Equações Diferenciais de 1ª Ordem

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Aula 2: Equac¸o˜es Diferenciais Gerais
Disciplina: Equac¸o˜es diferenciais
To´pico: Equac¸o˜es diferenciais de 1a ordem
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
Uma equac¸a˜o diferencial e´ aquela que conte´m uma func¸a˜o desconhecida e
uma ou mais de suas derivadas.
- Classificac¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais:
1. quanto ao tipo: Uma das classificac¸o˜es e´ baseada em se descobrir
se a func¸a˜o desconhecida ou inco´gnita depende de uma u´nica varia´vel
independente ou de diversas varia´veis independentes. No primeiro caso,
a equac¸a˜o diferencial e´ dita ordina´ria, no segundo caso e´ dita parcial.
2. quanto a ordem: Uma equac¸a˜o diferencial pode ser de 1a, 2a, · · · ,
n−e´sima ordem dependendo da derivada de maior ordem presente na
equac¸a˜o, isto e´, a ordem de uma equac¸a˜o diferencial e´ a ordem da
derivada mais alta que ocorre na equac¸a˜o.
Assim a equac¸a˜o dada no exemplo da aula passada
dP
dt
= kP e´ de 1a
ordem e ordina´ria, pois so´ tem uma varia´vel independente.
Neste exemplo a varia´vel independente t representou o tempo, mas em
geral, a varia´vel independente na˜o precisa representar o tempo.
3. quanto a linearidade:
As equac¸o˜es diferenciais podem ser linear ou na˜o linear. Elas sa˜o
linear se as inco´gnitas e suas derivadas aparecem de forma linear na
sua equac¸a˜o, isto e´, se as inco´gnitas e suas derivadas aparecem em
uma soma em que cada parcela e´ um produto de alguma derivada das
inco´gnitas com uma func¸a˜o que na˜o depende das inco´gnitas. Uma
1
equac¸a˜o diferencial ordina´ria linear de ordem n e´ uma equac¸a˜o que
pode ser escrita como:
a0(t)y + a1(t)
dy
dt
+ a2(t)
d2y
dt2
+ · · ·+ an(t)d
ny
dtn
= f(t)
As equac¸o˜es que na˜o sa˜o desta forma sa˜o ditas na˜o lineares.
Exemplo de equac¸a˜o diferencial linear:
x2y′′ + bxy′ + cy = 0
Exemplo de equac¸a˜o diferencial na˜o linear:
y′′′ + 2ety′′ + yy′ = t4,
na˜o e´ linear devido ao termo yy′
Soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o diferencial
Uma func¸a˜o f e´ denominada soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o diferencial se a equac¸a˜o
e´ satisfeita quando y = f(x) e suas derivadas sa˜o substitu´ıdas na equac¸a˜o.
Assim, por exemplo, f(x) e´ soluc¸a˜o de y′ = xy se f ′(x) = xf(x) para todos
os valores de x em algum intervalo.
Quando nos pedem para resolver uma equac¸a˜o diferencial, espera-se que en-
contremos todas as soluc¸o˜es poss´ıveis da equac¸a˜o. Ja´ sabemos resolver algu-
mas equac¸o˜es difenciais simples, a saber as da forma: y′ = f(x).
Por exemplo, y′ = x3 e´ uma equac¸a˜o diferencial e neste caso sabemos que
y(x) =
x4
4
+ c, onde c e´ uma constante e´ soluc¸a˜o geral desta equac¸a˜o diferen-
cial. Mas em geral na˜o e´ ta˜o simples resolver uma equac¸a˜o diferencial. Na˜o
ha´ te´cnicas para resolver todas as equac¸o˜es diferenciais. Mas vamos aprender
a resolver algumas.
Exemplo:
2
Mostre que todo membro da famı´lia de func¸o˜es y =
1 + cet
1− cet e´ uma soluc¸a˜o
da equac¸a˜o diferencial y′ =
1
2
(y2 − 1)
Derivando y =
1 + cet
1− cet pela regra do quociente:
y′ =
(cet)(1− cet)− (−cet)(1 + cet)
(1− cet)2
y′ =
cet − c2e2t + cet + c2e2t
(1− cet)2 =
2cet
(1− cet)2
Como y′ =
1
2
(y2 − 1), para garantir que y = 1 + ce
t
1− cet e´ uma soluc¸a˜o da
equac¸a˜o diferencial y′ =
1
2
(y2 − 1) temos de verificar se 1
2
(y2 − 1) e´ igual ao
y′ encontrado. Assim:
1
2
(y2 − 1) = 1
2
[(
1 + cet
1− cet
)2
− 1
]
=
1
2
(
1 + 2cet + c2e2t
1− 2cet + c2e2t − 1
)
=
=
1
2
(
1 + 2cet + c2e2t − 1 + 2cet − c2e2t
1− 2cet + c2e2t
)
=
1
2
4cet
(1− cet)2 =
2cet
(1− cet)2
Logo para todo valor de c, a func¸a˜o dada e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial.
Quando resolvemos as equac¸o˜es diferenciais, geralmente na˜o queremos en-
contrar uma famı´lia de soluc¸o˜es (a soluc¸a˜o geral) mas sim uma soluc¸a˜o que
satisfac¸a algumas condic¸o˜es adicionais. Em muitos problemas f´ısicos quere-
mos encontrar uma soluc¸a˜o particular que satisfac¸a uma condic¸a˜o do tipo
y(t0) = y0. Esta e´ chamada condic¸a˜o inicial e o problema de achar uma
soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial que satisfac¸a a condic¸a˜o inicial e´ denominado
problema de valor inicial (PVI).
Exemplo:
Encontre uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial y′ =
1
2
(y2 − 1) que satisfac¸a a
condic¸a˜o inicial y(0) = 2
3
Substituido os valores t = 0 e y = 2 em y =
1 + cet
1− cet obtemos:
2 =
1 + c
1− c
⇒ 1 + c = 2− 2c
⇒ 3c = 1
⇒ c = 1
3
Enta˜o a soluc¸a˜o do problema de valor inicial dado e´:
y =
1 +
1
3
et
1− 1
3
et
=
3 + et
3
3− et
3
=
3 + et
3
· 3
3− et =
3 + et
3− et
4