Sistemas e Sinais - Poli - P3 - 2016

Prévia do material em texto

Notas: |1a.Q |2a. Q |3a. Q Total:__________
Nome: _____________________________________ No USP:_________________ 
Terceira Prova PTC 3307 1o Semestre de 2016 Duração de 120 minutos 
Permitida consulta somente a duas folhas de tamanho A4 manuscritas (1 pode ser de tabelas). O 
uso de calculadoras ou celulares ligados na sala não é permitido. Tudo tem que ser justificado. 
Passagens e resultados não óbvios tem que ter explicação pois em caso contrário há grande risco 
de se perder pontos! Se usar uma fórmula de livro ou da apostila, referenciar na prova. Nos 
esboços de gráficos, é obrigatório colocar valores importantes na abscissa e na ordenada. 
1a Questão [3,0 pontos] 
Dado um sistema de multiplexação por divisão de frequência (FDM) com 3 canais 
descrito pelo diagrama abaixo: 
Onde: 
   ttxa  50cos
; 
   tsentxb  100
; 
   ttxc  150cos
321  
srad /20001   srad /60003  
 
a) Determine para quais valores de
2
 seria possível recuperar 
 txb
a partir de 
 ty
com um sistema de demultiplexação e demodulação adequado. Justifique sua
resposta;
b) Supondo escolhido um valor de 
2
 dentre os valores obtidos no item a), apresente 
um diagrama do sistema de demultiplexação e demodulação adequado (com todos os
valores numéricos pertinentes) para recuperar o sinal 
 txa
 a partir de 
 ty
;
c) Esboce com detalhes (apontado TODOS os valores relevantes) o espectro de 
 ty
supondo que 
srad /40002  
. 
Gabarito
te U,() f'0ryto)
i:U..,) = coe (50 Iít), c...os Czo 00 iÍ"i:)
~b (t')= .sw ( IDO ~t'), c.os C ulz. t)
i c. (t')= CO!:' ( \::,0 7ft) , <:..os (10000 'iT t)
l-e. ('rib rQf"\ d.:> Qy0 t. 00
cos (wo-tJ A Ií [S(wtwO) t ~(uJ-wo)l
SVl ( LVO t) ~ j Ií L~ (w +Wo') - ~ (vJ - lUo) J
Y1\ ( 1:-'), U) S (.')..)0 t')<f'\ 1[N\ (J' ( <Ni wS) +MS(co -I.\J,,)~
2
t.~rf\ -.s,..!I.
\ Y~~w)1 Ií li
tE.. 2
-r--7---t-----i.---.:~w (vO-cl( ~")
o ) 2000J S
jC;Solí v-
Zo50~
v
1\
z.
POJo. 1-°1. se..Jo. FOS"'; ve: \
re.Gupt.rO\r .:::L
h
(tj c.. pctrt1r
d e. \/ ( -t:') LOyY) u rn S I ~ te.m c, d(.
cl.e. ft'"'\\J lt;ph.)(o- <f c:: o ~ d~HJD du t o- 'r ~o
c.oro o. fre..se..rrtc.do nO- QPú-s-l~ \0. I
de..\fe,ff\ os te...r ~
W2. - \001í '>2050~
W2. + IDO~ <, 525D íl
) ~000711
6850 li fo '50 lí
l.; (1,0 ponta)
"{lt}
----::;>
r-,'!trD
fo.5~C.\" bo. nc\O\
1 rh L
- cOe, $''-.t,~.\ l.(j~,
- LU,.
-\
5Q(\"0 ~ 1
w < IC1So ií ro.df':>
C.l
Zo501í < uJc.. <. (w~ -100,,)
2
Fllt('o
pC\~~C\ - b C\ \xc.)
qCinho;: 2
u "z.
I
- UJc., O Wc,
W > ~O 1\ 'fo.d/~c..
I Y l..\W) ,
"V '\.. '" "V
....,
" .!! J1 Jl.1\ .!l. ~- 2- 2.. 2-a Z. 2.
.•. - - .. - ~,
I
• : ~I-----":
- 4ooo~ "':>
-..3~oo,
~
- II
2
"" '
. ·1\ - .z.
2ª. Questão [3,5 pontos] 
A figura a seguir mostra um diagrama de simulação de um sistema linear, cujas 
características podem ser modificadas por meio da realimentação da saída, o que ocorre 
quando a chave vista na figura é fechada. 
(I) Com a chave aberta e com condições iniciais nulas nos dois integradores: 
a) Determine a função de transferência do sistema SISO fornecido.
b) Aplicando um degrau de Heaviside na entrada u(t), determine a expressão da
correspondente saída e também determine quais as constantes de tempo envolvidas na 
resposta ao degrau que você encontrou. 
(II) Com a chave fechada e com condições iniciais nulas nos dois integradores: 
c) Determine a função de transferência do novo sistema, com realimentação de saída,
devendo esta função ficar em função de k, em que k é uma constante real. 
d) Determine o valor de k, de tal forma que um dos polos da nova função de
transferência seja igual a -10, ficando o outro polo com um valor livre, função do valor 
de k que resultar na imposição do polo em -10. O objetivo desta imposição de polo igual 
a -10 seria para se tentar obter uma resposta a degrau mais rápida do que a do sistema 
original que você obteve no item (b). Dica: não use a fórmula de Bhaskara, escreva o polinômio 
desejado (polo em -10 e outro chamemos de p2) e identifique os parâmetros deste polinômio com aquele 
obtido em função de k. 
e) O problema da escolha de k para que um dos polos seja igual a -10 é que se o
segundo polo resultar com parte real positiva, o sistema fica instável e não servirá para 
nada. Verifique se com o valor de k obtido no item (d) o sistema é estável BIBO. 
(e) 	 U) 	 2 u k,9 
= 
	
