Unidade 4 Aplicacoes da Derivada

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Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 269 
 
4.1. Funções Crescentes e Decrescentes 
4.2. Extremos e o Teste da Derivada Primeira 
4.3. Concavidade e o Teste da Derivada Segunda 
4.4. Problemas de Otimização 
4.5. Cálculo de Limites, em Formas Indeterminadas, com o Uso da Derivada 
4.6. Exercícios 
 
 
Unidade 4 – Aplicações de Derivada 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 270 
4.1 – Funções Crescentes e Decrescentes 
- Funções Crescentes e Decrescentes 
 Uma função f(x) é crescente em um intervalo, se, para qualquer par de valores x1 e x2 pertencentes 
ao intervalo, 
 𝑥2 > 𝑥1 implicar em 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1). 
 
 Uma função f(x) é decrescente em um intervalo, se, para qualquer par de valores x1 e x2, pertencentes 
ao intervalo, 
 𝑥2 > 𝑥1 implicar em 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥1). 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 271 
 A partir da definição formal, a função da Figura 3.1 é: 
- decrescente no intervalo (−∞ , 𝑎), 
- constante no intervalo (𝑎 , 𝑏), e 
- crescente no intervalo (𝑏 , ∞). 
 
 A derivada de uma função pode ser usada para determinar se uma 
função é crescente ou decrescente em um dado intervalo. 
 
 
Teste para Funções Crescentes e Decrescentes 
 Seja f(x) uma função derivável no intervalo (a , b). 
1. Se 𝑓′(𝑥) > 0 para qualquer valor de x no intervalo (a , b), f(x) é crescente nesse intervalo. 
2. Se 𝑓′(𝑥) < 0 para qualquer valor de x no intervalo (a , b), f(x) é decrescente nesse intervalo. 
3. Se 𝑓′(𝑥) = 0 para qualquer valor de x no intervalo (a , b), f(x) é constante nesse intervalo. 
 
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Exemplo 1 
Mostre que a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 é decrescente no intervalo aberto (−∞ , 0) e crescente no intervalo aberto 
(0 , ∞). 
Solução 
A derivada de f(x) é 
𝑓′(𝑥) = 2 𝑥. 
No intervalo aberto (−∞ , 0), x é negativo; o que implica em valores 
também negativos para a função 𝑓′(𝑥) = 2 𝑥. 
Logo, f(x) é decrescente nesse intervalo. 
 
Analogamente, no intervalo aberto (0 , ∞), x é positivo implicando em 
valores positivos para a função 𝑓′(𝑥) = 2 𝑥. 
Logo, f(x) é crescente nesse intervalo. 
 
 A Figura 3.2 mostra a solução gráfica desse exemplo. 
 
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Exemplo 2 
Entre 1997 e 2004, o consumo C de queijo italiano nos Estados 
Unidos (em libras por pessoa) pôde ser modelado pela função 
𝐶(𝑡) = −0,0333 𝑡2 + 0,996 𝑡 + 5,40 para 7 ≤ 𝑡 ≤ 14, onde t = 7 
representa 1997 (veja Figura 3.3). 
Mostre que o consumo de queijo italiano era crescente entre 
1997 e 2004. 
 
 
Solução 
A derivada deste modelo é 
𝑑
𝑑𝑡
𝐶(𝑡) = −0,0666𝑡 + 0,996. 
A derivada é positiva para qualquer valor de 𝑡 ≤ 15. 
Logo, para o intervalo aberto (7 , 14), a derivada é positiva. 
Então, a função é crescente, o que implica que o consumo de queijo italiano, no intervalo dado, era 
crescente. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 274 
- Números Críticos e Seu Uso 
 No Exemplo 1, o domínio da função pode ser dividido em dois intervalos: 
- um intervalo no qual a função era decrescente e 𝑓′(𝑥) < 0 
- outro intervalo no qual a função era crescente. 𝑓′(𝑥) > 0 
 Suponha que há interesse em determinar esses tipos de intervalos em qualquer função. 
Assim, podemos estabelecer: 
 Considerando que f(x) é uma função 
contínua, então 𝑓′(𝑥) pode mudar de sinal 
apenas nos valores de x para os quais 
𝑓′(𝑥) = 0 ou nos valores de x para os quais 
𝑓′(𝑥) não é definida, como ilustrado, 
graficamente, na Figura 3.4. 
 Esses dois tipos de números da variável independente são chamados de números críticos da função 
f(x). Portanto, podemos definir: 
 Se f(x) é definida em c, ou seja, c pertence ao domínio de f(x), então, 
 c será um número crítico de f(x) se 𝑓′(𝑐) = 0 ou se 𝑓′(𝑐) não é definida em c. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 275 
 Para determinar os intervalos em que uma função contínua é crescente ou decrescente, podemos 
utilizar os procedimentos indicados no roteiro a seguir. 
 
Roteiro do Teste para Funções Crescentes e Decrescentes 
1. Determine a derivada de f(x). 
2. Encontre todos os números críticos de f(x), (𝑥𝑖), e use-os para determinar intervalos de teste. 
3. Teste o sinal de 𝑓′(𝑥) em um ponto arbitrário pertencente a cada intervalo de teste. 
4. Use o teste para funções crescentes e decrescentes para determinar se f(x) é crescente ou decrescente 
em cada intervalo. 
 
 
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Exemplo 3 
Determine os intervalos abertos nos quais a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 −
3
2
 𝑥2 é crescente ou decrescente. 
Solução 
- Determinando o domínio de f(x). 
𝐷: (−∞ , +∞) 
 
- Determinando a derivada de f (x). 
𝑓′(𝑥) = 3 𝑥2 − 3 𝑥 
 
- Determinando os números críticos ( 𝑓′(𝑐) = 0 ou 𝑓′(𝑐) = ∄ ). 
𝑓′(𝑥) = 0 
3 𝑥2 − 3 𝑥 = 0 
3 (𝑥 − 0) (𝑥 − 1) = 0 
𝑥 = 0 , 𝑥 = 1 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 277 
Como não existem valores de x para os quais 𝑓′(𝑥) não é definida, 
 x = 0 e x = 1 são os únicos números críticos. 
 
- Testando os intervalos para a solução final. 
Assim, os intervalos a serem testados são (−∞ , 0) , (0 , 1) e (1 , ∞). 
A tabela mostra os resultados dos testes nesses três intervalos. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 278 
 
O gráfico da função f(x) está apresentado na Figura 3.5. 
 
Observe que os valores de teste foram escolhidos arbitrariamente; 
qualquer outro valor dentro do intervalo poderia ter sido escolhido. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 279 
Exemplo 4 
Determine os intervalos abertos nos quais a função 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 4)
2
3⁄ é crescente ou decrescente. 
Solução 
- Determinando o domínio de f(x). 
𝐷: (−∞ , +∞) 
 
- Determinando a derivada de f(x). 
𝑓′(𝑥) =
2
3
 (𝑥2 − 4)−
1
3⁄ (2 𝑥) 
𝑓′(𝑥) =
4 𝑥
3 (𝑥2 − 4)
1
3⁄
 
- Determinando os números críticos. 
𝑓′(𝑥) = 0 
Ao resolver a equação acima, encontramos que a derivada é nula para: 
 x = 0 e não é definida para 𝑥 = ±2. 
Os números críticos são, portanto, x = -2 , x = 0 , x = 2. 
Logo, os intervalos a serem testados são: (−∞ , −2) , (−2 , 0) , (0 , 2) e (2 , ∞). 
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- Testando os intervalos para a solução final. 
A tabela mostra os resultados dos testes nesses quatro intervalos. 
 
