Lista DerivadasParciais

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Lista de exercícios - Matemática I
Professor: Lucas Cavalcanti
1. Encontre e esboce o domínio da função
(a) f (x , y) = ln(9− x2−9y2)
(b) f (x , y) =
p
y+
Æ
25− x2− y2
(c) f (x , y) =
p
y− x2
1− x2
2. Encontre as primeiras derivadas parciais da função:
(a) f (x , y) =
x
y
(b) f (x , y) =
ax+ b y
cx+d y
(c) w= ln(x+2y+3z)
(d) g(u, v) =
�
u2v− v3�5
3. Encontre todas as segunda derivadas parciais da função:
(a) f (x , y) = x3 y5+2x4 y
(b) f (x , y) =
Æ
x2+ y2
4. Verifique que a conclusão do teorema fx y = f y x para
(a) u= x4 y3− y4
5. Encontre a derivada parcial indicada:
(a) f (x , y) = x4 y2− x3 y; fx x x e fx y x
(b) f (x , y) = ex yz
2
; fx yz
6. Use a regra da cadeia para encontrar dz/d t ou dw/d t
(a) w= xe y/z, x = t2, y = 1− t, z= 1+2t
1
(b) z=
Æ
1+ x2+ y2, x = 5t4, y = 1/t
7. Usando o diagrama da aula para escrever a regra da cadeia para os casos:
(a) u= f (x , y) onde x = x(r,s, t), y = y(r,s, t)
(b) w= f (r,s, t) onde r = r(x , y), s= s(x , y), t = t(x , y)
8. Use a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais indicadas
(a) z= x4+ x2 y, x = s+2t−u, y = stu2; ∂ z
∂ s
,
∂ z
∂ t
,
∂ z
∂ u
onde s= 4, t = 2,
u= 1
9. Encontre o gradiente de f , calcule o gradiente no ponto P, encontre a
taxa de variação de f em P na direção do vetor −→u .
(a) f (x , y) = x2 yz− x yz3, P(2,−1,1), −→u =
­
0,
4
5
,−3
5
·
10. Encontre a derivada direcional da função no ponto dado na direção do
vetor −→v .
(a) g(p,q) = p4− p2q3, (2,1), −→v = iˆ+3 jˆ
(b) f (x , y,z) = xe y + yez+zex , (0,0,0), −→v = 〈5,1,−2〉
11. Encontre a derivada direcional de f (x , y) =
p
x y em P(2,8) na direção
de Q(5,4)
12. Encontre a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em
que ocorre.
(a) f (x , y) = 4y
p
x , (4,1)
(b) f (x , y,z) =
Æ
x2+ y2+z2
13. Encontre os valores de máximo e mínimo locais e pontos de sela da
função.
(a) f (x , y) = x2+ x y+ y2+ y
(b) f (x , y) = (x− y)(1− x y)
2
(c) f (x , y) =
�
x2+ y2
�
e y
2−x2
14. Encontre o valores de máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.
(a) f (x , y) = x2+ y2−2x D é a região triangula fecha com vértices
(2,0), (0,2) e (0,−2).
(b) f (x , y) = x2+ y2+ x2 y+4, D= {(x , y) | |x | ≤ 1, |y| ≤ 1}.
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