Aula 02

Prévia do material em texto

UESPI 
Curso de Graduação em 
Engenharia Elétrica 
 
 
Controle II 
 
 
 
 
Prof. Mestre José Brito Neto 
SUMÁRIO 
2. Controladores PID 
2.1. Introdução 
2.2. Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
2.3. Projeto de Controladores PID pelo Método 
de Resposta em Frequência 
2.4. Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
2.5. Variantes dos Esquemas de Controle PID 
2.6. Controle com Dois Graus de Liberdade 
2.7. Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
Introdução 
• Mais da metade dos controladores industriais em uso 
atualmente emprega esquemas de controle PID. 
• Como a maioria dos controladores PID é ajustada em 
campo, diferentes tipos de regras de sintonia vêm 
sendo propostas na literatura. Além disso, métodos de 
sintonia automática vêm sendo desenvolvidos e 
alguns controladores PID têm a capacidade de fazer 
sintonia automática online. 
• A utilidade dos controles PID está na sua 
aplicabilidade geral à maioria dos sistemas de 
controle. Em particular, quando o modelo matemático 
da planta não é conhecido e, portanto, métodos de 
projeto analítico não podem ser utilizados, controles 
PID se mostram os mais úteis. 
Introdução 
• Admitindo como sinal de entrada um degrau com 
amplitude qualquer, faremos algumas observações 
sobre o efeito de cada uma das ações de controle 
do controlador PID. 
• O controle proporcional atua na resposta 
transitória do sistema de forma a diminuir o tempo 
de subida, diminuindo adicionalmente o erro de 
regime permanente. O controlador integral elimina 
por completo o erro de regime permanente, mas 
pode piorar a resposta transitória do sistema. A 
ação derivativa tem o efeito de aumentar a 
estabilidade do sistema, reduzindo o sobressinal 
máximo e melhorando a resposta transitória. 
Introdução 
 
 
 
 
 
 
• O efeito final na variável de saída do sistema, que é 
ocasionado pela conjunção destas ações de controle, 
pode não seguir exatamente as especificações 
observadas na tabela. Por esta razão, esta tabela 
deverá ser empregada somente como um guia rápido 
de referência, ficando os ajustes finais do controlador 
ao encargo do projetista. 
GANHOS 
Tempo de 
Subida (tr) 
Máximo 
Sobressinal (Mp) 
Tempo de 
Acomodação (ts) 
Erro de Regime 
Permanente (Ess) 
Proporcional Diminui Aumenta 
Pequena 
Alteração 
Diminui 
Integrativo Diminui Aumenta Aumenta Elimina 
Derivativo 
Pequena 
Alteração 
Diminui Diminui 
Pequena 
Alteração 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
• Controle PID de plantas 
 
 
 
 
 Se um modelo matemático da planta pode ser obtido, 
então é possível aplicar várias técnicas de projeto na 
determinação dos parâmetros do controlador que 
atenderão às especificações do regime transitório e do 
regime permanente do sistema de malha fechada. 
 Se a planta for muito complexa, de modo que seu modelo 
matemático não possa ser obtido, então a abordagem 
analítica do projeto do controlador PID não será possível. 
Então temos de recorrer a abordagens experimentais de 
sintonia de controladores PID. 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
 Ziegler e Nichols sugeriram regras para a sintonia 
de controladores PID (ajustar os valores de Kp, Ti 
e Td) baseadas na resposta experimental ao 
degrau ou no valor de Kp que resulta em uma 
estabilidade marginal, quando somente uma ação 
proporcional é utilizada. 
 As regras de Ziegler-Nichols são úteis quando os 
modelos matemáticos da planta são 
desconhecidos (essas regras também podem ser 
aplicadas ao projeto de sistemas com modelos 
matemáticos conhecidos). Elas sugerem um 
conjunto de valores de Kp, Ti e Td que vão 
proporcionar uma operação estável do sistema. 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
O sistema resultante pode exibir um 
sobressinal máximo grande na resposta ao 
degrau, o que é inaceitável. Nesse caso, 
precisamos fazer uma série de sintonias finas 
até que um resultado aceitável seja obtido. 
As regras de sintonia de Ziegler-Nichols 
fornecem estimativas dos valores dos 
parâmetros e proporcionam um ponto de 
partida na sintonia fina, e não os valores 
definitivos de Kp, Ti e Td logo na primeira 
tentativa. 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
• Regras de Ziegler-Nichols para sintonia de 
controladores PID – Ziegler e Nichols 
propuseram regras para a determinação de 
valores do ganho proporcional Kp, do tempo 
integral Ti e do tempo derivativo Td, baseadas 
nas características da resposta transitória de 
uma planta. 
Existem 2 métodos denominados regras de 
sintonia de Ziegler-Nichols: o primeiro e o 
segundo método. 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
• Primeiro método ou método de sintonização de Ziegler-
Nichols de malha aberta – obtemos experimentalmente a 
resposta da planta a uma entrada em degrau unitário. 
 
 
 
 
 Se a planta não possui integradores ou pólos complexos 
conjugados dominantes, então essa curva de resposta ao 
degrau unitário pode ter o aspecto de um S. Esse método 
se aplica se a curva de resposta ao degrau de entrada 
tiver o aspecto de um S. 
 Essa curva de resposta ao degrau pode ser gerada 
experimentalmente ou a partir de uma simulação dinâmica 
da planta. 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
A curva com o formato em S pode ser 
caracterizada por 2 constantes, o atraso L e a 
constante de tempo T. O atraso e a constante 
de tempo são determinados desenhando-se 
uma linha tangente no ponto de inflexão da 
curva com o formato em S e determinando-se 
a intersecção da linha tangente com o eixo dos 
tempos e a linha c(t)=K. 
A função de transferência C(s)/U(s) pode ser 
aproximada por um sistema de 1ª ordem com 
um atraso de transporte: 
( )
( ) 1
LsC s Ke
U s Ts



Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
Ziegler e Nichols sugeriram escolher os 
valores de Kp, Ti e Td de acordo com a fórmula 
que aparece na seguinte tabela: 
 
 
 
 
 
Os valores Kp, Ti e Td são determinados a 
partir das características da resposta 
transitória da planta do sistema. 
Tipo de 
Controlador 
Kp Ti Td 
P T/L ∞ 0 
PI 0,9T/L L/0,3 0 
PID 1,2T/L 2L 0,5L 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
O controlador PID sintonizado pelo primeiro 
método das regras de Ziegler-Nichols fornece: 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o controlador PID tem um pólo na 
origem e zeros duplos em s=–1/L. 
2
1 1
( ) 1 1,2 1 0,5
2
1
( ) 0,6
c p d
i
c
T
G s K T s Ls
T s L Ls
s
L
G s T
s
   
        
  
 
 
 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
• Segundo método ou método de sintonização de 
Ziegler-Nichols de malha fechada – definimos 
primeiro Ti=∞ e Td=0. Usando somente a ação de 
controle proporcional, aumente Kp de 0 ao valor 
crítico Kcr, no qual a saída exibe uma oscilação 
sustentada pela primeira vez. 
 
 
 
 
 Se a saída não exibe uma oscilação sustentada 
para qualquer valor que Kp pode assumir, então 
esse método não se aplica. 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
Portanto, o ganho crítico Kcr e o período Pcr 
correspondentes são determinados 
experimentalmente. 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
Ziegler e Nichols sugeriram escolher os 
valores dos parâmetros Kp, Ti e Td de acordo 
com a fórmula mostrada na seguinte tabela: 
Tipo de 
Controlador 
Kp Ti Td 
P 0,5Kcr ∞ 0 
PI 0,45Kcr Pcr/1,2 0 
PID 0,6Kcr 0,5Pcr 0,125Pcr 
Regrasde Sintonia de Ziegler-Nichols 
O controlador PID sintonizado pelo segundo 
método das regras de Ziegler-Nichols fornece: 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o controlador PID tem um pólo na 
origem e zeros duplos em s=–4/Pcr. 
2
1 1
( ) 1 0,6 1 0,125
0,5
4
( ) 0,075
c p d cr cr
i cr
cr
c cr cr
G s K T s K P s
T s P s
s
P
G s K P
s
   
        
   
 
 
 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
Se o sistema tem um modelo matemático 
conhecido (como a função de transferência), 
então podemos utilizar o método do lugar das 
raízes para encontrar o ganho crítico Kcr e a 
frequência de oscilações sustentadas ωcr, 
onde 2π/ωcr=Pcr. Esses valores podem ser 
encontrados a partir dos pontos de 
cruzamento dos ramos do lugar das raízes 
com o eixo jω (se os ramos do lugar das 
raízes não cruzam o eixo jω, esse método não 
se aplica). 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
• Exemplo 01 – considere o sistema de controle da figura 
seguinte no qual um controlador PID é utilizado para 
controlar o sistema. 
 
 
 
 
 Projete um controlador PID. Em seguida, obtenha a 
curva de resposta ao degrau unitário e verifique se o 
sistema projetado exibe aproximadamente 25% de 
sobressinal máximo. Se o sobressinal máximo for 
excessivo (40% ou mais), faça uma sintonia fina e 
reduza o valor do sobressinal máximo para 
aproximadamente 25% ou menos. 
1
( ) 1c p d
i
G s K T s
T s
 
   
 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
Como a planta tem um integrador, utilizamos o 
segundo método das regras de sintonia de 
Ziegler-Nichols. Primeiro Ti=∞ e Td=0, obtemos 
a função de transferência de malha fechada: 
 
 
O valor de Kp que torna o sistema 
marginalmente estável, de modo que ocorram 
oscilações sustentadas, pode ser obtido pelo 
uso do critério de estabilidade de Routh. A 
equação característica do sistema em malha 
fechada é: 
( )
( ) ( 1)( 5)
p
p
KC s
R s s s s K

  
3 26 5 0ps s s K   
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
O arranjo de Routh fica: 
 
 
 
 
Examinando os coeficientes da 1ª coluna da 
tabela de Routh, determinamos que oscilações 
sustentadas existirão se Kp=30. Portanto, o 
valor crítico Kcr=30. Com o ganho Kp=Kcr, a 
equação característica resulta em: 
3
2
1
0
1 5
6
30
6
p
p
p
s
s K
K
s
s K

3 26 5 30 0s s s   
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
 Para encontrar a frequência da oscilação sustentada, 
substituímos s=jω na equação característica: 
 
 
 
a partir da qual determinamos a frequência da 
oscilação sustentada como ω=√5. Logo, o período de 
oscilação sustentada é: 
 
 Baseado na tabela de Ziegler-Nichols, determinamos 
Kp, Ti e Td: 
3 2
2 2
( ) 6( ) 5( ) 30 0
6(5 ) (5 ) 0
j j j
j
  
  
   
   
2 2
2,8099
5
crP
 

  
0,6 18
0,5 1,405
0,125 0,35124
p cr
i cr
d cr
K K
T P
T P
 
 
 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
 Portanto, a função de transferência do controlador 
PID é: 
 
 
 
 
 
 O controlador PID projetado tem um pólo na 
origem e zero duplo em s=–1,4235. 
 
