Unidade 3 Derivacao

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Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 163 
 
 
3.1. A Derivada e a Inclinação de um Gráfico 
3.2. Algumas Regras de Derivação 
3.3. Taxas de Variação 
3.4. As Regras do Produto e do Quociente 
3.5. A Regra da Cadeia 
3.6. Derivadas de Ordem Superior 
3.7. Derivação Implícita 
3.8. Taxas Relacionadas 
3.9. Exercícios 
 
Unidade 3 – Derivação 
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3.1 – A Derivada e a Inclinação de um Gráfico 
Reta Tangente a uma Curva 
 A inclinação de uma reta é uma medida da taxa de variação da variável dependente em relação à 
variável independente, ou seja: 𝑚 =
∆ 𝑦
∆ 𝑥
. 
 No caso da equação de uma reta, essa taxa de variação é a mesma em todos os pontos. 
 Em outras famílias de curvas, porém, a taxa de variação pode 
variar de ponto para ponto. 
 Por exemplo: na Figura 2.1, a taxa de variação da parábola é 
maior no ponto (x1 , y1) que no ponto (x2 , y2). 
 No vértice da parábola, que corresponde ao ponto (x3 , y3), a taxa 
de variação é zero. 
 Já no ponto (x4 , y4), a taxa é negativa. 
 
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 Para conhecer a taxa de variação de uma curva em um ponto específico, é preciso determinar a 
inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. 
 Em termos simples, a reta tangente à curva que representa uma função, em um ponto P (x1 , y1), é a 
reta que constitui a melhor aproximação para a função nesse ponto, como ilustrado na Figura 2.1. 
 Como a inclinação da reta tangente é uma aproximação da taxa de variação da curva, o problema de 
calcular essa taxa, em um ponto, se transforma no cálculo da inclinação da reta tangente à curva nesse 
ponto. 
 
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Exemplo 1 
Use o gráfico da Figura 2.4 para determinar a inclinação aproximada da curva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 no 
ponto (1 , 1). 
Solução 
Observando a curva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2, vemos que a reta tangente no 
ponto (1 , 1) tem um acréscimo de aproximadamente duas unidades da 
coordenada y para uma unidade de acréscimo da coordenada x. 
 
Assim, a inclinação da reta tangente no ponto (1 , 1) é dada por: 
𝐼𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜 ≅
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑦
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑥
≅
2
1
≅ 2 
 
Como a reta tangente no ponto (1 , 1) tem uma inclinação de aproximadamente 2, podemos concluir que 
a taxa de variação da curva 𝑓(𝑥) = 𝑥2 é de aproximadamente 2 no ponto (1 , 1). 
 
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Inclinação e o Processo de Limite 
 No Exemplo 1 foi determinada a taxa de variação de uma curva construindo um gráfico, em escala, 
e traçando uma tangente no ponto de interesse. 
 Um método mais preciso para determinar a inclinação da reta tangente utiliza uma reta secante. 
 Essa é uma reta que passa pelo ponto de interesse e por um outro próximo. 
 Se (𝑥 , 𝑓(𝑥)) é o ponto de interesse (ponto de tangência) e (𝑥 + ∆𝑥 , 𝑓(𝑥 + ∆𝑥)) é um ponto 
próximo, pertencente à curva de f(x), a inclinação da reta secante que liga os dois pontos é dada por: 
 
𝑚𝑠𝑒𝑐 =
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
 , 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 
 
 O lado direito desta equação é chamado de quociente diferencial. 
 ∆𝑥 no denominador é a variação em x; no numerador se encontra a variação em y. 
 
 
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 É possível obter uma aproximação cada vez melhor da taxa de variação da curva, escolhendo um 
segundo ponto cada vez mais próximo do ponto de tangência como mostra a Figura 2.7. 
 
 Levando esse processo até o limite, podemos determinar a inclinação exata da reta tangente no ponto 
(x , f(x)). Assim, se o limite existir, teremos que: 
 A taxa de variação da função f(x) no ponto (x , f(x)) é igual à inclinação da reta tangente à curva da 
função f(x) no ponto (x , f(x)), e é dada por: 
𝑚 = 𝑚𝑡 = lim
∆ 𝑥→0
𝑚𝑠𝑒𝑐 = lim
∆ 𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆ 𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆ 𝑥
 
 
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Exemplo 2 
Determine a inclinação da curva de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 no ponto (-2 , 4). 
Solução 
Determinando o limite da função inclinação no ponto dado teremos: 
𝑚 = lim
∆𝑥→0
𝑚𝑠𝑒𝑐 = lim
∆𝑥→0
𝑓(−2 + ∆𝑥) − 𝑓(−2)
∆𝑥
 
Utilizar a definição da taxa de variação 
de uma função 
 = lim
∆𝑥→0
(−2 + ∆𝑥)2 − (−2)2
∆𝑥
 Expandir os termos 
 = lim
∆𝑥→0
(4 − 4 ∆𝑥 + ∆𝑥2) − 4
∆𝑥
 Simplificar 
 = lim
∆𝑥→0
∆𝑥 (−4 + ∆𝑥)
∆𝑥
 Simplificar 
 = lim
∆𝑥→0
(−4 + ∆𝑥) = −4 Substituição direta 
Solução 
 
Logo, a curva tem uma taxa de variação de -4 no ponto (-2 , 4). 
 
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Exemplo 3 
Determine uma expressão para a taxa de variação da curva de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1. 
Qual é a taxa de variação nos pontos (-1 , 2) e (2 , 5)? 
Solução 
𝑚 = lim
∆𝑥→0
𝑚𝑠𝑒𝑐 = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
Utilizar a definição generalizada da 
taxa de variação de uma função 
 = lim
∆𝑥→0
[(𝑥 + ∆𝑥)2 + 1] − [(𝑥)2 + 1]
∆𝑥
 Expandir os termos 
 
= lim
∆𝑥→0
(𝑥2 + 2 𝑥 ∆𝑥 + ∆𝑥2 + 1) − 𝑥2 − 1
∆𝑥
 
Simplificar 
Colocar ∆𝑥 em evidência 
 = lim
∆𝑥→0
∆𝑥 (2 𝑥 + ∆𝑥)
∆𝑥
 Simplificar 
 = lim
∆𝑥→0
(2𝑥 + ∆𝑥) = 2 𝑥 Substituição direta 
Solução 
Assim, 
No ponto (-1 , 2), a taxa de variação é 𝑚 = 2(−1) = −2; 
e no ponto (2 , 5) é 𝑚 = 2(2) = 4. 
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 No Exemplo 3 utilizamos o processo de limite para obter uma outra função, 𝑚 = 2 𝑥 que representa 
as taxas de variação da curva de f(x) em todos os pontos (xi , f(xi)) de seu domínio. 
 A função obtida, com a aplicação do processo do cálculo do limite, representa o conjunto de todos 
os valores das inclinações das retas tangentes, no domínio de f(x), e é chamada de DERIVADA de f(x). 
 
 A derivada da função f(x) no ponto x é dada por: 
𝒇′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
∆ 𝒙→𝟎
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
∆ 𝒙
 
se o limite existe. 
 
 Além de 𝑓′(𝑥), outros símbolos podem ser usados para representar a derivada da função 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
Os mais comuns são os seguintes: 
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 ; 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 𝑦′ ; 
𝑑
𝑑 𝑥
[𝑓(𝑥)] ; 𝐷𝑥[𝑦] 
 
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Exemplo 4 
Determine a derivada de 𝑓(𝑥) = 3 𝑥2 − 2 𝑥. 
Solução 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
Utilizar a definição da 
derivada de uma função 
 = lim
∆𝑥→0
[3 (𝑥 + ∆𝑥)2 − 2(𝑥 + ∆𝑥)] − [3 (𝑥)2 − 2 𝑥]
∆𝑥
 Expandir os termos 
 = lim
∆𝑥→0
(3 𝑥2 + 6 𝑥 ∆𝑥 + 3 ∆𝑥2 − 2 𝑥 − 2∆𝑥) − 3 𝑥2 + 2 𝑥
∆𝑥
 Simplificar 
 = lim
∆𝑥→0
∆𝑥 (6 𝑥 + 3 ∆𝑥 − 2)
∆𝑥
 Simplificar 
 = lim
∆𝑥→0
(6 𝑥 − 2 + ∆𝑥) = 6 𝑥 − 2 Substituição direta 
Solução 
 
Logo, a derivada de 𝑓(𝑥) = 3 𝑥2 − 2 𝑥 é 
 𝑓′(𝑥) = 6𝑥 − 2. 
 
Tente determinar a derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5 𝑥 
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Exemplo 5 
Determine a derivada de y em relação a t para a função 𝑦 =
2
𝑡
 
Solução 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= lim
∆ 𝑡→0
𝑓(𝑡 + ∆ 𝑡) − 𝑓(𝑡)
∆ 𝑡
 
Utilizar a definição da 
derivada de uma função 
 = lim
∆ 𝑡→0
2
𝑡 + ∆ 𝑡 −
2
𝑡
∆ 𝑡Expandir os termos 
 = lim
∆ 𝑡→0
2 𝑡 − 2 𝑡 − 2 ∆ 𝑡
𝑡 (𝑡 + ∆ 𝑡)
∆ 𝑡
 
Simplificar 
 = lim
∆ 𝑡→0
−2 ∆ 𝑡
𝑡 ∆ 𝑡 (𝑡 + ∆ 𝑡)
 Simplificar 
 = lim
∆ 𝑡→0
−2
𝑡 (𝑡 + ∆ 𝑡)
= −
2
𝑡2
 
Substituição direta 
Solução 
 
 
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Exemplo 6 
Encontre a equação para a reta normal à curva 𝑦 = 𝑥2 no ponto P (2 , 4). 
Solução 
Sabendo que a reta normal a uma curva em um ponto dado, é a reta perpendicular à reta tangente neste 
ponto; e lembrando que duas retas t e n são perpendiculares se 𝑚𝑡 × 𝑚𝑛 = −1, teremos: 
Inclinação da reta tangente: 
𝑚𝑡 = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
(𝑥1 + ∆𝑥)
2 − (𝑥1)
2
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
(𝑥1)
2 + 2 𝑥1∆𝑥 + (∆𝑥)
2 − (𝑥1)
2
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
∆𝑥 [(2 𝑥1) + ∆𝑥]
∆𝑥
= 2 𝑥1 
Quando 𝑥1 = 2 → 𝑚𝑡(𝑥1) = 4 
Inclinação da reta normal: 
𝑚𝑡 × 𝑚𝑛 = −1 → 𝑚𝑛 = −
1
4
 ; usando expressão da reta usando ponto inclinação: 
Assim, 𝑦 − 𝑓(𝑥1) = 𝑚𝑛(𝑥 − 𝑥1) ou 4 𝑦 + 𝑥 − 18 = 0 
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Derivadas Laterais 
 Se a função y = f(x) está definida em x1, então a derivada à direita de f(x) em x1, denotada por 𝑓+
′(𝑥1), 
é definida por: 
Definição 
𝑓+
′(𝑥1) = lim
∆𝑥→0+
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 = lim
𝑥→𝑥1
+
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥1)
𝑥 − 𝑥1
 
Caso esses limites existam. 
 
