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Aula 1: Modelagem com equac¸o˜es diferenciais
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
To´pico: Equac¸o˜es diferenciais de 1a ordem
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
Um modelo matema´tico e´ a descric¸a˜o matema´tica (frequentemente por meio
de uma func¸a˜o ou de uma equac¸a˜o) de um fenoˆmeno do mundo real, como
o tamanho de uma populac¸a˜o, a demanda por um produto, a velocidade de
um objeto caindo, a concentrac¸a˜o de um produto em uma reac¸a˜o qu´ımica,
a expectativa de vida de uma pessoa ao nascer ou o custo da reduc¸a˜o de
poluentes. O propo´sito desses modelos e´ entender o fenoˆmeno e talvez fazer
previso˜es sobre seu comportamento futuro.
Dado um problema do mundo real, nossa primeira tarefa e´ formular um
modelo matema´tico por meio da identificac¸a˜o e especificac¸a˜o das varia´veis
dependentes e independentes e da formulac¸a˜o de hipo´teses que simplifiquem
o fenoˆmeno o suficiente, tornando-o matematicamente trata´vel.
O modelo matema´tico frequentemente tem a forma de uma equac¸a˜o diferen-
cial, isto e´, uma equac¸a˜o que conte´m uma func¸a˜o desconhecida e algumas de
suas derivadas.
Sejam os seguintes exemplos:
Modelos de crescimento populacional: Um dos modelos para o cresci-
mento de uma populac¸a˜o baseia-se na hipo´tese de que uma populac¸a˜o cresce
a uma taxa proporcional ao seu tamanho.
Essa hipo´tese e´ razoa´vel para uma populac¸a˜o de bacte´rias em condic¸o˜es ide-
ais. As varia´veis desse exemplo seriam:
t - tempo (a varia´vel independente)
P - nu´mero de indiv´ıduos da populac¸a˜o (a varia´vel dependente)
A taxa de crescimento da populac¸a˜o e´ a derivada:
dP
dt
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Enta˜o a hipo´tese de que a taxa de crescimento da populac¸a˜o e´ proporcional
ao tamanho da populac¸a˜o e´ escrita como:
dP
dt
= kP, onde k e´ a constante de
proporcionalidade.
Esta e´ uma equac¸a˜o diferencial porque conte´m uma func¸a˜o desconhecida P
e sua derivada
dP
dt
.
Agora que ja´ temos um modelo, vamos olhar para suas consequeˆncias. Se
desconsiderarmos uma populac¸a˜o nula, enta˜o P (t) > 0 para todo t. Dessa
forma, se k > 0 enta˜o pela equac¸a˜o
dP
dt
= kP temos que P ′(t) > 0 para todo
t. Isso significa que a populac¸a˜o esta´ sempre aumentando. De fato, quando
P (t) aumenta, temos pela equac¸a˜o que
dP
dt
torna-se maior. Isto e´, a taxa de
crescimento aumenta quando a populac¸a˜o cresce.
A equac¸a˜o
dP
dt
= kP pede que encontremos uma func¸a˜o cuja derivada seja
um mu´ltiplo constante dela pro´pria. As func¸o˜es exponenciais teˆm esta pro-
priedade. De fato, se fizermos P (t) = cekt
P ′(t) = ckekt = k(cekt) = kP (t)
Portanto qualquer func¸a˜o exponencial da forma P (t) = cekt e´ uma soluc¸a˜o
de
dP
dt
= kP.
Se fizermos c variar em todos os nu´meros reais, obtemos a famı´lia de soluc¸o˜es
P (t) = cekt.
Mas as populac¸o˜es teˆm apenas valores positivos. Dessa forma, so´ estamos
interessados nas soluc¸o˜es com c > 0. E provavelmente interessados apenas
com valores de t maiores que o instante inicial t = 0.
Fazendo c = 0, temos P (0) = cek(0) = c, isto e´, a constante c acaba sendo a
populac¸a˜o inicial P (0).
A equac¸a˜o
dP
dt
= kP e´ apropriada para a modelagem do crescimento popu-
lacional sob condic¸o˜es ideais, mas devemos reconhecer que um modelo mais
realista deve refletir o fato de que um dado ambiente tem recursos limitados.
