Analise Combinatoria e Probabilidade - 2012

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ANÁLISE COMBINATÓRIA 
FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL 
 
Se n é um número natural, define-se fatorial 
de n (símbolo: n!) da seguinte forma: 
 
Portanto, para n ≥ 2, n! é o produto de todos 
os naturais de 1 até n. 
 
Exemplos 
 
 3! = 3 . 2 . 1 = 6 
 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5 040 
 
3 3 2 1
3
0 1 1 1
 
 
! . .
! !
 
 
Se n é natural positivo, vale a seguinte 
propriedade: 
 
Exemplos 
 
 
 
Essa propriedade é muito útil na simplificação 
de expressões ou na resolução de equações 
envolvendo fatorial. 
 
Exemplos 
1) Simplificar as expressões 
8! 12!
e
6! 11! 10!
 
 
 
2) Resolver a equação n! = 72 (n – 2)! 
 
 
QUESTÕES PROPOSTAS 
 
1. Simplifique as expressões 
 
 
 
 
 
 
2. Considere a equação (n – 3)! = 6 (n – 4)!. 
 
a) Encontre o domínio da variável n. 
b) Resolva a equação. 
 
3. Resolva as equações 
 
 
 
 
 
 
PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE 
CONTAGEM 
 
Os elementos de um conjunto finito podem 
ser agrupados de várias formas, de acordo 
com os critérios utilizados na formação dos 
agrupamentos. 
O objetivo do cálculo combinatório é 
determinar de quantas maneiras diferentes 
podem ser formados os vários tipos de 
agrupamentos. Os processos de contagem se 
baseiam em dois princípios fundamentais, 
que passaremos a estudar agora. 
 
PRINCÍPIO ADITIVO DE CONTAGEM 
 
Suponhamos que, para se deslocar de 
casa até o trabalho, uma pessoa tenha as 
seguintes alternativas: 
 um de seus dois automóveis (A1 e A2); 
 uma das três linhas de ônibus que fazem 
o trajeto (O1 , O2 ou O3); 
 o metrô (M). 
 
De quantas formas diferentes ela poderia 
escolher seu transporte? 
Temos três hipóteses quanto ao tipo de 
transporte. Para cada uma delas, há um certo 
número de opções. Veja: 
 
 
 
2 
 
Portanto, a pessoa pode ir de casa até o 
trabalho de 2 + 3 + 1 = 6 formas diferentes (A1, 
A2, O1, O2, O3, M). 
O problema anterior ilustra o princípio 
aditivo de contagem. 
 
 
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO DE CONTAGEM 
 
Suponhamos que um estudante pretenda 
escolher um conjunto tênis-calça-camiseta para ir 
à escola e que ele tenha, como alternativas, 
 
 dois pares de tênis (T1 e T2); 
 quatro calças jeans (J1 , J2 , J3 e J4); 
 três camisetas (C1 , C2 e C3). 
 
De quantas formas diferentes ele pode fazer 
sua escolha? 
Nesse caso, a escolha se compõe de três 
etapas. Para cada uma delas, há um certo 
número de opções, como mostra o esquema 
abaixo. 
 
 
 
Há uma diferença importante entre esse 
problema e o anterior. 
No primeiro, tínhamos três hipóteses, que se 
excluíam mutuamente. Ao escolher o metrô, por 
exemplo, ficavam excluídas as demais hipóteses 
(automóvel ou ônibus). 
No último problema, a escolha envolve três 
etapas: escolha do tênis, escolha do jeans e 
escolha da camiseta. 
Para cada tênis que o estudante possa vir a 
escolher, ele tem quatro opções para escolha do 
jeans; para cada conjunto tênis-jeans que tenha 
escolhido, ele tem três opções para a escolha da 
camiseta. 
O esquema abaixo, chamado árvore das 
possibilidades, mostra todos os resultados 
possíveis para o último problema. 
 
Obtivemos um total de 24 possíveis 
resultados, ou seja, há 24 maneiras diferentes 
de o estudante escolher um conjunto tênis-
jeans-camiseta. 
Note que esse resultado é justamente o 
produto obtido multiplicando-se, entre si, os 
valores relativos ao número de opções em 
cada uma das três etapas: 
2 . 4 . 3 = 24 
 
Esse princípio é válido, também, para 
casos em que o evento contenha três ou mais 
etapas. 
Analisando comparativamente os dois 
problemas, podemos notar um detalhe muito 
simples que pode nos ajudar a diferenciar o 
princípio aditivo do multiplicativo. 
 A conjunção ou liga duas hipóteses e 
está associada à operação adição. 
 A conjunção e liga duas etapas e está 
associada à operação multiplicação. 
 
Muitos problemas práticos podem ser 
resolvidos utilizando-se esses dois princípios. 
 
 
3 
 
Exemplos 
 
1) A cantina do meu colégio vende 4 tipos de 
salgados e 5 marcas de refrigerantes. De 
quantas formas distintas posso escolher meu 
lanche (um salgado e um refrigerante)? 
 
2) A diretoria de uma empresa é constituída de 6 
homens e 4 mulheres. Entre seus membros, 
pretende-se escolher um presidente e um vice-
presidente, com a condição de que um deles 
deva ser necessariamente homem. De quantas 
formas diferentes essa escolha pode ser feita? 
 
3) No atual sistema, as placas de automóveis 
são constituídas de 3 letras, escolhidas entre 26, 
e 4 algarismos, escolhidos entre 10. Uma cidade 
brasileira convencionou que as placas de seus 
veículos deveriam obedecer às seguintes 
condições: 
 todas começariam por vogal; 
 não haveria letra repetida; 
 o primeiro algarismo deveria ser maior que 4. 
Nessas condições, quantos veículos podem ser 
emplacados nessa cidade? 
 
QUESTÕES PROPOSTAS 
 
4. Uma fábrica produz 3 modelos de automóveis, 
com 5 opções de cores. Cada um deles está 
disponível em 2 versões: duas portas e quatro 
portas. Quantas opções diferentes têm um 
comprador para adquirir um automóvel, levando 
em conta essas três variáveis? 
 
5. Normalmente, o uniforme de um clube de 
futebol é constituído por uma camisa, um calção 
e uma meia. Um determinado clube possui 3 
opções de camisa, 2 opções de calção e 2 
opções de meia. Quantas partidas ele pode jogar 
sem repetir o uniforme? 
 
6. Uma lanchonete vende 5 tipos de salgados, 3 
qualidades de sanduíches, 2 tipos de sucos e 4 
marcas de refrigerante. De quantas formas 
diferentes um cliente da lanchonete pode 
escolher 
 
a) um comestível? 
b) uma bebida? 
c) um salgado e um refrigerante? 
d) um sanduíche e uma bebida? 
e) um comestível e uma bebida? 
 
7. No atual sistema brasileiro de emplacamento 
de veículos usam-se letras e números. Um 
exemplo é a placa: 
 
Observe que cada placa é formada por 3 
letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto, 
seguidas de 4 algarismos, escolhidos entre os 
10 disponíveis. Supondo que haja placas com 
quatro zeros (0000), pergunta-se: 
 
a) Quantas placas diferentes podem ser 
obtidas? 
b) Quantas têm as 3 letras diferentes e os 4 
algarismos diferentes? 
c) Quantas só apresentam vogais e 
algarismos 
pares? 
d) Quantas contêm 3 vogais diferentes e o 
primeiro e o último algarismos iguais? 
 
8. Uma igreja tem 4 portas de entrada. De 
quantas formas diferentes um fiel pode entrar 
e sair da igreja, usando portas diferentes? 
 
9. Uma prova é constituída de 6 questões de 
múltipla escolha, com 4 opções cada uma. De 
quantas formas diferentes pode ser montado o 
gabarito dessa prova? 
 
10. Utilizando apenas os algarismos 1, 2, 4, 6 
e 8, formam-se todos os números de 4 
algarismos. 
a) Qual o total de números obtidos? 
b) Quantos não têm algarismo repetido? 
c) Quantos são pares? 
d) Quantos são maiores que 6 000 e não têm 
algarismo repetido? 
 
