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ÁLGEBRA ELEMENTAR 
 
Leila Thomazelli Thieghi Página 1 
 
 Neste texto iremos rever alguns conceitos elementares de Matemática dos ensinos 
fundamental e médio. Você verá que muitos deles estão completamente enraizados em nossos 
pensamentos, de modo que os utilizamos quase automaticamente. De qualquer forma, faremos uma 
rápida revisão dos principais conceitos. 
 Em Cálculo I trabalhamos praticamente o tempo todo com os números reais, cujo conjunto é 
indicado por ℝ. Dentro do conjunto dos números reais, encontramos os conjuntos dos números 
naturais, ℕ, e dos números inteiros, ℤ. Na notação usual para conjuntos numéricos, temos: 
ℕ = {0,1,2,3,4, … } 
e 
ℤ = {… , −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4, … } 
 Além destes, temos também o conjunto dos números racionais, ℚ; um número racional é 
aquele que pode ser escrito na forma 𝑚 𝑛⁄ , onde m e n são números inteiros e 𝑛 ≠ 0. Um número 
racional é também um número real! 
 Nem sempre um número poderá ser escrito na forma anterior, e quando isto ocorre ele é 
classificado de número irracional. Um número irracional, 𝕀 ,é, portanto, um número real que não 
pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros. Exemplos de números irracionais são , e, √2, 
entre muitos outros. 
 Podemos resumir estas informações com as seguintes relações: 
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ 𝑒 𝕀 ⊂ ℝ 
 
 Axiomas de Corpo 
 Os chamados axiomas de corpo estabelecem as propriedades algébricas básicas de ℝ, e deles 
podem deduzir-se as propriedades algébricas dos números reais. 
 Em ℝ estão definidas duas operações, a adição e a multiplicação. (Você deve estar se 
perguntando onde estão a subtração e a divisão; tenha um pouco de paciência!) 
 Adição 
 A adição aplicada a um par ordenado (𝑎, 𝑏) de números reais associa um único número real 
𝑎 + 𝑏, chamado de soma de a e b, onde a e b são chamados parcelas. 
 
 Multiplicação 
 
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 A multiplicação aplicada a um par ordenado (𝑎, 𝑏) de números reais associa um único 
número real 𝑎 ∙ 𝑏, chamado de produto de a e b, onde a e b são chamados fatores (Podemos omitir o 
símbolo " ∙ " e escrevermos apenas ab para representar o produto). 
 
 Para ambas as operações, adição e multiplicação, vale a seguinte regra: 
Se 𝑎 = 𝑏, então 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 𝑒 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐, onde a, b e c são números reais, isto é, em uma 
soma ou em uma multiplicação podemos sempre somar ou multiplicar uma mesma quantidade, sem 
alterar a igualdade. 
Vejamos agora as propriedades básicas da adição e da multiplicação. 
 Propriedade Comutativa da Adição: quaisquer que sejam dois números reais a e b, 
temos sempre que 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎. 
Exemplos: 
3 + 4 = 4 + 3 = 7 
4,25 + 2,75 = 2,75 + 4,25 = 7,00 
−1 + 2 = 2 + (−1) = 1 
 
 Propriedade Associativa da Adição: quaisquer que sejam os números reais a, b e c, 
temos sempre que (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐). Por essa razão omitimos os parênteses, escrevendo 
apenas 𝑎 + 𝑏 + 𝑐. Esta propriedade é válida para qualquer número de parcelas. 
Exemplos: 
(3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) = 12 
2,5 + (3,5 + 4,5) = (2,5 + 3,5) + 4,5 = 10,5 
(−1 + 3) + 2 = −1 + (3 + 2) = 4 
 
 Elemento Neutro da Adição: Existe o elemento neutro na adição, tal que para qualquer 
real a, tem-se que 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎. 
Exemplos: 1 + 0 = 0 + 1 = 1 
−5 + 0 = 0 + (−5) = −5 
4,5 + 0 = 0 + 4,5 = 4,5 
 
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 Elemento Oposto: qualquer que seja o número real a, temos sempre o número real –a, 
chamado de oposto de a, tal que 𝑎 + (−𝑎) = 0. 
Exemplos: 
3 + (−3) = 0 
−2 + [−(−2)] = 0 
5,2 + (−5,2) = 0 
 