 
 Se a função y = f(x) está definida em x1, então a derivada à esquerda de f(x) em x1, denotada por 
𝑓−
′(𝑥1), é definida por: 
Definição 
𝑓−
′(𝑥1) = lim
∆𝑥→0−
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
 = lim
𝑥→𝑥1
−
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥1)
𝑥 − 𝑥1
 
Caso esses limites existam. 
 
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 Uma função é derivável na coordenada xi se a derivada da função existe nessa coordenada. 
 Logo, as derivadas à direita e à esquerda, nessa coordenada, existem e são iguais. 
 Quando as derivadas laterais (direita e esquerda) existem e são diferentes, na coordenada xi, dizemos 
que este é um ponto anguloso do gráfico da função no qual a derivada não existe. 
 
 
Derivabilidade e Continuidade 
 Nem toda função é derivável em todas as coordenadas de seu domínio. 
 A Figura 2.11 mostra algumas situações nas quais uma função não é derivável em um ponto: 
tangentes verticais, descontinuidades e mudanças bruscas na inclinação da curva. 
 As funções da Figura 2.11 são deriváveis para qualquer valor de x, exceto x = 0. 
 Embora três das funções da Figura 2.11 sejam contínuas em x = 0, nenhuma delas é derivável nesse 
ponto. 
 Isto mostra que a continuidade não é uma condição suficiente para garantir a derivabilidade. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 177 
 
 Por outro lado, se uma função é derivável em um ponto, isso significa que é contínua nesse ponto. 
Logo, 
 Se uma função é derivável na coordenada x = c, então a função é contínua nessa coordenada. 
 
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Exemplo 7 
Seja f(x) a função definida por: 
𝑓(𝑥) = {
3𝑥 − 1, 𝑥 < 2
7 − 𝑥, 𝑥 ≥ 2
 
(a) Mostre que f(x) é contínua em 2. 
(b) Encontre 𝑓+
′(2) e 𝑓−
′(2) 
Solução 
(a) A função dada é contínua na abscissa 2 pois: 
Existe f(2) = 5; 
lim
𝑥→2+
 (7 − 𝑥) = lim
𝑥→2−
 (3 𝑥 − 1) = 5 
lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 𝑓(2) = 5 
(b) Derivadas laterais: 
𝑓+
′(2) = lim
∆𝑥→0+
𝑓(2 + ∆𝑥) − 𝑓(2)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0+
[7 − (2 + ∆𝑥) − 5]
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0+
[5 − (∆𝑥) − 5]
∆𝑥
= −1 
𝑓−
′(2) = lim
∆𝑥→0−
𝑓(2 + ∆𝑥) − 𝑓(2)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0−
[3 (2 + ∆𝑥) − 1] − 5
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0−
[6 + 3(∆𝑥) − 6]
∆𝑥
= 3 
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Como 𝑓+
′(2) ≠ 𝑓−
′(2), então a função f(x) NÃO é derivável em x = 2. 
 
x = 2 é um ponto anguloso do gráfico de f(x). 
 
 
 
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3.2 – Algumas Regras de Derivação 
 A formalização do conceito de derivada utiliza a definição de limite. 
 Esse processo é lento e tedioso, mesmo para funções relativamente simples. 
 Existem regras que facilitam a utilização da derivação. 
 Com o auxílio dessas regras é possível calcular derivadas sem utilizar, diretamente, os 
procedimentos analíticos dos cálculos de limite. 
 
Regra da Constante 
 A derivada de uma função constante é zero. Assim, 
 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑐] = 0 , onde c é uma constante. 
 
Demonstração 
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑐. Nesse caso, usando a definição de derivada, temos: 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑐 − 𝑐
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
0 = 0 
 
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Regra da Potência 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥𝑛] = 𝑛 𝑥𝑛−1 , onde n é um número real. 
 
 A regra da potência pode ser demonstrada a partir da expansão binomial de 𝑥 + ∆𝑥. Assim, 
 (𝑥 + ∆𝑥)2 = 𝑥2 + 2 𝑥 ∆𝑥 + (∆𝑥)2 
 (𝑥 + ∆𝑥)3 = 𝑥3 + 3 𝑥2 ∆𝑥 + 3 𝑥 (∆𝑥)2 + (∆𝑥)3 
 (𝑥 + ∆𝑥)𝑛 = 𝑥𝑛 + 𝑛 𝑥𝑛−1 ∆𝑥 +
𝑛 (𝑛−1) 𝑥𝑛−2
2
 (∆𝑥)2 +⋯+ (∆𝑥)𝑛⏟ 
(∆𝑥)2 é 𝑢𝑚 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠.
 
Demonstração 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
 , Definição de derivada 
 = lim
∆𝑥→0
(𝑥 + ∆𝑥)𝑛 − 𝑥𝑛
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
𝑥𝑛 + 𝑛 𝑥𝑛−1 ∆𝑥 +
𝑛 (𝑛 − 1) 𝑥𝑛−2
2 (∆𝑥)
2 +⋯+ (∆𝑥)𝑛 − 𝑥𝑛
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
[𝑛 𝑥𝑛−1 +
𝑛 (𝑛 − 1)𝑥𝑛−2
2
 (∆𝑥) + ⋯+ (∆𝑥)𝑛−1] = 𝑛 𝑥𝑛−1 + 0 +⋯+ 0 = 𝑛 𝑥𝑛−1 
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Exemplo 1 
Determine as derivadas das funções dadas. 
Função Derivada 
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑓′(𝑥) = 3 𝑥2 
(b) 𝑦(𝑥) =
1
𝑥2
= 𝑥−2 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦(𝑥) = (−2)𝑥−3 = −
2
𝑥3
 
(c) 𝑔(𝑡) = 𝑡 𝑔′(𝑡) = 1 
(d) 𝑅(𝑥) = 𝑥4 
𝑑
𝑑 𝑥
𝑅(𝑥) = 4 𝑥3 
Algumas vezes será necessário escrever a função de outra maneira antes de aplicar as regras. 
 
 
 Lembre-se de que a derivada de uma função f é outra função que corresponde à inclinação de f em 
todos os pontos nos quais f é derivável. Assim, podemos usar a derivada para determinar a inclinação de 
uma função em qualquer ponto, como mostra o Exemplo 2. 
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Exemplo 2 
Determine as inclinações da reta tangente à curva 𝑓(𝑥) = 𝑥2 nas abscissas: x = -2 , -1 , 0 , 1 e 2. 
Solução 
𝑓′(𝑥) = 2 𝑥 
Substituir x pelos valores dados na equação da derivada. 
O gráfico de f está ilustrado, na Figura 2.14, com alguns segmentos de reta. 
 
Valor de x Inclinação da Curva de f 
x = -2 𝑚 = 𝑓′(−2) = 2 (−2) = −4 
x = -1 𝑚 = 𝑓′(−1) = 2 (−1) = −2 
x = 0 𝑚 = 𝑓′(0) = 2 (0) = 0 
x = 1 𝑚 = 𝑓′(1) = 2 (1) = 2 
x = 2 𝑚 = 𝑓′(2) = 2 (2) = 4 
 
 
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Regra da Multiplicação por uma Constante 
 Essa regra está baseada na seguinte propriedades de limites: 
lim
𝑥→𝑎
𝑐 𝑔(𝑥) = 𝑐 [lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)] 
 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑐 𝑓(𝑥)] = 𝑐 𝑓′(𝑥) , onde c é uma constante. 
 
 
Regras da Soma e da Diferença 
 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) , Regra da Soma. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) , Regra da Diferença 
 
 
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Exemplo 3 
Determine as derivadas das funções dadas. 
(a) 𝑦 = 2 𝑥
12 (b) 𝑓(𝑡) =
4 𝑡2
5
 
Solução 
(a) 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
𝑑
𝑑𝑥
[2 𝑥
1
2] = 2
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥
1
2] = 2 (
1
2
 𝑥− 
1
2) = 𝑥− 
1
2 =
1
√𝑥
=
√𝑥
𝑥
 
 
(b) 
𝑓′(𝑡) =
𝑑
𝑑𝑡
[
4
5
 𝑡2] =
4
5
 (2 𝑡) = 
8
5
 t 
 
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Exemplo 4 
Determine a taxa de variação da curva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4 𝑥 + 2 no ponto (1 , -1). 
Solução 
A derivada de f(x) é 𝑓′(𝑥) = 3 𝑥2 − 4. 
A taxa de variação da curva de f(x) no ponto (1 , -1) é dada por: 
𝑇𝑎𝑥𝑎 = 𝑓′(1) = 3 (1)2 − 4 = −1, como mostra a Figura 2.15. 
 
 
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Exemplo 5 
Determine a equação da reta tangente à curva da função 𝑔(𝑥) = −
1
2
 𝑥4 + 3 𝑥3 − 2 𝑥 em (-1 , -3/2). 
Solução 
A derivada de g(x) é 𝑔′(𝑥) = −2 𝑥3 + 9 𝑥2 − 2. 
Assim, a inclinação da reta tangente à curva no ponto (-1 , -3/2) será: 
𝑔′(−1) = −2 (−1)3 + 9 (−1)2 − 2 = 9, como mostra a Figura 2.16. 
Usando a forma ponto-inclinação, podemos escrever a equação da reta 
tangente no ponto (-1 , -3/2) como sendo: 
 
𝑦 − (−
3
2
) = 9 [𝑥 − (−1)] 
 
𝑦 = 9 𝑥 +
15
2
 
 
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Exemplo 6 
Entre 1995 e 2000, a receita R da Microsoft (em milhões de dólares) pode ser modelada pela função 
𝑅(𝑡) = −45,75 𝑡3 + 1255,79 𝑡2 − 7415,5 𝑡 + 17.477 , 5 ≤ 𝑡 ≤ 10 
onde t = 5 representa o ano de 1995. 
Qual era a taxa de variação da receita da Microsoft em 1996? 
Solução 
Uma forma de resolver esse problema é calcular a derivada da receita em relação ao tempo. 
𝑑𝑅
𝑑𝑡
= −137,25 𝑡2 + 2511,58 𝑡 − 7415,5 , 5 ≤ 𝑡 ≤ 10 
 
Em 1996 (ou seja, para t = 6), a taxa de variação da receita em relação ao tempo é dada por 
−137,25 (6)2 + 2511,58 (6) − 7415,5 = 2712,98 
 
A derivada, nesse caso, é medida em milhões de dólares por ano. 
Assim, a receita da Microsoft estava aumentando à razão de 2.713 milhões de dólares por ano. 
 