2
1 1
( ) 1 18 1 0,35124
1,405
6,3223 1,4235
( )
c p d
i
c
G s K T s s
T s s
s
G s
s
   
        
  


Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
A função de transferência C(s)/R(s) é: 
 
 
 
Pela curva de resposta do sistema ao degrau 
unitário temos um sobressinal máximo de 
aproximadamente 62%. Este valor é 
excessivo. Ele pode ser reduzido fazendo-se 
uma sintonia fina dos parâmetros do 
controlador. 
2
4 3 2
( ) 6,3223 18 12,811
( ) 6 11,3223 18 12,811
C s s s
R s s s s s
 

   
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
Mantendo Kp=18 e movendo o zero duplo do 
controlador PID para s=–0,65, ou seja, 
utilizando o controlador PID: 
 
 
 
 
 
Neste caso, o sobressinal máximo na resposta 
ao degrau unitário pode ser reduzido para 
aproximadamente 18%. 
2
4 3 2
( ) 13,846 18 5,85
( ) 6 18,846 18 5,85
C s s s
R s s s s s
 

   
 
2
13,846 0,651
( ) 18 1 0,7692
3,077
c
s
G s s
s s
 
    
 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
 Se o ganho proporcional Kp for aumentado para 
39,42, sem alterar a localização do zero duplo (s=–
0,65), ou seja, utilizando o controlador PID: 
 
 
 
 
 
 
 Neste caso, a velocidade de resposta é aumentada, 
porém o sobressinal máximo na resposta ao degrau 
unitário também é aumentado para 
aproximadamente 28%. 
2
4 3 2
( ) 30,322 39,42 12,81
( ) 6 35,322 39,42 12,81
C s s s
R s s s s s
 

   
 
2
30,322 0,651
( ) 39,42 1 0,7692
3,077
c
s
G s s
s s
 
    
 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
Uma vez que o sobressinal máximo é bem 
próximo a 25% e a resposta é mais rápida do 
que a do controlador PID do 2º sistema, 
podemos considerar esta última função do 
controlador PID como aceitável. Assim, os 
valores sintonizados de Kp, Ti e Td resultam 
em: 
39,42
3,077
0,7692
p
i
d
K
T
T



Regras de Sintonia de Ziegler-Nichols 
Esses valores são de aproximadamente o 
dobro dos valores sugeridos pelo segundo 
método das regras de sintonia de Ziegler-
Nichols. O aspecto importante a ser destacado 
é que a regra de sintonia de Ziegler-Nichols 
forneceu um ponto de partida para a sintonia 
fina. 
É possível fazer inúmeras outras tentativas 
para obter uma resposta melhor. Entretanto, 
isso requer mais cálculos, gastando-se muito 
tempo. Se mais tentativas forem desejadas, 
sugere-se o uso da abordagem computacional. 
Projeto de Controladores PID pelo 
Método de Resposta em Frequência 
• Exemplo 02 – considere o sistema de controle mostrado 
na figura a seguir. Usando o método de resposta em 
frequência, projete um controlador PID de forma que a 
constante de erro estático de velocidade seja 4s
–1
, a 
margem de fase seja de 50° ou mais e a margem de 
ganho seja de 10dB ou mais. Obtenha as curvas de 
resposta ao degrau unitário e de rampa unitária do 
sistema com controle PID, com o MATLAB. 
Digamos que o controlador PID seja: 
 
 
Como a constante de erro estático de 
velocidade, Kv está especificada em 4s
–1
, temos: 
 
 
 
 Portanto: 
( 1)( 1)
( )c
K as bs
G s
s
 

Projeto de Controladores PID pelo 
Método de Resposta em Frequência 
2 20 0
1 ( 1)( 1) 1
lim ( ) lim
1 1
4
v c
s s
K as bs
K sG s s
s s s
K
 
 
 
 
 
4( 1)( 1)
( )c
as bs
G s
s
 

Em seguida, com o auxílio do MATLAB 
traçamos o diagrama de Bode de: 
Projeto de Controladores PID pelo 
Método de Resposta em Frequência 
2
4
( )
( 1)
G s
s s


Projeto de Controladores PID pelo 
Método de Resposta em Frequência 
 Precisamos de uma margem de fase de pelo menos 
50° e de uma margem de ganho de pelo menos 
10dB. No diagrama de Bode da figura anterior, 
vemos que a frequência de cruzamento de ganho é 
de aproximadamente 1,8rad/s. Suponhamos que a 
frequência de cruzamento de ganho do sistema 
compensado fique entre 1 e 10rad/s. Considerando 
que: 
 
 
escolhemos a=5. Então, (as+1) contribuirá com um 
avançode fase de até 90° da região das altas 
frequências. 
Projeto de Controladores PID pelo 
Método de Resposta em Frequência 
4( 1)( 1)
( )c
as bs
G s
s
 

 Logo após, com o auxílio do MATLAB 
traçamos o diagrama de Bode de: 
Projeto de Controladores PID pelo 
Método de Resposta em Frequência 
2
4(5 1)
( 1)
s
s s


Projeto de Controladores PID pelo 
Método de Resposta em Frequência 
 Com base no diagrama de Bode da figura anterior, 
escolhemos o valor de b. O termo (bs+1) precisa 
resultar em uma margem de fase de pelo menos 50°. 
Com ensaios simples no MATLAB, constatamos que 
b=0,25 gera a margem de fase de pelo menos 50° e 
uma margem de ganho de +∞dB. Portanto, temos: 
 
 
 Logo, a função de transferência de malha aberta do 
sistema torna-se: 
Projeto de Controladores PID pelo 
Método de Resposta em Frequência 
4(5 1)(0,25 1)
( )c
s s
G s
s
 

2
2 3
4(5 1)(0,25 1) 1 5 21 4
1
s s s s
s s s s
   

 
 Finalmente, com o auxílio do MATLAB traçamos o 
diagrama de Bode da função de transferência de 
malha aberta. Nele, vemos que a constante de erro 
estático de velocidade é 4s
–1
, a margem de fase é 
55° e a margem de ganho é de +∞dB. Deste modo, 
o sistema projetado satisfaz todos os requisitos e, 
consequentemente, é aceitável (existe uma 
infinidade de sistemas que satisfazem todos os 
requisitos; o presente sistema é apenas um deles). 
Projeto de Controladores PID pelo 
Método de Resposta em Frequência 
Projeto de Controladores PID pelo 
Método de Resposta em Frequência 
Agora, vamos obter a resposta em degrau 
unitário e a resposta em rampa unitária do 
sistema projetado com o auxílio do MATLAB. A 
função de transferência de malha fechada é: 
 