Propriedade Comutativa da Multiplicação: quaisquer que sejam dois números reais a e 
b, temos sempre que 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎. 
Exemplos: 
3 ∙ 4 = 4 ∙ 3 = 12 
(−2) ∙ 5 = 5 ∙ (−2) = −10 
𝜋 ∙ 5 = 5 ∙ 𝜋 
 
 Propriedade Associativa da Multiplicação: quaisquer que sejam os números reais a, b 
e c, temos sempre que (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐). Por essa razão omitimos os parênteses, escrevendo 
apenas 𝑎𝑏𝑐. Esta propriedade é válida para qualquer número de fatores. 
Exemplos: 
(3 ∙ 4) ∙ 5 = 3 ∙ (4 ∙ 5) = 60 
(−2 ∙ 5) ∙ 3 = (−2) ∙ (5 ∙ 3) = −30 
(2 ∙ 0,5) ∙ 5 = 2 ∙ (0,5 ∙ 5) = 5 
 Elemento Neutro da Multiplicação: Existe o elemento neutro na multiplicação, tal que 
para qualquer real a, tem-se que 𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎. 
Exemplos: 
1027 ∙ 1 = 1 ∙ 1027 = 1027 
(−8) ∙ 1 = 1 ∙ (−8) = −8 
4,5 ∙ 1 = 1 ∙ 4,5 = 4,5 
 
 
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 Elemento Inverso: qualquer que seja o número real 𝑎 ≠ 0, temos sempre o número 
real 
1
𝑎
 (ou 𝑎−1) chamado de inverso de a, tal que 𝑎 ∙
1
𝑎
= 1. 
Exemplos: 
2 ∙
1
2
= 1 
(−5) ∙
1
(−5)
= 1 
𝑒 ∙
1
𝑒
= 1 
 
 Propriedade Distributiva: quaisquer que sejam os números reais a, b e c, temos sempre 
que 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 = (𝑏 + 𝑐) ∙ 𝑎 = 𝑏𝑎 + 𝑐𝑎. 
Exemplos: 
(3 + 4) ∙ 5 = 3 ∙ 5 + 4 ∙ 5 = 5 ∙ (3 + 4) = 5 ∙ 3 + 5 ∙ 4 = 35 
(1 − 2) ∙ 3 = 1 ∙ 3 + (−2) ∙ 3 = 3 ∙ (1 − 2) = 3 ∙ 1 + 3 ∙ (−2) = −3 
(𝜋 + 2𝜋) ∙ 5 = 𝜋 ∙ 5 + 2𝜋 ∙ 5 = 5 ∙ (𝜋 + 2𝜋) = 5 ∙ 𝜋 + 5 ∙ 2𝜋 = 15𝜋 
 
 Estas regras básicas que acabaram de ser apresentadas têm algumas consequências, as quais 
listamos abaixo: 
 Cancelamento: 
 Estamos falando aqui daquelas duas regrinhas que são fundamentais para resolver uma 
equação: “se um número está somado de um lado da equação, podemos passa-lo subtraindo para o 
outro lado” e “se um número está multiplicado de um lado de uma equação, podemos passa-lo 
dividindo para o outro lado”. Apesar de fundamental, muitos alunos erram feio ao passarem termos 
de um lado da equação para o outro, e por isso achamos melhor relembrar o que está por trás destas 
regrinhas. 
 Para três números reais dados a, b e c, suponha que tenhamos a equação 𝑎 + 𝑏 = 𝑐, e 
queremos isolar a no lado esquerdo. Para isso devemos somar a quantidade –b a ambos os lados da 
equação 
𝑎 + 𝑏 = 𝑐 
𝑎 + 𝑏 + (−𝑏) = 𝑐 + (−𝑏) 
 
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𝑎 = 𝑐 − 𝑏 
 Vemos, então, que podemos passar uma parcela de um lado a outro de uma equação desde 
que tomemos seu oposto. 
Exemplos: 
Se 𝑥 + 2 = 1 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 1 − 2 = −1 
Se 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑤 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 𝑤 − 𝑦 − 𝑧 
 
 Agora para três números reais dados a, b e c, com 𝑎 ≠ 0, suponha que tenhamos a equação 
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑐, e queremos isolar b no lado esquerdo. Para isso devemos dividir ambos os lados da 
equação por a 
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑐 
𝑎 ∙ 𝑏
𝑎
=
𝑐
𝑎
 