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Derivada das Funções Seno e Cosseno 
 Graficamente, os pontos obtidos do cálculo da derivada da função seno, em um intervalo, podem ser 
plotados, em um sistema de eixos cartesianos, e verificamos que a função resultante se ajusta 
perfeitamente aos pontos de uma função cosseno. 
 Analogamente, ao derivarmos a função cosseno em vários pontos e 
plotarmos o resultado em um sistema de eixos cartesianos, poderemos 
verificar que a função (-seno) se ajusta perfeitamente aos pontos da 
derivada. 
 Logo, podemos escrever: 
 
 Analiticamente, a prova do Teorema 2.6 utiliza o Teorema 1.9 (Limites 
trigonométricos especiais - Unidade 1), conforme pode ser revisto a 
seguir. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 190 
 
 Utilizando a definição de derivada. 
 
 A prova do resultado da derivada da função cosseno pode ser obtida de forma similar. 
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3.3 - Taxas de Variação 
 A taxa de variação pode ser de dois tipos: taxa de variação média e taxa de variação instantânea. 
 A diferença entre essas duas taxas de variação é a mesma que existe entre a inclinação da reta secante, 
que passa por dois pontos de uma curva, e aquela da reta tangente, que passa por apenas um ponto. 
 
Taxa de Variação Média 
Se 𝑦 = 𝑓(𝑥), então a taxa de variação média de y em relação a x, no 
intervalo [a , b] é dada por: 
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑎 =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
 𝑜𝑢 
∆ 𝑦
∆ 𝑥
 
Observe que f(a) é o valor da função na extremidade esquerda do 
intervalo, f(b) é o valor da função na extremidade direita do intervalo, 
e (b – a) é a largura do intervalo, como mostra a Figura 2.18. 
 Uma aplicação muito comum da taxa de variação média é a 
determinação da velocidade média de um corpo. Temos: 
 
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚é𝑑𝑖𝑎 =
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
 
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Exemplo 1 
A concentração C de um medicamento no sangue de um paciente é medida a intervalos de 10 minutos 
durante 2 horas. Os resultados aparecem na tabela a seguir, onde C está expressa em miligramas por 
mililitros e o tempo t em minutos. Determine a taxa de variação média nos intervalos indicados. 
(a) [0 , 10] min (b) [0 , 20] min (c) [100 , 110] min 
t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 
C(t) 0 2 17 37 55 73 89 103 111 113 113 103 68 
 
Solução 
(a) A taxa de variação média no intervalo [0 , 10] é dada por: 
∆𝐶
∆𝑡
=
2−0
10−0
= 0,2 𝑚𝑔 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝐿/𝑚𝑖𝑛 
(b) No intervalo [0 , 20] teremos: 
∆𝐶
∆𝑡
=
17−0
20−0
= 0,85 𝑚𝑔 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝐿/𝑚𝑖𝑛 
(c) No intervalo [100 , 110] teremos: 
∆𝐶
∆𝑡
=
103−113
110−100
= −1 𝑚𝑔 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝐿/𝑚𝑖𝑛 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 193 
Exemplo 2 
Se deixamos cair um corpo de uma altura de 100 metros, e se a resistência do ar puder ser desprezada, a 
altura h (em metros) do corpo, após um tempo t (em segundos), é dada por ℎ(𝑡) = −4,9 𝑡2 + 100. 
Determine a velocidade média do corpo nos intervalos indicados. 
(a) [1,8 , 3,6] s (b) [1,8 , 2,7] s (c) [1,8 , 2,0] s 
Solução 
Podemos utilizar a equação ℎ(𝑡) = −4,9 𝑡2 + 100 para determinar a altura do corpo nos instantes 
t = 1,8 s, t = 2,0 s, t = 2,7 s e t = 3,6 s,. Os resultados aparecem na tabela abaixo. 
t [segundos] 0 1,8 2,0 2,7 3,6 
h(t) [metros] 100 84 80 64 36 
 
(a) No intervalo [1,8 , 3,6], o objeto cai de uma altura de 84 metros a uma altura de 36 metros. 
Assim, a velocidade média é dada por: 
∆ℎ
∆𝑡
=
36 − 84
3,6 − 1,8
= −26,7 𝑚 / 𝑠 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 194 
(b) No intervalo [1,8 , 2,7], a velocidade média é: 
 
∆ℎ
∆𝑡
=
64 − 84
2,7 − 1,8
= −22,2 𝑚/𝑠 
 
(c) No intervalo [1,8 , 2,0], a velocidade média é: 
 
∆ℎ
∆𝑡
=
80 − 84
2,0 − 1,8
= −20 𝑚 /𝑠 
 
Obs.: A velocidade negativa implica que o corpo está descendo. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 195 
Taxa de Variação Instantânea e Velocidade 
 Considere que, no Exemplo 2, estivéssemos interessados em determinar a taxa de variação de h(t) 
no instante t = 1 segundo. 
 Uma taxa de variação desse tipo é chamada de taxa de variação instantânea. 
 
A taxa de variação instantânea (ou simplesmente taxa de variação) de 𝑦 = 𝑓(𝑥) na abscissa x é o 
limite da taxa de variação média no intervalo [𝑥 , 𝑥 + ∆𝑥], quando ∆𝑥 tende a zero. 
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
 
Se y é uma distância e x é tempo, a taxa de variação é uma velocidade. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 196 
Exemplo 3 
Determine a velocidade do corpo do Exemplo 2 no instante t = 1. 
Solução 
Sabemos que a altura do corpo em queda livre do Exemplo 2 é dada por ℎ(𝑡) = −4,9 𝑡2 + 100. 
 
Derivando essa função posição em relação ao tempo, obtemos a função velocidade: 
ℎ′(𝑡) = −9,8 𝑡 
 
A função velocidade pode ser usada para calcular a velocidade em qualquer instante de tempo. 
Assim, no instante t = 1, a velocidade do corpo é 
ℎ′(1) = −9,8 (1) = −9,8 𝑚/𝑠 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 197 
 A expressão mais geral possível para a função posição de um corpo em queda livre, desprezando a 
resistência do ar, é dada por: 
ℎ(𝑡) = −
𝑔
2
 𝑡2 + 𝑣0 𝑡 + ℎ0onde h é a função altura (em metros), t é o tempo (em segundos), v0 é a velocidade inicial (em metros por 
segundo) e h0 é a altura inicial (em metros) e g é a aceleração da gravidade (em metros por segundo ao 
quadrado). 
 
 Normalmente, velocidades positivas estão associadas a movimentos para cima e velocidades 
negativas a movimentos para baixo. 
 
 A função velocidade é obtida pela derivada da função posição e é dada por: 
ℎ′(𝑡) = 𝑣(𝑡) = −𝑔 𝑡 + 𝑣0. 
 O valor absoluto da velocidade é a velocidade escalar do corpo. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 198 
Exemplo 4 
No instante t = 0, um mergulhador salta de um trampolim a 32 pés de altura, como mostra a Figura 2.21. 
A função posição do mergulhador é dada por ℎ(𝑡) = −16 𝑡2 + 16 𝑡 + 32. 
(a) Em que instante o mergulhador atinge a água? 
(b) Qual é a velocidade do mergulhador ao atingir a água? 
Solução 
Domínio: 𝑡 ≥ 0 
(a) Para determinar o instante em que o mergulhador atinge a água, 
igualamos a zero a função posição e calculamos o valor de t. 
 −16 𝑡2 + 16 𝑡 + 32 = 0 
 −16 (𝑡2 − 𝑡 − 2) = 0 
 −16 (𝑡 + 1)(𝑡 − 2) = 0 
A solução t = -1 não faz sentido neste problema. 
Logo, o mergulhador atinge a água no instante t = 2 s. 
 
(b) A velocidade no instante t é dada pela derivada ℎ′(𝑡) = −32 𝑡 + 16. 
Em t = 2 s será de: 
ℎ′(2) = −32 (2) + 16 = −48 𝑝é𝑠/𝑠. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 199 
Exemplo 5 
A eficácia E (em uma escala de 0 a 1) de um analgésico t horas depois de entrar na corrente sanguínea é 
dada por: 
 
𝐸(𝑡) =
1
27
(9 𝑡 + 3 𝑡2 − 𝑡3), 0 ≤ 𝑡 ≤ 4,5 
 
Determine a taxa de variação média de E nos intervalos indicados e compare essa taxa com a taxa de 
variação instantânea nos extremos dos intervalos. 
(a) [0 , 1] h (b) [1 , 2] h (c) [2 , 3] h (d) [3 , 4] h 
Tente resolver... (Utilize um programa de plotagem de gráficos) 
t (horas) 0 1 2 3 4 
E (%) 
𝐸′(%) 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 200 
3.4 - As Regras do Produto e do Quociente 
Regra do Produto 
 A derivada do produto de duas funções deriváveis é igual à primeira função vezes a derivada da 
segunda mais a segunda função vezes a derivada da primeira. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥) 𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) 
 
Demonstração 
 
Seja F(x) = f(x) g(x). 
𝐹′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝐹(𝑥 + ∆𝑥) − 𝐹(𝑥)
∆𝑥
 
𝐹′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥)𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
∆𝑥
 
𝐹′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥)𝑔(𝑥 + ∆𝑥)−𝑓(𝑥 + ∆𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥 + ∆𝑥)𝑔(𝑥)⏞ 
𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑠𝑜𝑚𝑎
− 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
∆𝑥
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 201 
𝐹′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
[𝑓(𝑥 + ∆𝑥)
𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)
∆𝑥
+ 𝑔(𝑥) 
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
] 
 
𝐹′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
[𝑓(𝑥 + ∆𝑥)
𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)
∆𝑥
] + lim
∆𝑥→0
[𝑔(𝑥) 
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
] 
 
𝐹′(𝑥) = [ lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥)] [ lim
∆𝑥→0
𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)
∆𝑥
] + [ lim
∆𝑥→0
𝑔(𝑥) ] [ lim
∆𝑥→0
 
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
] 
 