AGRUPAMENTOS ORDENADOS E 
AGRUPAMENTOS NÃO-ORDENADOS 
 
Quando agrupamos, segundo certos 
critérios, os elementos de um conjunto finito, 
pode ser importante ou não a ordem em que 
eles são agrupados. 
Agrupamentos em que é importante a 
ordem em que os elementos são dispostos 
são chamados agrupamentos ordenados ( 
arranjos ou Permutação). 
Agrupamentos em que não é importante 
a ordem em que os elementos são 
dispostos são chamados agrupamentos 
não-ordenados (c0mbinações simples) 
 
PERMUTAÇÕES SIMPLES 
 
Suponhamos que A seja um conjunto finito 
com n elementos distintos. 
Chama-se permutação simples dos n 
elementos cada um dos agrupamentos 
 
4 
 
ordenados que podem ser formados contendo, 
sem repetição, os n elementos de A. 
Podemos afirmar, de formaequivalente, que 
as permutações simples de n elementos 
distintos são todas as possíveis ordenações 
desses n elementos. 
O número de permutações simples de n 
elementos é representado por Pn 
 
 
CÁLCULO DO NÚMERO DE PERMUTAÇÕES 
SIMPLES 
 
A formação de todas as permutações simples 
de n elementos envolve n etapas, que 
representaremos e interpretaremos assim: 
 
 
Do princípio multiplicativo de contagem, 
concluímos que 
 
Pn = n(n – 1)(n – 2) . ... . 3 . 2 . 1 ou 
 
 
 
Exemplos 
 
1) Resolver a equação Pn+1 = 8 . Pn 
 
2) Suponha que 7 pessoas sejam dispostas em 
fila, de todas as formas possíveis. 
 
a) De quantas formas distintas isso pode ser 
feito? 
b) Em quantas dessas disposições os indivíduos 
A e B aparecem nas extremidades? 
 
3) Chama-se anagrama de uma palavra toda 
ordenação possível de suas letras, ainda que a 
“palavra” obtida não tenha sentido. 
Considerando-se todos os anagramas da palavra 
VESTIBULAR, perguntase: 
 
a) Qual o total desses anagramas? 
b) Em quantos deles as letras E, S, T aparecem 
juntas, nesta ordem? 
c) Em quantos deles as letras E, S, T aparecem 
juntas, em qualquer ordem? 
 
 
 
 
QUESTÕES PROPOSTAS 
 
11. Um automóvel tem 5 lugares, incluindo o 
do motorista. De quantas formas diferentes 5 
pessoas podem ocupar os lugares do 
automóvel, 
 
a) se todas sabem dirigir? 
b) se apenas uma sabe dirigir? 
c) se apenas três sabem dirigir? 
 
12. De quantas maneiras podemos dispor em 
uma prateleira, lado a lado, 5 livros de 
Matemática e 4 livros de Biologia, de modo 
que 
 
a) livros de mesma matéria fiquem juntos? 
b) livros de mesma matéria nunca fiquem 
juntos? 
c) o primeiro livro seja de Matemática e o 
último, de Biologia? 
d) os dois livros das extremidades sejam de 
matérias diferentes? 
 
13. Considere todos os anagramas da palavra 
ALBERTO. 
 
a) Quantos são os anagramas? 
b) Quantos começam por B? 
c) Quantos terminam em consoante? 
d) Quantos começam por B, E e T, nesta 
ordem? 
e) Quantos terminam com as letras B, E e L, 
em qualquer ordem? 
f) Quantos têm as letras R e T juntas, em 
qualquer ordem? 
 
14. Considere todos os números naturais 
obtidos permutando-se, entre si, os 
algarismos do número 235 149. 
 
a) Qual é o total de números obtidos? 
b) Quantos são pares? 
c) Em quantos os algarismos 2 e 4 aparecem 
juntos? 
d) Em quantos os algarismos 2 e 4 não 
aparecem juntos? 
e) Quantos são maiores que 500 000? 
f) Qual será a posição de 439 521, se todos os 
números forem colocados em ordem 
crescente? 
 
ARRANJOS SIMPLES 
 
Suponhamos que A seja um conjunto finito 
com n elementos distintos. Chama-se arranjo 
simples dos n elementos, tomados p a p 
(p ≤ n), cada um dos agrupamentos 
 
5 
 
ordenados que podem ser formados contendo, 
sem repetição, p elementos de A. A formação 
de cada arranjo simples dos n elementos de A, 
tomados p a p, se compõe de duas etapas: 
 
 escolher p entre os n elementos de A; 
 ordenar os p elementos escolhidos. 
 
O número de arranjos simples de n elementos, 
tomados p a p, é representado por An, p. 
 
 
CÁLCULO DO NÚMERO DE ARRANJOS 
SIMPLES 
 
A formação de todos os arranjos simples de n 
elementos, tomados p a p, envolve p etapas, que 
representaremos assim: 
 
 
Pelo princípio multiplicativo de contagem, 
concluímos: 
 
No cálculo de An, p, é importante perceber, 
concretamente, os significados de n e p. 
Observe: 
 
 
Exemplos 
 
1) Utilizando-se apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 
7 e 9, formam-se todos os números possíveis de 
4 algarismos distintos. 
 
a) Qual o total desses números? 
b) Quantos são ímpares? 
c) Quantos são menores que 6 740? 
 
O FATORIAL E O NÚMERO DE ARRANJOS 
SIMPLES 
O número de arranjos simples pode ser 
obtido utilizando- se o conceito de fatorial. 
Observe: 
 
 
De maneira geral, 
 
Essa relação pode ser útil, principalmente 
na resolução de equações em que a incógnita 
é a variável p. 
 
Exemplo 
 
1) Resolver a equação A7, m + 1 = 21 . A6, m – 1 
 
QUESTÕES PROPOSTAS 
 
15. Calcule os seguintes números. 
 
 
 
 
16. Resolva as equações abaixo. 
 
 
 
 
17. Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 5, 
7 e 8, sem repetição, quantos números 
diferentes podemos formar 
 
a) de 3 algarismos? 
b) de 6 algarismos? 
c) de 4 algarismos, sem que apareça o 
algarismo 7? 
d) de 4 algarismos, aparecendo, 
obrigatoriamente, o algarismo 8? 
e) de 3 algarismos, maiores que 400? 
f) de 4 algarismos, sendo os dois extremos 
algarismos pares? 
g) menores que 700? 
 
18. Considere todos os números de 4 
algarismos distintos que podem ser formados, 
utilizando apenas os algarismos 0, 1, 2, 4, 5, 7 
e 9. 
 
a) Qual é o total desses números? 
b) Quantos não contêm o zero? 
c) Quantos contêm o zero? 
d) Quantos são múltiplos de 5? 
 
19. Um concurso tem 8 candidatos. De 
quantas formas diferentes podem-se definir os 
3 primeiros colocados? 
20. Uma empresa tem 8 diretores. Entre eles, 
devem ser escolhidos um presidente, um 
 
6 
 
diretor-administrativo e um diretor-financeiro. De 
quantas formas diferentes podem ser definidos 
esses cargos, sabendo-se que um deles deve 
ser ocupado pelo Dr. Fernando? 
 
21. Considere todos os números de 3 algarismos 
(distintos ou não) que podem ser formados, 
utilizando apenas os algarismos 2, 3, 5, 6 e 8. 
 
a) Qual é o total desses números? 
b) Quantos não têm nenhum algarismo repetido? 
c) Quantos têm pelo menos um algarismo 
repetido? 
 
22. Utilizando apenas os algarismos 1 e 2, 
a) quantos números de 5 algarismos podemos 
formar? 
b) quantos números pares de 4 algarismos 
podemos formar? 
 
COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
Suponhamos que A seja um conjunto finito 
com n elementos distintos. 
Chama-se combinação simples dos n 
elementos, tomados p a p (p ≤ n), cada um dos 
agrupamentos nãoordenados (subconjuntos) 
que podem ser formados contendo, sem 
repetição, p elementos de A. 
Para obter uma combinação simples de n 
elementos de A, tomados p a p, basta escolher 
p entre os n elementos de A. 
O número de combinações simples de n 
elementos, tomados p a p, é representado por 
Cn, p. 
 
 
Exemplos 
 
1) As combinações simples dos 5 elementos do 
conjunto A = {a, b, c, d, e}, tomados 2 a 2, são os 
seguintes subconjuntos de A: 
{a, b} {a, c} {a, d} {a, e} 
{b, c} {b, d} {b, e} 
{c, d} {c, e} 
{d, e} 
 
É importante insistir no fato de que, na 
formação de combinações simples 
(subconjuntos), o que importa é apenas quais 
foram os elementos escolhidos e não em que 
ordem foi feita a escolha. 
 
CÁLCULO DO NÚMERO DE 
COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
O cálculo do número de combinações 
simples está relacionado ao cálculo do 
número de arranjos simples e de permutações 
simples. 
 
Exemplos: 
 
1) A partir de um grupo de 6 deputados e 4 
senadores, de quantas formas distintas pode-
se formar uma comissão 
 
a) de 4 pessoas? 
b) de 5 pessoas, sendo 3 deputados e 2 
senadores? 
c) de 4 pessoas, com pelo menos um 
senador? 
d) de 3 pessoas, sendo um presidente, um 
vice-presidente e um relator? 
 
2) Na figura, temos 7 pontos sobre uma reta r 
e 4 pontos sobre outra reta s, paralela a r. 
Quantos triângulos podem ser construídos 
com vértices nesses pontos? 
 
3) De quantas formas diferentes 10 pessoas 
podem ser divididas em dois grupos, sendo 
um de 4 pessoas e o outro de 6 pessoas? 
 
Observe que, escolhidas 4 pessoas entre as 
10 disponíveis (combinações simples), ficam 
formados os dois grupos: um com as 4 
pessoas escolhidas e o outro com as 6 
pessoas que sobraram. Portanto, o número 
de maneiras distintas como os dois grupos 
podem ser formados é 210 
 
 
É interessante observar que, se 
formássemos primeiro o grupo de 6 
pessoas, o resultado final seriao mesmo. O 
número de maneiras distintas seria, no caso, 
 
7 
 
 
 
O último exemplo ilustra uma importante 
propriedade relativa às combinações simples. Se 
um conjunto possui n elementos, ao se formar 
uma combinação com p desses elementos, fica 
automaticamente formada uma combinação com 
os n – p elementos restantes. Como 
conseqüência, 
 
 
Exemplos 
 
 C12, 4 = C12, 12 – 4 = C12, 8 
 
12,4 12,8C C
 

 
 
 
O FATORIAL E O NÚMERO DE 
COMBINAÇÕES SIMPLES 
Sabemos que 
n,p
n!
A
(n p)!


 e que 
n,p
n,p
A
C
p!

 
 
Podemos concluir que 
 
 
Essa relação é útil, principalmente na 
resolução de equações em que a incógnita é a 
variável p. 
 
Exemplo 
 
1) Resolver a equação 7C6, p = 5C7, p + 1. 
 
COMO DISTINGUIR PERMUTAÇÕES, 
ARRANJOS E COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
A identificação do tipo de agrupamento 
simples é um dos aspectos importantes na 
resolução de problemas de cálculo combinatório. 
A partir das definições vistas neste capítulo, 
podemos estabelecer uma regra geral que facilita 
essa identificação. 
Suponhamos um conjunto A com n 
elementos distintos, a partir do qual se formam 
agrupamentos com p elementos (p ≤ n). Veja o 
esquema. 
 
Pode-se utilizar, também, outro critério 
interessante. Ao formar um agrupamento 
simples, costumam-se executar, basicamente, 
dois tipos de ações: escolher e ordenar. 
Temos, no caso, a seguinte lei geral: 
 
 
 
QUESTÕES PROPOSTAS 
 
23. De um grupo de 8 pessoas, de quantas 
formas diferentes pode-se formar uma 
comissão 
 
a) de 3 pessoas? 
b) de 4 pessoas, de forma que o indivíduo A 
seja um dos escolhidos? 
c) de 5 pessoas, de forma que não seja 
escolhido o indivíduo A? 
 
24. Um hospital tem 4 médicos e 6 
enfermeiros. De quantas formas pode-se 
formar uma comissão 
a) de 8 pessoas? 
b) de 5 pessoas, sendo 3 médicos? 
c) de 4 pessoas, com pelo menos 1 médico? 
d) de 5 pessoas, com no máximo 2 médicos? 
 
25. Sobre uma circunferência, marcam-se oito 
pontos distintos. Usando esses pontos como 
vértices, determine 
 
a) o número de triângulos que podem ser 
construídos. 
b) o número de quadriláteros convexos que 
podem ser construídos. 
 
26. Numa festa, há 15 pessoas. Se cada uma 
delas cumprimentar todas as demais, qual 
será o número total de cumprimentos? 
4 + 8 = 12 
 
8 
 
 
27. Uma pessoa doou 6 brinquedos para uma 
creche, que acolhe 10 crianças. De quantas 
formas distintas podem ser distribuídos todos 
esses brinquedos (no máximo um para cada 
criança), 
 
a) se eles forem todos iguais? 
b) se eles forem todos diferentes? 
28. Um partido político em formação tem apenas 
12 filiados. A partir desse grupo, pretende-se 
constituir um diretório formado por 5 pessoas, 
das quais devem ser escolhidos um presidente e 
um vice-presidente. De quantas formas 
diferentes isso pode ser feito? 
 
29. Quantos são os subconjuntos do conjunto 
A = {a, b, c, d, e}? 
 
30. Qual é o número de diagonais de um 
polígono convexo de 8 lados? 
 
PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS 
REPETIDOS 
 
Suponhamos o seguinte problema: quantos 
são os anagramas da palavra ITATIAIA? 
Observe que a palavra tem 8 letras. Se elas 
fossem diferentes, haveria, no total, P8 = 8! 
= 40 320 anagramas. 
O fato de algumas letras serem repetidas 
reduzirá, é claro, o número de anagramas, 
porque a troca de posição de duas letras iguais 
não produz um novo anagrama. 
Para resolver o problema, podemos imaginar 
que temos 8 posições que devem ser ocupadas 
pelas 8 letras. 
 
 
Acompanhe uma possível seqüência de 
passos para se formar um anagrama da palavra 
ITATIAIA. Um dos anagramas é formado como 
exemplo. 
 
 Escolher, entre as 8 posições disponíveis, 3 
posições para as 3 letras I. 
 
 
Isso pode ser feito de C8, 3 = 56 modos 
 
 Escolher, entre as 5 posições restantes, 2 
posições para as 2 letras T. 
Isso pode ser feito de C5, 2 = 10 modos 
 
Observe que, agora, existe apenas uma 
opção para as 3 letras A: as três posições que 
sobraram. 
 
 
Portanto, de acordo com o princípio 
multiplicativo, o número total de anagramas da 
palavra ITATIAIA é 
 
 
A palavra ITATIAIA tem 8 letras, sendo que 
 
 a letra I aparece 3 vezes; 
 a letra T aparece 2 vezes; 
 a letra A aparece 3 vezes. 
 
O número de anagramas é, no caso, o 
total de permutações de 8 elementos, sendo 
que um deles aparece 3 vezes, outro 2 vezes 
e o último, 3 vezes. Simbolicamente, o 
número de permutações é, no caso, 
representado por 
3,2,3
8
P
. 
Na resolução do problema, concluímos 
que o número de anagramas da palavra 
ITATIAIA é 
3,2,3
8
8!
P
3!2!3!

