Matriz aula1 2007 4

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1. Matrizes
1.1 Definição: uma matriz é uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n
colunas.
A
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
. . .
. . .
. . .
am1 am2 am3 . . . amn
mn
Esta matriz é dita matriz de ordem m  n porque tem m linhas e n colunas.
O elemento numérico na i-ésima linha e j-ésima coluna de A será denotado por aij
e será chamado de elemento i, j de A.
As colunas de A são vetores do IRm e serão denotados por u1, .....,
un. Focalizamos nossa atenção nessas colunas sempre que escrevemos
A  u1 u2. . . . .un.
Por exemplo, na matriz
A 
1 2 −1
3 4 6
5 −1 7
, de ordem 3, os vetores colunas são os vetores
u1 
1
3
5
,u2 
2
4
−1
e u3 
−1
6
7
.
Os elementos diagonais de A  aij são a11, a22, a33, . . . .e eles formam a diagonal
principal de A
 Matriz quadrada: Matrizes com o mesmo número de linhas e de colunas são
chamadas de matrizes quadradas.
A matriz acima é um exemplo de matriz quadrada de ordem 3.
No MATLAB: digite a matriz de nome A:
A diagonal principal de A é:
Os vetores colunas de A são:
 Matriz nula ou matriz zero: Uma matriz zero apresenta todos os elementos
nulos e é representada pelo símbolo 0.
No MATLAB: O zeros(m,n) define uma matriz nula de ordem m  n.
1
 Matriz identidade: Uma matriz n  n com aij  1, para i  j e aij  0, para i ≠ j
é chamada de matriz identidade n  n. Usa-se o símbolo In para
representá-la.
No MATLAB: I  eye(n) define a matriz identidadede ordem n.
 Matriz diagonal: Uma matriz A, n  n, com aij  0, para i ≠ j é chamada de
matriz diagonal.
No MATLAB: Define o vetor da diagonal, por exemplo, u  [1 2 3 4]. Digita-se D
 diag(u), formando uma matriz diagonal de ordem 4.
 Matriz triangular inferior: Uma matriz A, n  n, com aij  0, para i  j é
chamada de matriz triangular inferior.
No MATLAB: help tril
 Matriz triangular superior: Uma matriz A, n  n, com aij  0, para i  j é
chamada de matriz triangular superior.
No MATLAB: help triu
 A transposta de uma matriz: Dada uma matriz m  n , a transposta de A é uma
matriz n  m, denotada por At, cujas colunas são formadas com as linhas
correspondentes de A.
No MATLAB: definida uma matriz A, a transposta de A é a matriz A’.
Exemplo:
Sejam
A  a b
c d
, B 
−5 2
1 −3
0 4
, C  1 1 1 1−3 5 −2 7
At  a c
b d
, Bt  −5 1 0
2 −3 4 , C
t 
1 −3
1 5
1 −2
1 7
1.2 Adição de Matrizes
Assim como a soma de vetores colunas é feita componente a componente,
cada elemento de A  B é a soma dos elementos correspondentes de A e B. A
soma A  B está definida apenas quando A e B são do mesmo tipo.
Exemplo:
Sejam A  4 0 5−1 3 2 , B 
1 1 1
3 5 7
, C  2 −3
0 1
Então
A  B  5 1 6
2 8 9
, mas A  C não está definida porque A e C são de
tipos diferentes.
2
1.3 Multiplicação de matriz por escalar
Se k é um escalar e A é uma matriz, então k vezes A, digo, kA é uma matriz
cujas colunas são k vezes as colunas correspondentes de A. Assim como os
vetores, definimos −A como sendo −1A.
Sejam A  4 0 5−1 3 2 , B 
1 1 1
3 5 7
, então
2 B  2 1 1 1
3 5 7
 2 2 2
6 10 14
A − 2 B  4 0 5−1 3 2 −
2 2 2
6 10 14
 2 −2 3−7 −7 −12
TEOREMA 1
Se A, B e C matrizes do mesmo tipo e sejam r e s escalares.
a) A  B  B  A d) rA  B  rA  rB
b) A  B  C  A  B  C e) r  sA  rA  sA
c) A  0  A f) rsA  rsA
1.4 Produto Escalar entre dois vetores
Sejam os vetores x 
x1
x2
:
xn
e y 
y1
y2
:
yn
vetores do IRn.
O produto escalar entre os vetares x e y , é definido da seguinte forma:
x.y  x1.y1  x2.y2 . . . . . .xnyn
Exemplo:
x 
1
2
3
e y 
3
2
1
x.y  1.3  2.2  3.1  10
No MATLAB: Define-se o vetor linha x e o vetor coluna y. Faz x*y.
1.5 Multiplicação de Matrizes
Dadas duas matrizes A e B, o produto AB só é possível quando o número de
colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz, A
ordem da matriz AB será o número de linhas da primeira matriz e o número de
colunas da segunda matriz.
Exemplo: Calcule AB, onde A  2 3
1 −5 e B 
4 3 6
1 −2 3
3
Então
AB  11 0 21−1 13 −9
Observe que
11 é o produto escalar entre os vetores
2
3
4
1
0 é o produto escalar entre os vetores
2
3
3
−2
21 é o produto escalar entre os vetores
2
3
6
3
-1 é o produto escalar entre os vetores
1
−5
4
1
13 é o produto escalar entre os vetores
-9 é o produto escalar entre os vetores
Exemplo: Se A é uma matriz 3  5 e B é uma matriz 5  2, quais são os tipos AB e
BA, caso estejam definidas?
TEOREMA 2
Seja A m  n, e sejam B e C com os tipos corretos de modo que as somas e os
produtos estejam definidos.
a) ABC  ABC (propriedade associativa da multiplicação)
b) AB  C  AB  AC (propriedade distributiva à esquerda)
c) B  CA  BA  CA (propriedade distributiva à direita)
d) rAB  rAB  ArB para todo escalar r
e) ImA  A  AIn (elemento neutro da multiplicação de matrizes)
Mostre que as matrizes
A  5 1
3 −2 e B 
2 0
4 3
não comutam. Isto é, verifique que AB ≠ BA.
4
Cuidados:
1. Em geral, AB ≠ BA.
2. As leis de cancelamento não valem para a multiplicação de matrizes. Isto é, se
AB  AC, então não é verdade, em geral, que B  C .
3. Se o produto AB for a matriz nula, não se pode concluir, em geral, que A  0 ou
B  0.
TEOREMA 3 (sobre a transposta de uma matriz e operações matriciais)
Sejam A e B matrizes cujos tipos são apropriados para as seguintes somas e
produtos.
a) At t  A
b) A  B t  At  Bt
c) Para qualquer escalar rA t  rAt
d) AB t  Bt.At
1.6 Potências de Matriz
Se A é uma matriz n  n e se k é um inteiro positivo, então Ak denota o produto
Ak  A.A. . . . .A, k vezes.
No MATLAB: para ver como as operações matriciais são definidas vá em
Help, Matlab Help, index, matrix, addition (por exemplo).
Auxílio: Matlab_Introd_Dotto. Disponível em Acervo, Disciplina.
The list of operators includes
 Addition
- Subtraction
.* Element-by-element multiplication
./ Element-by-element division
.\ Element-by-element left division
.^Element-by-element power
.’ Unconjugated array transpose
Sugestão de atividades
Exercícios página 100 da bibliografia básica.
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