Apostila matrizes

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Matrizes
De que forma podemos arrumar 8 objetos por intermédio de linhas (horizontal) e colunas (vertical) ?
Que estratégia podemos desenvolver para identificar rapidamente um desses objetos?
Dados dois números m e n naturais e não nulos , chama-se matriz m por n ( indica-se m x n) toda tabela M formada por números reais distribuídos em m linhas e n colunas.
Exemplos:
A= a matriz A é de ordem ( ou tipo) 2 x 2 ( 2 linhas e 2 colunas)
B= a matriz B é de ordem ( ou tipo ) 2 x 3
Representação genérica de matrizes
Uma matriz de ordem m x n pode ser representada da seguinte forma:
Ela também pode ser representada de uma forma mais simples : A =() m x n
Na representação dos termos aij , o índice ij nos dá a posição na matriz . O i identifica a linha que ele se encontra e o j a coluna que ele faz parte.Exemplo : O elemento a 32 se encontra na terceira linha e na segunda coluna.
Tipos de matrizes
Matriz nula – é aquela em que todos os elementos são iguais a zero.
Exemplos:
1)O2x2 =
2) O 1 x 2 = ( 0 0)
b) Matriz oposta – Duas matrizes do mesmo tipo (ou mesma ordem ) são opostas quando os elementos que ocupam a mesma posição são simétricos.
A= B =
A e B são matrizes opostas , pois B = -A
c) Matriz transposta – Uma matriz A de ordem m x n tem como transposta a matriz At de ordem n x por m , onde as linhas de At são as colunas de A e as colunas de At são as linhas de A.
A = At = 
Obs: ( = A
d) Matriz Quadrada – é a matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas .Uma matriz quadrada de ordem n x n é chamada matriz de ordem n.
A= é uma matriz quadrada de ordem 3
Uma matriz quadrada apresenta duas diagonais: a diagonal principal e a diagonal secundária.
A diagonal principal é formada pelos elementos cujo índice i é igual ao índice j.
A diagonal secundária é formada pelos elementos cuja soma dos índices i e j é igual a ordem da matriz mais 1. ( i+j = n+1)
Diagonal principal é formada pelos elementos : 2,0 e 2
Diagonal secundária é formada pelos elementos : 4,0 e 1
e) Matriz diagonal – é a matriz quadrada cujos elementos que não pertencem a diagonal principal são todos iguais a zero. Pode acontecer de alguns elementos da diagonal principal serem também nulos.
São exemplos de matrizes diagonais:
A = B= 
f)Matriz identidade ( ou matriz unidade) – é a matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1. A matriz identidade de ordem n é indicada por In.
I2 = I3 = 
Operações com matrizes
Adição e subtração 
Para somarmos ou subtrairmos matrizes é necessário que elas sejam do mesmo tipo. A operação de adição ou subtração é feita com os elementos correspondentes das matrizes, ou seja , a11 com b11 , a12 com b12 e assim por diante.
Dadas as matrizes: A = e B = 
Determine A + B.
As matrizes tem a mesma ordem ( 2 x 3 ) , logo a operação é possível . Então:
A + B = 
Determine A-B.
A-B = A + (-B)
A-B =
 +=
Propriedades da adição de matrizes
Sejam A, B e C matrizes de ordem m x n e 0 uma matriz nula de ordem m x n.
A +B = B +A ( comutativa)
A+(B+C) = (A+B)+C (Associativa)
A+0 =0+A=A (Elemento neutro)
ii) Multiplicação
Multiplicação de matrizes por um número real k.
Quando multiplicamos uma matriz por um número real qualquer , basta multiplicarmos todos os elementos da matriz por k.
Exemplo : Seja K um número real , e M uma matriz de ordem 2 , M = 
Teremos que K M = 
A = 3 A = 
Multiplicação de matrizes
Dadas duas matrizes A e B , a multiplicação entre elas só será possível se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda . E a matriz produto C , que é o resultado da multiplicação de A por B , terá o número de linhas de A e o número de colunas de B.
(Am xn) . (Bnxp) = Cmxp