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 202 
Exemplo 1 
Determine a derivada da função 𝑦 = (3 𝑥 − 2 𝑥2)(5 + 4 𝑥). 
Solução: De acordo com a Regra do Produto, temos: 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = (3 𝑥 − 2𝑥2)
𝑑
𝑑𝑥
[5 + 4𝑥] + (5 + 4𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
[3 𝑥 − 2𝑥2] 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = (3 𝑥 − 2𝑥2)(4) + (5 + 4𝑥)(3 − 4 𝑥) 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = (12 𝑥 − 8𝑥2) + (15 − 8𝑥 − 16𝑥2) 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = 15 + 4 𝑥 − 24𝑥2 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 203 
Exemplo 2 
Determine a derivada da função 
𝑓(𝑥) = (
1
𝑥
+ 1) (𝑥 − 1) 
Solução 
𝑓(𝑥) = (𝑥−1 + 1)(𝑥 − 1) 
𝑓′(𝑥) = (𝑥−1 + 1)
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥 − 1] +
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥−1 + 1] (𝑥 − 1) 
𝑓′(𝑥) = (𝑥−1 + 1)(1) + [−𝑥−2] (𝑥 − 1) 
𝑓′(𝑥) = (
1
𝑥
+ 1) +
(−𝑥 + 1)
𝑥2
 
𝑓′(𝑥) = (
𝑥2 + 1
𝑥2
) 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 204 
Exemplo 3 
Determine as derivadas das funções indicadas. 
(a) 𝑦 = 3 𝑥2 sen 𝑥 (b) 𝑦 = 2 𝑥 cos 𝑥 − 2 sen 𝑥 
Solução 
(a) 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = (3 𝑥2)
𝑑
𝑑𝑥
[sen 𝑥] + (sen 𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
[3 𝑥2] 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = (3 𝑥2)(cos 𝑥) + (sen 𝑥)(6 𝑥) 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = 3 𝑥2 cos 𝑥 + 6 𝑥 sen 𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = 3 𝑥 (𝑥 cos 𝑥 + 2 sen 𝑥) 
(b) 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = (2 𝑥) (
𝑑
𝑑𝑥
[cos 𝑥]) + (cos 𝑥) (
𝑑
𝑑𝑥
[2 𝑥]) − 2 
𝑑
𝑑𝑥
[sen 𝑥] 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = (2 𝑥)(− sen 𝑥) + (cos 𝑥) (2) − 2 cos 𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = − 2 𝑥 sen 𝑥 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 205 
Regra do Quociente 
 A derivada do quociente de duas funções deriváveis é igual a derivada do numerador vezes o 
denominador menos a derivada do denominador vezes o numerador; e o resultado dividido pelo quadrado 
do denominador. 
𝑑
𝑑𝑥
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] =
𝑓′(𝑥) 𝑔(𝑥) − 𝑔′(𝑥) 𝑓(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
 , 𝑔(𝑥) ≠ 0 
 
Demonstração 
 
Seja 𝐹(𝑥) = 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 
𝐹′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝐹(𝑥 + ∆𝑥) − 𝐹(𝑥)
∆𝑥
 
𝐹′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥)
𝑔(𝑥 + ∆𝑥)
−
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
∆𝑥
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 206 
𝐹′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥 + ∆𝑥)
∆𝑥 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥 + ∆𝑥) 
 
 
𝐹′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)⏞ 
𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑠𝑜𝑚𝑎
− 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥 + ∆𝑥)
∆𝑥 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥 + ∆𝑥)
 
 
𝐹′(𝑥) =
lim
∆𝑥→0
𝑔(𝑥) [𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)]
∆𝑥 − lim∆𝑥→0
 
𝑓(𝑥)[𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)]
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥 + ∆𝑥)
 
 
𝐹′(𝑥) =
𝑔(𝑥)[ lim
∆𝑥→0
[𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)]
∆𝑥 ] − 𝑓
(𝑥)[ lim
∆𝑥→0
 
[𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)]
∆𝑥 ]
lim
∆𝑥→0
𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥 + ∆𝑥)
 
𝐹′(𝑥) =
𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) − 𝑓(𝑥) 𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 207 
Exemplo 4 
Determine a derivada da função 𝑦 =
𝑥−1
2𝑥+3
 
Solução 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
(𝑥 − 1)′ (2𝑥 + 3) − (𝑥 − 1) (2𝑥 + 3)′
(2𝑥 + 3)2
 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
(1) (2𝑥 + 3) − (𝑥 − 1) (2)
(2𝑥 + 3)2
 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
2𝑥 + 3 − 2𝑥 + 2
(2𝑥 + 3)2
 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
5
(2𝑥 + 3)2
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 208 
Exemplo 5 
Determine a equação da reta tangente à curva da função 𝑦 =
2𝑥2−4𝑥+3
2−3𝑥
 no ponto de abscissa x = 1. 
Solução 
- Calculando a derivada de y. 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
(2𝑥2 − 4𝑥 + 3)′ (2 − 3𝑥) − (2𝑥2 − 4𝑥 + 3) (2 − 3𝑥)′
(2 − 3𝑥)2
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
(4𝑥 − 4) (2 − 3𝑥) − (2𝑥2 − 4𝑥 + 3) (−3)
(2 − 3𝑥)2
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
(−12𝑥2 + 20𝑥 − 8 + 6𝑥2 − 12𝑥 + 9)
(2 − 3𝑥)2
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
(−6𝑥2 + 8𝑥 + 1)
(2 − 3𝑥)2
 
- Calculando o ponto de abscissa x=1: 
Na equação original, para x = 1, teremos y = -1. 
- Calculando a inclinação da reta tangente: m = 3. 
- Determinando a equação da reta usando ponto inclinação: 𝑦 = 3𝑥 − 4. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 209 
Exemplo 6 
Determine a derivada da função 𝑦 =
3 − (1 𝑥⁄ )
𝑥 + 5
. 
Solução 
Em decorrência da fração no numerador, podemos rearranjar a expressão original antes de aplicar a regra 
do quociente. 
𝑦 =
3𝑥 − 1
𝑥
𝑥 + 5
 
𝑦 =
3𝑥 − 1
𝑥2 + 5𝑥
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
(3𝑥 − 1)′ (𝑥2 + 5𝑥) −(3𝑥 − 1) (𝑥2 + 5𝑥)′
(𝑥2 + 5𝑥)2
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
(3) (𝑥2 + 5𝑥) − (3𝑥 − 1) (2𝑥 + 5)
(𝑥2 + 5𝑥)2
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
(−3𝑥2 + 2𝑥 + 5)
(𝑥2 + 5𝑥)2
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 210 
Exemplo 7 
Quando o sangue move do coração para as grandes artérias, destas para os capilares e dos capilares para 
as veias, a pressão sistólica diminui progressivamente. 
Considere uma pessoa cuja pressão sistólica P (em milímetros de mercúrio) é dada por: 
𝑃 =
25𝑡2+125
𝑡2+1
 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 10, onde t é o tempo em segundos após o sangue deixar o coração. 
Qual é a taxa de variação da pressão sistólica cinco segundos após o sangue deixar o coração? 
Solução 
- Aplicar regra do quociente. 
𝑑
𝑑𝑡
𝑃 =
(25𝑡2 + 125)′ (𝑡2 + 1) − (25𝑡2 + 125) (𝑡2 + 1)′
(𝑡2 + 1)2
 
𝑑
𝑑𝑡
𝑃 =
(50 𝑡) (𝑡2 + 1) − (25𝑡2 + 125) (2𝑡)
(𝑡2 + 1)2
 
𝑑
𝑑𝑡
𝑃 =
−(200 𝑡)
(𝑡2 + 1)2
 
- No instante t = 5, a taxa de variação é −
200 (5)
(26)2
≈ −1,48 𝑚𝑚/𝑠. 
A pressão está diminuindo à taxa de 1,48 mm/s. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 211 
Derivada de Outras Funções Trigonométricas 
 Conhecendo-se as derivadas do seno e do cosseno, podemos utilizar a Regra do Quociente para 
encontrar as derivadas de quatro outras funções trigonométricas remanescentes. 
 
Comprovação: 
Lembrando que tan 𝑥 =
sen𝑥
cos 𝑥
 , então podemos aplicar a regra do quociente. 
𝑑
𝑑𝑥
[tan 𝑥] =
(cos 𝑥)(cos 𝑥) − (sen 𝑥) (− sen 𝑥)
cos2 𝑥
 
𝑑
𝑑𝑥
[tan 𝑥] =
cos2 𝑥 + sen2 𝑥
cos2 𝑥
 
𝑑
𝑑𝑥
[tan 𝑥] =
1
cos2 𝑥
 
𝑑
𝑑𝑥
[tan 𝑥] = sec2 𝑥 
A comprovação das outras três funções trigonométricas é exercício. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 212 
Exemplo 8 
O cálculo da derivada de funções trigonométricas pode ser feito por meio de consulta direta de uma tabela 
de derivadas respeitando-se as regras de derivação como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 213 
Exemplo 9 
Determinar a derivada da função 𝑦 =
1 − cos𝑥
sen𝑥
= csc 𝑥 − cot 𝑥 , nas duas formas apresentadas. 
Solução 
- Primeira forma: regra do quociente. 
𝑦 =
1 − cos 𝑥
sen 𝑥
 
𝑦′ =
(sen 𝑥)(sen 𝑥) − (1 − cos 𝑥)(cos 𝑥)
sen2 𝑥
 
𝑦′ =
sen2 𝑥 + cos2 𝑥 − cos 𝑥
sen2 𝑥
 
𝑦′ =
1 − cos 𝑥
sen2 𝑥
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 214 
- Segunda forma 
𝑦 =
1 
sen 𝑥
−
cos 𝑥
sen 𝑥
= csc 𝑥 − cot 𝑥 
𝑦 ′ = −csc 𝑥 cot 𝑥 + csc2 𝑥 
 