-+ 2 u+k?..9 
• 
-.?(i 	 1.t2 
r 
oõt 5-9"çl —3 .9L 2_ 	
-7(1 f 2c2_ 
	
u 	
L/ 
C f5-] 	 [AI 
	
+ c iu 	 fl 
 
+3 fífi 
gr -Ó 
 
d 
?f-3--i QA)-= E /( Á 
 
 
 
 
o 
215- 	
"- I 
11: 4 
k.wi -i--k)-(2, f 1/Pe *2 (-) 
..___ ....._-_-. 
ink 04. kri 	 T2
5 
MI 
..1eL oj u 
a -3j 
I -13 21_ 
_..... 
À "k co 
Goug (J2-) 
17( 	 A5) 	 )--.4/b79.2 • 
--= 
)k 
< 
eP 	 s°14" '441"4/ 
(ai 
2 
3ª. Questão [3,5pontos] 
Um sistema linear e invariante no tempo é descrito por variáveis de estado pelas 
equações: 
 



















x
xx
.11
.
0
1
.
31
13
y
u
onde o negrito indica um vetor coluna . Pede-se: 
a) a função de transferência 
 sH
 do sistema;
b) uma realização do sistema na forma canônica controlável;
c) a função resposta em frequência 
 jH
 do sistema;
d) a expressão da saída 
 ty
 em regime permanente senoidal quando o sinal de
entrada 
 tu
 é igual a 
 4/210  tsen
, sendo a fase 
4/
 dada em
radianos (Dados: 
  56,252/1 arctg
, 
  56,713/1 arctg
);
e) a expressão da saída 
 ty
 quando a entrada é uma constante igual a 
10
;
f) as relações das variáveis de estado 
1x
 e 
2x
 com as variáveis de estado originais 
1x
 e
2x
, considerando-se a entrada 
  0tu
 e que as novas variáveis de
estado devem ser tais que diagonalizem a descrição do sistema por variáveis de
estado, ou seja, 
xx  Λ , sendo a matriz Λ diagonal;
g) considerando 
  0tu
, esboce quatro trajetórias de estado começando cada
uma em um ponto de cada um dos quatro quadrantes do plano de estados e não
pertencente às retas que definem as direções dos autovetores da matriz 
A
;
h) considerando 
  0tu
, esboce a trajetória do vetor de estado no espaço de
estados quando a condição inicial é tal que 
    200 21  xx
, indicando 
claramente se ela tende mais rapidamente para o eixo 
1x
 ou para o eixo 
2x
 ou 
para o eixo 
1x
 ou para o eixo 
2x
, justificando. Sugestão: observe as direções 
dos autovetores da matriz A e analise a posição do ponto correspondente ao
estado inicial 
 01x
 e 
 02x
 relativamente a essas direções.
(4) - C- /:-sj 
r L.4 + 3 L 
Á 1-4-0 fr E 	 1*-31 
_11A -É 3 .-j 
A +3_, 
2-76-4 Fg. 
A 
o 
 
,) : 
	
d _f_ sz 	 2_ -51..1 
ri----. i. 
	
j rw) ::- Il (•-(») , UP'(,G)--. --:—`,1-i-L---4)—'
. 	
, .207-( S (.1,J :-- -4---- '-` 571-
A_ 
 
4 \ 1 - 4 	 7(-& 	 />,--t-3 A 7 
___0—CL::: a .----, ri fi z 	 , 
I - .1 - 1 	
Mi 121 0 	 reo."4------ 
 L-'• 
\ - - _s 	 - S. A Lea? i 	
-A. 	
-- 
71- 
., 
) 
FiX 
2_ 	 z 
z_ 	 Ã- z z 
o 
ao",e --4 a& /62:4 o 
CC-12_ 	 ;9.e c71( ( 
	Gabarito PTC3307 P3 Q2 2016.PDF
	Page 1
	Gabarito PTC3307 P3 Q3 2016.PDF
	Page 1