121
32
39701
2
,.
,.
C 
 
SQtotal = 63,9
2
 + 32,5
2
 + ... + 84,9
2
 – C = 5.852,17 
SQBlocos = 
  100711955404401457
8
1 222 ,.C,,,  
 
SQT = 
  027812930252011223
4
1 222 ,.C,,,  
 
 
 Para se proceder ao desdobramento da SQT segundo o esquema fatorial, organizamos 
os quadros auxiliares que se seguem: 
 Po P1 Totais 
No 
N1 
417,5 
434,8 
525,8 
592,2 
943,3 
1.027,0 
totais 852,3 1.118,0 1.970,3 
 
 
45 
 
 Ko K1 Totais 
No 
N1 
478,5 
490,8 
464,8 
536,2 
943,3 
1.027,0 
totais 969,3 1.001,0 1.970,3 
 
 Ko K1 Totais 
Po 
P1 
424,6 
544,7 
427,7 
573,3 
852,3 
1.118,0 
totais 969,3 1.001,0 1.970,3 
 
    93218002713943
16
1 22 ,c,.,NSQ 
 
    142062011813852
16
1 22 ,.c,.,PSQ 
 
    4031000113969
16
1 22 ,c,.,KSQ 
 
    40500225925417
8
1 22 ,.c,,P,NSQ  
 
SQ(N x P) = SQ(N, P) – SQ(N) – SQ(P) 
SQ(N x P) = 73,34 
SQ(N, K) = 
 22 25365478
8
1
,, 
 – C = 359,48 
SQ(N x K) = SQ(N, K) – SQ(N) – SQ(K) 
SQ(N x K) = 109,15 
SQ(P, K) = 
 22 35736424
8
1
,, 
 – C = 2.257,86 
SQ(N x K) = SQ(P, K) – SQ(P) – SQ(K) 
SQ(P x K) = 20,32 
SQ(N x P x K) = SQT(N, P, K) – SQ(N) – SQ(P) – SQ(K) – SQ(N x P) 
SQ(N x K) – SQ(P x K) 
SQ(N x P x K) = 119,74 
 
46 
 
 Quadro da Análise de Variância: 
F.V GL SQ QM F 
N 
P 
K 
N x P 
N x K 
P x K 
N x P x K 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
218,93 
2.206,14 
31,40 
75,34 
109,15 
20,32 
119,74 
218,93 
2.206,14 
31,40 
75,34 
109,15 
20,32 
119,74 
2,30 
23,16** 
0,33 
0,79 
1,15 
0,21 
1,26 
(Tratamentos) (7) (2.781,02) 
Blocos 
Resíduo 
3 
21 
1.071,10 
2.000,05 
 
95,24 
 
total (31) 5.852,17 
** significativo ao nível de 1% de probabilidade. 
 
7.8. Exercício Proposto 
1) Em um experimento fatorial com dois fatores A e B, com 4 e 3 níveis respectivamente, 
constituindo 12 tratamentos, dispostos no delineamento inteiramente casualizado, com 
3 repetições, os dados constam do quadro abaixo: 
 FATOR A 
FATOR B 1 2 3 4 Totais 
1 
2 
3 
12 
18 
22 
14 
17 
21 
16 
20 
20 
15 
22 
30 
17 
23 
31 
18 
23 
32 
20 
25 
29 
21 
26 
32 
23 
28 
32 
23 
29 
34 
24 
30 
35 
26 
32 
37 
229,0 
293,0 
355,0 
totais 160,0 211,0 236,0 270,0 877,0 
 
 Adotando  = 5%, pedem-se: 
1.1. Proceder a análise de Variância; 
1.2. Aplicar os testes de Tukey e Duncan de acordo com o resultado da análise de 
Variância; 
1.3. Concluir em todos os casos. 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
2) Em um experimento fatorial, no delineamento inteiramente casualizado, em que 
foram combinadas duas doses de N e duas doses de fósforo, com 5 repetições por 
tratamento, são dados: 
Quadro de Dados: 
 Po P1 
No 
10,50 
9,80 
9,90 
11,00 
11,20 
11,20 
10,40 
10,60 
11,20 
13,10 
N1 
11,50 
10,20 
10,40 
12,40 
12,70 
14,00 
18,80 
14,20 
14,10 
13,50 
 
Proceder a análise de variância e concluir para  = 5%. 
48 
 
CAPÍTULO VIII 
Experimentos em Parcelas Subdivididas 
 
8.1. Introdução 
Os experimentos em parcelas subdivididas (Split-Plot) se caracterizam pela sua 
estruturação através de tratamentos principais ou primários nas parcelas, e estas, por sua 
vez, são constituídas de tratamentos secundários, que são as subparcelas. 
 
