Sistemas e Sinais - Poli - P3 - 2008

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Questão 2 
 
Considere o seguinte diagrama de blocos 
 
 
 
 
 
 
2.a) O sinal de entrada é 



>
<
=
1/3|t| 
1/3|t| A
tu
;0
;)( 
Determine a Transformada de Fourier de )(tu . Esboce o módulo e a fase de )(ωU . 
 
2.b) Seja )(1 ωH um filtro passa baixa ideal com freqüência de corte piω 6=c , ganho 
unitário e deslocamento de fase nulo. Demonstre que )(1 th é não causal. 
 
2.c) Esboce o módulo e a fase de )(ωV . 
 
2.d) Seja )2/()( t vtv = . Esboce o módulo de )(ωV . 
 
2.e) Determine )(2 ωH para )(ωY conter apenas lóbulo principal de )(ωV . 
)(tv u(t) v(t) y(t) 
)(1 th )(2 th ↑ 
2.a) )sin(
3
2
 
) (sen
3
2
3/
)3/(sen
3
2)( xA
x
xAAU ===
pi
pi
ω
ω
ω com )3/( piω=x 
))3/((s
3
2)( piωω inAU = 
 
-15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 1515
0
0.2
0.4
0.6
0.8
(×pi)ω
 |U(ω)|
-15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15
-1
-0.5
0
0.5
1
(×pi)ω
 arg(U(ω))
(× pi)
 
b) Fazendo a Transformada de Fourier inversa de )(1 ωH verifica-se que o sinal no 
tempo, )6(sinc6
 6
) 6(6)(1 tt
tsen
th ==
pi
pi
, tem valores não nulos para t < 0, portanto, não 
causal. 
 
c) 
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1.2
-0.7
-0.2
0.3
0.8
1.2
(×pi)
pi
 arg(V(ω))
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
(×pi)
 |V(ω )|
 
 
d) 
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
 | V (ω)|
 
 
e) )(2 ωH deve ser um filtro passa baixas com freqüência de corte 2/3piω =c 
3ª Questão 
Dado sistema livre descrito a seguir: 







⋅





=
⋅





−
=
)(
00
03)(
)(
30
02)(
tt
tt
xy
xx&
 
a) Determine os autovalores da matriz A e o conjunto de autovetores associados; 
b) Determine )(tx para 0>t quando 





=
5
4)0(x ; 
c) Este sistema é acoplado ou desacoplado? Este sistema é instável ou estável? 
Justifique suas respostas; 
d) Esboce a trajetória no espaço de estados partindo de )0(x dado no item c). Não 
esqueça que a trajetória deve apresentar o sentido do percurso e ser compatível 
com os autovalores do sistema; 
e) Construa o diagrama de blocos do sistema; 
f) Suponha um outro sistema, não-linear, descrito por: 
( )



 −
=
2
1
cos
4)(
x
x
tx&
 
Determine seu(s) ponto(s) de equilíbrio. 
3ª Questão 
a) Autovalores da matriz A :



−=
=
3
2
2
1
λ
λ
 
Autovetores associados:













=






=
1
0
0
1
2p
p1
 
 
b) tt eet ⋅−⋅ ⋅⋅+⋅⋅= 32 54)( 21 ppx 
 
c) O sistema é desacoplado, pois a matriz A é diagonal. 
Trata-se de um sistema instável, pois 01 >λ . 
 
d) 
 
 
e) 
y2
2
y1
1
1
s
1
s
0
3
-3
2
 
 
f) 




∈⋅+=
=
Zkkx
x
,
2
4
2
1
pi
pi