 
Esse resultado ilustra uma regra geral 
para o cálculo do número de permutações 
com elementos repetidos. 
Observe que, no numerador, temos o 
fatorial do número total de elementos a serem 
permutados. 
No denominador, temos, multiplicados, os 
fatoriais dos números que indicam quantas 
vezes cada elemento aparece. 
De maneira geral, 
 
Exemplo 
 
1) Quantos são os anagramas da palavra 
MATEMÁTICA? 
 
2) Permutando-se, entre si, os algarismos do 
número 323.352.553, quantos números pares 
são obtidos? 
 
QUESTÕES COMPLEMENTARES 
 
31. (UFBA) Numa eleição para a diretoria de 
um clube concorrem 3 candidatos a diretor, 2 
a vice-diretor, 3 a primeiro secretário e 4 a 
 
9 
 
tesoureiro. Qual é o número de resultados 
possíveis da eleição? 
 
32. (Fuvest-SP) Num programa transmitido 
diariamente, uma emissora de rádio toca sempre 
as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma 
ordem. Para esgotar todas as possíveis 
seqüências dessas músicas, serão necessários 
aproximadamente 
 
a) 100 dias. b) 10 anos. 
c) 100 anos. d) 10 séculos. 
e) 100 séculos. 
 
33. (UFRGS) De um ponto A a um ponto B, 
existem 5 caminhos; de B a um terceiro ponto C, 
existem 6 caminhos e de C a um quarto ponto D, 
existem também 6 caminhos. Quantos caminhos 
existem para se ir do ponto A ao ponto D, 
passando por B e C? 
 
34. (FGV-SP) Antes de 1990, as placas de 
automóveis eram constituídas de duas letras 
seguidas de quatro algarismos. Quantas placas 
diferentes podiam ser formadas, naquela época, 
com as vogais do alfabeto e algarismos pares? 
 
35. (UFCE) Quantos números inteiros 
compreendidos entre 30 000 e 65 000 podemos 
formar, se utilizarmos somente os algarismos 2, 
3, 4, 6 e 7, de modo que não figurem algarismos 
repetidos? 
 
36. (UFSC) Quantos números pares de cinco 
algarismos podemos escrever apenas com os 
dígitos 1, 1, 2, 2 e 3, respeitadas as repetições 
apresentadas? 
 
37. (FESP) Um vendedor de livros tem oito livros 
de assuntos distintos para distribuir a três 
professores A, B e C. De quantos modos poderá 
fazer a distribuição, dando três livros ao 
professor A, quatro livros ao professor B e um 
livro ao professor C? 
 
38. (UFGO) De um grupo de dez professores, 
dos quais exatamente cinco são de Matemática, 
deve ser escolhida uma comissão de quatro 
professores para elaborarem uma determinada 
prova de seleção. De quantas formas isso pode 
ser feito, se na comissão deve haver pelo menos 
um professor de Matemática? 
39. (FCChagas-BA) Considerem-se todos os 
anagramas da palavra MORENA. Quantos deles 
têm as vogais juntas? 
 
40. (Sta. Casa-SP) Existem 4 estradas de 
rodagem e 3 estradas de ferro entre as cidade A 
e B. Quantos são os diferentes percursos para 
se fazer a viagem de ida e volta entre A e B, 
utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, 
em qualquer ordem? 
 
41. (Cesesp-PE) Num acidente 
automobilístico, após se ouvirem várias 
testemunhas, concluiu-se que o motorista 
culpado do acidente dirigia um veículo cuja 
placa era constituída de duas vogais distintas 
e quatro algarismos diferentes, sendo que oalgarismo das unidades era o dígito 2. Qual é 
o número de veículos suspeitos? 
42. (IMS-SP) Numa reunião de congregação, 
em que cada professor cumprimentou todos 
os seus colegas, registraram-se 210 apertos 
de mão. Qual era o número de professores 
presentes à reunião? 
 
43. (VUNESP-SP) Considere, num plano, 10 
pontos distintos entre si. Suponha que 4 
desses pontos pertençam a uma mesma reta 
e que dois quaisquer dos demais não estejam 
alinhados com nenhum dos pontos restantes. 
Calcule o número de retas determinadas por 
esses 10 pontos. 
 
44. (U.F. Pelotas-RS) Em um campeonato de 
damas, houve disputa entre 11 jogadores. 
Cada participante jogou com os demais 2 
partidas, uma em cada turno do campeonato. 
No final, 2 jogadores ficaram empatados. 
Houve o jogo de desempate. Quantas partidas 
foram disputadas? 
 
45. (UNIFOR-CE) Uma agência de 
publicidade necessita de 2 rapazes e 3 
moças para fazer um comercial para TV. 
Dispondo de 4 rapazes e 5 moças, quantas 
opções tem a agência para formar o grupo 
necessário? 
 
46. (UNIFOR-CE) O segredo de um certo 
cofre é constituído de 2 letras distintas 
(escolhidas entre as 23 do alfabeto) e 3 
algarismos distintos (escolhidos de 0 a 9). 
Sabe-se que a letra da esquerda é uma vogal 
e que o algarismo da direita é divisível por 5. 
Qual é o número máximo de tentativas que 
podem ser feitas para abrir esse cofre? 
 
47. (Osec-SP) Uma faculdade mantém 8 
cursos diferentes. No vestibular, os candidatos 
podem fazer opção por 3 cursos, 
determinando-os por ordem de preferência. 
Qual o número possível de formas para optar? 
 
 
10 
 
48. (UFMG) Numa cidade A, os números de 
telefones têm 7 algarismos, sendo que os três 
primeiros constituem o prefixo da cidade. Os 
telefones que terminam em 10 são reservados 
para as farmácias e os que têm os dois últimos 
algarismos iguais, para os médicos e hospitais. 
Qual é a quantidade dos demais telefones 
disponíveis na cidade A? 
 
49. (UFBA) Num determinado país, todo 
radioamador possui um prefixo formado por 5 
símbolos assim dispostos: um par de letras, um 
algarismo diferente de zero, outro par de letras; 
por exemplo PY-6-CF. O primeiro par de letras é 
sempre PY, PT ou PV; o segundo par só pode 
ser constituído das 10 primeiras letras do 
alfabeto, não havendo letras repetidas. Qual é o 
número de prefixos disponíveis nesse país? 
 
50. (UNEB) Uma urna contém 10 bolas: 6 pretas 
iguais e 4 brancas iguais. Quantas são as 
maneiras diferentes de se extrair, uma a uma, as 
10 bolas da urna? 
 
51. (Consart) De quantas maneiras três casais 
podem ocupar 6 cadeiras dispostas em fila, de tal 
forma que as duas das extremidades sejam 
ocupadas por homens? 
 
52. (FGV-SP) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 
5 e 6. De quantos modos podemos permutá-los 
de modo que os algarismos ímpares fiquem 
sempre em ordem crescente? 
 
53. (UFRGS) Em uma classe de doze alunos, um 
grupo de cinco será selecionado para uma 
viagem. De quantas maneiras distintas esse 
grupo poderá ser formado, sabendo que, entre 
os doze alunos, dois são irmãos e só poderão 
viajar se estiverem juntos? 
 
54. (Fuvest-SP) Calcule quantos números 
múltiplos de 3, de quatro algarismos distintos, 
podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9. 
 
55. Determine o número de quadras ordenadas 
(x, y, z, t) de números naturais que satisfazem a 
equação x + y + z + t = 8. 
 
56. (UnB) Seis pessoas – A, B, C, D, E e F – 
ficam em pé, uma ao lado da outra, para uma 
fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a 
lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado 
da outra, qual é o número de possibilidades 
distintas para as 6 pessoas se disporem? 
 