 Podemos distinguir dois tipos de conformidade com a estruturação das 
subparcelas, ou seja: 
 
8.2. Parcelas subdivididas no espaço: 
 
Quando em cada parcela há uma subdivisão de sua área em sub-áreas, 
constituindo cada uma delas uma subparcela. Assim, podemos ter, por exemplo, nas 
parcelas, Variedades, e a sua área poderá se subdividir em sub-áreas, cada uma delas com 
um Espaçamento diferente, constituindo as subparcelas. Num outro exemplo, poderíamos 
ter nas parcelas fórmulas de adubação e, nas subparcelas, variedades. 
 
8.3. Parcelas subdivididas no tempo: 
 
A parcela não se subdivide em sub-áreas, mas, periodicamente, são tomados 
dados em cada uma delas, constituindo estas tomadas as subparcelas. Assim, poderíamos 
ter, por exemplo, nas parcelas diferentes “amadurecedores”, e a cada quinzena retirar uma 
amostra para determinações tecnológicas. Estas amostras (épocas) constituem as 
subparcelas. 
Consideram-se e analisam-se como experimentos em parcelas subdivididas 
aqueles que se realizam nas mesmas parcelas e com os mesmos tratamentos em dois ou 
mais anos sucessivos. 
É recomendável que se instale nas subparcelas o fator de maior intersse, ou seja, 
aquele no qual se deseja um estudo mais preciso, pois nesta tem-se um maior número de 
graus de liberdade associado ao resíduo. 
As parcelas poderão estar dispostas em qualquer tipo de delineamento. Os mais 
usuais são DIC e DBC. 
Nos experimentos em parcelas subdivididas temos dois resíduos distintos: O 
resíduo (a) referente às parcelas e o resíduo (b), correspondente às subparcelas dentro das 
parcelas. 
 Seja um experimento em parcelassubdivididas, com I variedades aplicadas às 
parcelas, dispostas no delineamento em blocos casualizados, com J repetições, e k 
espaçamentos aplicados às subparcelas. O esquema da análise de variância será: 
49 
 
ANOVA: 
F.V. GL 
Blocos 
Variedades (T) 
Resíduo (a) 
J – 1 
I – 1 
(I-1) . (J-1) 
Parcelas (I . J) -1 
Espaçamento (T’) 
T x T’ 
Resíduo (b) 
K – 1 
(I-1) . (K-1) 
I . (J-1) . (K-1) 
total (I . J .K) – 1 
 
8.4. Modelo Estatístico: 
 
Yi j k = m + ti + bj + tbi j + t’k + tt’i k + ei j k 
i = 1, 2, ..., I; j = 1, 2, ..., J; k = 1, 2, …, k 
Onde: 
Yi j k = valor observado na ik-ésima subparcela no j-ésimo bloco; 
m = média geral do experimento; 
ti = efeito do i-ésimo nível do tratamento T; 
bj = efeito do j-ésimo bloco; 
tbi j = efeito associado à ij-ésima observação ou efeito residual das parcelas; 
t’k = efeito do k-ésimo n vel do tratamento T’; 
tt’i k = efeito da interação do i-ésimo nível do tratamento T com o k-ésimo nível do 
tratamento T’; 
ei j k = efeito associado à ijk-ésima observação ou efeito residual das subparcelas. 
 
