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Lista de exercícios da Unidade 1 Seção 1.1 1) Plote os pontos e determine a inclinação da reta que passa por eles. (a) (3 , -4) e (5 , 2) (b) (1 , 2) e (-2 , 2) (c) (3 , -5) e (-2 , -5) (d) (-8 , -3) e (-8 , -5) 2) Determine a inclinação e a interseção com o eixo y (se existir) da reta cuja equação é dada. (a) 𝑥 + 5 𝑦 = 20 (b) 𝑥 = 4 (c) 𝑦 − 4 = 0 3) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto dado e possui a inclinação indicada. Em seguida, use um programa de plotagem para obter um gráfico da reta. (a) (0 , 3) ; 𝑚 = 3 4 (b) (0 , -2) ; 𝑚 = 4 (c) (0 , 2 3 ) ; 𝑚 = 3 4 (d) (-2 , 7) ; 𝑚 = −3 4) Escreva as equações de retas que passam pelo ponto dado e são (a) paralelas à reta dada e (b) perpendiculares à reta dada. Em seguida, use um programa de plotagem para traçar os gráficos das três retas na mesma janela de observação. (a) (-3 , 2) ; 𝑥 + 𝑦 = 7 (b) (-1 , 0) ; y = -3 (c) (1 , 1) ; −2 𝑥 + 3 𝑦 = −3 Nos Exercícios 5 a 8, encontre os interceptos. 5) 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 − 2 6) 𝑦 = 𝑥 √16 − 𝑥2 7) 𝑦 = 2−√𝑥 5 𝑥+1 8) 𝑥2 𝑦 − 𝑥2 + 4 𝑦 = 0 Nos exercícios de 9 a 12, encontre os interceptos analiticamente e também com o uso de gráficos. 9) 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 − 2 10) 𝑦 = 𝑥 √16 − 𝑥2 11) 𝑦 = 2 − √𝑥 5 𝑥 + 1 12) 𝑦 𝑥2 − 𝑥2 + 4 𝑦 Nos exercícios de 13 a 18 teste a simetria com respeito aos eixos e a origem. 13) 𝑦 = 𝑥2 − 6 14) 𝑦2 = 𝑥3 − 8 𝑥 15) 𝑥 𝑦 = 4 16) 𝑦 = 4 − √𝑥 + 3 17) 𝑦 = 𝑥 𝑥2+1 18) 𝑦 = |𝑥3 + 𝑥| Nos exercícios de 19 a 22 encontre os interceptos e teste a simetria. Esboce o gráfico da equação. 19) 𝑦 = 9 − 𝑥2 20) 𝑦 = 𝑥 √𝑥 + 5 21) 𝑦 = 6 − |𝑥| 22) 𝑥 + 3 𝑦2 = 6 Nos exercícios de 22 a 24 encontre, analiticamente, os pontos de interseção dos gráficos. Verifique os resultados graficamente. 22) 𝑥 + 𝑦 = 8 4 𝑥 − 𝑦 = 7 23) 𝑥2 + 𝑦 = 6 𝑥 + 𝑦 = 4 24) 𝑥2 + 𝑦2 = 5 𝑥 − 𝑦 = 1 25) Utilize o gráfico das duas equações para responder as questões: a) Quais são os interceptos de cada equação? b) Determine a simetria de cada equação. c) Determine o ponto de interseção das duas equações. Seção 1.2 1) Verifique se a equação define y como uma função de x. (a) 𝑥2 + 𝑦2 = 4 (b) 1 2 𝑥 − 6 𝑦 = −3 (c) 𝑦2 = 𝑥2 − 1 (d) 𝑥2 𝑦 − 𝑥2 + 4 𝑦 = 0 Nos exercícios 2 a 5, escreva a forma geral das equações das retas, paralela e perpendicular, que passam pelo ponto dado e em relação à reta dada. 2) 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑅𝑒𝑡𝑎 (−7 , −2) 𝑥 = 1 3) 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑅𝑒𝑡𝑎 (2 , 5) 𝑥 − 𝑦 = −2 4) 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑅𝑒𝑡𝑎 (2 , 1) 4 𝑥 − 2 𝑦 = 3 5) 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑅𝑒𝑡𝑎 ( 3 4 , 7 8 ) 5 𝑥 − 3 𝑦 = 0 6) Encontre a equação linear que representa a relação funcional entre a temperatura em graus Celsius [C] e graus Fahrenheit [F]. Utilize o fato de que a água congela em 0 ºC (32 ºF) e ferve em 100 ºC (212 ºF). Utilize a equação encontrada para converter 72 ºF em graus Celsius. (a) A temperatura de uma pessoa é de 102,5 oF. Qual é a temperatura dessa pessoa em graus Celsius? (b) O ponto de fusão do gálio é de 29,8 oC. O gálio é sólido ou líquido à temperatura de 68 oF? 7) Como vendedor, você recebe, mensalmente, $ 2000 mais 7% de comissão sobre as vendas. Um novo trabalho lhe é oferecido sendo $ 2300 por mês mais 5% de comissão sobre as vendas. a) Escreva as equações lineares para seu salário mensal W em termos das vendas mensais s para o trabalho atual e o proposto. b) Utilize gráfico de cada equação para comprovar o ponto de interseção encontrado analiticamente. O que esse ponto significa? c) Considere uma venda de $ 20.000 mensais de um determinado produto. Você deve mudar de trabalho? Explique. 