 
Os zeros de malha fechada estão localizados 
em s=–4 e s=–0,2. 
Os pólos de malha fechada estão localizados 
em s=–0,1897 e s=–2,4052±j3,9119. 
Projeto de Controladores PID pelo 
Método de Resposta em Frequência 
2
3 2
( ) 5 21 4
( ) 5 22 4
C s s s
R s s s s
 

  
Projeto de Controladores PID pelo 
Método de Resposta em Frequência 
Projeto de Controladores PID pelo 
Método de Resposta em Frequência 
Projeto de Controladores PID pelo 
Método de Resposta em Frequência 
Os pólos conjugados complexos de malha 
fechada têm um coeficiente de amortecimento 
de 0,5237. 
O pólo de malha fechada em s=–0,1897 e o 
zero em s=–0,2 produzem uma cauda longa 
de baixa amplitude na resposta ao degrau 
unitário. 
Projeto de Controladores PID pelo 
Método de Resposta em Frequência 
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
• Veremos como obter um conjunto ótimo (ou conjuntos 
ótimos) de valores de parâmetros para controladores 
PID, a fim de satisfazer as especificações da resposta 
transitória com o uso do MATLAB. 
• Exemplo 03 – considere o sistema de controle PID da 
seguinte figura. O controlador PID é dado por: 
 
2
( )c
s a
G s K
s


Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
 Deseja-se encontrar uma combinação de K e a, de 
modo que o sistema de malha fechada seja 
subamortecido e o sobressinal máximo na resposta 
ao degrau unitário seja de no máximo 10%. 
 Pode haver mais de um conjunto de parâmetros 
que satisfaça as especificações dadas. 
Primeiramente, especificamos a região onde 
procurar K e a adequados. Em seguida, 
escrevemos um programa de modo que, por meio 
da resposta ao degrau unitário, seja encontrada 
uma combinação de K e a que satisfaça o critério 
de que o sobressinal máximo seja de 10% ou 
menor. 
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
 Suponha que a região de busca de K e a seja: 
 
 Se não houver uma solução nessa região, temos de 
expandi-la. Entretanto, em alguns problemas não há 
solução, seja qual for a região de busca. 
 No método computacional precisamos determinar o 
tamanho do passo para cada K e a, geralmente 
passos pequenos. Neste exemplo, escolhemos um 
tamanho do passo razoável para evitar uma 
quantidade exagerada de cálculos, de 0,2 para K e a. 
 É possível escrever vários programas diferentes em 
MATLAB que resolvam esse problema e 
apresentaremos um deles. 
2 3 e 0,5 1,5K a   
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
 Nesse programa, utilizamos 2 loops ‘for’. 
Começamos o programa com o loop externo para 
fazer variar os valores de ‘K’. Então, variamos os 
valores de ‘a’ no loop interno. Em seguida, 
continuamos escrevendo o programa de forma 
que os loops aninhados no programa comecem 
com o menor valor de ‘K’ e de ‘a’ e prossigam em 
direção aos mais altos. 
 Dependendo do sistema e das áreas de busca 
para ‘K’ e ‘a’, bem como do tamanho escolhido 
para os passos, pode levar de vários segundos a 
alguns minutos para que o MATLAB calcule o 
conjunto desejado de valores. 
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
Neste programa a sentença: 
 
produzirá uma tabela de valores de K, a e m 
(neste exemplo há 15 conjuntos de K e a que 
exibem m<1,1, ou seja, sobressinal máximo 
menor que 10%). 
Para ordenar os conjuntos de soluções em 
função da magnitude do sobressinal máximo 
(começando com o menor valor de m e 
terminando com o maior valor de m), usamos 
o comando: 
   solution K,: K(i) a(j) m  
 sortsolution sortrows solution,3
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
Para traçar o gráfico da curva de resposta ao 
degrau unitário com qualquer conjunto 
mostrado na tabela escolhida, especificamos 
os valores de K e a digitando o comando 
sortsolution apropriado. 
Dentro da especificação de sobressinal 
máximo entre 5% e 10%, haveria 3 conjuntos 
de soluções: 
2,0; 0,9; 1,0614
2,2; 0,9; 1,0772
2,4; 0,9; 1,0923
K a m
K a m
K a m
  
  
  
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
Curvas de resposta ao degrau unitário para 
esses 3 casos são mostradas na figura a 
seguir. 
O sistema com o maior ganho K tem o menor 
tempo de subida e o maior sobressinal 
máximo. 
Para dizer qual das 3 alternativas é a melhor, 
dependemos do objetivo do sistema. 
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
• Exemplo 04 – considere o sistema de controle 
mostrado na seguinte figura. 
 
 
 
 
 Queremos descobrir todas as combinações de 
valores de K e a, de forma que o sistema em 
malha fechada tenha um sobressinal máximo 
inferior a 15% e de no mínimo 10% na resposta 
ao degrau unitário. Além disso, o tempo de 
acomodação deve ser menor que 3s. 
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
A região de busca de K e a é: 
 
Escolhemos tamanhos razoáveis para os 
passos (0,2 para K e 0,1 para a). 
A curvade resposta ao degrau unitário para 
K=3,2 e a=0,9 pode ser preferida como a 
melhor escolha, pois esta alternativa requer 
um valor de K menor do que a maioria das 
outras escolhas. 
3 5 e 0,1 3K a   
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
Projeto de Controladores PID com 
Abordagem de Otimização Computacional 
Variantes dos Esquemas de Controle PID 
• Considere um sistema de controle PID básico sujeito a 
distúrbios e ruídos. Se a entrada de referência for uma 
função degrau, então, por causa da presença do termo 
derivativo na ação de controle, a variável manipulada 
u(t) envolverá uma função impulso (função delta de 
Dirac). 
• Em um controlador PID real, em vez do termo derivativo 
puro Tds, empregamos: 
 