Obs: 
As duas formas são similares pois: 
1 − cos 𝑥
sen2 𝑥
=
1
sen2 𝑥
− (
1
sen 𝑥
) (
cos 𝑥
sen 𝑥
) 
1 − cos 𝑥
sen2 𝑥
= csc2 𝑥 − csc 𝑥 cot 𝑥 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 215 
3.5 - A Regra da Cadeia 
 Esta regra é uma das mais úteis no cálculo diferencial. 
 Ela se aplica à funções compostas e torna as regras apresentadas até aqui 
mais versáteis. 
 Se y = f (u) é uma função derivável de u, e u = g(x) é uma função 
derivável de x, então y = f(g(x)) é uma função derivável de x, e 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 𝑜𝑢 𝑦′(𝑥) = 𝑓′(𝑢) 𝑔′(𝑥) 
ou seja, 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑔(𝑥))] = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 216 
 Ao aplicar a Regra da Cadeia, pode ser útil imaginar que uma função composta como 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) 
ou 𝑦 = 𝑓(𝑢) possui duas partes, uma parte interna e uma parte externa, como está ilustrado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 De acordo com a Regra da Cadeia, a derivada da função 𝑦 = 𝑓(𝑢) em relação à variável 
independente x é a derivada da função externa (em relação a uma variável que representa a função 
interna u) multiplicada pela derivada da função interna em relação à variável independente. Assim, 
𝑦 ′ = 𝑓 ′(𝑢) ∙ 𝑢 ′ 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 217 
Exemplo 1 
Determine a derivada da função 𝑦 = (𝑥2 + 1)3. 
Solução 
Identificando a função u (função interna). 
𝑦 = (𝑥2 + 1⏞ 
𝑢
)
3
= 𝑢3 
De acordo com a regra da cadeia, temos: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 ′(𝑢) ∙ 𝑢 ′ = 3 𝑢2 ∙ 𝑢 ′ = 3 (𝑥2 + 1)2⏞ 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
 (2𝑥)⏞
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 = 6𝑥 (𝑥2 + 1)2 
 
Generalizando, 
Se 𝑦 = [𝑢(𝑥)]𝑛, onde u é uma função derivável de x e n é um número real, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑛 [𝑢(𝑥)]𝑛−1 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑢𝑛] = 𝑛 𝑢𝑛−1 𝑢′ 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 218 
Exemplo 2 
Determine a reta tangente à curva da função 𝑦 = √(𝑥2 + 4)2
3
 no ponto x = 2. 
Solução 
- Reescrevendo a expressão 
𝑦 = (𝑥2 + 4)
2
3⁄ 
- Definindo a função interna 𝑢 = 𝑥2 + 4 ⇒ 𝑦 = 𝑢
2
3 
- Aplicando a regra da potência generalizada. 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = 
2
3
 
⏞
𝑛
 (𝑥2 + 4)−
1
3⁄
⏞ 
𝑢𝑛−1
 (2𝑥)⏞
𝑢′
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
4𝑥 (𝑥2 + 4)−
1
3⁄
3
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
4𝑥
3 √𝑥2 + 4
3 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 219 
 
Para x = 2, na função original, y = 4 e a inclinação da reta tangente 
à curva no ponto (2 , 4) é 4/3. 
 
Utilizando a forma ponto inclinação, vemos que a equação da reta 
tangente é 𝑦 =
4
3
 𝑥 +
4
3
. 
 
Os gráficos da função e da reta tangente aparecem na Figura 2.29. 
 
 
 
Exemplo 3 
Determine a derivada da função 𝑓(𝑥) = (
3𝑥−1
𝑥2+3
)
2
. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 220 
- Derivada de Funções Trigonométricas e a Regra da Cadeia 
 Utilizando a Regra da Cadeia, podemos ter uma versão generalizada para a derivada de seis funções 
trigonométricas. Considere o argumento das funções trigonométricas funções de x. Assim: 
 
 
Obs: O uso do parênteses e a derivada de funções trigonométricas: 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 221 
Exemplo 4 
Determinar a derivada das seguintes funções: 
(a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥2) (b) 𝑦 = cos (
1
𝑥
) 
Solução 
(a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥2) 
Fazendo 𝑢 = 𝑥2, e consultando uma tabela de derivadas para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑢), teremos: 
𝑦′ = cos 𝑢 . 𝑢′ 
𝑦′ = cos(𝑥2) . 2 𝑥 
𝑦′ = 2 𝑥 cos(𝑥2) 
 
(b) 𝑦 = cos (
1
𝑥
) 
Fazendo 𝑢 =
1
𝑥
, e consultando uma tabela de derivadas para 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑢), teremos: 
𝑦′ = − 𝑠𝑒𝑛 
1
𝑥
 . (−
1
𝑥2
) ; 𝑦′ =
1
𝑥2
 𝑠𝑒𝑛 
1
𝑥
 𝑦′ = − 𝑠𝑒𝑛 𝑢 . 𝑢′ ; 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 222 
Exemplo 5 
Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de 
𝑓(𝑥) = 2 sen 𝑥 + cos(2𝑥) , no ponto (𝜋 , 1), mostrada na 
figura ao lado. 
a) Determine todos os valores de x no intervalo (0 , 2 𝜋) nos 
quais o gráfico de f(x) tem tangente horizontal. 
 
Solução 
- Determinando a derivada de f(x): 
𝑓′(𝑥) = 2 cos 𝑥 − (sen 2 𝑥) (2) 
𝑓′(𝑥) = 2 cos 𝑥 − 2 sen 2 𝑥 
 
- Para determinarmos a equação da reta tangente em (𝜋 , 1), calculamos 𝑓′(𝜋) 
𝑓′(𝜋) = 2 cos 𝜋 − 2 sen 2 𝜋 
𝑓′(𝜋) = −2 (inclinação do gráfico em (𝜋 , 1)) 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 223 
Usando a forma ponto-inclinação da reta, podemos escrever: 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1) 
𝑦 − 1 = −2 (𝑥 − 𝜋) 
𝑦 = 1 − 2 𝑥 + 2𝜋 
 
a) As inclinações correspondentes às tangentes horizontais, se existem, são determinadas por 𝑓′(𝑥) = 0. 
𝑓′(𝑥) = 2 cos 𝑥 − 2sen 2 𝑥 = 0 
𝑓′(𝑥) = 2 cos 𝑥 − 4 sen 𝑥 cos(𝑥) = 0 
Analiticamente, da expressão acima, verificamos que 𝑓′(𝑥) será igual a zero quando: 
𝑠𝑒𝑛(𝑥) =
1
2
 ou cos(𝑥) = 0. 
Logo, no intervalo (0 , 2 𝜋) teremos: 
𝑠𝑒𝑛(𝑥) =
1
2
⟹ 𝑥 =
𝜋
6
𝑒 𝑥 =
5 𝜋
6
 
𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 =
𝜋
2
𝑒 𝑥 =
3 𝜋
2
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 224 
Resumo das Regras de Derivação 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 225 
Derivadas de Algumas Funções Elementares 
- Derivada da Função Exponencial natural 
 Se 𝑦 = 𝑒𝑥, então 
𝑦′ = (𝑒𝑥) ′ = 𝑒𝑥 ln 𝑒 = 𝑒𝑥 
 
- Demonstração do resultado acima utilizando a definição de derivada: 
𝑦′ = lim
∆𝑥→0
𝑒(𝑥+∆𝑥) − 𝑒𝑥
∆𝑥
 
𝑦′ = lim
∆𝑥→0
(𝑒𝑥 𝑒∆𝑥 − 𝑒𝑥)
∆𝑥
 
𝑦′ = lim
∆𝑥→0
𝑒𝑥 (𝑒∆𝑥 − 1)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑒𝑥 × lim
∆𝑥→0
(𝑒∆𝑥 − 1)
∆𝑥
 
O limite lim
∆𝑥→0
(𝑒∆𝑥−1)
∆𝑥
 tende para 1 (demonstração na Seção 2.3 da Unidade 2). Assim, 
𝑦′ = 𝑒𝑥 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 226 
- Derivada da Função Logarítmica 
 Se 𝑦 = ln 𝑥 , então 
𝑦′ =
1
𝑥
 ln 𝑒 =
1
𝑥
 
 
- Demonstração do resultado do caso particular: 
* utilizando a definição de derivada: 
𝑦′ = lim
∆𝑥→0
ln(𝑥 + ∆𝑥) − ln 𝑥
∆𝑥
 
𝑦′ = lim
∆𝑥→0
ln [
(𝑥 + ∆𝑥)
𝑥 ]
∆𝑥
 
𝑦′ = lim
∆𝑥→0
ln (
𝑥 + ∆𝑥
𝑥 )
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
1
∆𝑥
ln (
𝑥 + ∆𝑥
𝑥
) = lim
∆𝑥→0
ln (
𝑥 + ∆𝑥
𝑥
)
1
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
ln (1 +
1
𝑥
∆𝑥)
1
∆𝑥
 
 
O valor 
1
𝑥
 não depende de ∆𝑥, logo podemos identificá-lo, nessa equação, como uma constante b. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 227 
Assim, 
𝑦′ = lim
∆𝑥→0
ln(1 + 𝑏 ∆𝑥)
1
∆𝑥 
Podemos demonstrar, por meio de tabela ou por processo gráfico (idêntico ao que foi feito na Seção 2.3 
da Unidade 2), que a expressão: 
lim
∆𝑥→0
(1 + 𝑏 ∆𝑥)
1
∆𝑥 = 𝑒𝑏 
 
Logo, 
𝑦′ = lim
∆𝑥→0
ln(1 + 𝑏 ∆𝑥)
1
∆𝑥 = lim
∆𝑥→0
ln 𝑒𝑏 = lim
∆𝑥→0
𝑏 ln 𝑒 = 𝑏 
 
Portanto, 
𝑦′ =
1
𝑥
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 228 
* utilizando a Regra da Cadeia: 
𝑦 = ln 𝑥 Função Logarítmica natural 
𝑒𝑦 = 𝑥 Escrevendo expressão na forma exponencial 
 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑒𝑦] =
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥] Derivando os dois lados da expressão em relação a x. 
 Aplicação da regra da cadeia 
𝑒𝑦 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 𝐷𝑖𝑣𝑖dindo ambos os membros por 𝑒𝑦 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 ′ =
1
𝑒𝑦
 Substituindo 𝑒𝑦 por 𝑥. 
𝑦 ′ =
1
𝑥
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 229 
- Derivada da Função Exponencial Composta 
 Se 𝑦 = 𝑢𝑣 , onde 𝑢 = 𝑢(𝑥) e 𝑣 = 𝑣(𝑥) são funções de x e deriváveis num intervalo I e 𝑢(𝑥) > 0 
∀ 𝑥 ∈ 𝐼, então: 
𝑦′ = 𝑣 𝑢𝑣−1 𝑢′ + 𝑢𝑣 ln 𝑢 𝑣′ 
 