8) O salário anual de um engenheiro foi de R$ 26.300,00 em 1998 e R$ 29.700,00 em 2000. Suponha que o salário possa ser modelado por uma equação linear. (a) Escreva uma equação linear para o salário anual do engenheiro, S, em termos do ano, supondo que: t = 0 represente o ano de 1998. (b) Use o modelo linear para prever o salário no ano de 2003. 9) Encontre uma equação da reta tangente ao círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 169 no ponto (5 , 12). Nos exercícios 10 e 11, encontre a distância entre o ponto e a reta, ou entre as retas, utilizando a expressão para a distância entre um ponto (𝑥1 , 𝑦1) e uma reta: 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 = |𝐴 𝑥1 + 𝐵 𝑦1 + 𝐶| √𝐴2 + 𝐵2 . 10) 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜: (−2 , 1) 𝑅𝑒𝑡𝑎: 𝑥 − 𝑦 − 2 = 0 11) 𝑅𝑒𝑡𝑎: 𝑥 + 𝑦 = 1 𝑅𝑒𝑡𝑎: 𝑥 + 𝑦 = 5 12) Um pequeno empresário está montando um negócio com um investimento inicial de R$ 5.000,00. O custo unitário do produto é de R$ 11,80 e o preço de venda é de R$ 19,30. (a) Escreva equações para o custo total de fabricação C e para a renda total R da venda de x unidades. (b) Determine o ponto de equilíbrio encontrando a interseção das curvas de custo e receita. (c) Quantas unidades o empresário precisa fabricar e vender para ter um lucro de R$ 100,00? 13) Certo modelo de automóvel custa R$ 43.500,00 com motor a gasolina e R$ 46.350,00 com motor a diesel. O consumo de combustível para os dois tipos de motor é de 9 Km/l e 13 Km/l, respectivamente. Suponha que o preço da gasolina é de R$ 2,17 por litro e o preço do óleo diesel é de R$ 1,62 por litro. (a) Mostre que o custo Cg de viajar x Km no carro a gasolina é dado por 𝐶𝑔 = 43.500 + 2,17 𝑥 9 e que o custo Cd de viajar x Km no carro diesel é dado por 𝐶𝑑 = 46.350 + 1,62 𝑥 13 . (b) Determine o ponto de equilíbrio, ou seja, a distância acima da qual é mais econômico viajar com o carro com motor diesel do que com o carro com motor a gasolina. Seção 1.3 1) Use um programa de plotagem para traçar o gráfico da função. Em seguida, determine o domínio e a imagem da função. (a) 𝑓(𝑥) = √9 − 𝑥2 (b) 𝑓(𝑥) = |𝑥| 𝑥 (c) 𝑓(𝑥) = 𝑥−2 𝑥+4 (d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 1−𝑥 2) Determine os valores da função para os valores indicados da variável independente. Simplifique os resultados. (a) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 3 ; f (-3) ; f (x – 1) ; 𝑓(1 + ∆𝑥) (b) 𝑔(𝑥) = 1 𝑥 ; 𝑔( 1 4 ) ; 𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥) (c) 𝑓(𝑥) = |𝑥| + 4 ; f (-2) ; 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 3) Determine o quociente diferencial e simplifique o resultado. (a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 ; 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥 (b) 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 3 ; 𝑔(𝑥+∆𝑥)−𝑔(𝑥) ∆𝑥 (c) 𝑓(𝑥) = 1 𝑥−2 ; 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥 4) Determine o valor de y em termos de x. (a) (𝑦 − 3)2 = 5 + (𝑥 + 1)2 (b) 5 𝑦 − 6 𝑥2 − 1 = 0 5) Determine o domínio e a imagem da função. Plote os gráficos das funções. (a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 (b) 𝑓(𝑥) = √2 𝑥 − 3 (c) 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2 (d) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2| Nos exercícios 6 a 9, determine o domínio da expressão dada. 6) 1 √2 𝑥 − 6 4 7) √𝑥2 + 3 8) √1 − 𝑥 5 9) 1 √2 𝑥 + 3 + √6 − 4 𝑥 Nos exercícios 10 e 11, encontre a função composta 𝑓 ° 𝑔 e 𝑔 ° 𝑓. Encontre o domínio de cada função composta. As funções compostas encontradas são iguais? 10) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑔(𝑥) = √𝑥 11) 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1 Nos exercícios 12 e 18, determine se a função é ímpar, par ou nenhuma das opções. Encontre os zeros da função. Verifique seus resultados graficamente. 12) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 (4 − 𝑥2) 18) 𝑓(𝑥) = 𝑥 cos 𝑥
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