O gráfico da função aparece na Figura 3.6. 
 
Obs.: 
Para testar os intervalos da tabela, não é necessário calcular o valor de 
𝑓′(𝑥) nos pontos de teste; basta determinar o sinal da derivada. 
Por exemplo, o sinal de 𝑓′(−3) pode ser determinado da seguinte forma: 
𝑓′(−3) =
4 (−3)
3 (9 − 4)
1
3⁄
=
𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜
= 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 281 
 As funções dos Exemplos 1 a 4 são contínuas para qualquer valor de x. 
 Quando existem valores isolados de x para os quais a função não é contínua, esses valores devem 
ser usados juntamente com os números críticos, para determinar os intervalos de teste. 
 Assim, por exemplo, a função 𝑓(𝑥) =
𝑥4+1
𝑥2
 não é contínua no ponto x = 0. 
 Como a derivada 𝑓′(𝑥) =
2 (𝑥4−1)
𝑥3
 se anula para 𝑥 = ±1 , os seguintes valores de x devem ser 
usados para determinar os intervalos de teste: 
x = -1, x = 1 Números críticos 
x = 0 Descontinuidade 
 Os testes de 𝑓′(𝑥) revelam que a função é decrescente nos intervalos 
(−∞ , −1) e (0 , 1) , e crescente nos intervalos (−1 , 0) e (1 , ∞), como 
ilustrado na Figura 3.7. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 282 
 O fato dos números críticos indicarem a possibilidade do sinal da derivada primeira de 𝑓(𝑥) 
poder mudar não significa a obrigatoriedade de isso acontecer. 
 
 É possível, por ex., que uma função seja crescente em um intervalo, mesmo que a derivada se anule 
em ponto no interior do intervalo. 
 
 Portanto, para funções contínuas, se 𝑓′(𝑥) muda de sinal em 𝑥 = 𝑐 significa que a derivada primeira 
é igual a zero nessa coordenada. 
 
 Por outro lado, o fato da derivada primeira ser nula na coordenada 𝑥 = 𝑐 não implicará, 
obrigatoriamente, uma mudança de sinal em 𝑓′(𝑥) nessa coordenada. 
 
 O Exemplo 5, a seguir, ilustrará essa situação. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 283 
Exemplo 5 
Mostre que a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3 𝑥2 + 3 𝑥 é crescente para qualquer valor de x. 
Solução 
Dado a derivada 𝑓′(𝑥) = 3 𝑥2 − 6 𝑥 + 3 = 3 (𝑥 − 1)2 , 
Verificamos que o único número crítico é x = 1. 
Os intervalos de teste são: (−∞ , 1) e (1 , ∞). 
A tabela mostra os resultados dos testes nesses dois intervalos. 
 
 
 
Os resultados mostram que, embora 𝑓′(1) = 0 , a função f(x) é crescente para qualquer valor de x, o que 
também se pode ver na Figura 3.8. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 284 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 285 
4.2 - Extremos e o Teste da Derivada Primeira 
- Extremos Relativos 
 Os pontos nos quais uma função passa de crescente a decrescente, ou vice-versa, são chamados de 
extremos relativos (coordenadas em y). 
 Um extremo relativo de uma função pode ser um mínimo relativo ou um máximo relativo. 
 A função da Figura 3.10, por exemplo, possui dois extremos relativos: 
- o ponto da esquerda é um máximo relativo e 
- o ponto da direita é um mínimo relativo. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 286 
Definição de Extremos Relativos 
 Seja f(x) uma função definida na coordenada x = c. 
1. 𝑓(𝑐) é um máximo relativo de f(x) , se existe um valor c , no intervalo (a , b), tal que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑐) 
para qualquer valor de x nesse intervalo. 
2. 𝑓(𝑐) é um mínimo relativo de f(x) , se existe um valor c, no intervalo (a , b), tal que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑐) para 
qualquer valor de x nesse intervalo. 
Se 𝑓(𝑐) é um extremo relativo de f(x), diz-se, então, que o extremo relativo ocorre em x = c. 
 
Se f(x) possui um mínimo ou um máximo relativo em x = c, então c é um número crítico de f(x). Logo, 
- A condição 𝑓′(𝑐) = 0 [ ou 𝑓′(𝑐) ∄ ] é uma 
condição necessária para f(x) ter um extremo 
relativo no ponto c. 
 
- No caso das funções contínuas, os extremos 
relativos sempre ocorrem em números 
críticos da função, como na Figura 3.11. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 287 
- Teste da Derivada Primeira 
 Se f(x) existe, para todos os valores de x no intervalo aberto (a , b), e tem um extremo relativo em c, 
onde 𝑎 < 𝑐 < 𝑏, então, se 𝑓′(𝑐) existe, 𝑓′(𝑐) = 0 . 
Demonstração: 
- Para o caso em que f(x) tiver um valor mínimo relativo em c. 
Se 𝑓′(𝑐) existe, temos: 
𝑓′(𝑐) = lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)
𝑥 − 𝑐
 
Como f(x) tem um valor mínimo relativo em c, segue que: 
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐) ≥ 0 
 Se x se aproxima de c pela direita, 𝑥 − 𝑐 > 0 , portanto, 
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)
𝑥 − 𝑐
≥ 0 
 Pela definição de derivadas laterais, se o limite existe, 
lim
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)
𝑥 − 𝑐
≥ 0 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 288 
 Analogamente, se x se aproxima de c pela esquerda, 𝑥 − 𝑐 < 0 , logo, 
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)
𝑥 − 𝑐
≤ 0 
 De tal modo que, se o limite existe, 
lim
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)
𝑥 − 𝑐
≤ 0 
 
Como 𝑓′(𝑐) existe, os limites laterais devem ser iguais e ambos iguais a 𝑓′(𝑐). 
Assim, temos pelo limite lateral à direita: 
 𝑓′(𝑐) ≥ 0 
E pelo limite lateral à esquerda: 
 𝑓′(𝑐) ≤ 0 
Como as duas desigualdades acima são verdadeiras, concluímos que 𝑓′(𝑐) = 0 . 
 
Obs.: A hipótese de valor máximo relativo em c tem demonstração similar. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 289 
Roteiro do Teste da Derivada Primeira para Extremos Relativos 
 
 Seja f(x) uma função contínua no intervalo (a , b) no qual c é o único número crítico. 
 Se f(x) é derivável no intervalo, (exceto possivelmente no ponto c), então f(c) pode ser classificado 
como um mínimo relativo, um máximo relativo, ou nem uma coisa nem outra, de acordo com os seguintes 
critérios: 
 
1. Se, dentro do intervalo (a , b), 𝑓′(𝑥) é negativa à esquerda do ponto x = c e positiva à direita 
do ponto x = c, então 𝑓(𝑐) é um mínimo relativo. 
 
2. Se, dentro do intervalo (a , b), 𝑓′(𝑥) é positiva à esquerda do ponto x = c e negativa à direita 
do ponto x = c, então 𝑓(𝑐) é um máximo relativo. 
 