• Portanto, quando uma entrada de referência for uma 
função degrau, a variável manipulada u(t) não envolverá 
uma função impulso, mas sim uma função pulso 
estreita. Esse fenômeno é denominado salto do valor de 
referência (set point kick). 
1
d
d
T s
T s
onde γ é algo em 
torno de 0,1. 
Variantes dos Esquemas de Controle PID 
Variantes dos Esquemas de Controle PID 
• Controle PI-D – para evitar o fenômeno salto do valor de 
referência, podemos colocar a ação derivativa somente 
no ramo de realimentação para que a diferenciação 
ocorra apenas no sinal de realimentação e não no sinal 
de referência. O esquema de controle organizado dessa 
maneira é denominado controle PI-D. 
Variantes dos Esquemas de Controle PID 
O sinal manipulado U(s) do controle PI-D é 
dado por: 
1 1
( ) 1 ( ) 1 ( )p p d
i i
U s K R s K T s B s
T s T s
   
       
   
Variantes dos Esquemas de Controle PID 
Na ausência de distúrbio e ruídos, a função de 
transferência de malha fechada do sistema de 
controle PID básico e o sistema de controle PI-
D são dados, respectivamente, por: 
( )( ) 1
1
( ) 1
1 1 ( )
( )( ) 1
1
( ) 1
1 1 ( )
p p
d
i
d p p
i
p p
i
d p p
i
K G sY s
T s
R s T s
T s K G s
T s
K G sY s
R s T s
T s K G s
T s
 
   
      
 
 
  
      
 
Variantes dos Esquemas de Controle PID 
Na ausência de entrada de referência e de 
ruídos, a função de transferência de malha 
fechada entre o distúrbio D(s) e a saída Y(s), 
em qualquer caso, é a mesma e é dada por: 
( )( )
( ) 1
1 ( ) 1
p
p p d
i
G sY s
D s
K G s T s
T s

 
   
 
Variantes dos Esquemas de Controle PID 
• Controle I-PD – considere que a entrada de 
referência seja uma função degrau. O controle 
PID e o controle PI-D envolvem uma função 
degrau no sinal manipulado. Essa alteração 
degrau no sinal manipulado pode não ser 
desejada em muitas ocasiões. Portanto, pode 
ser vantajoso mover a ação proporcional e a 
ação derivativa para o ramo de realimentação, 
para que essas ações afetem somente o sinal de 
realimentação. Esse esquema de controle é 
chamado controle I-PD. 
Variantes dos Esquemas de Controle PID 
 
 
 
 
 
 
 
O sinal manipulado U(s) é dado por: 
1 1
( ) ( ) 1 ( )p p d
i i
U s K R s K T s B s
T s T s
 
    
 
Variantes dos Esquemas de Controle PID 
A entrada de referência R(s) aparece apenas 
na parte integral do controle. Então, no 
controle I-PD, é imperativo ter a ação de 
controle integral para uma operação 
apropriada do sistema de controle. 
A função de transferência de malha fechada 
Y(s)/R(s) na ausência da entrada de distúrbio 
e da entrada de ruído é dada por: 
( )( ) 1
( ) 1
1 ( ) 1
p p
i
p p d
i
K G sY s
R s T s
K G s T s
T s
 
  
      
 
Variantes dos Esquemas de Controle PID 
Na ausência da entrada de referência e de 
sinais de ruído, a função de transferência de 
malha fechada entre a entrada de distúrbio e a 
saída é dada por: 
 
 
 
 
 
Essa expressão é a mesma do controle PID e 
do controle PI-D. 
( )( )
( ) 1
1 ( ) 1
p
p p d
i
G sY s
D s
K G s T s
T s

 
   
 
Variantes dos Esquemas de Controle PID 
• Controle PID com dois graus de liberdade – o 
controle PI-D é obtido movendo-se a ação de 
controle derivativa para o ramo de realimentação 
e o controle I-PD é obtido movendo-se a ação de 
controle proporcional e a ação de controle 
derivativa para o ramo de realimentação. 
Em vez de mover totalmente a ação de 
controle derivativa ou a ação de controle 
proporcional para o ramo de realimentação, é 
possível mover somente partes dessas ações 
de controle para o ramo de realimentação, 
mantendo as porções restantes no ramo 
direto. 
Variantes dos Esquemas de Controle PID 
Na literatura, propõe-se o controle PI-PD. As 
características desse esquema de controle se 
situam entre o controle PID e o controle I-PD. 
Da mesma maneira, o controle PID-PD pode 
ser considerado. 
Nesses esquemas de controle, temos um 
controlador no ramo direto e outro controlador 
no ramo de realimentação. Esses esquemas 
de controle nos levam a um esquema de 
controle mais geral, com dois graus de 
liberdade. 
Controle com Dois Graus de Liberdade 
• Considere um sistema sujeito à entrada de 
distúrbio D(s) e ao ruído de entrada N(s), além 
da entrada de referência R(s). 
Controle com Dois Graus de Liberdade 
Gc(s) é a função de transferência do controlador 
e Gp(s) é a função de transferência da planta, 
considerada fixa e inalterável. 
 Para esse sistema, 3 funções de transferência 
de malha fechada podem ser obtidas. São elas: 
( )
( ) 1
( )
( ) 1
( )
( ) 1
c p
yr
c p
p
yd
c p
c p
yn
c p
G GY s
G
R s G G
GY s
G
D s G G
G GY s
G
N s G G
 

 

  

Obtendo Y(s)/R(s), 
vamos supor que 
D(s)=0 e N(s)=0. 
Comentários similares 
se aplicam à obtenção 
de Y(s)/D(s) e 
Y(s)/N(s). 
Controle com Dois Graus de Liberdade 
Os graus de liberdade do sistema de controle 
se referem a quantas dessas funções de 
transferência de malha fechada são 
independentes. No caso presente, temos: 
 
