Sistemas e Sinais - Poli - P3 - 2010

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2a Questão [3,3] 
Suponha dada a seguinte descrição de estados de um sistema 1S : 
( ) ( )
[ ] ( )⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⋅=
⋅
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+⋅
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
tx
txtx
8765
4321 1
0
0
0
1000
0100
0010
αααα
αααα
y
u&
 
Além disso, é apresentado um sistema 2S com a seguinte função de transferência: 
( )
3
21
2 β
ββ
+
+⋅=
s
ssH 
Pede-se: 
a) Os diagramas de simulação na forma canônica-controlável dos sistemas 1S e 2S ; 
Solução 
Sistema 1: 
 
Sistema 2: 
( )
3
312
1
3
21
2 β
βββββ
ββ
+
⋅−+=+
+⋅=
ss
ssH  
 
 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUs
ssUsHsY
sU
sY
s
ssH ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+⋅=⋅=⇒=+
+⋅=
3
21
2
3
21
2 β
ββ
β
ββ
 
( ) ( )sU
s
sQ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+= 3
1
β  
 
b) As equações diferenciais que regem os sistemas 1S e 2S . DICA: você pode utilizar o resultado do 
item a) para resolver este item; 
Solução 
Sistema 1: 
Por inspeção do diagrama de blocos do item a), temos: 
( ) ( )( )sU
sY
ssss
ssssH =−⋅−⋅−⋅−
+⋅+⋅+⋅=
12
2
3
3
4
4
56
2
7
3
8
1 αααα
αααα
 
( ) ( ) ( ) ( )sUssssYssss 5627381223344 αααααααα +⋅+⋅+⋅=−⋅−⋅−⋅−  
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )tutu
dt
dtu
dt
dtu
dt
d
tyty
dt
dty
dt
dty
dt
dty
dt
d
⋅+⋅+⋅+⋅
=⋅−⋅−⋅−⋅−
562
2
73
3
8
122
2
33
3
44
4
αααα
αααα
 
Sistema 2: 
( ) ( )( )sU
sY
s
ssH =+
+⋅=
3
21
2 β
ββ
 
( ) ( ) ( ) ( )sUssYs 213 βββ +⋅=+  
( ) ( ) ( ) ( )tututyty ⋅+⋅=⋅+ 213 βββ &&  
 
c) A função de transferência da associação em série dos sistemas 1S e 2S . Forneça a resposta em 
função de 8,7,6,5,4,3,2,1, =iiα  e  3,2,1, =kkβ . DICA: você pode utilizar o resultado do 
item b) para resolver este item. 
Solução 
Função de transferência da associação em série dos sistemas 1S e 2S : ( )sH 
( ) ( ) ( )sHsHsH 21 ⋅= 
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+⋅⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−⋅−⋅−⋅−
+⋅+⋅+⋅=
3
21
12
2
3
3
4
4
56
2
7
3
8
β
ββ
αααα
αααα
s
s
ssss
sss
sH  
( )
3132
2
33
3
34
4
31
2
2
3
3
4
4
5
2526
2
27
3
2815
2
16
3
17
4
18
βαβαβαβαβαααα
βαβαβαβαβαβαβαβα
⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅+⋅−⋅−⋅−⋅−
⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
sssssssss
sssssss
sH
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 31321233233434345
252615
2
2716
3
2817
4
18
βαβααβααβααβα
βαβαβαβαβαβαβαβα
⋅−⋅⋅+−⋅⋅+−⋅⋅+−⋅−−
⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=
sssss
ssss
sH