Sistemas e Sinais - Poli - Psub - 2011

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2
a
 Questão [3,4] Um sistema linear e invariante no tempo de tempo contínuo é descritos pela seguinte 
equação diferencial 
 
)(7)(4)(2)( tutytyty  
 
 
Determine 
a) a função de transferência do sistema (0.5) 
42
7
2 

ss
sH )(
 
b) os modos naturais do sistema (0.5) 
 
As raízes do polinômio 
422  )(Q são 31
2
1642
21 j

,
, portanto, 
os modos naturais são tjt ee )( 311  e tjt ee )( 312  
 
c) resposta impulsiva do sistema (se desejar, pode usar a tabela fornecida na questão 3) (0.5) 
 












31
3
3
7
42
7
22
)(
)(
s
 
ss
sH
 
)(1 t t) sen(e
3
7
h(t) t 3
 
 
d) o coeficiente de amortecimento e a frequência natural (0.5) 
 
Reescrevendo H(s) como 










42
4
4
7
42
7
22 ss
 
ss
sH )(
 observa-se diretamente a 
freqüência natural 
2n
 e o coeficiente de amortecimento = 0.5 
 
e) a saída do sistema para a entrada 
)/cos()/()( 432325   t t sen tu . Dica: use as 
curvas de modulo e fase dadas. (0.7) 
 
Como a entrada é autofunção, então a saída é 
))/(/cos()/())/(/()/()( 2343223
4
7
223222
4
7
faset Mfaset sen 5 Mty   
Usando as curvas de modulo para = 0.5 temos M(1)=1 e M(1.5)=0.5 e as curvas de fase para 
= 0.5 temos fase (1)-1.5 e fase(1.5) -2.25 
)./cos()./()( 25243
4
7
5132
4
7
  t t sen 5 ty 
 
f) a saída para uma entrada nula e a condição inicial 
1)0( y
 e 
0)0( y
 (0.7) 
A solução de um sistema de ordem dois é
tt
zi ececty
21
21
 )(
 e a sua derivada é 
tt
zi ececty
21
2211
  )( . Para t = 0 temos 10 21  ccyzi )( e 
00 2211   ccyzi )(
, usando os valores de calculados no item c temos um 
2311 /)/( jc 
 e 
2312 /)/( jc 
. Portanto, a solução para as condições iniciais dadas 
é 
23131 3131 /])/()/[()( )()( tjtjzi ejejty
 
.