 
 
Se uma das 3 funções de transferência de 
malha fechada (Gyr, Gyn e Gyd) for dada, as 2 
outras estarão fixadas. Isso significa que o 
sistema é um sistema de controle com um 
grau de liberdade. 
e
p yd yd p
yr yn
p p
G G G G
G G
G G
 
 
Controle com Dois Graus de Liberdade 
Em seguida, considere o sistema mostrado na 
figura a seguir, em que Gp(s) é a função de 
transferência da planta. 
Controle com Dois Graus de Liberdade 
 Para esse sistema, as funções de transferência 
de malha fechada são: 
 
 
 
 
 
 
 
 Logo, temos: 
1 e
yd p
yr c yd yn
p
G G
G G G G
G

 
 
 
 
 
1
1 2
1 2
1 2
1 2
( )
( ) 1
( )
( ) 1
( )
( ) 1
c p
yr
c c p
p
yd
c c p
c c p
yn
c c p
G GY s
G
R s G G G
GY s
G
D s G G G
G G GY s
G
N s G G G
 
 
 
 

  
 
Controle com Dois Graus de Liberdade 
Nesse caso, se Gyd é dada, então Gyn está 
fixada, mas Gyr não está fixada, pois Gc1 é 
independente de Gyd. Então, 2 entre as 3 
funções de transferência de malha fechada 
Gyr, Gyd e Gyn são independentes. Logo,este é 
um sistema de controle com dois graus de 
liberdade. 
Controle com Dois Graus de Liberdade 
Da mesma maneira, o sistema mostrado na 
figura a seguir também é um sistema de 
controle com dois graus de liberdade. 
Controle com Dois Graus de Liberdade 
 Para esse sistema, as funções de transferência 
de malha fechada são: 
 
 
 
 
 
 
 
 Logo, temos: 
2 e
p yd yd p
yr c yd yn
p p
G G G G
G G G G
G G
 
  
 1 2 1 2
1 1 1
1
1
1
( )
( ) 1 1 1
( )
( ) 1
( )
( ) 1
c p c p c c p
yr
c p c p c p
p
yd
c p
c p
yn
c p
G G G G G G GY s
G
R s G G G G G G
GY s
G
D s G G
G GY s
G
N s G G

   
  
 

  

Controle com Dois Graus de Liberdade 
Nesse caso, se Gyd é dada, então Gyn está 
fixada, mas Gyr não está fixada, porque Gc2 é 
independente de Gyd. 
Nesse sistema de controle com dois graus de 
liberdade, tanto as características de malha 
fechada como as características de 
realimentação podem ser ajustadas 
independentemente para melhorar o 
desempenho da resposta do sistema. 
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
• A abordagem por alocação de zeros permite anular o 
erro estacionário as respostas à entrada de referência 
do tipo rampa e à entrada de referência de aceleração. 
• Para mostrar isto, vamos considerar o sistema de 
controle com dois graus de liberdade da figura a seguir 
e, além disso, supor que Gp é uma FT de fase mínima 
dada por: 
 
 
 
p
A s
G s K
B s
 
   
 
   
1
1 2
1 2
1
1


 

 
c p
c c p
p
c c p
G GY s
R s G G G
GY s
D s G G G
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
onde: 
 
 
 
 Supondo também que Gc1 é um controlador PID em 
série com um filtro 1/A(s) e Gc2 é um controlador PID, 
PI, PD, I, D ou P, em série com um filtro 1/A(s), isto é 
      
      
1 2
1 2 
   
   
m
N
N N n
A s s z s z s z
B s s s p s p s p
 
 
 
 
2
1 1 1
1
2
2 2 2
2
α β γ 1
α β γ 1
 

 

c
c
s s
G s
s A s
s s
G s
s A s
0,1,2

N
n m
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
de modo que: 
 
 
 Portanto: 
   
 
2
1 2
α β γ 1 
 c c
s s
G s G s
s A s
 
   
 
 
 
 
   
 
   
 
2
1 2
2
2
α β γ1
1
α β γ
( )
α β γ
 
  


  

  
p
c c p
A s
K
GY s B s
s s KD s G G G
s B s
sKA s
sB s s s K
sKA s
Y s D s
sB s s s K
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
 Se a entrada de distúrbio for uma função degrau de 
amplitude d, isto é 
 
e presumindo que o sistema seja estável, então  
 
   
 
 
20
0
lim
α β γ
0
lim
0 β
0


 
  
    
 
  
 

s
s
sKA s d
y s
ssB s s s K
sKA d
sB K
  
d
D s
s
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
• Alocação de zeros – seja a FT de malha fechada 
dada por: 
 
 
 Se escolhermos p(s) como: 
 
 
isto é, escolhendo os zeros s=–s1 e s=–s2, de 
modo que p(s) seja igual à soma dos últimos três 
termos do polinômio do denominador, então o 
erro estacionário na resposta à entrada em 
degrau, rampa e aceleração será nulo. 
 
 
 
1 1 2
1 2 1 0
 


     n n nn n
Y s p s
R s s a s a s a s a s a
    22 1 0 2 1 2     p s a s a s a a s s s s
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
• Requisitos sobre as características da resposta do 
sistema – suponha que se deseje que a resposta a 
uma entrada degrau unitário apresente um 
sobressinal que esteja compreendido em uma faixa 
arbitrária tal como, por exemplo: 
 
 
 O limite inferior é escolhido ligeiramente acima de 
zero para evitar obter sistemas superamortecidos. 
 Quanto menor o limite superior, mais difícil será 
determinar os coeficientes a, podendo inclusive 
não ser possível determiná-los. 
2% < sobressinal máximo < 10%
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
• Determinação de Gc2 – uma vez conhecidos todos 
os coeficientes da FT de Y(s)/R(s), temos então 
que: 
 
 
 
 
 
onde Gc1 é um controlador PID, dado por: 
 