𝑏 =
𝑐
𝑎
 
Vemos, então, que podemos passar um fator de um lado a outro de uma equação desde que 
tomemos seu inverso. 
Exemplos: 
Se 2𝑥 = 5, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 =
5
2
 
𝑆𝑒 − 7,2𝑥 = 1, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 =
1
(−7,2)
 
 
O chamado cancelamento é apenas a aplicação do que acaba de ser dito. 
Vejamos especificamente no caso da adição: Se temos uma equação do tipo 
𝑚 + 𝑛 = 𝑚 + 𝑝 
o que fazemos é somar –m (o inverso da parcela em comum) a ambos os lados da equação, obtendo 
𝑚 + 𝑛 + (−𝑚) = 𝑚 + 𝑝 + (−𝑚) 
𝑛 = 𝑝 
que na prática é visto como o cancelamento da parcela em comum. 
 
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 Para o caso da multiplicação, se temos uma equação do tipo 𝑚 ∙ 𝑛 = 𝑚 ∙ 𝑝, onde 𝑚 ≠ 0, 
o que fazemos é dividir ambos os lados da equação por m (o fator comum), obtendo 
𝑚 ∙ 𝑛
𝑚
=
𝑚 ∙ 𝑝
𝑚
 
𝑛 = 𝑝 
que na prática é visto como o cancelamento do fator em comum. 
 Exemplos: 
𝑥 + 5𝑎 = 𝑦 + 5𝑎 
𝑥 + 5𝑎 − 5𝑎 = 𝑦 + 5𝑎 − 5𝑎 
𝑥 =𝑦 
 
5𝑥𝑒
1
𝑎 = 5𝑦𝑒
1
𝑎 
5𝑥𝑒
1
𝑎
5𝑒
1
𝑎
=
5𝑦𝑒
1
𝑎
5𝑒
1
𝑎
 
𝑥 = 𝑦 
 
 Anulação: 
 Regra do fator nulo: qualquer que seja o real a, 
𝑎 ∙ 0 = 0 ∙ 𝑎 = 0 
 Regra do produto nulo: quaisquer que sejam os reais a e b, se 
𝑎 ∙ 𝑏 = 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 = 0 𝑜𝑢 𝑏 = 0 (𝑜𝑢 𝑎𝑖𝑛𝑑𝑎 𝑎 = 𝑏 = 0) 
 
 Regras de Sinal 
Para quaisquer a e b reais, temos que: 
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑏 
(−𝑎) ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ (−𝑏) = −𝑎𝑏 
 
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(−𝑎) ∙ (−𝑏) = 𝑎𝑏 
−(−𝑎) = 𝑎 
 
Exemplos: (−3) ∙ 5 = 3 ∙ (−5) = −3 ∙ 5 = −15 
 (−4) ∙ (−2) = 4 ∙ 2 = 8 
 −(−2) = 2 
 
 Imagino que esteja se perguntando onde é que ficaram a subtração e a divisão, se terão sido 
esquecidas. Aqui estão elas. 
 Subtração 
 A subtração 𝑎 − 𝑏 , ou a diferença de a e b, nada mais é que a soma de a com o oposto de b: 
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏) 
 Então, a subtração deve seguir as mesmas regras da adição. A propriedade distributiva da 
subtração fica: 
𝑎 ∙ (𝑏 − 𝑐) = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 
(𝑏 − 𝑐) ∙ 𝑎 = 𝑏𝑎 − 𝑐𝑎 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 − 𝑐) 
 
 Divisão: 
 A divisão de a por b, ou o quociente de a por b, com 𝑏 ≠ 0, nada mais é senão a 
multiplicação de a pelo inverso de b: 
𝑎
𝑏
= 𝑎 ∙
1
𝑏
 
 Então, a divisão deve seguir as mesmas regras da multiplicação. 
Referências: 
http://www.mundoeducacao.com/matematica/numeros-irracionais.htm 
Bosquilha, Alessandra, “Minimanual compacto de matemática : teoria e prática : ensino fundamental.”-- 2. ed. rev. -- São 
Paulo : Rideel, 2003. 
Bosquilha, Alessandra, “Minimanual compacto de matemática : teoria e prática : ensino médio”, Alessandra Bosquilha, 
Marlene Lima Pires Corrêa, Tânia Cristina Neto G. Viveiro. -- 2. ed. rev. -- São Paulo : Rideel, 2003. 
Boulos, Paulo, “Pré-Cálculo”, São Paulo, Makron Books, 1999.