L1(1)

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Universidade Federal do Piauí
Departamento de Matemática
Prof. José Francisco de Oliveira
Cálculo III
LISTA 1
1. Calcule, caso exista, limn→∞ an, sendo an igual a
(a) 1 + 12 +
1
4 + · · · 12n
(b) n
√
n3
(c)
√
n+ c−√n, c > 0
(d) 11.2 +
1
2.3 +
1
3.4 + · · · 1n(n+1)
2. Seja A =
{
1
n | n ∈ N
}
. Mostre que inf A = 0.
3. Mostre que se limn→∞ an = 0 e (bn) é uma sequência limitada, então limn→∞ anbn = 0. Calcule
lim
n→∞
cosnpi
n2
.
.
4. Prove que, para todo a > 0, a série
∞∑
n=0
an
n!
é convergente. Conclua que lim
n→∞
an
n!
= 0.
5. Mostre que, se an ≥ 0 para todo n ∈ N e
∑∞
n=1 an é convergente, então
∑∞
n=1
√
an
n é convergente.
Sugestão: Use ab ≤ 12(a2 + b2).
6. Mostre que
∑∞
n=1
1
n
√
2n
é convergente.
7. Determine x > 0 para que a série seja convergente.
(a)
∞∑
n=1
xn
n
(b)
∞∑
n=1
xn
n2
(c)
∞∑
n=1
xn
2n
(d)
∞∑
n=1
xn
nn
8. O que é uma sequência de números reais? O que significa dizer que a sequência an converge para um
número L? Dê exemplos de sequências convergentes e divergentes.
9. Liste os cinco primeiros termos de cada sequência abaixo.
(a) an =
(−1)n
n!
(b) a1 = 1 e an+1 = 11+an
(c) {2.4.6. · · · .(2n)}
(d) a1 = 3 e an+1 = 2an − 1
10. Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. No caso convergente, calcule seu limite.
(a) an = e
1
n , onde e representa o número de Euler e ∼= 2, 71 · · · .
(b) an = nsen 1n .
(c) an = ln
2 n
n
(d) an =
(
1 + 2n
)n, lembre-se que limm→∞ (1 + 1m)m = e.
11. Calcule o limite da sequência definida por a1 =
√
2 e an+1 =
√
2 + an.
12. Considere a sequência {an}, definida por a1 = 1 e an+1 = 1+ 1an . Mostre que lim an =
√
2. Isto fornece
uma expansão em frações contínuas √
2 = 1 +
1
2 + 12+···
13. O que é uma série? Explique o que significa dizer que a série
∑∞
n=1 an é convergente. Dê exemplos de
séries convergentes e divergentes.
14. Seja an = n2n+1 .
(a) Determine se {an} converge.
(b) Determine se a série
∑∞
n=1 an é convergente.
15. Use o teste integral e determine para quais valores de p a série
∑∞
n=2
1
n(lnn)p .
16. Investigue a convergência das séries abaixo.
(a)
∑∞
n=1
1
n2+n+1
(b)
∑∞
n=1
5+3n
2n
(c)
∑∞
n=1
n2
n2+3
(d)
∑∞
n=1
(−1)n√
n
17. Diga qual a diferença entre convergência absoluta e convergência condicional de séries. Dê exemplos
de cada caso.
18. Use os testes da razão ou da raiz para investigar a convergência das séries abaixo.
(a)
∑∞
n=1
n2
3n
(b)
∑∞
n=1 e
−nn!
(c)
∑∞
n=1
(−10)n
n!
(d)
∑∞
n=1
n!
nn
19. Encontre todos os valores de x ∈ R para os quais a série ∑∞n=0 xnn! converge.
20. Defina série de potências e dê exemplos. Diga o que é o raio de convergência e intervalos de convergência
de uma série de potências.
21. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo.
(a)
∑∞
n=0 n
nxn
(b)
∑∞
n=0
xn
n3n
(c)
∑∞
n=0
(−1)n2nx2n−1
22n(n!)2
(d)
∑∞
n=0(−1)n x
2n
(2n!)
22. Calcule o valor do limite lim
n→∞
pin
n!
.
23. Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências
abaixo
(a)
∞∑
n=0
2nxn
(b)
∞∑
n=0
nxn
n+ 1
(c)
∞∑
n=0
xn
nn
(d)
∞∑
n=0
n
4n
(x+ 1)n
24. Determine uma representação em série de potências para cada função abaixo e ache o intervalo de
convergência.
(a) f(x) =
2
x− 3
(b) f(x) =
x
2x2 + 1
(c) f(x) =
1 + x
1− x
(d) f(x) = ln
1 + x
1− x
25. Use série de potências para calcular a integral indefinida∫
ln
(
1 + x
1− x
)
dx.
Indique o intervalo de convergência.
26. Determine o domínio da função
f(x) =
∞∑
n=0
(−1)nx2n
(2n)!
,
ou seja, o intervalo de convergência da série de potências que define f . Verifique que f satisfaz a
equação
f ′′(x) + f(x) = 0.
27. Determine a série de Taylor da função f(x) = x2 em torno de x = 1 e sua série de Maclaurin. Indique
o raio de convergência de ambas. A soma de Taylor de f em torno de x = 1 coincide com f?
28. Mostre que cos(x2) =
∞∑
n=0
(−1)n x
4n
(2n)!
. Use isso para provar a identidade
−1 =
∞∑
n=0
(−1)n pi
2n
(2n)!
= 1− pi
2
2
+
pi4
24
− · · · .