Para efetuarmos a multiplicação de duas matrizes A e B procedemos da seguinte forma: Multiplicamos os elementos da primeira linha de A pelos elementos correspondentes da primeira coluna de B , e reduzimos os valores a um só. Temos então o primeiro elemento de A.B. Depois multiplicamos os elementos da primeira coluna de A pelos elementos da segunda coluna de B e assim sucessivamente.
Exemplo:
A= e B =
A.B =
Observe que A é do tipo 3 x 3 e B é do tipo 3 x 2 e o produto (AB) é do tipo 3 x 2.
Propriedades da multiplicação de matrizes
Sejam A , B e C matrizes que admitam a condição de existência do produto citado.
Associativa : (A.B).C = A. (B.C)
Distributiva em relação à adição: A.(B+C)= A.B + A.C
Elemento neutro- A matriz identidade I é a matriz que representa o elemento neutro.
Se A for uma matriz de ordem m x n , teremos que :
Amxn .In = Im .Amxn = Amxn
A propriedade comutativa não é admitida pela multiplicação de matrizes , mas existem matrizes A e B onde temos A.B = B.A , neste caso dizemos que as matrizes comutam.
Neste caso as matrizes devem ser quadradas e de mesma ordem.
Lei do cancelamento do produto : Se tivermos o produto A.B= A.C não implica que B=C , cancelando A em ambos os membros.
Se Amxn.Bnxp = 0mxp , sendo 0 uma matriz nula de ordem (m xn) , não implica que A =0 ou B=0.
Matriz Inversa
Uma matriz quadrada AS de ordem n possui matriz inversa A-1 , se A.A-1 =A-1.A =In , onde A-1 é a matriz inversa de A e In é uma matriz identidade de ordem n.
Exemplo:
A = e B = são matrizes inversas , pois A.B =B.A = I2
A.B=B.A=I2
Logo A e B são inversas
Obs:
Se uma matriz quadrada de ordem n é inversível (ou seja , possui inversa) , então a matriz A-1 tal que A.A-1 =A-1.A = In é única.
Toda matriz identidade de ordem n tem como inversa ela mesma.
Nenhuma matriz nula é invertível
Exercícios:
A organização econômica Merco é formada pelos países 1,2 3 .O volume anual de negócios realizados entre os três parceiros é representado em uma matriz A , com 3 linhas e com 3 colunas , na qual o elemento da linha i e coluna j informa quanto o país i exportou para o país j , em bilhões de dólares.
Se A = 
Quanto o país 2 exportou para o país 3?
Qual o país que mais exportou?
Qual o país que importou menos?
Qual o saldo comercial do país 3, isto é , a diferença entre as exportações e as importações?
Três ônibus levaram alunos de uma escola para uma escola para uma excursão .Em uma parada , todos os alunos saíram dos ônibus.Todos prosseguiram a viagem , mas não necessariamente no ônibus de onde tinham saído. Na matriz abaixo , aij representa o número de pessoas que saíram do ônibus i e subiram no ônibus j após a parada.
Determine:
Quantos alunos participaram da excursão?
Qual o ônibus que ganhou mais passageiros ?
Qual o ônibus que perdeu passageiros?
Um laboratório farmacêutico fabrica três tipos de remédios utilizando diferentes compostos .Considere a matriz A = dada a seguir , onde aij representa quantas unidades do composto j serão utilizadas para fabricar uma unidade do remédio tipo i.
A= 
Quantas unidades do composto 2 serão necessárias para fabricar 3 remédios do tipo 1 ; 2 remédios do tipo 2 e 5 remédios do tipo 3?
João foi comprar discos de seus artistas favoritos 1, 2 e 3 e escolheu três músicas todas gravadas pelos três artistas. Na matriz , cada aij é o preço do disco do artista i com a gravação da música j.
Se João comprasse todas as músicas gravadas pelo artista 2 , quanto gastaria?
Escreva todas as hipóteses de compra de 3 músicas diferentes gravadas por artistas diferentes.
Desejando gastar o menor valor possível para a compra de 3 músicas diferentes , gravadas por artistas diferentes, quanto gastará João?
Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupas utilizando matérias diferentes. Considere a matriz A=(aij) , em que aij representa quantas unidades do material j serão empregadas para fabricar uma roupa do tipo i.
A= 
 