 
 
Gabarito 
1. a) 11 b) 380 c)60 
d)(n + 1)n e) 
6 n
42

 f) n + 1 
 
2. a) n natural; n ≥ 4 b) n = 9 
 
3. a) 0 ou 4 b) 5 c) 1 
 
4. 30 
 
5. 12 
 
6. a) 8 b) 6 c) 20 
d) 18 e) 48 
 
7. a) 175 760 000 b) 78 624 000 
c) 78 125 d) 60 000 
 
8. 12 
 
9. 4 096 
 
10. a) 625 b) 120 c) 500 
d) 48 
 
11. a) 120 b) 24 c) 72 
 
12. a) 5 760 b) 2 880 c) 100 800 
d) 201 600 
 
13. a) 5 040 b) 720 c) 2 880 
d) 24 e) 144 f) 1 440 
 
14. a) 720 b) 240 c) 240 
d) 480 e) 240 f) 432º 
 
15. a) 210 b) 8 
 
16. a) 8 b) 5 c) 4 
 
17. a) 120 b) 720 c) 120 
d) 240 e) 80 f) 24 
g) 116 
 
18. a) 720 b) 360 c) 360 
d) 220 
 
19. 336 
 
20. 126 
 
21. a) 125 b) 60 c) 65 
 
22. a) 32 b) 8 
23. a) 56 b) 35 c) 21 
 
24. a) 45 b) 60 c) 195 
 
11 
 
d) 186 
 
25. a) 56 b) 70 
 
26. 105 
 
27. a) 210 b) 151 200 
 
28. 15 840 
 
29. 32 
 
30. 20 
 
31. 72 
 
32. e 
 
33. 180 
 
34. 15 625 
 
35. 66 
 
36. 12 
 
37. 280 
 
38. 205 
 
39. 144 
 
40. 24 
 
41. 10 080 
 
42. 21 
 
43. 40 
 
44. 111 
 
45. 60 
 
46. 15 840 
 
47. 336 
 
48. 8 900 
 
49. 2 430 
 
50. 210 
 
51. 144 
 
52. 120 
 
53. 372 
 
54. 72 
 
55. 165 
 
56. 144 
 
NOÇÕES DE PROBABILIDADE 
 
EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS 
 
Muitos experimentos, quando repetidos 
várias vezes nas mesmas condições, podem 
apresentar resultados diferentes, a princípio 
imprevisíveis. 
Eles são chamados experimentos 
aleatórios. 
 
Exemplos 
 
 O lançamento de uma moeda é um 
experimento aleatório. Isso significa que, ao 
se lançar uma moeda, não se pode prever, 
antecipadamente, se o resultado será cara 
ou coroa. 
 O sorteio das seis dezenas da SENA 
também é um experimento aleatório. De 
fato, não se pode prever, a princípio, quais 
serão as seis dezenas sorteadas. 
 
A teoria das probabilidades desenvolve 
formas de se estabelecer a possibilidade (ou 
a chance) de ocorrência de possíveis 
resultados de um experimento aleatório. 
 
ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO 
 
Num experimento aleatório, o conjunto de 
todos os resultados possíveis é chamado de 
espaço amostral. 
No nosso estudo, o espaço amostral de 
um experimento será representado por E. 
Conforme veremos adiante, será importante, 
no nosso estudo, o número de elementos do 
espaço amostral, que representaremos por 
n(E). 
 
Exemplos 
 
 No lançamento de uma moeda, o espaço 
amostral é o conjunto E = {cara, coroa}, logo 
n(E) = 2. 
 No lançamento de um dado, o espaço 
amostral é o conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 
logo n(E) = 6. 
 
 
12 
 
Em muitos casos, a determinação do número 
de elementos de um espaço amostral exigirá a 
aplicação dos conceitos da análise combinatória. 
 
Exemplos 
 
 No experimento “escolher 3 pessoas de um 
conjunto de 8 pessoas” , o espaço amostral é o 
número de combinações simples das 8 
pessoas, tomadas 3 a 3, ou seja, 
 
 No experimento “escrever uma seqüência de 
três vogais” , o espaço amostral é o conjunto 
de todas as formas de se formar tal sequência. 
Podemos utilizar o princípio multiplicativo de 
contagem. Como são cinco vogais, o número 
de elementos do espaço amostral é 
 
n(E) = 5 . 5 . 5 = 125 
 
Ao analisarmos certo experimento aleatório, 
podemos estar interessados em que ocorram 
determinados resultados. 
Ao conjunto dos resultados desejados em 
um experimento aleatório damos o nome de 
evento. Portanto, um evento é qualquer 
subconjunto do espaço amostral do experimento. 
Cada experimento aleatório tem um único 
espaço amostral. Podem-se definir nele, no 
entanto, vários eventos, dependendo dos 
resultados desejados. Será importante, 
principalmente, o número de elementos que 
compõem cada evento. Representaremos o 
número de elementos de um evento A por n(A). 
 
Exemplos 
 
 No lançamento de um dado, sabemos que o 
espaço amostral é E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  n(E) 
= 6 
 
Nele, podemos considerar, por exemplo, os 
seguintes eventos: 
 
 resultado par: A = {2, 4, 6} e, no caso, n(A) = 
3; 
 resultado maiorque 4: B = {5, 6}, sendo n(B) = 
2. 
 No lançamento de uma moeda duas vezes, o 
espaço amostral é o conjunto de pares 
ordenados E = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), 
(Co, Co)}, em que Ca simboliza cara e Co 
indica coroa. 
Veja alguns possíveis eventos contidos nesse 
espaço amostral: 
 cara no 1o lançamento: X = {(Ca, Ca), (Ca, 
Co)} e, portanto, n(X) = 2; 
 resultados iguais nos dois lançamentos: Y 
= {(Ca, Ca), (Co, Co)}, sendo n(Y) = 2 
 
 De um conjunto com 5 pessoas, considere o 
experimento “formar uma comissão de 3 
pessoas” e o evento “uma das três pessoas 
escolhidas ser o indivíduo A”. Encontrar o 
número de elementos do espaço amostral e 
do evento. 
 O número de elementos do espaço 
amostral é o total de combinações 
simples das 5 pessoas, tomadas três a 
três. Portanto, 
 
 O número de elementos do evento 
considerado é o total de combinações 
simples das outras 4 pessoas, tomadas 
duas a duas, levando-se em conta que 
o indivíduo A já teria sido escolhido. 
Logo, chamando esse evento de A, 
 
QUESTÕES PROPOSTAS 
 
1. Identifique, entre os experimentos abaixo, 
os que são aleatórios. 
 
a) Sorteio de um número em uma rifa. 
b) Resultado da adição de dois números 
dados. 
c) Retirada de três cartas de um baralho, com 
os olhos vendados. 
d) Retirada de 20 bolas num Bingo. 
e) Escolha dos três alunos mais altos em sua 
classe. 
 
2. Considere o experimento aleatório “sortear 
ao acaso um número natural de 1 a 15”. 
Determine o número de elementos do 
 
a) espaço amostral; 
b) evento “obter resultado ímpar”; 
c) evento “obter resultado primo”; 
d) evento “obter resultado múltiplo de 3”; 
e) evento “obter resultado menor que 20”; 
f) evento “obter resultado maior que 20”. 
 
3. Considere o experimento aleatório “lançar 
um dado duas vezes”. Determine o número de 
elementos do 
a) espaço amostral; 
b) evento “obter 4 no primeiro lançamento”; 
c) evento “obter números iguais nos dois 
lançamentos”; 
 
13 
 
d) evento “obter, nos dois lançamentos, números 
cujo produto é 6”; 
e) evento “obter, nos dois lançamentos, números 
cuja soma é menor que 13”; 
f) evento “obter, nos dois lançamentos, números 
cuja diferença é 6”. 
 
4. Com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 7, considere o 
experimento aleatório “formar, ao acaso, um 
número de 5 algarismos distintos”. Determine o 
número de elementos do 
 
a) espaço amostral; 
b) evento “formar um número par”; 
c) evento “formar um número começando por 4 e 
terminando em 5”; 
d) evento “formar um número divisível por 3”; 
e) evento “formar um número maior que 80 
000”. 
 
5. São dados 5 pontos não-alinhados 3 a 3 e 
situados num mesmo plano, como na figura. 
 
Considere o experimento aleatório “traçar uma 
reta ligando dois desses pontos”. Determine o 
número de elementos do 
 
a) espaço amostral; 
b) evento “a reta passar por B”; 
c) evento “a reta não passar nem por A nem por 
E”; 
d) evento “a reta passar por três desses pontos”. 
 