 
 
 
 
   
 
1
1 2
1
1 1 2
1 2 1 0
α β γ
 

 
  

     
c
c
c
n n n
n n
Y s Y s G sKA s
G
R s D s sB s s s K
G sKA s
s a s a s a s a s a
 
 
2
1 1 1
1
α β γ 1 
c
s s
G s
s A s
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
 De modo que: 
 
 
 Logo, escolhemos: 
 
 De modo que: 
 
 Logo, a resposta do sistema a uma entrada de 
referência do tipo degrau unitário pode ser obtida de 
modo que exiba um sobressinal máximo dentro do 
intervalo 
 
 
 21 1 1
1 1 2
1 2 1 0
α β γ
 

 

     n n nn n
K s sY s
R s s a s a s a s a s a
1 2 1 1 1 0γ , α , β  K a K a K a
 
 
2
1 0 2
1
1 
c
a s a a s
G s
Ks A s
2% < sobressinal máximo < 10%
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
 A resposta do sistema a uma entrada de referência do tipo 
rampa ou aceleração pode ser obtida de modo que não exiba 
erro estacionário. Embora o tempo de acomodação seja 
geralmente pequeno, caso se deseje diminuir ainda mais, 
então é preciso permitir um sobressinal máximo maior, por 
exemplo: 
 
 Como: 
 
 Temos que: 
   
 
2
1 2
α β γ 1 
 c c
s s
G s G s
s A s
2% < sobressinal máximo < 20%
 
 
     
 
22
1 0 2
2
2
1 0 2
α β γ 1
α β γ 1
   
  
 
    

c
a s a a ss s
G s
s Ks A s
K a s K a K a s
Ks A s
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
• Exemplo 05 – considere o sistema de controle com 
dois graus de liberdade mostrado na figura a seguir. 
A FT da planta é dada por: 
 
 
10
1


pG s
s s
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
 Projete os controladores Gc1(s) e Gc2(s), de modo 
que o sobressinal máximo na resposta à entrada de 
referência do tipo degrau unitário seja menor que 
19%, mas superior a 2%, e que o tempo de 
acomodação seja menor que 1s. Deseja-se que os 
erros estacionários à entrada de referência do tipo 
rampa e à entrada de referência do tipo aceleração 
sejam nulos. A resposta à entrada de distúrbio do 
tipo degrau unitário deve apresentar uma pequena 
amplitude que vai tender a zero rapidamente. 
 Note que: 
 
   1 21

 
p
p c c
GY s
D s G G G
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
 Para simplificar, definiremos Gc=Gc1+Gc2. Então: 
 
 
 
 
 Note ainda que: 
 
 
onde observamos que a equação característica 
de Y(s)/D(s) e Y(s)/R(s) são idênticas. 
 
 
 
 
 
10
1 10
101 1 10
1
1

  
  


p
p c c
c
GY s s s
D s G G s s G
G
s s
 
   
1110
1 1 10
 
  
p c c
p c c
G GY s G
R s G G s s G
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
 O projeto dos controladores Gc1(s) e Gc2(s) consiste em 
duas etapas. 
 Etapa 1 do projeto – satisfazer os requisitos com relação à 
resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau D(s). Para 
isso, admitimos que a entrada de referência R(s) seja 
zero. Considere: 
 
 Então: 
 
  α β 
c
K s s
G s
s
 
   
 
  
    2
10 10
10 α β1 10
1
10
1 10 α β
 
  
 

   
c
Y s
K s sD s s s G
s s
s
s
s s K s s
Controlador 
PID 
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
 Note que a presença de ‘s’ no numerador de Y(s)/D(s) 
garante que a resposta estacionária à entrada de distúrbio do 
tipo degrau seja zero. 
 Suponha que os pólos dominantes sejam s=–a±jb e que o 
pólo remanescente seja s=–c. 
 Relembrando os requisitos do sistema: resposta à entrada 
degrau de distúrbio seja rapidamente amortecida; 
sobressinal da resposta à entrada degrau esteja entre 19% e 
2%, com tempo de acomodação menor que 1s; erro 
estacionário nulo para entradas tipo rampa e aceleração. 
 Valores razoáveis para a, b e c serão buscados a partir de 
uma abordagem computacional. Definimos as seguintes 
regiões de busca mostrada na figura a seguir: 
2 6, 2 6, 6 12     a b c
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
A localização 
dos pólos 
dominantes 
nas regiões 
hachuradas 
garante uma 
resposta 
rapidamente 
amortecida. 
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
 Note que o denominador Y(s)/D(s) pode ser escrito 
como: 
 
 
 
 
 
 
 Como os denominadores de Y(s)/D(s) e Y(s)/R(s) são 
os mesmos, o denominador de Y(s)/D(s) determina 
também as características da resposta à entrada 
degrau. 
    
   
   
     
2
3 2
3 2 2 2 2 2
1 10 α β
1 10 10 α β 10 αβ
2 2
   
     
     
       
s s K s s
s K s K s K
s a jb s a jb s c
s a c s a b ac s a b c
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
 Para satisfazer o requisito de erro estacionário nulo para 
entradas tipo rampa e aceleração, recorremos ao método 
de alocação de zeros e escolhemos a FT de malha 
fechada Y(s)/R(s) como segue: 
 
 
 
 Logo, o problema se resume a buscar um conjunto de 
pólos de malha fechada em termos de a, b e c na região 
específica, para que o sistema satisfaça os requisitos do 
sobressinal da resposta à entrada degrau entre 19% e 
2%, com tempo de acomodação menor que 1s. 
 Se um conjunto aceitável não puder ser encontrado na 
região de busca, precisamos aumentar a região. 
 
