Sistemas e Sinais - Poli - P1 - 2015

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Notas: |1a.Q __ |2a. Q _ |3a. Q __ |4a. Q_______Total:_______ 
 
Nome: _GABARITO___________________________________________________ 
Primeira Prova PTC 2307 1o Semestre de 2015 Duração de 120 minutos 
 
Permitida consulta somente a duas folhas de tamanho A4 manuscritas (1 pode ser de tabelas). O 
uso de calculadoras ou celulares ligados na sala não é permitido. Tudo tem que ser justificado. 
Passagens e resultados não óbvios tem que ter explicação pois em caso contrário há grande risco 
de se perder pontos! Se usar uma fórmula de livro ou da apostila, referenciar na prova. Nos 
esboços de gráficos, é obrigatório colocar valores importantes na abscissa e na ordenada. 
 
 
1a Questão [2,5 pontos] 
A resposta em frequência de um sistema de primeira ordem (para a = 1 e b =1) é 
apresentada abaixo 
 
Dado um sistema de primeira ordem S1 descrito pela seguinte equação diferencial: 
 
 
   tuty
dt
tdy
  220
 
Pede-se: 
a) Apresente um diagrama de simulação (diagrama de blocos) que descreva o sistema 
S1; 
RESPOSTA: 
yuy   202 
 
 
 
b) Esboce com detalhes a resposta ao impulso do sistema S1; 
RESPOSTA: 
Transformando segundo Laplace com condições iniciais nulas, temos 
     sUsYsYs   220 
   sU
s
sY 





20
2 
 
 
  




20
2
...
ssU
sY
sH
nic
 
Anti-transformando segundo Laplace, temos: 
   teth t 1   202 
Logo o esboço da resposta ao impulso do sistema S1 é: 
 
c) Calcule a saída 
 ty
 do sistema S1 quando na entrada tem-se 
  






3
100cos8
 ttu
, onde 
  ,t
. 
RESPOSTA: 
Como 
 tu
 é uma autofunção do SLIT com função resposta em frequência 
 jH
, sabe-se que: 
      





  100arg
3
100cos8100 jHtjHty
  






3
100cos8
 ttu srad /100  
 
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
h(
t)
t
 
 
  as
b
ssU
sY
sH
nic




 

20
2
...
 
5
20
100
' 





a
 
A partir dos gráficos fornecidos, tem-se que: 
    2,05'  jGjG 
 
      radjGjG 35,15arg'arg  
Como 
       '
10
1
'
20
2
' 
 jGjGjG
a
b
jH 



 
Tem-se que: 
  2,0
10
1
100  jH
 
   radjH 35,1100arg   
Assim: 
  





 35,1
3
100cos82,0
10
1  tty 
 
2a Questão [2,5 pontos] 
Seja a descrição entrada-saída de um sistema linear e invariante no tempo 
 
( ) 11 ( ) 10 ( ) ( ) 9 ( )y t y t y t u t u t   
 
 
em que u(t) e y(t) representam a sua entrada e a sua saída respectivamente. 
 
a) Determine os modos naturais do sistema. Como você classificaria esse sistema quanto a 
estabilidade do tipo entrada limitada – saída limitada (BIBO – bounded input-bounded 
output)? Justifique adequadamente sua resposta. 
 
b) Determine a expressão analítica da resposta em frequência do sistema. 
 
c) Seja 
( ) 10cos( 10 + / 3) 1(t)u t t  em que 1(t) é o degrau unitário. Esse sinal é 
aplicado à entrada do sistema. Pede-se: 
 
c.1) o sinal observado na saída depois de ter passado o efeito das condições iniciais. 
Justifique adequadamente sua resposta. 
 
c.2) a diferença de fase entre os sinais de excitação e a resposta do sistema depois de ter 
passado o efeito das condições iniciais. Justifique adequadamente sua resposta. 
 
 
 
Questa˜o 2 (2, 5 pontos)
a) (0,8) Aplicando a Transformada de Laplace na equac¸a˜o diferencial dada resulta
(s2 + 11s+ 10)Y (s) = (s2 + 9s)U(s)
(s+ 10)(s+ 1)Y (s) = (s2 + 9s)U(s)
A partir da soluc¸a˜o do polinoˆmio (s+ 10)(s+ 1) temos os modos naturais do sistema: e−10t e e−t.
Como esses modos naturais tendem a zero quando t tende a infinito, a sa´ıda do sistema sera´ sempre
limitada para entrada limita, ou seja, possui estabilidade BIBO.
b) (0,5) A func¸a˜o de transfereˆncia do sistema e´
H(s) =
Y (s)
U(s)
=
s2 + 9s
s2 + 11s+ 10
A resposta em frequeˆncia pode ser obtida a partir da func¸a˜o de transfereˆncia fazendo s = jω, assim
H(jω) =
−ω2 + 9jω
−ω2 + 11jω + 10
c.1) (0,6) O sinal de entrada na˜o e´ uma auto-func¸a˜o, apesar de ser um sinal cossenoidal, ele e´ nulo para
t < 0. Pore´m, a sa´ıda para um tempo suficientemente longo, depois que os transito´rios tenham deca´ıdos
a valores relativamente baixos, sera´
y(t) = 10|H(j
√
10)| cos
(√
10t+
pi
3
+ Θ(
√
10)
)
A partir da expressa˜o da resposta em frequeˆncia do item anterior temos
H(j
√
10) =
−10 + 9j√10
−10 + 11j√10 + 10 =
j10 + 9
√
10
11
√
10
=
j
√
10 + 9
11
Assim |H(j√10)| =
√
91
11 , Θ(
√
10) = arctan(
√
10
9 ) e
y(t) = 10
√
91
11
cos
(√
10t+
pi
3
+ arctan(
√
10
9
)
)
c.2) (0,6) A diferenc¸a de fase para um tempo suficientemente longo sera´ arctan(
√
10
9 ).
1
3
a
 Questão [2,5 pontos] 
A equação de van der Pol quando o parâmetro é feito igual a 0 (zero) resulta no sistema 
com entrada u(t) e saída y(t) descrito pela equação diferencial 
 
Este sistema descrito pela equação diferencial acima, quando simulado fazendo u(t)=0, 
 e y(0)=1, fornece o sinal visto na Fig. 1. 
 
Fig. 1 
 
a) Determine os valores de A e T0, justificando claramente como os obteve (sem 
justificativa, o valor do item é igual a 0,0). [0,7] 
O sistema quando simulado fazendo u(t)=sen(1,25t), e y(0)=1, fornece como 
sinal de saída o que é visto na Fig. 2. 
b) Determine o período fundamental, em segundos, deste sinal de saída do sistema. Se 
não mostrar as justificativas, a nota do item será 0,0. [1,8] 
 
 
Fig. 2 
 
 
	Gabarito Q1 P1 PTC2307 2015
	Gabarito_Q3_P1_SSI_2015
	Gabarito-PTC2307-Q4-P1-2015
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	Page 3
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