Demonstração 
- Determinando a derivada de y. 
𝑦 = 𝑢𝑣 
- Aplicando logaritmo natural aos dois lados da expressão 
ln 𝑦 = ln 𝑢𝑣 ⇒ ln 𝑦 = 𝑣 ln 𝑢 
- Derivando os dois lados da expressão da direita utilizando a Regra da Cadeia: 
1
𝑦
 𝑦′ = 𝑣′ ln 𝑢 + 𝑣 (ln 𝑢)′ ⇒ 
1
𝑦
 𝑦′ = 𝑣′ ln 𝑢 + 𝑣 
1
𝑢
 𝑢′ 
𝑦′ = 𝑢𝑣(𝑣′ ln 𝑢 + 𝑣 𝑢−1 𝑢′ ) ⟹ 𝑦′ = 𝑢𝑣 ln 𝑢 𝑣′ + 𝑣 𝑢𝑣−1 𝑢′ 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 230 
 Generalizando, podemos determinar as derivadas de funções exponenciais ou logarítmicas em bases 
diferentes da base natural, convertendo as funções para a base (e) ou usar as regras de derivação 
apresentadas na tabela abaixo: 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 231 
Exemplo 6 
Determinar a derivada da função 𝑦 = 32𝑥
2+3𝑥−1. 
Solução 
- Resolvendo por meio da regra 𝑦 = 𝑢𝑣: 
Chamando 2𝑥2 + 3𝑥 − 1 de v e 3 de u, teremos 𝑦 = 𝑢𝑣. 
Logo, 
𝑦′ = 𝑢𝑣 ln 𝑢 𝑣′ + 𝑣 (𝑢𝑣−1) (𝑢)′ 
 
𝑦′ = 32𝑥
2+3𝑥−1 ln 3 (2𝑥2 + 3𝑥 − 1)′ + (2𝑥2 + 3𝑥 − 1) (32𝑥
2+3𝑥−2) (0) 
 
𝑦′ = ln 3 32𝑥
2+3𝑥−1 (4𝑥 + 3) 
 
- Resolvendo por meio da regra 𝑦 = 𝑎𝑢: 
𝑦′ = 𝑎𝑢 ln 𝑎 𝑢′ = 32𝑥
2+3𝑥−1 ln 3 (4𝑥 + 3) 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 232 
Exemplo 7 
Determinar a derivada da função 𝑦 = (
1
2
)
√𝑥
 
Solução 
- Temos 𝑦 = (
1
2
)
𝑣
, onde 𝑣 = √𝑥. 
Assim, 
Generalizando a derivada da função exponencial 
𝑦′ = (
1
2
)
𝑣
( ln
1
2
) 𝑣′ 
Então, 
𝑦′ = (
1
2
)
√𝑥
( ln
1
2
) (√𝑥)
′
 
𝑦′ = ( ln
1
2
) (
1
2
)
√𝑥
 (
1
2 √𝑥
) 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 233 
Exemplo 8 
Determinar a derivada de 𝑦 = 𝑒
𝑥+1
𝑥−1 
Solução 
- Fazendo 𝑦 = 𝑒𝑣 , com 𝑣 =
𝑥+1
𝑥−1
 , temos: 
 
Generalizando, a expressão da derivada da função exponencial de base e. 
𝑦′ = 𝑒𝑣 𝑣′ 
Então, 
𝑦′ = 𝑒
𝑥+1
𝑥−1 (
(1)(𝑥 − 1) − (1)(𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)2
) 
𝑦′ = 𝑒
𝑥+1
𝑥−1 (
−2
(𝑥 − 1)2
) 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 234 
Exemplo 9 
Determinar a derivada da função 𝑦 = log2(3𝑥
2 + 7𝑥 − 1). 
Solução 
- Chamando 𝑢 = 3𝑥2 + 7𝑥 − 1 , então 
𝑦 = log2 𝑢 
Logo, 
Generalizando, a expressão da derivada da função logarítmica. 
𝑦′ = 
ln 𝑒
ln 2
 . (
1
𝑢
) . (𝑢′) 
Então 
𝑦′ =
1
ln 2
 
(3𝑥2 + 7𝑥 − 1)′
3𝑥2 + 7𝑥 − 1
 
𝑦′ =
1
ln 2
 (
6𝑥 + 7
3𝑥2 + 7𝑥 − 1
) 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 235 
Exemplo 10 
Determinar a derivada de 𝑦 = (𝑥2 + 1)(2𝑥−1). 
Solução 
- Chamando 𝑦 = 𝑢𝑣 , onde 𝑢 = 𝑥2 + 1 > 0 e 𝑣 = 2𝑥 − 1. 
Assim, 
Utilizando a regra 𝑦′ = 𝑢𝑣 ln 𝑢 𝑣′ + 𝑣 (𝑢𝑣−1) (𝑢)′ 
 
𝑦′ = (𝑥2 + 1)(2𝑥−1) [ln(2𝑥 − 1)] (2𝑥 − 1)′ + (2𝑥 − 1) (𝑥2 + 1)(2𝑥−1−1) (𝑥2 + 1)′ 
 
𝑦′ = (𝑥2 + 1)(2𝑥−1) [ln(2𝑥 − 1)] (2) + (2𝑥 − 1) (𝑥2 + 1)(2𝑥−2) (2𝑥) 
 
𝑦′ = 2 (𝑥2 + 1)(2𝑥−1) [ln(2𝑥 − 1)] + (4𝑥2 − 2𝑥) (𝑥2 + 1)(2𝑥−2) 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 236 
3.6 - Derivadas de Ordem Superior 
 Seja f uma função derivável definida em um certo intervalo. 
 A sua derivada 𝑓′ pode ser também uma função e definida no mesmo intervalo. 
 Poderemos, portanto, pensar na derivada da função 𝑓′. 
 
Definição 
 Seja f(x) uma função derivável. 
 Se 𝑓′(𝑥) também for derivável, então a sua derivada é chamada derivada segunda de f(x) e é 
representada por 𝑓′′(𝑥). 
 Se 𝑓′′(𝑥) é uma função derivável, sua derivada, representada por 𝑓′′′(𝑥), é chamada derivada 
terceira de f(x). 
 A derivada de ordem n ou n-ésima derivada de f, representada por 𝑓𝑛(𝑥), é obtida derivando-se a 
derivada de ordem (n - 1) de f(x). 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 237 
 O quadro a seguir mostra as várias formas de representar derivadas de ordem superior. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 238 
Exemplo 1 
Determine as primerias três derivadas da função 𝑓(𝑥) = 3 𝑥2 + 8 𝑥 + 1, então 
𝑓′(𝑥) = 6𝑥 + 8 
𝑓′′(𝑥) = 6 
𝑓′′′(𝑥) = 0 
 
 
Exemplo 2 
Determine a derivada segunda de 𝑓(𝑥) = tan 𝑥. 
Solução 
Consultando uma tabela de derivadas teremos: 
𝑓′(𝑥) = sec2 𝑥 
Fazendo 𝑢 = sec 𝑥, e consultando uma tabela de derivadas para 𝑦 = 𝑢2, teremos:𝑓′′(𝑥) = 2 𝑢 . 𝑢′ 
𝑓′′(𝑥) = 2 sec 𝑥 . (sec 𝑥 . tan 𝑥) 
𝑓′′ = 2 sec2 𝑥 tan 𝑥 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 239 
Exemplo 3 
Determine as derivadas n-ésimas das funções abaixo: 
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑒
𝑥
2⁄ (b) 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 
Solução 
(a) Fazendo 𝑢 = 𝑥 2⁄ e consultando uma tabela de derivadas para 𝑦 = 𝑒
𝑢, teremos: 
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑢 . 𝑢′ 
𝑓′(𝑥) = 𝑒
𝑥
2⁄ . (
1
2
) =
1
2
 𝑒
𝑥
2⁄ 
Analogamente, 
𝑓′′(𝑥) =
1
2
 𝑒
𝑥
2⁄ (
1
2
) =
1
4
𝑒
𝑥
2⁄ 
𝑓′′′(𝑥) =
1
4
 𝑒
𝑥
2⁄ (
1
2
) =
1
8
𝑒
𝑥
2⁄ 
Generalizando, 
𝑓(𝑛)(𝑥) =
1
2𝑛
𝑒
𝑥
2⁄ 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 240 
(b) 𝑓′(𝑥) = cos 𝑥 
𝑓′′(𝑥) = − sin 𝑥 
𝑓′′′(𝑥) = −cos 𝑥 
𝑓(4)(𝑥) = sin 𝑥 
⋮ 
 
𝑓(𝑛)(𝑥) = {
+cos 𝑥
− sin 𝑥
− cos 𝑥
+ sin 𝑥
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1 , 5 , 9 , ⋯
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 2 , 6 , 10 ,⋯
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 3 , 7 , 11 ,⋯
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 4 , 8 , 12 ,⋯
 
Generalizando, 
𝑓𝑛(𝑥) = {
(−1)
𝑛
2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 , 𝑠𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟
(−1)
𝑛−1
2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 , 𝑠𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 241 
Aceleração 
 Em decorrência da aplicação do conceito de derivada, do seu uso intenso em determinados tipos de 
sistemas, algumas vezes as derivadas recebem uma identificação particular. 
 Como visto, na seção 3.3, a velocidade de um corpo que está se movendo em linha reta é dada pela 
derivada da função posição. 
 Assim, a taxa de variação da posição de um corpo em relação ao tempo é definida como a velocidade 
do corpo. 
 Analogamente, a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo é definida como a aceleração 
do corpo. 
 
𝑠 = 𝑓(𝑡) Função posição 
𝑑
𝑑𝑡
𝑠 = 𝑓′(𝑡) Função velocidade 
𝑑2
𝑑𝑡2
𝑠 = 
𝑑
𝑑𝑡
𝑓 ′(𝑡) = 𝑓′′(𝑡) Função aceleração 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 242 
Exemplo 4 
Uma bola é arremessada verticalmente para cima do alto de um morro de 50 metros de altura. A 
velocidade inicial da bola é de 14 metros por segundo, e, portanto, a função posição é: 
𝑠(𝑡) = −4,9 𝑡2 + 14 𝑡 + 50, onde t é o tempo em segundos. 
Determine a altura, a velocidade e a aceleração da bola no instante t = 3. 
Solução 
- A função velocidade é obtida pela derivada da função posição. 
𝑠(𝑡) = −4,9 𝑡2 + 14 𝑡 + 50 Função posição 
𝑑
𝑑𝑡
𝑠(𝑡) = 𝑓′(𝑡) = −9,8 𝑡 + 14 Função velocidade 
 
- A função aceleração é obtida pela derivada da função velocidade. 
𝑑
𝑑𝑡
𝑠(𝑡) = 𝑓′(𝑡) = −9,8 𝑡 + 14 Função velocidade 
𝑑
𝑑𝑡
𝑓′(𝑡) =
𝑑2
𝑑𝑡2
𝑠(𝑡) = 𝑓′′(𝑡) = −9,8 Função aceleração 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 243 
- No instante t = 3 teremos: 
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝑠(3) = −4,9 (3)2 + 14 (3) + 50 = 47,9 𝑚 
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑓′(3) = −9,8 (3) + 14 = −15,4 𝑚/𝑠 
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 = 𝑓′′(3) = −9,8 𝑚/𝑠2 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 244 
Exemplo 5 
A velocidade v (metros por segundo) de um certo automóvel que parte do repouso é dada por 𝑣(𝑡) =
25 𝑡
𝑡+5
, 
onde t é o tempo (em segundos). A posição do automóvel é mostrada na Figura 2.32. Determine a 
velocidade e a aceleração do automóvel a intervalos de 10 segundos de t = 0 a t = 60. 
Solução 
 
- Derivando a função velocidade 
𝑑
𝑑𝑡
𝑣(𝑡) =
25 (𝑡 + 5) − (1)25 𝑡
(𝑡 + 5)2
=
125
(𝑡 + 5)2
 
 
t (s) 0 10 20 30 40 50 60 
v (m/s) 0 16,7 20,0 21,43 22,22 22,73 23,08 
𝑑
𝑑𝑡
𝑣 (𝑚/𝑠2) 5 0,56 0,20 0,10 0,06 0,04 0,03 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 245 
3.7 - Derivação Implícita 
 Até aqui, quase todas as relações funcionais entre duas variáveis estavam expressas na forma 
explícita 𝑦 = 𝑓(𝑥). Ou seja, uma das variáveis foi expressa explicitamente em termos da outra. 
 