3. Se, dentro do intervalo (a , b), 𝑓′(𝑥) tem o mesmo sinal à esquerda e à direita do ponto x = 
c, então 𝑓(𝑐) não é um extremo relativo de f(x). 
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 Uma interpretação gráfica do Teste da Derivada Primeira aparece na Figura 3.12. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 291 
Exemplo 1 
Determine todos os extremos relativos da função 𝑓(𝑥) = 2 𝑥3 − 3 𝑥2 − 36 𝑥 + 14. 
Solução 
- Determinando os números críticos de f(x), cujo domínio 𝐷 ≡ (−∞ , ∞). 
𝑓′(𝑥) = 6 𝑥2 − 6 𝑥 − 36 Determinando a derivada de f(x). 
𝑓′(𝑥) = 6 𝑥2 − 6 𝑥 − 36 = 0 Igualando a derivada a zero. 
𝑓′(𝑥) = 6 (𝑥2 − 𝑥 − 6) = 0 Determinando os monômios do polinômio (raízes). 
𝑓′(𝑥) = 6 (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0 
Logo, as raízes são os números críticos de f(x). (x = -2 e x = 3) 
 
- Determinando intervalos de teste 
Como a função 𝑓(𝑥) não possui restrições para quaisquer outros valores de x, 
 os únicos números críticos são as raízes. 
Com esses números, formamos três intervalos de teste: (−∞ , −2) , (−2 , 3) e (3 , ∞) . 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 292 
Os resultados dos testes aparecem na tabela abaixo. 
 
- Determinando os extremos relativos 
De acordo com o Teste da Derivada Primeira, o número 
crítico -2 corresponde a um máximo relativo [𝑓′(𝑥) passa 
de positiva a negativa] e o número crítico 3 corresponde a 
um mínimo relativo [𝑓′(𝑥) passa de negativa a positiva]. 
 
O gráfico da função f(x) aparece na Figura 3.13. Para 
determinar as coordenadas y dos extremos relativos, basta 
substituir as coordenadas x na função f(x). 
Portanto, verifica-se que o máximo relativo é 
𝑓(−2) = 58 e o mínimo relativo é 𝑓(3) = − 67. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 293 
Exemplo 2 
Determine todos os extremos relativos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3. 
Solução 
- Determinando os números críticos de f(x) , cujo domínio 𝐷 ≡ (−∞ , ∞). 
𝑓′(𝑥) = 4 𝑥3 − 3 𝑥2 Determinando a derivada de f(x). 
𝑓′(𝑥) = 4 𝑥3 − 3 𝑥2 = 0 Igualando a derivada à zero. 
𝑓′(𝑥) = 𝑥2 (4 𝑥 − 3) = 0 Determinando os monômios do polinômio (raízes). 
 
A função 𝑓(𝑥) possui apenas dois números críticos, x = 0 e x = ¾. 
 
- Determinando intervalos de teste 
 Como a função não possui restrições para quaisquer outros valores de x, os únicos números críticos 
são as raízes.Com esses números, formamos três intervalos de teste: (−∞ , 0) , (0 , 3/4) e (3/4 , ∞) . 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 294 
Os resultados dos testes aparecem na tabela abaixo. 
 
 
- Determinando os extremos relativos 
De acordo com o Teste da Derivada Primeira, a função f(x) possui um 
mínimo relativo na coordenada onde 𝑥 =
3
4
, como mostra a Figura 3.14. 
 
Observe que não existe nenhum extremo relativo associado ao número 
crítico x = 0. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 295 
Exemplo 3 
Determine todos os extremos relativos da função 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 3 𝑥2/3 . 
Solução 
- Determinando os números críticos de f(x) cujo domínio 𝐷 ≡ (−∞ , ∞) 
𝑓′(𝑥) = 2 − 2 𝑥−
1
3 Determinando a derivada de f(x). 
𝑓′(𝑥) = 2 − 2 𝑥−
1
3 = 0 Igualando a derivada a zero. 
𝑓′(𝑥) =
2 ( 𝑥
1
3 − 1 )
𝑥
1
3
= 0 Determinando os números críticos. 
 
A função 𝑓(𝑥) possui [𝑓′(1) = 0] e uma restrição em x = 0, onde 𝑓′(0) não é definida, logo, 
a função possui dois números críticos, x = 0 e x = 1. 
 
- Determinando intervalos de teste 
Esses números definem os intervalos de teste: (−∞ , 0) , (0 , 1) e (1 , ∞) . 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 296 
- Determinando os extremos relativos 
Testando esses intervalos, concluímos que f(x) possui um máximo relativo no ponto (0 , 0) e um mínimo 
relativo no ponto (1 , -1), como mostra a Figura 3.15. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 297 
Exemplo 4 
Encontre os extremos relativos da função 𝑓(𝑥) =
1
2
 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 no intervalo (0 , 2 𝜋). 
Solução 
- Como 𝑓(𝑥) é contínua no intervalo (0 , 2 𝜋), basta determinarmos os números críticos de 𝑓(𝑥) nesse 
intervalo. 
- Façamos 𝑓′(𝑥) = 0 
𝑓′(𝑥) =
1
2
− cos 𝑥 = 0 
cos 𝑥 =
1
2
 
𝑥 =
𝜋
3
 ,
5 𝜋
3
 
- Não há valores de x para os quais 𝑓′(𝑥) não exista, logo os valores de x encontrados são os únicos 
números críticos. 
A tabela, a seguir, resume as informações para os três intervalos de teste: (0 ,
𝜋
3
), (
𝜋
3
 ,
5 𝜋
3
), (
5 𝜋
3
 , 2 𝜋). 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 298 
 
- Aplicando o teste da derivada primeira, concluímos que 𝑓(𝑥) tem 
um mínimo relativo na coordenada onde 
𝑥 =
𝜋
3
 
 
e um máximo relativo na coordenada onde 
𝑥 =
5 𝜋
3
 
 
como mostrado na figura ao lado. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 299 
- Extremos Absolutos 
 Os termos, máximo relativo e mínimo relativo, foram utilizados para descrever o comportamento 
local de uma função. 
 Para descrever o comportamento global de uma função, utilizaremos os termos: 
 máximo absoluto e mínimo absoluto. 
 
- Definições 
Seja f(x) uma função definida em um intervalo fechado I que contém uma coordenada com valor x = c. 
 Diz-se que uma função f(x) tem um valor máximo absoluto no intervalo I, se existir algum número 
c nesse intervalo, tal que 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) para todo x. 
 
 Diz-se que uma função f(x) tem um valor mínimo absoluto no intervalo I, se existir algum número 
c nesse intervalo, tal que 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) para todo x no intervalo. 
 
 Os valores do mínimo absoluto e do máximo absoluto de uma função, em um intervalo fechado, às 
vezes são chamados de mínimo e máximo de f(x) respectivamente. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 300 
 A diferença entre extremo relativo e extremo absoluto é mais fácil de compreender por meio de um 
exemplo gráfico. 
 Na Figura 3.16, a função f(x) possui um mínimo relativo que também é o mínimo absoluto no 
intervalo [a , b]. 
 O máximo relativo de f(x), porém, não é o máximo absoluto no 
intervalo [a , b]. 
 
