Sistemas e Sinais - Poli - P1 - 2008

Prévia do material em texto

1a Questão – GABARITO – P1 – 2008 
Seja um sistema de tempo contínuo, linear, invariante no tempo com resposta ao impulso 
unitário denotada como h(t). Considere que o sistema é excitado com o sinal )cos()( ttu = 
para ]2,0[ pi∈t e zero para os demais valores de t. Pede-se: 
 
a) Para cada h(t) calcule de forma analítica ou gráfica o sinal de saída do sistema 
a. i) )4(
3
1)( 
3
2)(1 piδδ −−= ttth ; sendo )(tδ a Função de Dirac 
 
Resolução: 
(1.6 pontos) A saída do sistema é )(*)()( 11 thtuty = . Usando a expressão da resposta ao impulso de 
Dirac dada temos, 
( ))4()( 2*)(
3
1)4(
3
1)( 
3
2
*)()(1 piδδpiδδ −−=





−−= tttutttuty ( ))4(*)()(*)(23
1
piδδ −−= ttut tu . 
Observando que, a convolução de qualquer função pelo impulso de Dirac é a própria função no 
tempo do impulso de Dirac, ou seja, )()()()(*)( ∆−=∆−−=∆− ∫
∞+
∞−
tudtut tu
 
 
ττδτδ , então, 
( ) )4(
3
1)( 
3
2)4(*)()( *)( 2
3
1)(1 pipiδδ −−=−−= tututtuttuty . Graficamente temos 
0 1 2 3 4 5 6
-1
-0.5
0
0.5
1
2/3
(pi)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-1
-0.5
0
0.5
1
1/3
(pi)
 
 
a. ii) )2()2()(2 pipi −−+= ttth 11 ; sendo )(t1 o degrau unitário 
 
Resolução: 
(1.6 pontos) A saída do sistema é )(*)()( 22 thtuty = . Uma forma de resolver a questão é escrever a 
resposta h2(t) como ))2()2((*)()2()2()(2 piδpiδpipi −−+=−−+= tttttth 111 . Assim o sinal de 
saída pode ser expresso como ))2()2((*)(*)()(2 piδpiδ −−+= ttttuty 1 
Definindo a função intermediária )(*)()( ttutya l= , então, y2(t)=ya(t+2pi)-ya(t-2pi) e resolvendo 
 





+∞∈=
∈=
===
∫
∫
∫
∞+
∞− ],2[para ;0
]2,0[para);sen(
)(*)()( 2
0
0
piττ
piττ
τττ pi
t d )cos(
t td )cos(
d )-(t )u(ttuty
 
 
t 
 
 
 
a ll
 
 
sinal de entrada u(t) 
sinal de saída y1(t) 
(× pi) 
(× pi) 
2/3 
1/3 
temos )2()2()(2 pipi −−+= tsentsenty . Graficamente temos 
-2 -1 0 1 2 3 4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(pi)
 
 
b) Entre as respostas ao impulso unitário dadas escolha uma para representar o sistema 
mais adequado para transmissão do sinal u(t). Justifique sua escolha. 
 
 Resolução: 
(0.3 pontos) Ambos os sistemas causam uma repetição no sinal. O sistema 1 altera 
amplitude dos sinais repetidos com fatores diferentes. O sistema 2 mantém a mesma 
amplitude para o sinal repetido, entretanto, causa um deslocamento de 90 graus no sinal de 
entrada. 
 
(× pi) 
sinal de saída y2(t) 
2a Questão – GABARITO – P1 – 2008 
Considere o sistema cuja descrição entrada-saída é apresentada pela seguinte função de transferência 
( )( )100102
633)( 2
2
+++
−−
=
sss
ss
sH 
a) Determine e esboce sua realização canônica controlável e a sua descrição por espaço de estados; 
Resolução: 
( )( ) 20012012
633
100102
633)( 23
2
2
2
+++
−−
=
+++
−−
=
sss
ss
sss
ss
sH 
Realização canônica controlável (1,5 pontos): 
 
Descrição por espaço de estados (1,0 ponto): 
)(
1
0
0
)(
12120200
100
010
)( tutt ⋅










+⋅










−−−
= xx& 
[ ] )(336)( tty x⋅−−= 
 
b) Determine e esboce sua realização paralela usando um bloco de primeira ordem e um bloco de 
segunda ordem; 
Resolução: 
(1.0 ponto) 
( )( ) ( ) ( )100102100102
633)( 2 1012
2
++
+
+
+
=
+++
−−
=
ss
bsb
s
a
sss
ss
sH 
 
→ [ ]
1
)()( 11 pssHpsa =−= 
( ) 22
2
1 10010)2(
633)2(
−=






+++
−−
+=
s
sss
ss
sa 
( ) ( )
( ) ( )
( ) 14,0
7
1
21
3
84
12
100204
6643
1002102
62323
2
2
1 ====+−
−+
=
+−+−
−−−−
=a 
 
( )( ) ( ) ( )1001027
1
100102
633)( 2 102
2
++
+
+
+
=
+++
−−
=
ss
bsb
ssss
ss
sH 
( )( )
( ) ( )( )
( )( )100102
210010
7
1
100102
633)( 2
10
2
2
2
+++
+++++
=
+++
−−
=
sss
sbsbss
sss
ss
sH 
( )( ) ( )( )100102
2
7
1002
7
10
7
1
100102
633)( 2
110
2
0
2
2
+++






++





+++





+
=
+++
−−
=
sss
bsbbsb
sss
ss
sH 
 
14,10
7
71
14
142
7
100422
7
1006262
7
100
1111 −=
−
=
−
=⇒
−−
=⇒−−=⇒−=+ bbbb 
 
⇒−=++ 32
7
10
10 bb ⇒−=−+ 37
712
7
10
0b ⇒=−= 7
40
7
21
7
612 0b 86,27
20
0 ==b 
 
( )( ) ( ) ( )10010 7
71
7
20
2
7
1
100102
633)( 22
2
++
−
+
+
=
+++
−−
=
ss
s
ssss
ss
sH 
 
 
 
 
Observação: podia-se também calcular os resíduos para os pólos complexos e depois agrupar em uma 
função com coeficientes reais, mas a solução ficaria muito mais trabalhosa.