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Material de Trigonométricas Inversas

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS - UNISINOS
Cálculo II : Estudo da Integral
Prof. Rosvita Fuelber Franke
Funções Trigonométricas Inversas
As funções trigonométricas básicas são seis: seno, cosseno, tangente, cossecante, secante e cotangente. Lembre que 
, 
, 
 e 
.
Além disso, no Cálculo 1 estudamos as derivadas dessas funções:
 
 
 , 
, 
.
Neste texto vamos tratar apenas de seno, cosseno e tangente. Nosso objetivo agora é trabalhar com as inversas dessas funções. Lembre que as funções trigonométricas são periódicas e que os gráficos de 
, 
 e 
 são:
 
 
y = tg(x)
Atenção: É fácil ver que as funções trigonométricas não são bijetivas (utilize, por exemplo, o teste da reta horizontal). Assim, para definir as funções trigonométricas inversas, primeiro devemos restringir os domínios das mesmas para torná-las injetoras e consequentemente bijetoras. As restrições de domínio serão as seguintes:
, 
 ; 
, 
 ; 
, 
. 
Visualize os três gráficos anteriores e confirme que as funções 
, 
 e 
, restritas aos intervalos acima tornam-se injetoras e, portanto, invertíveis. 
As inversas dessas funções restritas são denotadas por 
e 
 (ou alternativamente por 
 e 
) e definidas como segue:
A função inversa do seno, denotada por 
, define-se como 
 se e somente se 
 para 
 e 
.
	
As relações 
 e 
, válidas para qualquer função inversa 
, dão as seguintes propriedades:
(i) 
 se 
(ii) 
 se 
.
A função inversa do cosseno, denotada por 
, define-se como 
 se e somente se 
 para 
 e 
.
	Como 
(x) e 
são funções inversas uma da outra, obtemos as seguintes propriedades:
(i) 
 se 
(ii) 
 se 
.
A função inversa da tangente, denotada por 
, define-se como 
 se e somente se 
 para todo 
 e 
.
	Tal como as funções 
e 
, temos: 
(i) 
 para todo 
(ii) 
 se 
.
Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas
 
 
 
 
 
 
Generalizando (regra da cadeia), temos
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: Determine 
se:
a) 
 
 
 
 
b) 
 
c) 
d) 
e) 
�PAGE �
�PAGE �1�
_1361285143.unknown
_1361285894.unknown
_1361286013.unknown
_1362672590.unknown
_1374606406.unknown
_1374606526.unknown
_1374606582.unknown
_1374606616.unknown
_1374606772.unknown
_1374606587.unknown
_1374606541.unknown
_1374606516.unknown
_1362839646.unknown
_1362839647.unknown
_1362672748.unknown
_1361286032.unknown
_1361286115.unknown
_1361286139.unknown
_1361286140.unknown
_1361286138.unknown
_1361286051.unknown
_1361286023.unknown
_1361285952.unknown
_1361285998.unknown
_1361286006.unknown
_1361285976.unknown
_1361285914.unknown
_1361285944.unknown
_1361285905.unknown
_1361285461.unknown
_1361285668.unknown
_1361285770.unknown
_1361285813.unknown
_1361285760.unknown
_1361285621.unknown
_1361285658.unknown
_1361285580.unknown
_1361285240.unknown
_1361285439.unknown
_1361285448.unknown
_1361285422.unknown
_1361285220.unknown
_1361285231.unknown
_1361285151.unknown
_1361284771.unknown
_1361284940.unknown
_1361284962.unknown
_1361285132.unknown
_1361284954.unknown
_1361284828.unknown
_1361284852.unknown
_1361284807.unknown
_1361284644.unknown
_1361284747.unknown
_1361284758.unknown
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_1315224684.unknown
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_993628425.doc
_1315221033.unknown