6. Cinco atletas A, B, C, D e E, igualmente 
competentes, vão disputar a prova dos cem 
metros rasos. Considere o experimento “apostar 
quem serão, ordenadamente, o primeiro, o 
segundo e o terceiro colocado na prova”. 
Determine o número de elementos do 
 
a) espaço amostral; 
b) evento “apostar em C como primeiro 
colocado”; 
c) evento “apostar que as três primeiras posições 
serão ocupadas por B, C e D, não 
necessariamente nesta ordem”. 
 
PROBABILIDADE DE UM EVENTO 
 
Vamos nos ocupar, nesse nosso estudo, de 
experimentos cujo espaço amostral é 
equiprovável. Dizemos que o espaço amostral 
de um experimento aleatório é equiprovável 
quando todos os seus elementos (resultados 
possíveis) têm a mesma chance de ocorrer. 
Em um espaço amostral equiprovável, a 
probabilidade de ocorrer um evento é, por 
definição, a razão entre o número de 
elementos do evento e o número de 
elementos do espaço amostral. A 
probabilidade de ocorrer um evento A é 
indicada por p(A). 
Portanto, se E é o espaço amostral de um 
experimento aleatório e A é um evento contido 
em E, a probabilidade de ocorrer A é dada por 
 
A probabilidade pode ser expressa por 
uma fração ou por uma taxa percentual. 
 
Exemplos 
 
1) No lançamento de um dado, determinar a 
probabilidade de se obter um número ímpar. 
 
2) (UFSC – Adaptação) Uma urna tem 10 
bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. Se 
retirarmos uma bola da urna, qual é a 
probabilidade de não obtermos a bola número 
7? 
 
3) No lançamento de um dado, determinar a 
probabilidade de se obter 
 
a) o número 3; 
b) um número primo; 
c) um número menor que 7; 
d) um número maior que 8. 
 
OBSERVAÇÃO 
 
 Quando um evento é igual ao espaço 
amostral, como nesse caso (item c), 
dizemos que ele é um evento certo. A 
probabilidade de ocorrer um evento certo é 
sempre igual a 1 ou 100%. 
 
 Quando um evento é vazio, como nesse 
último caso (item d), dizemos que ele é um 
evento impossível. A probabilidade de 
ocorrer um evento impossível é sempre 
igual a 0. 
 
4) Escrevem-se todos os números de seis 
algarismos distintos, utilizando-se os 
algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 9. Escolhendo-se um 
desses números ao acaso, determinar a 
probabilidade de ele ser 
 
14 
 
 
a) menor que 2 000; 
b) ímpar; 
c) múltiplo de 3. 
 
INTERVALO DE VARIAÇÃO DA 
PROBABILIDADE 
 
Pode-se observar, a partir da definição, que a 
probabilidade de ocorrer um evento varia de um 
mínimo igual a zero (evento impossível) até um 
máximo igual a 1 (evento certo). 
Portanto, qualquer que seja o evento A 
contido num espaço amostral E, 
 
 
EVENTO COMPLEMENTAR 
 
Se A é um evento contido num espaço 
amostral E, chama-se evento complementar de 
A, e se indica por A , o evento definido por 
A
. 
 
 
 
 
Na figura 1, o retângulo representa o espaço 
amostral E e o círculo, um evento A, contido em 
E. A região sombreada representa 
A
, o evento 
complementar de A. 
 
Exemplo 
 
 No lançamento de um dado, E = {1, 2, 3, 4, 5, 
6}. O evento “obter resultado par” é A = {2, 4, 
6}. O evento complementar é “obter resultado 
ímpar”: 
A
= E – A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 4, 6} 
= {1, 3, 5} É fácil observar que o evento 
A
 é a 
negação do evento A. 
 
No nosso exemplo, o evento A é “obter 
resultado par” e o evento 
A
 é “não obter 
resultado” par. 
A soma das probabilidades de um evento A e 
do evento
A
 complementar é igual a 1. 
Em símbolos: 
 
 
Exemplo 
 
 Se a probabilidade de ocorrer um evento A 
é 35%, então a probabilidade de não ocorrer 
o evento A é 100% – 35% = 65%. 
 
QUESTÕES PROPOSTAS 
 
7. Numa rifa, foram vendidos bilhetes 
numerados de 1 a 50. Qual é a probabilidade 
de o número sorteado ser 
 
a) par? b) múltiplo de 6? 
c) maior que 30? 
 
8. Retirando-se aleatoriamente uma carta de 
um baralho com 52 cartas, qual é a 
probabilidade de a carta retirada ser 
 
a) de espadas? b) um rei? 
c) uma dama de ouros? 
 
9. Retirou-se uma carta de um baralho de 52 
cartas e obteve-se uma dama. Tirando-se em 
seguida uma segunda carta, qual é a 
probabilidade de ela 
 
a) ser outra dama? 
b) não ser outra dama? 
 
Relacione os resultados dos itens a e b. 
 
10. Lança-se um dado honesto duas vezes. 
Qual é a probabilidade de a soma dos pontos 
obtidos nos dois lançamentos ser menor que 
6? 
 
11. Numa brincadeira, seu colega vai jogar um 
dado não-viciado duas vezes e quer que você 
acerte a soma dos pontos nos dois 
lançamentos. Qual é o melhor palpite? 
 
13. Num cassino, uma roleta tem apenas os 
números naturais de 0 a 7. Quando a roleta 
cai no zero, a aposta é da casa. O proprietário 
do cassino criou um mecanismo que faz com 
que o zero tenha três vezes mais chances de 
ser sorteado que cada um dos demais 
números. Aose girar a roleta, qual é a 
probabilidade de se obter zero? 
14. Considere todos os números de 5 
algarismos distintos que podem ser formados, 
utilizando-se os algarismos 1, 2, 4, 5 e 9. 
Sorteando-se aleatoriamente um desses 
números, qual é a probabilidade de ele ser 
 
a) par? b) múltiplo de 3? 
c) múltiplo de 5? d) múltiplo de 9? 
p(A) + p(
A
 ) = 1= 100% ou p(
A
) = 1 – p(A) 
A
= E – 
A 
 
15 
 
 
15. De um grupo de 3 professores de 
matemática, 2 de física e 4 de química, 
escolhem-se aleatoriamente 5 para participarem 
de uma reunião. Qual é a probabilidade de, entre 
os professores escolhidos, 
 
a) não haver nenhum de física? 
b) figurarem todos os de matemática? 
c) todos serem da mesma matéria? 
 
16. Suponha que 5 pessoas de alturas diferentes 
se coloquem aleatoriamente em fila. Qual é a 
probabilidade de 
 
a) a mais alta ser a primeira e a mais baixa ser a 
última da fila? 
b) a mais alta e a mais baixa ficarem juntas? 
c) as pessoas ficarem em ordem crescente ou 
decrescente de altura? 
 
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS 
EVENTOS 
 
Da teoria de conjuntos, sabemos que, quanto 
ao número de elementos dos conjuntos A, B, A  
B e A ∩ B, vale a seguinte relação: 
 
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
 
Considerando-se que A e B sejam dois 
eventos contidos num espaço amostral E, vamos 
dividir cada termo daquela igualdade por n(E). 
Obtemos 
 
Podemos concluir, então, que 
 
 
 
OBSERVAÇÂO: Se dois eventos A e B não têm 
nenhum elemento comum, ou seja, A ∩ B 
= , dizemos que eles são eventos mutuamente 
exclusivos. 
No caso, é claro que: 
 
 
Exemplos 
 
1) Jogando-se um dado, qual é a probabilidade 
de se obter número par ou número maior que 2? 
 
2) Sorteia-se, ao acaso, um número natural de 
1 a 25. Qual é a probabilidade de o número 
sorteado terminar em 8 ou ser maior que 20? 
 