 De acordo com o teorema a seguir, se uma função f(x) é contínua 
em um intervalo fechado, ela possui, necessariamente, um mínimo 
absoluto e um máximo absoluto nesse intervalo. 
 
 Qualquer desses extremos pode estar em uma das extremidades do intervalo (como o máximo 
absoluto na Figura 3.16) ou em um ponto no interior do intervalo (como o mínimo absoluto na 
Figura 3.16). 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 301 
- Teorema dos Valores Extremos 
Se a função f(x) é contínua no intervalo [a , b], então f(x) possui um valor mínimo e um valor máximo 
absolutos no intervalo [a , b]. 
 
Obs.: 
Na determinação dos valores extremos de uma função em um intervalo fechado, não se 
pode deixar de considerar, além dos valores da função nos números críticos, também seus 
valores nas extremidades do intervalo. 
 
Roteiro para Determinar os Extremos em um Intervalo Fechado 
Para determinar os extremos de uma função contínua f(x) em um intervalo fechado [a , b] deveremos: 
1. Determinar os valores de f(x) em todos os pontos críticos da função situados no intervalo (a , b). 
2. Determinar os valores de f(x) nas extremidades do intervalo, em a e em b. 
3. O menor desses valores é o mínimo absoluto, e o maior desses valores é o máximo absoluto. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 302 
Exemplo 5 
Determine os valores máximo e mínimo da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6 𝑥 + 2 no intervalo [0 , 5]. 
Solução 
- Determinando os números críticos de f(x). 
𝑓′(𝑥) = 2 𝑥 − 6 Determinando a derivada de f(x). 
𝑓′(𝑥) = 2 𝑥 − 6 = 0 Igualando a derivada à zero. 
𝑥 = 3 Determinando os números críticos. 
 
A função possui [𝑓′(3) = 0] , 
 Logo, a função possui um número crítico, x = 3. 
 
- Testando os extremos do intervalo 
O número 3 está no interior do intervalo dado. 
Devemos testar os valores de f(x) nesse número e nas extremidades do intervalo, como mostrado 
na tabela a seguir. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 303 
 
 
- Conclusão final 
O mínimo absoluto de f(x) no intervalo [0 , 5] é: 
 f(3) = -7. 
 
Além disso, o máximo absoluto de f(x) no intervalo [0 , 5] é: 
 f(0) = 2, 
 
como ilustrado na Figura 3.18. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 304 
- Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio 
- Teorema de Rolle 
 A teoria dos extremos estabelece que uma função contínua, em um intervalo [𝑎 , 𝑏] tem um mínimo 
e um máximo nesse intervalo e que esses valores podem ocorrer nos extremos do intervalo. 
 O Teorema de Rolle, em homenagem ao matemático francês Michel Rolle (1652-1719), fornece as 
condições para a existência de um valor extremo no interior de um intervalo fechado. 
 
Teorema de Rolle 
Considere que 𝑓(𝑥) é contínua no intervalo fechado [𝑎 , 𝑏] e diferenciável no intervalo aberto (𝑎 , 𝑏). 
 Se 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), então há, no mínimo, um número c no intervalo (𝑎 , 𝑏) de modo que 𝑓′(𝑐) = 0. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 305 
Demonstração: 
Considere que 𝑓(𝑎) = 𝑑 = 𝑓(𝑏). 
Caso 1 
 Se 𝑓(𝑥) = 𝑑 para todo x no intervalo [𝑎 , 𝑏], 𝑓(𝑥) é constante no intervalo e 𝑓′(𝑥) = 0 para todo x 
no intervalo (𝑎 , 𝑏). 
 
Caso 2 
Suponha que 𝑓(𝑥) > 𝑑 para algum valor de x no intervalo (𝑎 , 𝑏). 
Pela teoria do valor extremo, sabemos que 𝑓(𝑥) tem um máximo em alguma coordenada 𝑥 = 𝑐 neste 
intervalo. 
Contudo, por que 𝑓(𝑐) > 𝑑, o máximo não ocorre em nenhuma extremidade do intervalo. 
Logo, 𝑓(𝑥) tem um máximo no intervalo aberto (𝑎 , 𝑏). 
Isto implica que 𝑓(𝑐) é um máximo relativo sendo c um número crítico de 𝑓(𝑥). 
Como 𝑓(𝑥) é diferenciável em c, concluímos que 𝑓′(𝑐) = 0.Caso 3 
Suponha que 𝑓(𝑥) < 𝑑 para algum valor de x no intervalo (𝑎 , 𝑏), podemos utilizar de argumento similar 
àquele do Caso 2, mas envolvendo o mínimo ao invés do máximo e concluir que 𝑓′(𝑐) = 0 no número 
crítico c no intervalo aberto (𝑎 , 𝑏). 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 306 
 A partir do Teorema de Rolle, podemos verificar que, se uma função 
𝑓(𝑥) é contínua em um intervalo fechado [𝑎 , 𝑏] e diferenciável no 
intervalo (𝑎 , 𝑏), e se 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), haverá pelo menos um valor x entre 
os limites a e b no qual o gráfico de 𝑓(𝑥) tem uma tangente horizontal, 
como mostrado na parte (a) da figura ao lado. 
 
 Se a função não é diferenciável, a partir do Teorema de Rolle, 
poderemos afirmar que a função 𝑓(𝑥) ainda terá um número crítico em 
(𝑎 , 𝑏), não tendo, necessariamente, uma tangente horizontal. 
 Tal caso está mostrado na parte (b) da figura ao lado. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 307 
Exemplo 6 
Encontre os dois interceptos de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3 𝑥 + 2 e mostre que 𝑓′(𝑥) = 0 em algum ponto entre os 
dois interceptos. 
Solução 
- 𝑓(𝑥) é diferenciável para todo valor de x. 
- Fazendo 𝑓(𝑥) = 0 teremos: 
𝑥2 − 3 𝑥 + 2 = 0 Fazendo 𝑓(𝑥) = 0 
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) = 0 Fatorando 
- Então, 𝑓(1) = 𝑓(2) = 0 e, a partir do Teorema de Rolle, sabemos que 
existe pelo menos um c , no intervalo (1 , 2), de modo que 𝑓′(𝑐) = 0. 
 
Para encontrar o valor c, derivamos 𝑓(𝑥) e igualamos a zero. 
 
- Achando 𝑓′(𝑥) = 0: 
𝑓′(𝑥) = 2 𝑥 − 3 = 0 , e encontramos 𝑥 =
3
2
 , como mostrado na figura acima. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 308 
Exemplo 7 
Considere 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2 𝑥2. 
Encontre todos os valores de c no intervalo (−2 , 2) de modo que 𝑓′(𝑐) = 0. 
Solução 
- 𝑓(𝑥) é contínua, no intervalo [−2 , 2], e diferenciável, no intervalo 
(−2 , 2). 
- Como 𝑓(−2) = 𝑓(2) = 8, a partir do Teorema de Rolle, haverá pelo 
menos um valor c no intervalo de (−2 , 2) de modo que 𝑓′(𝑐) = 0. 
 
