Lista 1 (1)

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Universidade Federal do Piauí - UFPI
Departamento de Matemática-CCN
Prof. Dr. José Francisco de Oliveira
Cálculo Diferencial e Integral II
Lista 1
1. Diga o que é uma função de duas variáveis reais com valores reais. Dê exemplos de situações
práticas nas quais aparecem funções de várias variáveis.
2. Considere a função f dada por z = 1
x2+y2
.
(a) Determine o domínio e a imagem.
(b) Desenhe as curvas de nível.
(c) Esboce o gráfico. ( Use ajuda computacional se necessário)
3. Considere a função de três variáveis f(x, y, z) = x. Desenhe a superfície de nível de f
correspondente ao nível c = 1.
4. Calcule, caso exista.
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x sen
1
x2 + y2
(b) lim
(x,y)→(0,0)
xy
y − x3
5. Considere o seguinte fato: Suponha
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = a e lim
u→a g(u) = L,
onde g não é definida em a e Imf ⊂ Dg. Então
lim
(x,y)→(x0,y0)
g(f(x, y)) = lim
u→a g(u).
Use esse fato para calcular lim(x,y)→(0,0)
sen(x2+y2)
x2+y2
.
6. Determine os pontos de continuidade.
(a) f(x, y) = ln x−y
x2+y2
(b) f(x, y) =
{
sen(x2+y2)
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
1 se (x, y) = (0, 0)
7. A função f(x, y) =
{
xy2
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
é contínua em (0, 0)? Será que f é
diferenciável em R2?
8. Seja f : R → R uma função diferenciável e considere g(x, y, z) = f(r) onde r =
‖(x, y, z)‖. Verifique que
x
∂g
∂x
+ y
∂g
∂y
+ z
∂g
∂z
= rf ′(r).
9. Determine a equação geral do plano tangente à superfície no ponto especificado.
(a) z = 4x2 − y2 + 2y e P = (−1, 2, 4)
(b) z = y lnx e P = (1, 4, 0)
(c) z = y cos (x− y) e P = (2, 2, 2)
10. Determine um plano que seja paralelo ao plano z = 2x + 3y e tangente ao gráfico de
f(x, y) = x2 + xy.
11. Determine a equação do plano tangente à superfície (elipsóide) de equação
x2
4
+
y2
9
+ z2 = 1
no ponto (0, 0, 1).
12. Considere f : R2 → R definida por f(x, y) =
{ xy
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0).
(a) Verifique que fx(0, 0) e fy(0, 0) existem, mas f não é diferenciável em (0, 0).
(b) Explique porque fx e fy não são contínuas em (0, 0).
13. A energia consumida por uma resistor elétrico é dado P = V
2
R watts. Se V = 100 volts
e R = 10 ohms, calcule o valor aproximado da variação ∆P em P quando V decresce 0, 2
volt e R aumenta de 0, 01 ohm.
14. A altura de um cone é h = 20 cm e o raio da base r = 12 cm. Calcule o valor aproximado
para a variação ∆V no volume quando a altura h aumenta 2 mm e r decresce 1 mm.
15. Suponha que y = y(x) seja diferenciável e dada implicitamente pela equação
x = F (x2 + y, y2)
onde F (u, v) é suposta diferenciável. Expresse dydx em termo de x, y e das derivadas parciais
∂F
∂u e
∂F
∂v de F .
16. A voltagem V em um circuito elétrico simples decresce lentamente à medida que a pilha se
descarrega. A resistência R aumenta lentamente com o aumento do calor do resistor. Use
a Lei de Ohm, V = IR, para achar como a corrente I está variando no momento em que
R = 400 Ω, I = 0, 08A, a taxa de variação da voltagem é de−0, 01V/s e a resistência varia
0, 03Ω/s.
17. A pressão P (em quilopascals), o volume V (em litros) e a temperatura T (kelvins) de um
mol de gás ideal estão relacionado por meio da fórmula PV = 8, 31T . Encontre a taxa de
variação do volume quando a pressão é de 20kPa e a temperatura é de 320K sabendo que a
pressão é aumentada à taxa de 0, 05kPa/s e a temperatura é elevada à taxa de 0, 15K/s.
18. A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro
da bola, que tomamos como a origem. A temperatura no ponto (1, 2, 2) é de 120◦.
(a) Determina a taxa de variação de T em (1, 2, 2) e em direção ao ponto (2, 1, 3).
(b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direção de maior crescimento na temperatura
é dada por um vetor que aponta para a origem.
19. Considere v = (1, 1) e f(x, y) = x2 + y2. Calcule a taxa de variação de f no ponto (2, 2)
e na direção de v. A direção de v é a de maior crescimento?
20. Determine o ponto do plano x+ 2y − z = 4 que se encontra mais próximo da origem.
21. Determine os extremantes de f(x, y) = xy no compactoA =
{
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}.
22. Determine os valores máximos e mínimos da função f(x, y, x) = x2 + y2 + z2 sujeita à
restrição x4 + y4 + z4 = 1.
23. Método de Lagrange para com dois vínculos: Para determinar os valores extremos
de uma função f(x, y, z) sujeita a duas restrições (vínculos) da forma g(x, y, z) = k e h(x, y, z) =
c, observamos que essas restrições determinam uma curva C e que, se (x0, y0, z0) é um
ponto extremo para f em C, temos ∇f ortogonal a C em P . Além disso, ∇g e ∇h são
também ortogonais a C nesse ponto. Segue que o vetor ∇f(x0, y0, z0) pertence ao plano
gerado por ∇g(x0, y0, z0) e ∇h(x0, y0, z0). Dessa forma existem λ e µ números reais tais
que
∇f(x0, y0, z0) = λ∇g(x0, y0, z0) + µ∇h(x0, y0, z0).
Em resumo devemos encontrar x, y, z, λ e µ satisfazendo as equações:
fx = λgx + µhx
fy = λgy + µhy
fz = λgz + µhz
g(x, y, z) = k
h(x, y, z) = c.
Se E é a elipse dada pela interseção do plano x+y+ 2z = 2 com parabolóide z = x2 +y2.
Use esse método determinar os pontos dessa elipse que estão mais próximos e mais longe
da origem.