QUESTÕES PROPOSTAS 
 
17. No lançamento de um dado, qual é a 
probabilidade de se obter resultado 
 
a) menor que 3 ou maior que 4? 
b) ímpar ou primo? 
 
18. Retirando-se, ao acaso, uma carta de um 
baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade 
de que ela seja: 
 
a) uma carta de paus? 
b) um ás? 
c) uma carta de paus ou um ás? 
d) uma carta de ouros ou de copas? 
 
19. Sorteia-se, ao acaso, um número natural 
de 1 a 20. Qual é a probabilidade de o número 
sorteado: 
 
a) ser maior que 10? 
b) ser primo? 
c) não ser primo? 
d) ser primo ou maior que 10? 
e) ser maior que 15 ou múltiplo de 7? 
 
20. Numa caixa, há 40 bolas. Algumas são 
brancas; as outras pretas. Algumas são leves; 
as outras pesadas. Esses atributos obedecem 
ao quadro abaixo: 
 
Retirando-se, ao acaso, uma bola dessa 
caixa, qual é a probabilidade de ela ser: 
 
a) branca? 
b) pesada? 
c) branca e pesada? 
d) preta ou leve? 
 
21. Numa festa, há 10 homens e 15 mulheres. 
Dos 13 fumantes que estão na festa, 8 são 
homens. Escolhendo-se aleatoriamente uma 
das pessoas da festa para fazer um discurso, 
qual é a probabilidade de ela ser: 
a) fumante? 
b) não-fumante? 
c) mulher? 
d) homem fumante? 
e) mulher ou fumante? 
 
 
16 
 
22. Formam-se todos os anagramas da palavra 
ALUNO. Escolhendo-se um deles ao acaso, qual 
é a probabilidade de o anagrama escolhido: 
 
a) começar por vogal? 
b) terminar em consoante? 
c) começar por vogal e terminar em consoante? 
d) começar por vogal ou terminar em consoante? 
 
23. De um grupo de 5 corintianos, 4 
flamenguistas e 3 gremistas, forma-se ao acaso 
uma comissão de 4 pessoas. Qual é a 
probabilidade de haver, na comissão formada, 
 
a) exatamente 2 corintianos? 
b) exatamente 2 flamenguistas? 
c) exatamente 2 corintianos e 2 flamenguistas? 
d) exatamente 2 corintianos ou 2 flamenguistas? 
 
PROBABILIDADE DE EVENTOS SUCESSIVOS 
 
Muitas vezes, estamos interessados em 
analisar a probabilidade de ocorrerem, 
sucessivamente, dois ou mais eventos. 
Se os possíveis resultados de um deles têm 
influência sobre os possíveis resultados dos 
demais, dizemos que eles são eventos 
dependentes. Se essa influência não ocorre, 
dizemos que eles são eventos independentes. 
Se dois eventos A e B são independentes, a 
probabilidade de que eles ocorram 
sucessivamente é o produto das probabilidades 
de cada um. 
 
 
 
 
Exemplos 
 
1) Joga-se um dado e lança-se uma moeda. Qual 
é a probabilidade de se obter número par no 
dado e coroa na moeda? 
 
2) Uma urna contém 3 bolas pretas e 9 bolas 
brancas. Retira-se da urna, aleatoriamente, uma 
bola e anota-se sua cor. Recoloca-se essa bola 
na urna e, em seguida, retira-se novamente uma 
bola e anota-se sua cor. Qual é a probabilidade 
de a primeira bola ser preta e a segunda ser 
branca? 
 
3) Numa urna, há 3 bolas pretas, 2 bolas brancas 
e 5 bolas vermelhas. Retiram-se da urna, 
sucessivamente, duas bolas, sem reposição. 
Qual é a probabilidade de que a primeira seja 
preta e a segunda vermelha? 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL: 
 
Antes da realização de um experimento, é 
necessário que já tenha alguma informação 
sobre o evento que se deseja observar. Nesse 
caso, o espaço amostral se modifica e o 
evento tem a sua probabilidade de ocorrência 
alterada. 
Chama-se “probabilidade condicional de 
um evento B” a probabilidade de esse evento 
ocorrer considerando-se que já ocorreu o 
evento A. Que indicaremos como: 
 
P (B/A)  Lê-se: probabilidade de B dado que 
ocorreu A 
 
Exemplos 
 
1) No lançamento de dois dados, sabe-se que 
obteve nas faces voltadas para cima a soma 
dos pontos igual a 6. Qual a probabilidade de 
que essas faces apresentem o mesmo 
número de pontos? 
 
2) No lançamento de dois dados, sabe-se que 
o produto dos números de pontos obtidos nas 
faces voltadas para cima é ímpar. Qual a 
probabilidade de que pelo menos um desses 
números seja o 5? 
 
 Assim podemos definir a probabilidade 
condicional como: 
 
   n(B)BP A n(A)
 ou 
   P(A B)BP A P(A)
 
 
RESUMINDO: “A probabilidade de ocorrer o 
evento B, sabendo que já ocorreu o evento A 
é a razão entre o que queremos que aconteça 
pelo que já aconteceu”. 
 
QUESTÕES PROPOSTAS 
 
24. Um concurso consiste em sortear-se uma 
letra e, em seguida, um algarismo de 0 a 9. 
Sabendo-se que o alfabeto tem 23 letras, qual 
é a probabilidade de serem sorteados uma 
vogal e um algarismo par? 
 
25. (Mauá – SP) Lançando-se 
simultaneamente um dado e uma moeda, 
determine a probabilidade de se obter 3 ou 5 
no dado e cara na moeda. 
 
Note que o fato de sabermos que 
ocorreu um “número par” faz com que o 
espaço amostral fique reduzido a esse 
evento, ou seja: ocorrer um número par. 
 
17 
 
26. Dez indivíduos, formando cinco casais, 
participam de um sorteio de dois prêmios. O 
primeiro prêmio é sorteado entre os homens; o 
segundo, entre as mulheres. Qual é a 
probabilidade de os dois contemplados serem o 
casal André e Marina? 
 
27. Estatísticas mostram que um determinado 
jogador tem 70% de probabilidade de marcar gol, 
ao bater um pênalti. Se ele bater três pênaltis 
seguidos, qual é a probabilidade de ele marcar 
gol em todos eles? 
 
28. Sabe-se que a probabilidade de que um filho 
de um determinado casal nasça com olhos 
verdes é 1/3. Suponha que o casal tenha dois 
filhos. Qual é a probabilidade de 
 
a) os dois terem olhos verdes? 
b) nenhum deles ter olhos verdes? 
 
29. Um baralho incompleto tem 20 cartas, das 
quais 4 são ases. Retira-se uma carta do 
baralho. Em seguida, essa carta é reposta e 
retira-se novamente uma carta. Qual é a 
probabilidade de 
 
a) ambas as cartas serem ases? 
b) apenas a primeira carta ser um ás? 
c) nenhuma das duas cartas ser um ás? 
 
30. Resolva o problema anterior, supondo que a 
primeira carta retirada não seja reposta, antes da 
retirada da segunda. 
31. São sorteadostrês números naturais distintos 
de 1 a 10. Qual é a probabilidade de o primeiro 
ser par, o segundo ímpar e o terceiro ímpar? 
 
32. Um teste de múltipla escolha tem quatro 
alternativas, sendo apenas uma delas 
verdadeira. O professor pergunta ao aluno qual é 
ela. Como ele não sabe, começa a responder ao 
acaso, até descobrir a correta. Qual é a 
probabilidade de que o aluno acerte 
a) na primeira tentativa? 
b) na segunda tentativa? 
c) na terceira tentativa? 
 
QUESTÕES COMPLEMENTARES 
 
33. (UEL – PR) No lançamento simultâneo de 
dois dados distintos e não-viciados, qual é a 
probabilidade de se obter a soma de pontos igual 
a 7? 
 
a) 1/6 b) 5/36 
c) 1/12 d) 1/18 
e) 1/36 
 
34. (Mauá – SP) Uma urna contém 10 bolas 
brancas, 8 vermelhas e 6 pretas, todas iguais 
e indistinguíveis ao tato. Retirando-se uma 
bola ao acaso, qual é a probabilidade de ela 
não ser preta? 
 
