Resumo EDO Parte 2 201501

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Equações Diferenciais de Segunda Ordem
● Equação Diferencial Homogênea de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes
Definição: Uma equação diferencial de segunda ordem é uma equação da forma:
 ou 
Obs.: Se 
, então a equação 
 é chamada de ED linear homogênea de 2ª ordem.
.
Método de solução:
Passo 1: Dada a equação homogênea 
, encontre a equação equação auxilar: 
onde 
, 
 e 
Passo 2: Resolva a equação de segundo grau para encontrar as raízes 
 e 
.
Passo 3: Encontrar a solução da equação diferencial considerandoos casos:
● Raízes reais distintas 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
● Raízes reais iguais 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
●Raízes complexas 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
Exemplos:
1) Encontre a solução da equação diferencial 
Equação auxiliar: 
Encontrar as raízes da equação: 
 e 
A solução da equação é dada por: 
 
 Solução: 
2) Encontre a solução da equação diferencial 
Equação auxiliar: 
Encontrar as raízes da equação: 
A solução da equação é dada por: 
 
 Solução: 
3) Encontre a solução da equação diferencial 
Equação auxiliar: 
Encontrar as raízes da equação: 
 e 
A solução da equação é dada por:
 
 Solução: 
● Equação Diferencial Não-Homogênea de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes
Definição: Uma equação diferencial de segunda ordem não-homogenea é dada por:
 ou
Método de solução:
A solução geral para a equação não homogênea é dada por:
Onde: 
 é a solução da equação homogênea 
 e é chamada de equação complementar e 
 é qualquer solução particular da equação não-homogênea.
Obs.: O método dos coeficientes indeterminados se limita a equações não-homogêneas de 2ª odem que tem:
● coeficientes constantes;
● 
 é uma constante, uma função polinomial, uma função exponencial, 
, 
 ou a soma ou produto dessas funções.
Exemplos de tentativas para soluções particulares
 Forma de 
1. 1 (qualquer constante) 
2. 
 
3. 
 
4. 
 
5. 
 
6. 
 
7. 
 
8. 
 
 
9. 
 
10. 
 
11. 
 
12. 
 
Exemplo: 
1) Resolva a equação 
Passo 1) Resolução da equação homogênea: 
Equação auxiliar: 
Encontrar as raízes da equação: 
 e 
A solução da equação complemenar é dada por: 
 
 Solução: 
Passo 2) Resolução da equação particular:
A função 
 é um polinômio quadrático, então vamos supor que um solução particular também tenha a forma de um polinômio quadrático.
 (Eq. 1)
 (Eq. 2)
 (Eq. 3)
Substituindo as Equações 1,2 e 3 na equação diderencial dada temos:
 
A solução da equação particular é: 
Portanto, a solução geral é: 
 
_1373731765.unknown
_1373732480.unknown
_1373732600.unknown
_1373732655.unknown
_1373732702.unknown
_1373732747.unknown
_1373732872.unknown
_1373733131.unknown
_1373732717.unknown
_1373732678.unknown
_1373732688.unknown
_1373732667.unknown
_1373732622.unknown
_1373732645.unknown
_1373732611.unknown
_1373732526.unknown
_1373732587.unknown
_1373732589.unknown
_1373732548.unknown
_1373732576.unknown
_1373732537.unknown
_1373732504.unknown
_1373732515.unknown
_1373732491.unknown
_1373731834.unknown
_1373731997.unknown
_1373732438.unknown
_1373732461.unknown
_1373732470.unknown
_1373732449.unknown
_1373732000.unknown
_1373732424.unknown
_1373731998.unknown
_1373731901.unknown
_1373731994.unknown
_1373731995.unknown
_1373731991.unknown
_1373731992.unknown
_1373731908.unknown
_1373731990.unknown
_1373731850.unknown
_1373731887.unknown
_1373731893.unknown
_1373731873.unknown
_1373731880.unknown
_1373731865.unknown
_1373731843.unknown
_1373731804.unknown
_1373731821.unknown
_1373731828.unknown
_1373731812.unknown
_1373731786.unknown
_1373731794.unknown
_1373731775.unknown
_1373731616.unknown
_1373731689.unknown
_1373731723.unknown
_1373731747.unknown
_1373731756.unknown
_1373731734.unknown
_1373731701.unknown
_1373731711.unknown
_1373731697.unknown
_1373731661.unknown
_1373731674.unknown
_1373731681.unknown
_1373731668.unknown
_1373731639.unknown
_1373731647.unknown
_1373731630.unknown
_1373731511.unknown
_1373731550.unknown
_1373731586.unknown
_1373731591.unknown
_1373731556.unknown
_1373731534.unknown
_1373731543.unknown
_1373731526.unknown
_1373731486.unknown
_1373731502.unknown
_1373731505.unknown
_1373731494.unknown
_1373731446.unknown
_1373731453.unknown
_1298901534.unknown
_1373731441.unknown
_1298901522.unknown
_1298900616.unknown