Exemplo 1 
Determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 para a equação x y = 1. 
Solução 
- Explicitando y e derivando os dois lados da igualdade em relação a x: 
𝑦 =
1
𝑥
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = −𝑥−2 = −
1
𝑥2
 . 
 
 No Exemplo 1, a variável dependente pôde ser explicitada com facilidade. 
 
 Muitas relações, porém, não estão expressas na forma explícita. 
 Assim, por exemplo, como será possível calcular 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 para a equação 𝑥2 − 2 𝑦3 + 4 𝑦 = 2 se não 
sabemos como expressar y em função de x? 
 Para tanto, podemos utilizar um método conhecido como derivação implícita. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 246 
Derivação Implícita 
 Para compreender o método usado para calcular 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 , implicitamente, precisamos nos lembrar de que 
a derivação está sendo executada em relação a x (variável independente). 
 Logo, ao derivar um termo que envolve a variável y, devemos aplicar a Regra da Cadeia, já que 
supomos que a variável y seja uma função de x. 
 
Roteiro dos Procedimentos da Derivação Implícita 
Considere uma equação que envolva x e y e na qual y seja uma função derivável de x. 
Os passos a seguir podem ser usados para determinar 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 
 1. Derive os dois membros da equação em relação a x. 
 2. Escreva os resultados de tal forma que todos os termos que envolvem 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 estejam do 
 lado esquerdo da igualdade e todos os outros termos estejam no lado direito. 
 3. Coloque 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 em evidência no lado esquerdo da equação. 
 4. Explicite 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, dividindo ambos os membros da equação pelo fator do lado esquerdo que 
 não envolve 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 247 
Exemplo 2 
Derive em relação a x as expressões dadas. 
(a) 3 𝑥2 (b) 2 𝑦3 (c) 𝑥 + 3 𝑦 (d) 𝑥 𝑦2 
 
Solução 
(a) 3 𝑥2: a única variável nesta expressão é x; assim, para derivarmos em relação a x, podemos usar a 
Regra da Potência e a Regra da Multiplicação por uma Constante para obtermos: 
 
𝑑
𝑑𝑥
[3 𝑥2] = 6 𝑥. 
 
(b) 2 𝑦3: supor que y é uma função derivável e usamos a Regra da Cadeia. 
𝑑
𝑑𝑥
[2 𝑦3] = 2⏞
𝑐
 (3)⏞
𝑛
 𝑦2⏞
𝑢𝑛−1
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦
⏞
𝑢′
 
𝑑
𝑑𝑥
[2 𝑦3] = 6 𝑦2 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 248 
(c) 𝑥 + 3 𝑦:Aplicar a Regra da Soma e a Regra da Multiplicação por uma Constante. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥 + 3 𝑦] = 1 + 3 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 
 
(d) 𝑥 𝑦2: De acordo com a Regra do Produto e a Regra da Cadeia, temos: 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥 𝑦2] =
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥] 𝑦2 + 𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑦2] = 𝑦2 + 𝑥 2 𝑦 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥 𝑦2] = 𝑦2 + 2 𝑥 𝑦 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 249 
Exemplo 3 
Determine a inclinação da reta tangente, mostrada na Figura 2.33, à elipse 𝑥2 + 4 𝑦2 = 4 no ponto de 
coordenadas (√2 , −
1
√2
). 
Solução 
𝑥2 + 4 𝑦2 = 4 
- Derivar em relação a x. 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2 + 4 𝑦2) =
𝑑
𝑑𝑥
 (4) 
2𝑥 + 8 𝑦 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = 0 
- Evidenciando 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 e simplificando. 
8 𝑦 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = −2 𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = −
2 𝑥
8 𝑦
= −
𝑥
4 𝑦
 
- Substituindo as coordenadas do ponto dado na equação 
da tangente. 
𝑚𝑡 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = −
√2
4 (−
1
√2
)
=
1
2
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 250 
Exemplo 4 
Determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 para a equação 𝑦3 + 𝑦2 − 5𝑦 − 𝑥2 = −4. 
Solução 
- Derivando em relação a x. 
𝑦3 + 𝑦2 − 5𝑦 − 𝑥2 = −4 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑦3 + 𝑦2 − 5𝑦 − 𝑥2] =
𝑑
𝑑𝑥[−4] 
3 𝑦2
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 + 2 𝑦 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 − 5 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 − 2 𝑥 = 0 
 
- Evidenciando 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 . 
(
𝑑
𝑑𝑥
𝑦) (3 𝑦2 + 2 𝑦 − 5 ) = 2 𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
2 𝑥
(3 𝑦2 + 2 𝑦 − 5 )
 
- A curva da equação original aparece na Figura 2.34. 
Determine a inclinação da curva nos pontos (1 , -3), (2 , 0) e 
(1 , 1). 
𝑚𝑡 =
2 (1)
[3 (−3)2+2 (−3)−5]
=
1
8
 ... 𝑚𝑡 =
2 (2)
[3 (0)2+2 (0)−5]
= −
4
5
 ... 
𝑚𝑡 =
2 (1)
[3 (1)2 + 2 (1) − 5]
= ∄ (𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑥 = 1) 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 251 
Exemplo 5 
Determine a inclinação da curva da equação 2 𝑥2 − 𝑦2 = 1 no ponto (1 , 1). 
Solução 
- Derivando em relação a x. 
2 𝑥2 − 𝑦2 = 1 
𝑑
𝑑𝑥
[2 𝑥2 − 𝑦2] =
𝑑
𝑑𝑥
[1] 
4 𝑥 − 2 𝑦 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = 0 
 
- Evidenciando 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 
4 𝑥 − 2 𝑦 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 ⟹ 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
4 𝑥
2 𝑦
=
2 𝑥
𝑦
 
- A inclinação da curva no ponto (1 , 1) é dada por 𝑚𝑡 =
2 (1)
(1)
= 2 
Como mostra a Figura 2.35. Essa curva é chamada de hipérbole. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 252 
3.8 - Taxas Relacionadas 
 Nesta seção estudaremos problemas envolvendo variáveis que estão associadas 
entre si e ainda com uma terceira variável comum, o tempo. 
 Quando duas variáveis estão relacionadas, suas taxas de variação em relação ao 
tempo também estão relacionadas. 
 
 Quando água está saindo de um tanque cônico, figura ao lado, o volume V, o 
raio r, e a altura h do nível de água variam com o tempo t. 
 
 Sabendo-se que estas variáveis estão relacionadas pela equação: 
 
𝑉 =
𝜋
3
 𝑟2 ℎ equação (relação funcional) original 
 
podemos aplicar derivação implícita, em relação a t, e obteremos uma equação de 
taxa relacionada. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 253 
𝑑
𝑑 𝑡
(𝑉) =
𝑑
𝑑 𝑡
 (
𝜋
3
 𝑟2 ℎ) 
 
𝑑 𝑉
𝑑 𝑡
=
𝜋
3
 [𝑟2 
𝑑 ℎ
𝑑 𝑡
+ ℎ (2 𝑟 
𝑑 𝑟
𝑑 𝑡
)] 
 
𝑑 𝑉
𝑑 𝑡
=
𝜋
3
 (𝑟2 
𝑑 ℎ
𝑑 𝑡
+ 2 𝑟 ℎ 
𝑑 𝑟
𝑑 𝑡
) 
 
 Por meio desta equação nós podemos verificar que a taxa de variação de V está relacionada com as 
taxas de variação tanto de r quanto de h. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 254 
Exemplo 1 
Considere que as variáveis x e y são funções deriváveis de t e estão relacionadas por 𝑦 = 𝑥2 + 3. 
Sabendo que, para x = 1 , 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 2, determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 para x = 1. 
Solução 
- Usaremos a regra da cadeia para derivar os dois membros da equação em relação a t. 
𝑦 = 𝑥2 + 3 Função dada 
𝑑
𝑑𝑡
[𝑦] =
𝑑
𝑑𝑡
[𝑥2 + 3] Derivar em relação a t. 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 2 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 Aplicar a regra da cadeia 
 
Para x = 1 e 
𝑑
𝑑𝑡
𝑥 = 2, teremos: 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 2 (1) (2) = 4. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 255 
Exemplo 2 
Uma pedra, jogada no centro de um lago calmo, produz ondas com a forma de círculos concêntricos, 
como mostrado na figura abaixo. O raio r da primeira onda formada está aumentando a uma taxa constante 
de 1 metro por segundo. Quando o raio é de 4 metros, a que taxa a área total A coberta pelas ondas está 
aumentando? 
Solução 
- Estabelecendo as relações entre as variáveis área e raio. 
As variáveis r e A estão relacionadas pela equação da área do círculo: 
𝐴 = 𝜋 𝑟2. Para resolvermos o problema, consideramos o fato de que a 
taxa de variação do raio é dada por 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
. 
- Equação: 𝐴 = 𝜋 𝑟2 
- Taxa dada: 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 1 e r = 4. 
- Determinando as taxas relacionadas: 
𝑑
𝑑𝑡
[𝐴] =
𝑑
𝑑𝑡
[𝜋 𝑟2] 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 2 𝜋 𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
 
Para : 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 1 e r = 4, temos: 
 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 2 𝜋 (4) (1) = 8 𝜋 𝑚
2
𝑠⁄ 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 256 
Roteiro para Resolver Problemas de Taxas Relacionadas 
 
 1. Identifique todas as grandezas conhecidas e todas as grandezas a serem determinadas. 
 Se possível, faça um desenho e represente cada variável por uma letra. 
 2. Escreva uma equação que relacione todas as variáveis cujas taxas de variação são 
 conhecidas ou que devam ser determinadas. 
 3. Use a Regra da Cadeia para derivar ambos os membros da equação em relação ao tempo. 
 4. Substitua, na equação resultante, todos os valores conhecidos das variáveis e de suas taxas 
 de variação. Em seguida, explicite a taxa de variação pedida. 
 