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Muitas populac¸o˜es comec¸am crescendo exponencialmente, pore´m o n´ıvel da
populac¸a˜o se estabiliza quando ela se aproxima de sua capacidade de suporte
L (ou diminui em direc¸a˜o a L se ela excede o valor de L).
Vamos verificar duas hipo´teses:
• dP
dt
≈ kP se P for pequeno (inicialmente a taxa de crescimento e´
proporcional a P ).
• dP
dt
< 0 se P > L (P diminui se exceder L).
Uma expressa˜o simples que incorpora ambas as hipo´teses e´:
dP
dt
= kP
(
1− P
L
)
Notem que se P e´ pequeno quando comparado com L,
P
L
esta´ pro´ximo de
zero ⇒ dP
dt
≈ kP .
Se P > L enta˜o
(
1− P
L
)
e´ negativo e assim
dP
dt
< 0.
A equac¸a˜o
dP
dt
= kP
(
1− P
L
)
e´ chamada equac¸a˜o diferencial log´ıstica e foi
proposta pelo matema´tico e biolo´gio holaˆndes Pierre-Franc¸ois Verhulst na
de´cada de 1940 como um modelo para o crescimento populacional mundial.
Posteriormente desenvolveremos te´cnicas para encontrar soluc¸o˜es expl´ıcitas.
Mas por hora, podemos deduzir caracter´ısticas qualitativas so´ olhando para
a equac¸a˜o
dP
dt
= kP
(
1− P
L
)
Notem que as func¸o˜es constantes P (t) = 0 e P (t) = L sa˜o soluc¸o˜es pois o
lado direito da equac¸a˜o se anula (isso tem sentido f´ısico pois se a populac¸a˜o
for zero ou estiver na capacidade suporte, permanecera´ dessa maneira.)
Essas duas soluc¸o˜es sa˜o denominadas soluc¸o˜es de equil´ıbrio. Se a populac¸a˜o
inicial P (0) estiver entre 0 e L enta˜o o lado direito da equac¸a˜o
dP
dt
=
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kP
(
1− P
L
)
e´ positivo, assim
dP
dt
> 0 e a populac¸a˜o aumenta. Se a po-
pulac¸a˜o ultrapassa a capacidade de suporte (P > L) enta˜o 1− P
L
e´ negativo,
assim
dP
dt
< 0 e a populac¸a˜o diminui.
Notem que em qualquer um dos casos, se a populac¸a˜o se aproxima da capa-
cidade de suporte (P → L) enta˜o dP
dt
→ 0 o que significa que a populac¸a˜o
se estabiliza.
Um modelo para o movimento de uma mola:
Agora vamos verificar um modelo f´ısico. Seja o movimento de uma objeto
com massa m na extremidade de uma mola vertical.
Uma mola esticada (ou comprimida) x unidades a partir de seu tamanho
natural, exerce uma forc¸a proporcional a x :
Fe = −kx
onde k e´ uma constante positiva (constante da mola).
Ignorando qualquer forc¸a externa de resisteˆncia (por causa da resisteˆncia do
ar ou do atrito) enta˜o pela segunda Lei de Newton:
F = ma.
Assim temos:
m
d2x
dt2
= −kx.
Esse e´ um exemplo de equac¸a˜o diferencial de 2a ordem, porque envolve deri-
vadas segundas.
Reescrevendo a equac¸a˜o:
d2x
dt2
= − k
m
x.
temos que a derivada segunda de x e´ proporcional a x, mas tem sinal oposto.
Conhecemos duas func¸o˜es com esta propriedade, as func¸o˜es seno e cosseno.
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Assim todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o
d2x
dt2
= − k
m
x podem ser escritas como
combinac¸o˜es de certas func¸o˜es seno e cosseno.
Como a mola oscila em torno de sua posic¸a˜o de equil´ıbrio, e´ natural pensar
que func¸o˜es trigonome´tricas esta˜o envolvidas.
Aprenderemos a resolver todas estas equac¸o˜es diferenciais informadas nesta
aula.
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