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ÁLGEBRA ELEMENTAR Leila Thomazelli Thieghi Página 1 Neste texto iremos rever alguns conceitos elementares de Matemática dos ensinos fundamental e médio. Você verá que muitos deles estão completamente enraizados em nossos pensamentos, de modo que os utilizamos quase automaticamente. De qualquer forma, faremos uma rápida revisão dos principais conceitos. Em Cálculo I trabalhamos praticamente o tempo todo com os números reais, cujo conjunto é indicado por ℝ. Dentro do conjunto dos números reais, encontramos os conjuntos dos números naturais, ℕ, e dos números inteiros, ℤ. Na notação usual para conjuntos numéricos, temos: ℕ = {0,1,2,3,4, … } e ℤ = {… , −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4, … } Além destes, temos também o conjunto dos números racionais, ℚ; um número racional é aquele que pode ser escrito na forma 𝑚 𝑛⁄ , onde m e n são números inteiros e 𝑛 ≠ 0. Um número racional é também um número real! Nem sempre um número poderá ser escrito na forma anterior, e quando isto ocorre ele é classificado de número irracional. Um número irracional, 𝕀 ,é, portanto, um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros. Exemplos de números irracionais são , e, √2, entre muitos outros. Podemos resumir estas informações com as seguintes relações: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ 𝑒 𝕀 ⊂ ℝ Axiomas de Corpo Os chamados axiomas de corpo estabelecem as propriedades algébricas básicas de ℝ, e deles podem deduzir-se as propriedades algébricas dos números reais. Em ℝ estão definidas duas operações, a adição e a multiplicação. (Você deve estar se perguntando onde estão a subtração e a divisão; tenha um pouco de paciência!) Adição A adição aplicada a um par ordenado (𝑎, 𝑏) de números reais associa um único número real 𝑎 + 𝑏, chamado de soma de a e b, onde a e b são chamados parcelas. Multiplicação ÁLGEBRA ELEMENTAR Leila Thomazelli Thieghi Página 2 A multiplicação aplicada a um par ordenado (𝑎, 𝑏) de números reais associa um único número real 𝑎 ∙ 𝑏, chamado de produto de a e b, onde a e b são chamados fatores (Podemos omitir o símbolo " ∙ " e escrevermos apenas ab para representar o produto). Para ambas as operações, adição e multiplicação, vale a seguinte regra: Se 𝑎 = 𝑏, então 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 𝑒 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐, onde a, b e c são números reais, isto é, em uma soma ou em uma multiplicação podemos sempre somar ou multiplicar uma mesma quantidade, sem alterar a igualdade. Vejamos agora as propriedades básicas da adição e da multiplicação. Propriedade Comutativa da Adição: quaisquer que sejam dois números reais a e b, temos sempre que 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎. Exemplos: 3 + 4 = 4 + 3 = 7 4,25 + 2,75 = 2,75 + 4,25 = 7,00 −1 + 2 = 2 + (−1) = 1 Propriedade Associativa da Adição: quaisquer que sejam os números reais a, b e c, temos sempre que (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐). Por essa razão omitimos os parênteses, escrevendo apenas 𝑎 + 𝑏 + 𝑐. Esta propriedade é válida para qualquer número de parcelas. Exemplos: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) = 12 2,5 + (3,5 + 4,5) = (2,5 + 3,5) + 4,5 = 