- Calculando a derivada de 𝑓(𝑥). 
𝑓′(𝑥) = 4 𝑥3 − 4 𝑥 = 0 Fazendo 𝑓′(𝑥) = 0 
4 (𝑥 − 0) (𝑥 − 1) (𝑥 + 1) = 0 Fatorando 
Logo, 
𝑥 = −1 , 0 , 1. 
Então, existem três valores de x , no intervalo dado, onde a 𝑓′(𝑐) = 0 como mostrado na figura acima. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 309 
- Teorema do Valor Médio 
 
Teorema do Valor Médio 
Se 𝑓(𝑥) é contínua no intervalo fechado [𝑎 , 𝑏] e diferenciável no intervalo aberto (𝑎 , 𝑏), então existe 
um número c , no intervalo (𝑎 , 𝑏) de modo que: 
𝑓 ′(𝑐) =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
 
 
Demonstração 
- Considerando a figura ao lado, a equação da reta secante que passa pelos 
pontos ( 𝑎 , 𝑓(𝑎) ) e ( 𝑏 , 𝑓(𝑏) ) é dada por: 
𝑦 = [
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
] (𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 310 
- Façamos 𝑔(𝑥) ser a diferença entre 𝑓(𝑥) e y; então, 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑦. 
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − [
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
] (𝑥 − 𝑎) − 𝑓(𝑎) 
Nos extremos do intervalo, verificamos que 𝑔(𝑎) = 0 = 𝑔(𝑏). 
Como 𝑓(𝑥) é contínua, no intervalo [𝑎 , 𝑏], e diferenciável no intervalo (𝑎 , 𝑏), então 𝑔(𝑥) terá 
comportamento idêntico e também será contínua no intervalo [𝑎 , 𝑏] e diferenciável no intervalo (𝑎 , 𝑏). 
Logo, podemos aplicar o Teorema de Rolle à função 𝑔(𝑥). 
 Portanto, existe um número c no intervalo (𝑎 , 𝑏) de modo que 𝑔′(𝑐) = 0, o que implica em: 
𝑔′(𝑐) = 0 
𝑔′(𝑐) = 𝑓′(𝑐) − [
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
] = 0 
e 
𝑓′(𝑐) = [
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
] 
Obs: O termo "Médio" no Teorema do Valor Médio refere-se à taxa média de variação de 𝑓(𝑥) no 
intervalo fechado [𝑎 , 𝑏]. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 311 
Obs. 
1) Geometricamente, o Teorema do Valor Médio garante a existência de pelo menos uma reta tangente 
paralela à reta secante, que passa pelos pontos ( 𝑎 , 𝑓(𝑎) ) e ( 𝑏 , 𝑓(𝑏) ). 
 
 Essa condição será ilustrada no Exemplo 8. 
 
2) Em termos das taxas de variação, o Teorema do Valor Médio implica que deverá existir pelo menos 
um ponto no intervalo aberto (𝑎 , 𝑏) no qual a taxa de variação instantânea é igual à taxa de variação 
média no intervalo fechado [𝑎 , 𝑏]. 
 
 Essa condição será ilustrada no Exemplo 9. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 312 
Exemplo 8 
Dada a função 𝑓(𝑥) = 5 − (
4
𝑥
), encontre todos os valores de c no intervalo aberto (1 , 4) de modo que 
𝑓′(𝑐) = [
𝑓(4)−𝑓(1)
4−1
]. 
Solução 
- A inclinação da reta secante que passa pelos pontos ( 1 , 𝑓(1) ) e 
( 4 , 𝑓(4) ) é: 
 
[
𝑓(4) − 𝑓(1)
4 − 1
] =
4 − 1
4 − 1
= 1 
 
- A função 𝑓(𝑥) satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio no 
intervalo dado. Pois: 
 
- 𝑓(𝑥) é contínua, no intervalo [1 , 4], e diferenciável no intervalo (1 , 4). 
- Logo, existe pelo menos um número c em (1 , 4) de modo que 𝑓′(𝑐) = 1. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 313 
- Resolvendo a equação 𝑓′(𝑥) = 1 encontramos: 
𝑓′(𝑥) = (
4
𝑥2
) = 1 
o que implica que 𝑥 = − 2 𝑒 𝑥 = + 2. 
 
Somente a coordenada 𝑥 = 𝑐 = 2 pertence ao intervalo (1 , 4) 
como ilustrado na figura ao lado. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 314 
Exemplo 9 
Dois carros de patrulha estão parados e equipados com radar 5 milhas um do outro em uma rodovia, como 
mostrado na figura. Um caminhão passa pelo primeiro carro e tem sua velocidade registrada em 55 milhas 
por hora. Quatro minutos depois, quando o caminhão passa pelo segundo carro patrulha, sua velocidade 
é registrada em 50 milhas por hora. Prove que a velocidade do caminhão deve ter excedido o limite de 
velocidade de 55 milhas por hora em algum momento durante os quatro minutos. 
Solução 
- Sabemos que a velocidade média pode ser aproximada como a 
variação do espaço sobre a variação no tempo. 
- Faça 𝑡1 = 0 ser o instante quando o caminhão passou pelo 
primeiro carro patrulha. 
Assim sendo, o instante em que o caminhão passou pelo segundo 
carro patrulha será: 
𝑡2 = 4 𝑚𝑖𝑛 
1 ℎ
60 𝑚𝑖𝑛
=
1
15
 ℎ 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 315 
- Se 𝑠(𝑡) representa a distância (em milhas) percorrida pelo caminhão, temos: 
𝑠(𝑡1) = 𝑠(0) = 0 e 𝑠(𝑡2) = 𝑠 (
1
15
) = 5. 
- Logo, a velocidade média do caminhão percorrendo as 5 milhas é: 
 
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚é𝑑𝑖𝑎 = [
𝑠(𝑡2) − 𝑠(𝑡1)
𝑡2 − 𝑡1
] = [
5 − 0
(
1
15) − 0
] =
5
1
15
= 75 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 
 
- Considerando que a função 𝑠(𝑡) é diferenciável, nós podemos aplicar o Teorema do Valor Médio para 
concluir que o caminhão deve ter trafegado com uma velocidade de 75 milhas por hora em pelo menos 
um momento durante os 4 minutos. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 316 
4.3 - Concavidade e o Teste da Derivada Segunda 
- Concavidade 
 A propriedade de um gráfico ser curvado para cima ou para baixo é chamada de concavidade. 
 
- Definição de Concavidade 
Seja uma função derivável em um intervalo aberto I. 
A concavidade da função f(x) é: 
 
1. Para cima no intervalo I se 𝑓′(𝑥) é crescente no intervalo. 
2. Para baixo no intervalo I se 𝑓′(𝑥) é decrescente no intervalo. 
 
Um teste qualitativo da concavidade pode ser feito com a seguinte 
interpretação gráfica baseada na Figura 3.20. 
1. Um gráfico que é côncavo para cima está acima de suasretas tangentes. 
2. Um gráfico que é côncavo para baixo está abaixo de suas retas tangentes. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 317 
 Análogo ao procedimento para determinação se uma função era crescente ou decrescente, usando o 
sinal da derivada primeira, será estabelecido um procedimento similar para a determinação se a derivada 
de uma função, que por sua vez também é uma função, é crescente ou decrescente em um intervalo. 
 Quantitativamente, podemos usar o sinal da derivada segunda para determinar se a concavidade da 
função é para cima ou para baixo. 
 