Quantas unidades do material 3 serão empregadas na confecção de uma roupa do tipo 2?
Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1,quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3.
Há 5 senadores designados para a Comissão Parlamentar de Inquérito. Eles devem escolher entre si um presidente para a Comissão , sendo que cada senador pode votar em até três nomes . Realizada a votação onde cada um deles recebeu um número de de 1 a 5 , os votos foram tabulados na matriz A =(aij) , abaixo indicada. Na matriz A , cada elemento aij é igual a 1 (um ) se i votou em j ; e é igual a 0 (zero) caso contrário.
Responda justificando:
Qual o candidato mais votado?
Quantos candidatos votaram em si mesmo?
7) Com intuito de aumentar o número de gols de um torneio , foi instituída a seguinte regra :
“O número de pontos que cada time ganha por partida é igual ao quadrado do número de gols marcados pelo time nessas partida.”
 Nesse torneio, composto por apenas três times, cada um joga apenas uma vez contra os outros dois. Ao final , será declarada campeã a equipe obtiver o maior número de pontos. Caso duas ou mais equipes cheguem ao final com o mesmo número de pontos, serão considerados os seguintes critérios de desempate: Saldo de gols, maior número de gols pró e sorteio.
 Os times foram numerados da seguinte maneira: Vasco(1), Flamengo(2) e Botafogo(3). 
 Os resultados dos jogos foram tabulados na matriz quadrada A, de ordem 3, a seguir indicada, onde é igual ao número de gols que a equipe marcou na equipe . Se houver gol contra, este será creditado para a outra equipe.
 