10,5 (−1 + 3) + 2 = −1 + (3 + 2) = 4 Elemento Neutro da Adição: Existe o elemento neutro na adição, tal que para qualquer real a, tem-se que 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎. Exemplos: 1 + 0 = 0 + 1 = 1 −5 + 0 = 0 + (−5) = −5 4,5 + 0 = 0 + 4,5 = 4,5 ÁLGEBRA ELEMENTAR Leila Thomazelli Thieghi Página 3 Elemento Oposto: qualquer que seja o número real a, temos sempre o número real –a, chamado de oposto de a, tal que 𝑎 + (−𝑎) = 0. Exemplos: 3 + (−3) = 0 −2 + [−(−2)] = 0 5,2 + (−5,2) = 0 Propriedade Comutativa da Multiplicação: quaisquer que sejam dois números reais a e b, temos sempre que 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎. Exemplos: 3 ∙ 4 = 4 ∙ 3 = 12 (−2) ∙ 5 = 5 ∙ (−2) = −10 𝜋 ∙ 5 = 5 ∙ 𝜋 Propriedade Associativa da Multiplicação: quaisquer que sejam os números reais a, b e c, temos sempre que (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐). Por essa razão omitimos os parênteses, escrevendo apenas 𝑎𝑏𝑐. Esta propriedade é válida para qualquer número de fatores. Exemplos: (3 ∙ 4) ∙ 5 = 3 ∙ (4 ∙ 5) = 60 (−2 ∙ 5) ∙ 3 = (−2) ∙ (5 ∙ 3) = −30 (2 ∙ 0,5) ∙ 5 = 2 ∙ (0,5 ∙ 5) = 5 Elemento Neutro da Multiplicação: Existe o elemento neutro na multiplicação, tal que para qualquer real a, tem-se que 𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎. Exemplos: 1027 ∙ 1 = 1 ∙ 1027 = 1027 (−8) ∙ 1 = 1 ∙ (−8) = −8 4,5 ∙ 1 = 1 ∙ 4,5 = 4,5 ÁLGEBRA ELEMENTAR Leila Thomazelli Thieghi Página 4 Elemento Inverso: qualquer que seja o número real 𝑎 ≠ 0, temos sempre o número real 1 𝑎 (ou 𝑎−1) chamado de inverso de a, tal que 𝑎 ∙ 1 𝑎 = 1. Exemplos: 2 ∙ 1 2 = 1 (−5) ∙ 1 (−5) = 1 𝑒 ∙ 1 𝑒 = 1 Propriedade Distributiva: quaisquer que sejam os números reais a, b e c, temos sempre que 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 = (𝑏 + 𝑐) ∙ 𝑎 = 𝑏𝑎 + 𝑐𝑎. Exemplos: (3 + 4) ∙ 5 = 3 ∙ 5 + 4 ∙ 5 = 5 ∙ (3 + 4) = 5 ∙ 3 + 5 ∙ 4 = 35 (1 − 2) ∙ 3 = 1 ∙ 3 + (−2) ∙ 3 = 3 ∙ (1 − 2) = 3 ∙ 1 + 3 ∙ (−2) = −3 (𝜋 + 2𝜋) ∙ 5 = 𝜋 ∙ 5 + 2𝜋 ∙ 5 = 5 ∙ (𝜋 + 2𝜋) = 5 ∙ 𝜋 + 5 ∙ 2𝜋 = 15𝜋 Estas regras básicas que acabaram de ser apresentadas têm algumas consequências, as quais listamos abaixo: Cancelamento: Estamos falando aqui daquelas duas regrinhas que são fundamentais para resolver uma equação: “se um número está somado de um lado da equação, podemos passa-lo subtraindo para o outro lado” e “se um número está multiplicado de um lado de uma equação, podemos passa-lo dividindo para o outro lado”. Apesar de fundamental, muitos alunos erram feio ao passarem termos de um lado da equação para o outro, e por isso achamos melhor relembrar o que está por trás destas regrinhas. Para três números reais dados a, b e c, suponha que tenhamos a equação 𝑎 + 𝑏 = 𝑐, e queremos isolar a no lado esquerdo. Para isso devemos somar a quantidade –b a ambos os lados da equação 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 𝑎 + 𝑏 + (−𝑏) = 𝑐 + (−𝑏) ÁLGEBRA ELEMENTAR Leila Thomazelli Thieghi Página 5 𝑎 = 𝑐 − 𝑏 Vemos, então, que podemos passar uma parcela de um lado a outro de uma equação desde que tomemos seu oposto. Exemplos: Se 𝑥 + 2 = 1 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 1 − 2 = −1 Se 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑤 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 𝑤 − 𝑦 − 𝑧 Agora para três números reais dados a, b e c, com 𝑎 ≠ 0, suponha que tenhamos a equação 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑐, e queremos isolar b no lado esquerdo. Para isso devemos dividir ambos os lados da equação por a 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑐 𝑎 ∙ 𝑏 𝑎 = 𝑐 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑎 Vemos, então, que podemos passar um fator de um lado a outro de uma equação desde que tomemos seu inverso. Exemplos: Se 2𝑥 = 5, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 5 2 𝑆𝑒 − 7,2𝑥 = 1, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 1 (−7,2) O chamado cancelamento é apenas a aplicação do que acaba de ser dito. Vejamos especificamente no caso da adição: Se temos uma equação do tipo 𝑚 + 𝑛 = 𝑚 + 𝑝 o que fazemos é somar –m (o inverso da parcela em comum) a ambos os lados da equação, obtendo 𝑚 + 𝑛 + (−𝑚) = 𝑚 + 𝑝 + (−𝑚) 𝑛 = 𝑝 que na prática é visto como o cancelamento da parcela em comum. ÁLGEBRA ELEMENTAR Leila Thomazelli Thieghi Página 6 Para o caso da multiplicação, se temos uma equação do tipo 𝑚 ∙ 𝑛 = 𝑚 ∙ 𝑝, onde 𝑚 ≠ 0, o que fazemos é dividir ambos os lados da equação por m (o fator comum), obtendo 𝑚 ∙ 𝑛 𝑚 = 𝑚 ∙ 𝑝 𝑚 𝑛 = 𝑝 que na prática é visto como o cancelamento do fator em comum. Exemplos: 𝑥 + 5𝑎 = 𝑦 + 5𝑎 𝑥 + 5𝑎 − 5𝑎 = 𝑦 + 5𝑎 − 5𝑎 𝑥 =𝑦 5𝑥𝑒 1 𝑎 = 5𝑦𝑒 1 𝑎 5𝑥𝑒 1 𝑎 5𝑒 1 𝑎 = 5𝑦𝑒 1 𝑎 5𝑒 1 𝑎 𝑥 = 𝑦 Anulação: Regra do fator nulo: qualquer que seja o real a, 𝑎 ∙ 0 = 0 ∙ 𝑎 = 0 Regra do produto nulo: quaisquer que sejam os reais a e b, se 𝑎 ∙ 𝑏 = 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 = 0 𝑜𝑢 𝑏 = 0 (𝑜𝑢 𝑎𝑖𝑛𝑑𝑎 𝑎 = 𝑏 = 0) Regras de Sinal Para quaisquer a e b reais, temos que: 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑏 (−𝑎) ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ (−𝑏) = −𝑎𝑏 ÁLGEBRA ELEMENTAR Leila Thomazelli Thieghi Página 7 (−𝑎) ∙ (−𝑏) = 𝑎𝑏 −(−𝑎) = 𝑎 Exemplos: (−3) ∙ 5 = 3 ∙ (−5) = −3 ∙ 5 = −15 (−4) ∙ (−2) = 4 ∙ 2 = 8 −(−2) = 2 Imagino que esteja se perguntando onde é que ficaram a subtração e a divisão, se terão sido esquecidas. Aqui estão elas. Subtração A subtração 𝑎 − 𝑏 , ou a diferença de a e b, nada mais é que a soma de a com o oposto de b: 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏) Então, a subtração deve seguir as mesmas regras da adição. A propriedade distributiva da subtração fica: 𝑎 ∙ (𝑏 − 𝑐) = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 (𝑏 − 𝑐) ∙ 𝑎 = 𝑏𝑎 − 𝑐𝑎 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 − 𝑐) Divisão: A divisão de a por b, ou o quociente de a por b, com 𝑏 ≠ 0, nada mais é senão a multiplicação de a pelo inverso de b: 𝑎 𝑏 = 𝑎 ∙ 1 𝑏 Então, a divisão deve seguir as mesmas regras da multiplicação. Referências: http://www.mundoeducacao.com/matematica/numeros-irracionais.htm Bosquilha, Alessandra, “Minimanual compacto de matemática : teoria e prática : ensino fundamental.”-- 2. ed. rev. -- São Paulo : Rideel, 2003. Bosquilha, Alessandra, “Minimanual compacto de matemática : teoria e prática : ensino médio”, Alessandra Bosquilha, Marlene Lima Pires Corrêa, Tânia Cristina Neto G. Viveiro. -- 2. ed. rev. -- São Paulo : Rideel, 2003. Boulos, Paulo, “Pré-Cálculo”, São Paulo, Makron Books, 1999.
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