- Teste da Concavidade 
Seja uma função cuja derivada segunda existe em um intervalo aberto I. 
1. Se 𝑓′′(𝑥) > 0 para qualquer x pertencente a um intervalo aberto I, então 𝑓 ′(𝑥) é crescente e a 
concavidade de f(x) é para cima nesse intervalo. 
2. Se 𝑓′′(𝑥) < 0 para qualquer x pertencente a um intervalo aberto I, então 𝑓 ′(𝑥) é decrescente e a 
concavidade de f(x) é para baixo nesse intervalo. 
 
Roteiro para o Teste da Concavidade 
1. Determine os valores de x para os quais 𝑓′′(𝑥) = 0 ou onde 𝑓′′(𝑥) não é definida. 𝑁𝑜𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓′(𝑥) 
2. Use esses valores de x para determinar os intervalos de teste. 
3. Verifique o sinal de 𝑓′′(𝑥) em todos os intervalos de teste. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 318 
Exemplo 1 
Determine os intervalos nos quais a concavidade da curva da função dada é para cima e os intervalos nos 
quais a concavidade é para baixo. 
𝑓(𝑥) =
6
𝑥2 + 3
 
Solução 
- Determinando a derivada primeira de f(x). 
𝑓(𝑥) = 6 (𝑥2 + 3)−1 
𝑓′(𝑥) = (−6) (𝑥2 + 3)−2 (2 𝑥) 
𝑓′(𝑥) =
(−12 𝑥)
(𝑥2 + 3)2
 
- Determinando a derivada segunda de f(x). 
𝑓′′(𝑥) =
(−12) (𝑥2 + 3)2 − (−12 𝑥) (2) (𝑥2 + 3) (2 𝑥)
(𝑥2 + 3)4
 
𝑓′′(𝑥) =
(−12) (𝑥2 + 3) − (−48 𝑥2)
(𝑥2 + 3)3
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 319 
𝑓′′(𝑥) =
(36) (𝑥2 − 1)
(𝑥2 + 3)3
 
Este resultado mostra que 𝑓′′(𝑥) é definida para qualquer valor de x e 𝑓′′(0) = 0 para 𝑥 = −1 𝑒 𝑥 = 1. 
Assim, podemos testar a concavidade de f(x) testando o sinal de 𝑓′′(𝑥) nos intervalos (−∞ , −1) , 
(−1 , 1) e (1 , ∞), como mostra a tabela. O gráfico de f(x) aparece na Figura 3.23. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 320 
- Pontos de Inflexão 
 Se a reta tangente a uma curva existe em um ponto no qual a concavidade muda, esse ponto é 
chamado de Ponto de Inflexão. 
 A Figura 3.24 mostra três exemplos de pontos de inflexão. 
 
 
- Definição de Ponto de Inflexão 
Se a curva de uma função contínua possui uma reta tangente em um ponto no qual a concavidade muda, 
esse ponto é um ponto de inflexão. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 321 
 Como a concavidade da curva muda nos pontos de inflexão, a derivada segunda 𝑓′′ troca de sinal 
nesses pontos. 
 Logo, para localizar possíveis pontos de inflexão, precisamos apenas determinar os valores de x para 
os quais 𝑓′′(𝑥) = 0 ou para os quais 𝑓′′(𝑥) não existe. 
 O processo é análogo ao utilizado para localizar os extremos relativos de f(x) a partir dos números 
críticos da função. 
 
- Propriedade dos Pontos de Inflexão 
Se ( 𝑐 , 𝑓(𝑐) ) é um ponto de inflexão de f(x), então 𝑓′′(𝑐) = 0 ou 𝑓′′(𝑐) não é definida no ponto c. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 322 
Exemplo 2 
Discuta a concavidade da curva da função f(x) e determine os pontos de inflexão. 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 + 1
𝑥2 − 4
 
Solução 
- Determinando a derivada primeira 
𝑓′ (𝑥) =
(2 𝑥) (𝑥2 − 4) − (𝑥2 + 1) (2 𝑥)
(𝑥2 − 4)2
 
𝑓′ (𝑥) =
−10 𝑥
(𝑥2 − 4)2
 
- Determinando a derivada segunda 
𝑓′′ (𝑥) =
(−10)(𝑥2 − 4)2 − (−10 𝑥)(2)(𝑥2 − 4)(2 𝑥)
(𝑥2 − 4)4
 
𝑓′′ (𝑥) =
(10)(3𝑥2 + 4)
(𝑥2 − 4)3
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 323 
- Determinando os intervalos 
Não há pontos nos quais 𝑓′′(𝑥) = 0, mas em 𝑥 = ±2, a função f(x) não é contínua. 
- Analisando os intervalos 
Esse resultado mostra que os pontos de mudança de concavidade são: 
x = -2 e x = 2. 
Logo, os intervalos de teste são: (−∞ , −2) , (−2 , 2) e (2 , ∞). 
 
 
 
Concluímos que a concavidade da curva é para cima no intervalo (−∞ , −2), para baixo no intervalo 
(−2 , 2) e para cima no intervalo (2 , ∞), como mostrado na tabela acima. 
A Figura acima mostra o gráfico de f(x). 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 324 
 É possível que a derivada segunda seja zero em um ponto que não é um ponto de inflexão. 
Por exemplo, observe as curvas das funções 𝑓(𝑥) = 𝑥3 e 𝑔(𝑥) = 𝑥4, que aparecem na Figura 3.26. 
 Nos dois casos, a derivada segunda se anula em x = 0, mas apenas a curva de f(x) possui um ponto 
de inflexão em x = 0. 
 Isso mostra que, antes de concluir que existe um ponto de inflexão em um valor de x para o qual 
𝑓′′(𝑥) = 0, deve-se verificar se a concavidade muda nesse ponto. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 325 
- O Teste da Derivada Segunda para Máximos e Mínimos Relativos 
 A derivada segunda pode ser usada em um teste simples para máximos e mínimos relativos. 
 Se f(x) é uma função tal que 𝑓′(𝑐) = 0 e a concavidade da curva de 
f(x) é para cima, 𝑓′′(𝑐) > 0, no ponto x = c , então f(c) é um mínimo 
relativo de f(x). 
 
 Analogamente, se f(x) é uma função tal que 𝑓′(𝑐) = 0 e a concavidade 
da curva de f(x) é para baixo, 𝑓′′(𝑐) < 0, no ponto x = c, então f(c) é um 
máximo relativo de f(x), como mostra a Figura 3.27. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 326 
- Teste da Derivada Segunda 
Seja 𝑓′(𝑐) = 0; 
Suponha que a 𝑓(𝑥)′′ exista em um intervalo aberto que contenha c. 
1. Se 𝑓′′(𝑐) > 0 , então 𝑓(𝑐) é um mínimo relativo. 
2. Se 𝑓′′(𝑐) < 0 , então 𝑓(𝑐) é um máximo relativo. 
3. Se 𝑓′′(𝑐) = 0, o teste não permite chegar a nenhuma conclusão. 
 