8.5. Cálculo das somas de quadrado (SQ’s): 
 
Var 
V1 V2 ... VI 
Blocos 
1 E1 E2 ... Ek E1 E2 ... Ek ... ... ... ... E1 E2 ... Ek 
2 E1 E2 ... Ek E1 E2 ... Ek ... ... ... ... E1 E2 ... Ek 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
J E1 E2 ... Ek E1 E2 ... Ek ... ... ... ... E1 E2 ... Ek 
 
 
Ijk
Y
c
ijk
2


 SQtotal = Yijk
2
 – c 
 Para calcular as demais somas de quadrados, vamos organizar outros quadros auxiliares 
a partir do quadro anterior: 
Em parcelas subdivididas: 
 
I: Variedades; 
J; Repetições; 
K: Espaçamentos. 
50 
 
 Variedades 
blocos 1 2 ... I totais 
1 
2 
... 
J 
Y11. 
Y12. 
... 
Y1j. 
Y21. 
Y22. 
... 
Y2j. 
... 
... 
... 
... 
YI1. 
YI2. 
... 
YIJ. 
Y.1. = B1 
Y.2. = B2 
... 
Y.J. = BJ 
totais Y1.. = V1 Y2.. = V2 ... YI.. = V1 Y... = G 
 
cV
jk
SQV
i
i 
21
 
cB
Ik
SQB
j
j 
21
 
SQ Re síduo (a) = SQ(VxB) = 
SQBSQVcY
k ij
ij 
21
 
 
 Variedades 
Espaçamento 1 2 ... I totais 
1 
2 
... 
K 
Y1.1. 
Y1.2. 
... 
Y1.k. 
Y2.1. 
Y2.2. 
... 
Y2.k. 
... 
... 
... 
... 
YI.1. 
YI.2. 
... 
YI.k. 
Y..1. = E1 
Y..2. = E2 
... 
Y..k. = Ek 
totais Y1.. = V1 Y2.. = V2 ... YI.. = V1 Y.. = G 
 
cE
IJ
SQE
k
k 
21
 
    SQESQVE,VSQVxESQ 
 
   
k
k.i cY
j
E,VSQ 2
1
 
SQRe síduo (b) = SQtotal – SQParcelas – SQE – SQ(VxE) 
 
51 
 
8.6. Quadro da ANOVA: 
F.V. GL SQ QM F 
Blocos 
Var (V) 
Resíduo (a) 
J-1 
I-1 
(I-1) (J-1) 
SQB 
SQV 
SQR (a) 
 
QMV 
QMR (a) 
 
QMV/QMR (a) 
 
Parcelas (IJ-1) (SQ Parc) 
Espaçamento (E) 
V x E 
Resíduo (b) 
K-1 
(I-1) (K-1) 
I(J-1) (K-1) 
SQE 
SQ V x E 
SQR (b) 
QME 
QM (V x E) 
QMR (b) 
QME/QMR (b) 
QM (V x E)/QMR (b) 
 
total (Ijk)-1 SQtotal 
 
8.7. Comparações múltiplas (Teste de Tukey): 
Podemos estabelecer quatro tipos distintos de contrastes entre médias: 
1) Entre duas médias de tratamentos primários, nas parcelas [ex.: entre 
Variedades (V)]: 
 
jk
aQMR
q
 
q =f [I; (I – 1) (J – 1)] 
ou seja, q  [n
o
 de tratamentos (V); g.l. resíduo (b)] 
 
2) Entre duas médias de tratamentos secundários nas subparcelas [ex.: 
Espaçamentos (K)]: 
 
IJ
bQMR
q
 
q =f [K;I(J – 1) (K – 1)] 
ou seja, q  [n
o
 de espaçamentos (K); g.l. resíduo (b)] 
 
Obs.: Os itens 1 e 2 anteriores são recomendados quando não houver interação 
significativa entre os fatores, pois quando estes interagem a metodologia correta seriam 
os itens 3 e 4: 
 
3) Entre duas médias de tratamentos secundários, num mesmo tratamento 
primário [ex.: Espaçamento (K) dentro de Variedade (V), ou seja, subparcela dentro de 
parcela]. 
 
J
bQMR
q
 
q =f [K; I(J – 1) (K – 1)] 
ou seja, q  [n
o
 de espaçamentos (K); g.l. resíduo (b)] 
 
 
 
52 
 
4) Entre duas médias de tratamentos primários num mesmo tratamento 
secundário [ex.: Variedade (V) dentro de Espaçamento (K), ou seja, parcela dentro de 
subparcela]. 
     
