Vértice de uma Parábola

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Vértice de uma Parábola
Vértices
Toda função quadrática ou do 2º grau é do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0. O gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola que, dependendo do valor do coeficiente a, terá a concavidade voltada para cima ou para baixo. Se o coeficiente a for negativo, a concavidade da parábola será voltada para baixo. Se ocorrer o contrário, ou seja, a for positivo, a parábola terá a concavidade voltada para cima. A parábola apresenta alguns pontos notáveis: as raízes, que são os pontos onde o gráfico intercepta o eixo das abscissas, e o vértice, que pode ser o ponto de máximo absoluto ou de mínimo absoluto da função. Faremos o estudo do vértice da parábola, a fim de determinar as suas coordenadas e compreender sua importância no estudo da função do 2º grau.
Como foi dito anteriormente, o vértice da parábola pode ser o ponto de máximo absoluto ou de mínimo absoluto da função do 2º grau. Se a concavidade da parábola for voltada para cima, o vértice é o ponto de mínimo da função, ou seja, é o menor valor que a função pode assumir. Se a concavidade da parábola estiver voltada para baixo, o vértice é o ponto de máximo da função, ou seja, o maior valor que a função pode assumir. O uso desses conceitos é bastante útil na teoria de lançamentos oblíquos.
 
Dada uma função do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c, as coordenadas do vértice V da parábola descrita por essa função são:
Onde
∆ = b2 – 4ac
Vejamos alguns exemplos de aplicação.
Exemplo 1. Verifique se as seguintes funções apresentam ponto de máximo ou mínimo absoluto.
a) f(x) = – 2x2 + 3x + 5
Solução: No caso da função do 2º grau, para determinarmos se há ponto de máximo e mínimo absoluto basta verificar se a concavidade da parábola descrita pela função apresenta concavidade voltada para baixo ou para cima. Nesse caso, temos que:
a = – 2 < 0 → concavidade da parábola está voltada para baixo.
Como a concavidade da parábola está voltada para baixo, a função apresenta ponto de máximo absoluto, que é o vértice da parábola.
b) y = 5x2 – 3x
Solução: Temos que
a = 5 > 0 → concavidade da parábola está voltada para cima.
Assim, podemos afirmar que a função apresenta ponto de mínimo absoluto, que é o vértice da parábola.
Exemplo 2. Determine as coordenadas do vértice da parábola descrita pela função f(x) = 2x2 – 4x + 6.
Solução: Analisando a função f(x) = 2x2 – 4x + 6, obtemos:
a = 2, b = – 4 e c = 6
Segue que:
Exemplo 3. Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equação y = -9x2 + 90x. Determine a altura máxima atingida pela bala do canhão, sabendo que y é a altura em metros e x é o alcance, também em metros.
Solução: Como a parábola possui equação y = – 9x2 + 90x, podemos constatar que sua concavidade está voltada para baixo e que a altura máxima atingida pela bala de canhão corresponde à coordenada y do vértice, uma vez que o vértice é ponto de máximo absoluto.
Assim, para determinar a altura máxima atingida pela bala do canhão, basta determinar o valor y do vértice.
Temos que: a = – 9, b = 90 e c = 0. Logo, teremos:
Portanto, a altura máxima atingida pela bala de canhão é de 225 metros.
Demonstrações das fórmulas de x_v e y_v:
x_v indica o eixo de simetria da parábola, ou seja, x_v=\frac{x_1+x_2}{2}, onde x_1 e x_2 são as raízes da equação do segundo grau.
Temos x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=\frac{-b}{a}.
Assim, $latex x_v=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{a}{2}=\frac{-b}{2a}$
Substituindo este valor de x_v na função f(x)=ax^2+bx+c, temos:
y_v=a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}\right)+c=a\left(\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2}{2a}+c=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c=\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}=\frac{-b^2+4ac}{4a}=\frac{-(b^2-4ac)}{4a}=\frac{-\Delta}{4a}