Observando a matriz, complete os quadros a seguir:
a)
	Jogo
	Resultado
	Vasco X Flamengo
	
	Vasco X Botafogo
	
	Flamengo X Botafogo
	
b)
	Time
	Nº de pontos ao fim do torneio
	Colocação
	Botafogo
	
	
	Flamengo
	
	
	Vasco
	
	
8) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo.
As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida:
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo.
Cada elemento nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 (representa o elemento da linha i, coluna j de cada matriz).
Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da matriz S).
Responda justificando:
a) Quem bebeu mais chope no fim de semana?
b)Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?
9)A temperatura corporal de um paciente foi medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante cinco dias. Cada elemento da matriz abaixo corresponde à temperatura observada no instante i do dia j.
Determine:
a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura;
b)a temperatura média do paciente no terceiro dia de observação.
10)Em uma cidade há três revistas de noticiário semanal: 1;2 e 3. Na matriz a seguir, o elemento representa a probabilidade de um assinante trocar a assinatura da revista para a revista , na época da renovação.
 
Responda justificando:
a) Qual a probabilidade de os assinantes da revista 2 trocarem de revista quando forem renovar a assinatura?
b) Quais os leitores menos satisfeitos com a revista que estão assinando?
11) Considere as matrizes A = , B= e C = [ 2 1 3 ].
A adição da transposta de A com o produto de B por C é:
Impossível de se efetuar , pois não existe o produto de B por C.
Impossível de se efetuar , pois as matrizes são todas de tipos diferentes.
Impossível de se efetuar , pois não existe a soma da transposta de A com o produto de B por C.
possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 2 x3.
Possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 3 x 2.
12)Na área de informática , as operações com matrizes aparecem com grande freqüência . Um programador , fazendo levantamento dos dados de uma pesquisa , utilizou as matrizes
A= ; B = ; C = A x B.
O elemento c23 da matriz C é igual a :
18 b) 15 c) 14 d) 12 e) 9
13) Sendo dadas as matrizes A = , B= e C = , pede-se:
A+B-C
2A
-3B +C
A-5B
3 A -2B +3C
At –B
(A+B)t
AB-BA
AC-BC
A-1
B-1
(AB)-1
A-1B-1
B-1 A-1
A matriz X tal que AX = BC.
A matriz X tal que BX=AC
A matriz X tal AX= BC-1.
A matriz X tal que (AC)-1X = B
A matriz X tal que XA=AC-1
A matriz X tal que 2X= 3A -2B-1.
Determinantes
A cada matriz quadrada associamos um número real que chamaremos de determinante.
Determinante da matriz de ordem 1.
Seja a matriz de ordem 1, dada por A =(a11) , chamamos de determinante de A e representamos por .
Determinante de A det A = a11
Ex: A = (-6) det A = -6
ii) Determinante de uma matriz de ordem 2.
O determinante de uma matriz de ordem 2 é igual ao produto dos elementos que formam a diagonal principal menos o produto dos elementos que formam a diagonal secundária.
Considere a matriz A = , temos que det A = 24-10=14
iii)Determinante de uma matriz de ordem 3
Numa matriz de orem 3 usamos uma regra denominada regra (ou lei) de Sarrus.
Para acharmos o determinante de uma matriz de ordem 3 , repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna e efetuamos o produtos dos elementos da diagonal principal e paralelas a ela com três elementos conservando o sinal e o produto dos elementos da diagonal secundária e paralelas a ela trocando o sinal,Fazemos a soma desses produtos.
Exemplo:
Ache o determinante de A = 
Det A = 0+64+30-0+48+6=148
Propriedades dos determinantes:
1)det A = det (At)
2) O determinante de uma matriz quadrada será nulo se:
a) Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna ) forem iguais a zero.
b) Se duas filas paralelas forem iguais ou proporcionais.
3) Se trocarmos as posições de duas filas paralelas o valor do determinante de uma matriz quadrada fica multiplicado por (-1).
4) Se multiplicarmos uma fila de uma matriz quadrada A por um número real k, o valor do determinante fica multiplicado por k.
5)Teorema de Binet: “ Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem , temos que det (AB) = det (A).det(B)”
Obs: det (A.A-1) = det A. det A-1
Como A.A-1 =In e det In = 1
det A-1 = 1/ det A
obs: Só possui matriz inversa a matriz cujo determinante é diferente de zero.
Teorema de Jacobi- “ Se multiplicarmos todos os elementos de uma fila de uma matriz quadrada A por um mesmo número e somarmos o resultado aos elementos correspondentes de outra fila paralela formando uma matriz B , termos que detA = det B.
Exercícios:
Ache os determinantes abaixo
a) b) 
Dada a matriz A = , calcule:
det A b) det At
Aplicando a regra de Sarrus , determine:
a) b) 
Determine o valor de x :
 =6
b) =-10
c) = 0
O determinante da matriz , onde 2 a = ex + e-x e 2 b = ex – e-x , é igual a:
a)1 b) -1 c) ex d) e-x e) zero
Sendo A = e B = , calcule o determinante da matriz X=At +B-1.
Resolva as equações no conjunto dos números reais.
a)= 0
=
Calcule o valor de x e y , sabendo que = 0 e =2.
Uma matriz A é quadrada de ordem 4 e seu determinante vale 3. Calcule o valor do determinante da matriz 2A
Se det M = , calcule det 3M , sabendo que M é matriz quadrada de ordem 2.
Dadas as matrizes quadradas A e B , de ordem n , determine o que se pede.
det (AB) , sabendo que det A = 5 e det B = -4 ;
det A , sabendo que det B = - e det(AB) = 4;
det A-1 , sabendo que det A = 2;
det (5A) , sabendo que n = 2 e det A = 3;
det ( 4B) , sabendo que n = 3 e det B = 2.
Calcule o determinante da matriz inversa de A nos seguintes casos:
A =
A =
A =
 13)Dadas as matrizes A= e B = , calcule:
a) det At b) det A-1 c) det B-1 d) det Bt
14)Sabendo que A e B são matrizes quadradas de mesma ordem e que det A = 5 e det AB =60, calcule det B.
15) Sendo A uma matriz quadrada tal que det A= 5 , calcule det A2.
16) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n taisque AB=In , onde In é matriz de ordem n. Se det A = 5 , então calcule detB.
17) Sejam A = e B matrizes quadradas de ordem 3 tais que AB =. Encontre det B.
18)A é uma matriz quadrada de ordem 3 , tal que det A0 e A2 – 2A = 0 , onde 0 é a matriz nula de ordem 3. Calcule det A.
19) A e B são matrizes quadradas de ordem n tais que det A = 5 e AB =In. Obtenha det B.
20)Se a matriz M =. Os valores de K que tornam nulo o determinante da matriz M-KI , sendo I a matriz identidade , são:
a)0 e 4 b) 4 e 5 c) -3 e 4 e) 0 e 5