Jk
bQMRKaQMR
q
1

 
q =f (I; n’) 
I = variedades 
      
  
  
    
  11
1
11
1
222
2






KJI
bQMRK
JI
aQMR
bQMRKaQMR
'n
 
onde: (I – 1) . (j – 1) é o g.l. res.(a) e I (j – 1) . (K – 1) é o g.l. res. (b). 
 
 Exemplo prático 
Os dados a seguir, referem-se ao brix de frutos de 5 variedades de mangueira (parcelas 
I), colhidas de três pés por variedade (repetições J). De cada pé foram colhidos 4 
frutos, um de cada um dos pontos cardeais (subparcelas K). 
Obs.: Este experimento pode ser considerado como em parcelas subdivididas: Cada 
parcela é uma variedade de mangueira e as subparcelas são as 4 faces de cada árvore, 
correspondentes aos 4 pontos cardeais. 
QUADRO DE DADOS 
Var Norte Sul Leste Oeste totais Total(var.) 
1 
18,0 
17,5 
17,8 
17,1 
18,8 
16,9 
17,6 
18,1 
17,6 
17,6 
17,2 
16,5 
70,3 
71,6 
68,8 
210,7 
2 
16,3 
16,6 
15,0 
15,9 
14,3 
14,0 
16,5 
16,3 
15,9 
18,3 
17,5 
15,2 
67,0 
64,7 
60,1 
191,8 
3 
16,0 
19,5 
16,3 
16,2 
14,9 
16,4 
17,9 
15,0 
16,0 
16,1 
15,3 
16,4 
66,2 
64,7 
65,1 
196,0 
4 
16,6 
15,9 
17,5 
15,2 
13,2 
15,8 
14,2 
18,0 
16,7 
15,5 
17,3 
18,4 
61,5 
64,4 
68,4 
194,3 
5 
18,9 
18,5 
21,5 
18,6 
13,7 
16,4 
15,3 
18,2 
18,3 
17,0 
18,3 
16,6 
69,8 
68,7 
72,8 
211,3 
Totais 261,9 237,4 251,6 253,2 1.004,1 G=1.004,1 
 
6180316
60
10041
2
,.
,.
C 
 
53 
 
    5529321181917210
12
1 222 ,C,,,VSQ  
 
SQParc(V, Re pets.) = 
  2645872671370
4
1 222 ,C,,,  
 
SQR(a)(VxReps.) = SQParc – SQV = 15,71 
SQP card = 
  6020225342379261
15
1 222 ,C,,,  
 
SQtotal = 18,0
2
 +17,5
2
 + … + 16,62 – C = 137,58 
 
 Para calcular a SQ da interação (V x Pcard.), vamos estruturar o quadro seguinte: 
Variedades 
Pontos Cardeais 
N S L O 
1 
2 
3 
4 
5 
53,3 
47,9 
51,8 
50,0 
58,9 
52,8 
44,2 
47,5 
44,2 
48,7 
53,3 
48,7 
48,9 
48,9 
51,8 
51,3 
51,0 
47,8 
51,2 
51,9 
    2770951947353
3
1 222 ,C,,,card.P,VSQ  
 
SQ(V x P.card) = SQ(V, P.card) – SQV – SQP.card = 20,12 
SQRes(b) = SQtotal – SQParc. – SQ(P. card) – SQ(V x P. card) 
SQRes(b) = 51,60 
 
 Quadro da ANOVA 
F.V. GL SQ QM F 
Variedades (v) 
Resíduo (a) 
4 
10 
29,55 
15,71 
7,39* 
(1,57) 
4,71 
Parcelas (14) (45,26) 
P.card. (P) 
V x P 
Resíduo (b) 
 3 
12 
30 
20,60 
20,12 
51,60 
6,87* 
1,68
ns
 
(1,72) 
3,99 
0,97 
total 59 137,58 
* significativo a 5% de probabilidade. ns – não significante a 5% de probabilidade. 
Conclusões: 
a) Existe pelo menos um contraste entre médias de variedades, estatisticamente diferente 
de zero, ao nível de 5% de probabilidade. 
b) Existe pelo menos um contraste entre médias dos pontos cardeais, estatisticamente 
diferente de zero, ao nível de 5% de probabilidade; 
54 
 
c) Não existe interação entre os fatores variedades e pontos cardeais. Isto significa que o 
comportamento