 
     
     
2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 2
2 2
2 2
     

      
a c s a b ac s a b cY s
R s s a c s a b ac s a b c
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
Na busca com a utilização da abordagem 
computacional precisamos adotar uma 
medida de passo razoável e nesse 
problema, admitimos que ele seja 0,2. 
O programa em MATLAB 
produz uma tabela de conjuntos 
de valores aceitáveis de a, b e 
c. Utilizando esse programa, 
descobrimos que o requisito da 
resposta à entrada degrau 
unitário é atendido por qualquer 
um dos 23 conjuntos a seguir. 
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
A última linha na tabela 
corresponde ao último 
ponto de busca. Esse ponto 
não satisfaz o requisito e, 
portanto, pode facilmente 
ser ignorado. No programa 
escrito, o último ponto de 
busca produz a última linha 
na tabela, se ele satisfizer 
ou não o requisito. 
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
As curvas de 
resposta ao 
degrau unitário 
do sistema com 
qualquer um dos 
23 conjuntos 
são 
praticamente as 
mesmas. Curva 
de resposta ao 
degrau unitário 
com a=4,2, b=2 
e c=12. 
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
 O sobressinal máximo é 18,96% e o tempo de 
acomodação é 0,85s. Com a utilização desses 
valores de a, b e c, os pólos desejados de malha 
fechada ficam localizados em: s=–4,2±j2 e s=–12. 
 Usando esses pólos de malha fechada, o 
denominador de Y(s)/D(s) resulta em: 
 
 
 
 Igualando os coeficientes de mesma potência em s, 
em ambos os lados, obtemos: 
        
   
2
3 2 3 2
1 10 α β 4,2 2 4,2 2 12
ou
1 10 10 α β 10 αβ 20,4 122,44 259,68
         
        
s s K s s s j s j s
s K s K s K s s s
 1 10 20,4 10 α β 122,44 10 αβ=259,68   K K K
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
 Portanto: 
 
 Então, Gc(s) pode ser escrito como: 
 
 
 
 
 A FT de malha fechada Y(s)/D(s) resulta em: 
122,44 259,68
1,94 α β αβ=
19,4 19,4
  K
 
    
2
2
α β αβα β
1,94 12,244 25,968
       
 

c
K s sK s s
G s
s s
s s
s
 
     
2
3 2
10 10
1,94 12,244 25,9681 10
1 10
10
20,4 122,44 259,68
 
  
 

  
c
Y s
s sD s s s G
s s
s
s
s s s
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
Resposta y(t) 
à entrada de 
distúrbio do 
tipo degrau 
unitário com 
a=4,2, b=2 e 
c=12. 
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
Curva de 
resposta ao 
degrau unitário 
com a=3,2, b=2 
e c=12. 
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
Resposta à 
entrada de 
distúrbio do 
tipo degrau 
unitário com 
a=3,2, b=2 e 
c=12. 
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
Comparando as figuras de resposta ao degrau 
unitário, concluímos que elas são praticamente 
as mesmas. Contudo, comparando as figuras 
de resposta à entrada de distúrbio do tipo 
degrau unitário, concluímos que a primeira é 
ligeiramente melhor que a última. 
Comparando as respostas dos sistemas de 
cada conjunto da tabela, concluímos que o 
primeiro conjunto de valores (a=4,2, b=2 e 
c=12) é um dos melhores. Portanto, como 
solução para esse problema, escolhemos: 
a=4,2, b=2 e c=12. 
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
Etapa 2 do projeto – em seguida, 
determinamos Gc1(s). Como Y(s)/R(s) pode 
ser dada por: 
 
 
 
 
 
Nosso problema se torna projetar Gc1(s) para 
satisfazer os requisitos das respostas às 
entradas do tipo degrau, rampa e aceleração. 
 
   
1 1
2
1
3 2
10
1,94 12,244 25,9681
1 10
10
20,4 122,44 259,68
 
 
 

  
p c c
p c
c
G GY s G
s sR s G G
s s
s
sG
s s s
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
 Como o numerador envolve um ‘s’, Gc1(s) deve incluir 
um integrador para cancelar esse ‘s’. Embora 
desejemos um ‘s’ no numerador da FT de malha 
fechada Y(s)/D(s) para obtermos erro estacionário 
nulo à entrada de distúrbio do tipo degrau, não 
desejamos ter um ‘s’ no numerador da FT de malha 
fechada Y(s)/R(s). 
 Para eliminar o erro estacionáriona resposta à 
entrada de referência do tipo degrau e para eliminar 
erros estacionários no acompanhamento de entradas 
de referências dos tipos rampa e aceleração, o 
numerador de Y(s)/R(s) deve ser igual aos últimos 
três termos do denominador, como mencionado 
anteriormente. 
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
 Ou seja: 
 
 
 
 Logo, Gc1(s) é um controlador PID. Como Gc(s) é 
dado por: 
 
 
 Obtemos: 
 
 
2
1
1
10 20,4 122,44 259,68
ou
25,968
2,04 12,244
s
  
  
c
c
sG s s s
G s s
     
2
1 2
1,94 12,244 25,968 
  c c c
s s
G s G s G s
s
     2 1
25,968 25,968
1,94 12,244 2,04 12,244
s
0,1
 
   
        
   
 
c c cG s G s G s
s s
s
s
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
 Logo, Gc2(s) é um controlador derivativo. Um 
diagrama de blocos do sistema projetado pode 
ser visto na figura a seguir. 
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
 A FT de malha fechada Y(s)/R(s) torna-se 
agora: 
 
 
 As respostas às entradas de referências dos 
tipos rampa unitária e aceleração unitária são 
mostradas nas figuras a seguir. Os erros 
estacionários no acompanhamento às entradas 
em rampa e em aceleração são nulos. Então, 
todos os requisitos do problema são satisfeitos. 
Logo, os controladores projetados Gc1(s) e 
Gc2(s) são aceitáveis. 
 
 
2
3 2
20,4 122,44 259,68
20,4 122,44 259,68
 

  
Y s s s
R s s s s
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta 
Abordagem por Alocação de Zeros para a 
Melhoria das Características de Resposta