 
Obs.: Os passos 3 e 4 do roteiro devem ser executados na ordem indicada. 
 Não substitua as variáveis por seus valores antes de derivar a equação 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 257 
Exemplo 3 
Um balão esférico está sendo enchido com ar à taxa de 4,5 centímetros cúbicos por minuto, como 
mostrado na Figura 2.37. 
Determine a taxa de variação do raio do balão quando o raio é de 2 centímetros. 
Solução 
Seja V o volume, e r o raio do balão. Como o volume está aumentando à taxa 
de 4,5 cm3/min, sabemos que 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 4,5. 
A equação que relaciona V e r é 𝑉 = 4 𝜋 𝑟3/3. 
 
- Definição do modelo matemático: 
Equação: 𝑉 =
4
3
 𝜋 𝑟3 
Taxa dada: 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 4,5 
O que fazer: calcular 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 para r = 2 cm. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 258 
- Derivando a equação, obtemos: 
𝑉 =
4
3
 𝜋 𝑟3 
𝑑
𝑑𝑡
[𝑉] =
𝑑
𝑑𝑡
[
4
3
 𝜋 𝑟3] 
𝑑 𝑉
𝑑𝑡
=
4
3
 𝜋 (3 𝑟2)
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
 
Explicitando 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
1
4 𝜋 (𝑟2)
 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 
 
Para r = 2 e 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 4,5, a taxa de variação do raio é de: 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
1
4 𝜋 (22)
 4,5 ≈ 0,09 𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 259 
Exemplo 4 
Uma aeronave está voando com um plano de voo que passa diretamente 
sobre uma estação de rastreamento por radar, como mostrado na figura 
ao lado, a uma altitude de 6 milhas. 
Se s está reduzindo a uma taxa de 400 milhas por hora, quando 
𝑠 = 10 milhas, qual é a velocidade da aeronave? 
 
Solução 
- Seja x a distância horizontal a partir da estação até a aeronave, como 
mostrado na figura. 
- Quando 𝑠 = 10 , então 𝑥 = √102 − 36 = 8. 
- Informações do enunciado: 
𝑑 𝑠
𝑑 𝑡
= −400 quando 𝑠 = 10 
𝑑 𝑥
𝑑𝑡
=? , quando 𝑠 = 10 e 𝑥 = 8 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 260 
- Resolvendo as equações 
 𝑥2 + 62 = 𝑠2 Teorema de Pitágoras 
 2 𝑥 
𝑑 𝑥
𝑑 𝑡
= 2 𝑠 
𝑑 𝑠
𝑑 𝑡
 Diferenciando em relação a t 
 
𝑑 𝑥
𝑑 𝑡
=
𝑠
𝑥
 
𝑑 𝑠
𝑑 𝑡
 Simplificando para 
𝑑 𝑥
𝑑 𝑡
 
 
𝑑 𝑥
𝑑 𝑡
=
10
8
 (−400) Substituindo valores 
 
A velocidade será de: 
 
𝑑 𝑥
𝑑 𝑡
= −500 𝑚𝑖/ℎ Simplificando 
 
A velocidade é negativa por que está associada a uma distância que está reduzindo. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 261 
Exemplo 5 
Encontre a taxa de variação no ângulo de elevação da câmera mostrada na figura ao lado 10 s após o 
lançamento da espaçonave. 
Solução 
- Seja 𝜃 o ângulo de elevação como mostrado na figura. 
- Da expressão de deslocamento: 
 Quando 𝑡 = 10 s, a altura s da espaçonave é dada por: 
𝑠(10) = 50 (10)2 = 5000 feet. 
 
𝑑 𝑠
𝑑 𝑡
= 100 𝑡 Velocidade da espaçonave 
 
𝑑 𝜃
𝑑 𝑡
=? Quando 𝑡 = 10 e 𝑠 = 5000 
 - Usando a figura acima, nós podemos estabelecer a relação funcional entre 𝜃e 𝑠 que pode ser: 
tan 𝜃 =
𝑠
2000
 e, posteriormente, determinar a relação entre as taxas de variação no tempo. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 262 
- Resolvendo as equações 
 tan 𝜃 =
𝑠
2000
 Teorema de Pitágoras 
 (sec2 𝜃) 
𝑑 𝜃
𝑑 𝑡
=
1
2000
 (
𝑑 𝑠
𝑑 𝑡
) Diferenciando em relação a t 
 
𝑑 𝜃
𝑑 𝑡
= cos2 𝜃 (
100 𝑡
2000
) Substituindo velocidade da espaçonave 
 
𝑑 𝜃
𝑑 𝑡
= (
2000
√𝑠2+20002
)
2
(
100 𝑡
2000
) Substituindo na expressão, o valor do cos 𝜃 
 
- Quando 𝑡 = 10 e 𝑠 = 5000, teremos: 
 
𝑑 𝜃
𝑑 𝑡
=
2000 (100) (10)
50002+20002
=
2
29
 rad / s 
 
Essa é a taxa de elevação no ângulo de elevação da câmera. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 263 
Exemplo 6 
No mecanismo mostrado na figura abaixo, uma haste de 7 polegadas é presa a uma manivela de 
3 polegadas. O mecanismo gira, no sentido anti-horário, com uma taxa constante de 200 rotações por 
minuto. Encontre a velocidade do pistão quando 𝜃 =
𝜋
3
. 
 
Solução 
- Definindo as variáveis como mostrado na figura. 
- Sabe-se que uma rotação completa do mecanismo corresponde a um ângulo de 2 𝜋 radianos, 
de onde se conclui que r rotações corresponderá a um ângulo 𝜃. Assim, 
𝜃 = 2 𝜋 𝑟 
𝑑 𝜃
𝑑 𝑡
= (2 𝜋) 
𝑑 𝑟
𝑑 𝑡
= (2 𝜋) 200 = 400 𝜋 radianos por minuto. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 264 
- Informações dadas 
 
𝑑 𝜃
𝑑 𝑡
= 400 𝜋 Taxa constante 
 
𝑑 𝑥
𝑑 𝑡
=? , quando 𝜃 =
𝜋
3
 
 
- Usando a Lei dos Cossenos para determinar uma relação entre 𝑥 e 𝜃: 
- Resolvendo as equações 
 72 = 32 + 𝑥2 − 2 (3)(𝑥) cos 𝜃 derivando 
 0 = 0 + 2 𝑥 
𝑑 𝑥
𝑑 𝑡
− 6 (cos 𝜃 
𝑑 𝑥
𝑑 𝑡
− (𝑥) sin 𝜃 
𝑑 𝜃
𝑑 𝑡
) 
 (6 cos 𝜃 − 2 𝑥)
𝑑 𝑥
𝑑 𝑡
= 6 𝑥 sin 𝜃 
𝑑 𝜃
𝑑 𝑡
 
 
𝑑 𝑥
𝑑 𝑡
=
6 𝑥 sin 𝜃
(6 cos 𝜃 − 2 𝑥)
 (
𝑑 𝜃
𝑑 𝑡
) 
 Quando 𝜃 =
𝜋
3
 , podemos encontrar o valor de x correspondente: 
 72 = 32 + 𝑥2 − 2 (3)(𝑥) cos
𝜋
3
 
 49 = 9 + 𝑥2 − 2 (3)(𝑥) cos
𝜋
3
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 265 
 0 = 𝑥2 − 6 (𝑥) (
1
2
) − 40 ⟹ 𝑥2 − 3 𝑥 − 40 = 0 
 (𝑥 − 8) (𝑥 + 5) = 0 Escolhendo a solução positiva desta equação 
 Logo, quando 𝑥 = 8 e 𝜃 =
𝜋
3
 , a velocidade do pistão será: 
 
𝑑 𝑥
𝑑 𝑡
=
6 (8) (
√3
2
)
[6 (
1
2
) − 16]
 (400 𝜋) 
 
𝑑 𝑥
𝑑 𝑡
=
9600 𝜋 √3
− 13
 
 
𝑑 𝑥
𝑑 𝑡
≈ −4018 𝑝𝑜𝑙/𝑚𝑖𝑛 
 
 Obs: A velocidade é negativa por que está associada a uma variação de espaço que está reduzindo. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 266 
Exemplo 7 
O lucro L de uma empresa (em reais) com a venda de x unidades de um produto pode ser modelado pela 
equação 𝐿 = 500 𝑥 −
1
4
 𝑥2. As vendas estão aumentando à taxa de dez unidades por dia. 
Determine a taxa de variação do lucro (em reais por dia) no momento em que a empresa acabou de vender 
500 unidades. 
Solução 
- Derivando a equação dada em relação ao tempo t. 
𝐿 = 500 𝑥 −
1
4
 𝑥2 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= 500 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 − 
1
2
 (𝑥) 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
 
Como as vendas estão aumentando à taxa constante de dez unidades por dia, 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 10. 
- Para x = 500 unidades e 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 10, a taxa de variação do lucro é: 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= 500 (10) − 
1
2
 (500) (10) = 5000 − 2500 = 𝑅$ 2.500,00 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 267 
3.9 – Exercícios 
 Resolver exercícios da lista e outros diversos das referências bibliográficas. 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 268 
REFERÊNCIAS 
 Conteúdo deste capítulo foi compilado de: 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B.; Calculus of a Single Variable, 10 ed., Boston, MA - USA, Brooks/Cole Cengage 
Learning, 2014. 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B. H.; Calculus, 9 ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. 
 
LARSON, R., Brief Calculus An Applied Approach, 8 ed., Houghton Mifflin Company, Boston – New York, 2009. 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B. H.; com a assistência de FALVO, D. C., Cálculo com Aplicações, 6 ed., Rio de Janeiro 
– RJ, LTC, 2008. 
 
LEITHOLD, L; O Cálculo com Geometria Analítica, São Paulo – SP, Harbra Editora Harper & Row do 
Brasil Ltda., 1977.