 Nesse caso, é preciso usar o Teste da Derivada Primeira para determinar se 𝑓(𝑐) é um mínimo 
relativo, ou um máximo relativo, ou nem uma coisa nem outra. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 327 
Exemplo 3 
Determine os extremos relativos da função utilizando, inicialmente, o teste da derivada 2ª. 
𝑓(𝑥) = −3 𝑥5 + 5 𝑥3. 
Solução 
- Calculando a derivada primeira de f(x). 
𝑓′(𝑥) = −15 𝑥4 + 15 𝑥2 
𝑓′(𝑥) = 15 (𝑥 − 0)2 (1 − 𝑥2) 
 
Esse resultado mostra que x = 0, x = -1 e x = 1 são as coordenadas xi dos números críticos de f(x). 
 
- Calculando a derivada segunda. 
𝑓′′(𝑥) = −60 𝑥3 + 30 𝑥 
𝑓′′(𝑥) = 30 (𝑥 − 0)(−2 𝑥2 + 1) 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 328 
- Aplicando o teste da derivada segunda. 
Ponto Sinal de 𝑓′′(𝑥) Conclusão 
(−1 , −2) 𝑓′′(−1) = 30 > 0 Mínimo relativo. 
(0 , 0) 𝑓′′(0) = 0 Indefinido 
(1 , 2) 𝑓′′(1) = −30 < 0 Máximo relativo. 
 
Como o teste acima é indefinido no ponto (0 , 0), então 
 
- Aplicando o teste da derivada primeira. 
Intervalo −1 < 𝑥 < 0 0 < 𝑥 < 1 
Valor de teste 𝑥 = − ½ 𝑥 = ½ 
Sinal da 𝑓′(𝑥) 𝑓
′(−1/2) > 0 𝑓′(1/2) > 0 
Sinal da 𝑓′′(𝑥) 
𝑓′′(−1/2) < 0 
Concavidade baixo 
𝑓′′(1/2) > 0 
Concavidade cima 
Conclusão Ponto, em 𝑥 = 0 , não é máximo nem mínimo. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 329 
Concluímos que o ponto (0 , 0) não é nem um mínimo relativo nem um máximo relativo. 
O teste da concavidade mostra que se trata de um ponto de inflexão. 
A curva da função f(x) aparece na Figura3.28. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 330 
4.4 - Problemas de Otimização 
 
- Como Resolver Problemas de Otimização. 
 A determinação dos valores máximo e mínimo de uma função é uma das aplicações mais comuns 
do cálculo. 
 Consideremos alguns problemas nos quais a solução é um extremo absoluto de uma função definida 
em um intervalo fechado. 
 Em seguida, aplicamos o teorema do valor extremo. 
 Esse procedimento será mostrado por meio de alguns exemplos. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 331 
Exemplo 1 
Um fabricante quer projetar uma caixa, sem tampa, a partir de uma base quadrada, com 108 centímetros 
quadrados de superfície, como mostra a Figura 3.31. 
Que dimensões deve ter a caixa para que o volume seja o maior possível? 
Solução 
- A grandeza a ser otimizada é o volume. 
- Como a base da caixa é quadrada, o volume é dado por 
𝑉(𝑥, ℎ) = 𝑥2 ℎ Equação primária 
 
Esta equação é conhecida como equação primária por que expressa a 
grandeza a ser otimizada em termos de outras variáveis (no caso, x e h). 
- Obtendo uma segunda equação para tentar solução única: 
- A superfície da caixa é dada por 
𝑆 = (á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒) + (á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠) 
𝑆(𝑥, ℎ) = 108 = 𝑥2 + 4 𝑥 ℎ Equação secundária 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 332 
Como a grandeza a ser otimizada é V, é interessante expressar V em função de apenas uma variável. Para 
isso, expressamos h em termos de x, a partir da equação secundária, o que nos dá ℎ(𝑥) = (108 − 𝑥2)/4 𝑥, 
e substituímos esse resultado na equação primária. 
𝑉(𝑥, ℎ) = 𝑥2 ℎ ⟹ 𝑉(𝑥) = 𝑥2 
(108 − 𝑥2)
4 𝑥
= 27 𝑥 −
1
4
 𝑥3 
 
Antes de determinarmos o valor de x para o qual o volume V é máximo, precisamos definir o domínio 
prático da função. 
Definir quais valores de x que fazem sentido no contexto do problema. 
- Como x não pode ser negativo e a área da base (𝐴(𝑥) = 𝑥2), por sua vez, não pode ser maior que 108, 
concluímos que o domínio prático da função é: 
0 < 𝑥 < √108 
- Usando as técnicas vistas nas seções anteriores (extremos relativos), podemos determinar que: 
 (no intervalo 0 < 𝑥 < √108) essa função possui um máximo absoluto em 𝑥 = 6 𝑐𝑚. 
Consequentemente, ℎ = 3 𝑐𝑚 para 𝑥 = 6 𝑐𝑚. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 333 
Roteiro para Resolver Problemas de Otimização 
 
1. Identifique todas as grandezas conhecidas e todas as grandezas a serem determinadas. 
 Se possível, desenhe um diagrama. 
2. Escreva uma equação primária para a grandeza a ser otimizada. 
3. Reduza a equação primária a uma equação que contenha apenas uma variável independente. 
 Isso pode envolver o uso de uma equação secundária que relacione 
 as variáveis independentes da equação primária. 
4. Determine o domínio prático da equação primária, 
 ou seja, os valores da variável independente para os quais o problema faz sentido. 
5. Determine o extremo absoluto procurado, 
 utilizando as técnicas de cálculo discutidas nas Seções 4.1 , 4.2 e 4.3. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 334 
Exemplo 2 
O produto de dois números positivos é 288. 
Minimize a soma do segundo número com duas vezes o primeiro número. 
Solução 
- Seja x o primeiro número e y o segundo, e ainda S a soma a ser minimizada. 
- Como estamos interessados em minimizar S, a equação primária é: 
𝑆(𝑥, 𝑦) = 2 𝑥 + 𝑦 Equação primária 
- Como o produto dos dois números é 288, podemos escrever a equação secundária da seguinte forma: 
𝑥 𝑦 = 288 Equação secundária 
𝑦(𝑥) =
288
𝑥
 
- Escrevendo a equação primária como uma função de uma variável 
𝑆(𝑥) = 2 𝑥 +
288
𝑥
 
- O domínio é aquele dos números positivos ou 𝑥 > 0. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 335 
- Minimizando o valor de S. 
𝑑𝑆
𝑑𝑥
= 2 −
288
𝑥2
 
𝑑𝑆
𝑑𝑥
= 2 −
288
𝑥2
= 0 
𝑥2 − 144 = 0 
𝑥 = ±12 ⟹ para atender às imposições do domínio ⟹ 𝑥 = 12. 
- Usando o teste da derivada primeira para ponto crítico x = 12. 
 