35. (Fuvest – SP) Escolhem-se ao acaso dois 
números distintos de 1 a 20. Qual é a 
probabilidade de que o produto dos números 
escolhidos seja ímpar? 
 
a) 9/38 b) 1/2 
c) 9/20 d) 1/4 
e) 8/2 
 
36. Você faz parte de um grupo de 10 
pessoas, sendo que 3 dessas pessoas 
receberão um mesmo prêmio. Calcule a 
probabilidade de que você seja um dos 
premiados. 
 
37. (Faap – SP) Qual é a probabilidade de se 
obter um número divisível por 5, na escolha 
ao acaso de uma das permutações dos 
algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? 
 
a) 5 b) 1/5 
c) 1 d) 4 
e) ¼ 
 
 
38. (Cesgranrio) A probabilidade de um 
número inteiro n, 1 ≤ n ≤ 999, ser um múltiplo 
de 9 é 
 
a) 1/999 b) 1/10 
c) 2/9 d) 1/3 
e) 1/9 
 
39. (Osec – SP) Se certo casal tem três filhos, 
então a probabilidade de os três filhos serem 
do mesmo sexo, dado que o primeiro é 
homem, vale 
 
a) 1/3 b) 1/2 
c) 1/5 d) 1/4 
e) 1/6 
 
40. (Fasp – SP) Com os dígitos 1, 4, 7, 8, 9, 
são formados números de três algarismos 
distintos. Um deles é escolhido ao acaso. 
Qual é a probabilidade de ele ser ímpar? 
 
a) 2/5 b) 1/2 
c) 10/6 d) 3/5 
e) n. d. a. 
 
 
18 
 
41. (Fasp – SP) Um colégio tem 400 alunos. 
Destes,100 estudam matemática, 80 estudam 
física, 100 estudam química, 20 estudam 
matemática, física e química, 30 estudam 
matemática e física, 30 estudam química e física 
e 50 estudam somente química. A probabilidade 
de um aluno escolhido ao acaso estudar 
matemática e química é 
 
a) 1/10 b) 1/8 
c) 2/5 d) 5/3 
 
42. (Sta. Casa – SP) Num grupo de 60 pessoas, 
10 são torcedoras do São Paulo, 5 são 
torcedoras do Palmeiras e as demais são 
torcedoras do Corinthians. Escolhido ao acaso 
um elemento do grupo, a probabilidade de ele 
ser torcedor do São Paulo ou do Palmeiras é 
 
a) 0,4 b) 0,25 
c) 0,5 d) 0,3 
e) n.d.a. 
 
43. (UFMS) Atendendo a um anúncio, algumas 
pessoas candidataram-se a uma única vaga para 
um emprego. Sabendo que, dessas pessoas, 25 
são mulheres, 17 usam óculos e, ainda, há 14 
homens que não usam óculos e 4 mulheres que 
usam óculos, a probabilidade de ser escolhido 
um homem que usa óculos é 
 
a) 1/13 b) 1/4 
c) 13/51 d) 1/2 
e) ¾ 
 
44. Sorteiam-se, consecutivamente, dois 
números distintos de 1 a 15. Qual é a 
probabilidade de: 
 
a) o primeiro número sorteado ser ímpar ou 
múltiplo de 3? 
b) os dois números sorteados serem ímpares? 
 
45. (Unesp-SP) Numa gaiola, estão 9 
camundongos rotulados 1, 2, 3,...,9. 
Selecionando-se conjuntamente 2 camundongos 
ao acaso (todos têm igual possibilidade de serem 
escolhidos), a probabilidade de que a seleção de 
ambos os camundongos tenha rótulo ímpar é 
 
a) 0,337777... b) 0,47 
c) 0,17 d) 0,2777... 
e) 0,1333... 
 
46. (Fuvest – SP) Escolhido ao acaso um 
elemento do conjunto de divisores positivos de 
60, a probabilidade de que ele seja primo é 
 
a) ½ b) 1/3 
c) ¼ d) 1/5 
e) 1/6 
 
47. (Fuvest – SP) Uma urna contém três 
bolas: uma verde, uma azul e uma branca. 
Tira-se uma bola ao acaso, registra-se sua cor 
e coloca-se a bola de novo na urna. Repete-
se essa experiência mais duas vezes. Qual é 
a probabilidade de serem registradas três 
cores distintas? 
 
48. Suponha que você vai retirar 4 cartas 
consecutivas de um baralho de 52 cartas. 
Qual é a probabilidade de que todas sejam de 
copas? 
 
49. (FGV – SP) Um grupo de 6 amigos, A, B, 
C, D, E e F, pretende realizar um passeio em 
um barco onde só há três lugares. É feito, 
então, um sorteio, para serem escolhidos os 
três amigos que ocuparão o barco. Qual é a 
probabilidade de que A seja escolhido e B não 
o seja? 
 
50. (PUCC – SP) Três crianças do sexo 
masculino e três do sexo feminino são 
chamadas ao acaso para submeterem-se a 
um exame biométrico. Qual é a probabilidade 
de serem chamadas, alternadamente, 
crianças de sexos diferentes? 
51. (Unicamp – SP - Adaptação) Uma moeda 
é viciada, de modo que a probabilidade de 
ocorrer cara numa jogada é 30% a mais do 
que a de ocorrer coroa. Se essa moeda for 
jogada duas vezes, consecutivamente, a 
probabilidade de ocorrência de cara nas duas 
jogadas é 
 
a) 49% b) 42,25% 
c) 64% d) 64,25% 
e) 15% 
 
Gabarito 
Questões de múltipla escolha 
a) 33, 35, 41 
b) 37, 42, 43, 51 
c) 46 
d) 39, 40, 45 
e) 38 
 
Questões discursivas 
1. a, c, d 
 
2. a) 15 b) 8 c) 7 d) 5 e) 15 f) 0 
 
3. a) 36 b) 6 c) 6 d) 4 e) 36 g) 0 
 
 
19 
 
4. a) 120 b) 48 c) 6 d) 120 e) 0 
 
5. a) 10 b) 6 c) 3 d) 0 
 
6. a) 60 b) 12 c) 10 
 
7. a) 1/2 ou 50% b) 4/25 ou 16% c) 2/5 ou 40% 
 
8. a) 1/4 b) 1/13 c) 1/52 
 
9. a) 1/17 b) 16/17 (São eventos 
complementares) 
 
10. 5/18 
 
11. 7 
 
12. a) 25% b) 75% 
 
13. 30% 
 
14. a) 40% b) 100% c) 20% d) 0 
 
15. a) 16,67% b) 11,9% c) 0 
 
16. a) 5% b) 40% c) 1,67% 
 
17. a) 2/3 b) 2/3 
 
18. a) 1/4 b) 1/13 c) 4/13 d) 1/2 
 
19. a) 50% b) 40% c) 60% d) 70% e) 35% 
 
20. a) 50% b) 75% c) 42,5% d) 57,5% 
 
21. a) 13/25 b) 12/25 c) 3/5 
d) 8/25 e) 23/25 
 
22. a) 3/5 b) 2/5 c) 3/10 d) 7/10 
 
23. a) 14/33 b) 56/165 c) 4/33 d) 106/165 
 
24. 5/46 
 
25. 1/6 
 
26. 4% 
 
27. 34,3% 
 
28. a) 1/9 b) 4/9 
 
29. a) 1/25 b) 4/25 c) 16/25 
 
30. a) 3/95 b) 16/95 c) 12/19 
 
31. 5/36 
 
32. a) 1/4 b) 1/4 c) 1/4 
 
34. 75% 
 
36. 30% 
 
44. a) 2/3 b) 4/15 
 
47. 2/9 
 
48. 11/4165 
 
49. 30% 
 
50. 10% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20