 
 
 
 
 
Como S é decrescente no intervalo (0 , 12) e crescente no intervalo (12 , ∞), então, x = 12 corresponde a 
um mínimo. Logo, os dois números são: x = 12 e , substituindo na equação secundária, y = 24. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 336 
Exemplo 3 
Determine os pontos da curva 𝑦(𝑥) = 4 − 𝑥2 que estão mais próximos do ponto (0 , 2). 
Solução 
- Como se pode ver na Figura 3.33, existem dois pontos sobre a curva que estão à menor distância possível 
do ponto (0 , 2). 
- O objetivo é minimizar a distância d, então utilizaremos a equação 
de distância para obter a equação primária. 
𝑑(𝑥, 𝑦) = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 2)2 
- Usando a equação secundária 𝑦(𝑥) = 4 − 𝑥2, obtemos a equação 
primária como função de uma variável. 
𝑑(𝑥) = √(𝑥 − 0)2 + (4 − 𝑥2 − 2)2 
𝑑(𝑥) = √𝑥4 − 3 𝑥2 + 4 
- Podemos simplificar os cálculos ao admitir que d será mínimo 
quando o radicando for mínimo. 
Logo, basta determinarmos o valor mínimo de 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3 𝑥2 + 4, 
cujo domínio é o conjunto dos números reais. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 337 
- Determinando os números críticos de 𝑓′(𝑥). 
𝑓′(𝑥) = 4 𝑥3 − 6𝑥 
𝑓′(𝑥) = 4 𝑥3 − 6𝑥 = 0 
2 (𝑥 − 0) (2 𝑥2 − 3) = 0 
Logo, os números críticos são: 𝑥 = 0 , 𝑥 = √
3
2
 e 𝑥 = −√
3
2
 
- Aplicando o teste da derivada primeira: 
Intervalo −∞ < 𝑥 < −√3 2⁄ −√
3
2⁄ < 𝑥 < 0 0 < 𝑥 < √
3
2⁄ √
3
2⁄ < 𝑥 < ∞ 
Valor de teste 𝑥 = − 2 𝑥 = −1 𝑥 = 1 𝑥 = 2 
Sinal da 
𝑓′(𝑥) 
𝑓′(−2) < 0 𝑓′(−1) > 0 𝑓′(1) < 0 𝑓′(2) > 0 
 
- Analisando os resultados da tabela, verificamos que a coordenada x = 0 corresponde a um máximo 
relativo, enquanto que nas coordenadas: 𝑥 = √3/2 e 𝑥 = −√3/2 encontramos mínimos relativos. 
Logo, os pontos mais próximos do ponto (0 , 2) são: (√
3
2
 ,
5
2
) e (−√
3
2
 ,
5
2
). 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 338 
Exemplo 4 
Um convite retangular tem 24 𝑖𝑛2 de área impressa. As margens superior e inferior têm 1,5 in; as margens 
laterais têm 1 in. Quais devem ser as dimensões do convite para que a quantidade de papel utilizada seja 
a menor possível? 
Solução 
- Um diagrama do convite pode ser visto na Figura 3.34 observando-se as unidades. 
- Chamando de A a área a ser minimizada (símbolo da quantidade de papel), 
a equação primária é: 
𝐴(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 3) (𝑦 + 2) 
- A área impressa é dada por 𝑥 𝑦 = 24 
- Explicitando o valor de y, teremos: 𝑦(𝑥) =
24
𝑥
 
- Exprimindo a equação primária em função de uma variável: 
𝐴(𝑥) = (𝑥 + 3) (
24
𝑥
+ 2) 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 339 
- Simplificando e agrupando os termos, teremos: 
𝐴(𝑥) = (𝑥 + 3) (
24 + 2 𝑥
𝑥
) 
𝐴(𝑥) =
2 𝑥2 + 30 𝑥 + 72
𝑥
 
𝐴(𝑥) = 2 𝑥 +
72
𝑥
+ 30 
- Neste caso, x deve ser positivo e o domínio prático será 𝑥 > 0. 
- Determinando os números críticos de 𝐴 ′(𝑥) atendendo às imposições do domínio: 
𝐴 ′(𝑥) = 2 −
72
𝑥2
 
𝐴 ′(𝑥) = 2 −
72
𝑥2
= 0 
𝑥 = 6 
- Usando o teste da derivada primeira, x = 6 corresponde a um mínimo. 
- Calculando o valor de y obtemos: 𝑦 = 4 . 
Logo, as dimensões do convite devem ser de x + 3 = 9 in de comprimento por y + 2 = 6 in de largura. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 340 
Obs.: Frequentemente, as aplicações práticas envolvemequações de complexidade relativamente alta 
para serem explicitadas. Uma vez formulada a equação primária, a curva (ou diagrama) da situação 
proposta na aplicação pode servir de ajuda para resolver o problema. 
A Figura 3.35 mostra os gráficos das equações primárias dos Exemplos 1 a 4 anteriores. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 341 
Exemplo 5 
Outra forma de explorar o problema do volume de uma caixa: 
Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas de pedaços quadrados de papelão de 12 cm 
de lado, cortando, por sua vez, quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados. Encontre o 
comprimento do lado do quadrado a ser cortado de modo que a caixa tenha o maior volume possível. 
 
Solução 
- Determinando as variáveis: 
x - lado do quadrado a ser cortado (cm) 
V - volume da caixa (cm3). 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 342 
- Determinando a equação do volume da caixa 
𝑉(𝑥) = (12 − 2 𝑥)2 𝑥 
𝑉(𝑥) = 4 𝑥3 − 48 𝑥2 + 144 𝑥 
 
- Determinando o domínio prático para a variável x. 
O valor de x pode variar entre 0 e 6, ou 0 < 𝑥 < 6 
- Utilizando o método da derivada primeira para determinarmos os números críticos atendendo às 
imposições do domínio prático: 
𝑉′(𝑥) = 12 𝑥2 − 96 𝑥 + 144 
12 𝑥2 − 96 𝑥 + 144 = 0 
12 (𝑥2 − 8 𝑥 + 12) = 0 
O número crítico é x = 2, pois x = 6 não se encontra dentro do intervalo permitido sem que haja 
degeneração da geometria da caixa (x = 0 e x = 6). 
 
- Determinando o extremo relativo: 
x 0 2 6 
V(x) 0 128 0 
Logo, o volume será máximo na coordenada x = 2. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 343 
Exemplo 6 
Uma ilha está em um ponto A, à 6 Km do ponto B mais próximo em uma praia reta. Um armazém está 
em um ponto C, à 7 Km de B na praia. Se um homem pode remar à razão de 4 Km/h e caminhar à razão 
de 5 Km/h, onde ele deveria desembarcar para ir da ilha ao armazém no menor tempo possível? 
Solução 
- Definindo variáveis: 
P - ponto na praia onde o homem desembarca. 
A - Ilha 
B - Distância vertical da ilha à praia. 
C - Local onde o armazém está. 
x - distância de B a P. 
T - tempo de viagem de A a C. 
𝐴𝑃̅̅ ̅̅ - distância que o homem rema. 
𝑃𝐶̅̅ ̅̅ - distância que o homem anda. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 344 
- Definindo equação primária. 
𝑇 =
𝐴𝑃̅̅ ̅̅
4
+
𝑃𝐶̅̅ ̅̅
5
 
onde, 
𝐴𝑃̅̅ ̅̅ → ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑡â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐵�̂� 
𝐴𝑃̅̅ ̅̅ = √62 + 𝑥2 
e 
𝑃𝐶̅̅ ̅̅ → (7 − 𝑥) 
Assim, 
𝑇(𝑥) =
√62 + 𝑥2
4
+
(7 − 𝑥)
5
 
 
- Definindo domínio prático: 
Como a distância de B a C é 7 Km, P pode estar no intervalo [0 , 7], ou 0 ≤ 𝑥 ≤ 7. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 345 
- Determinando os pontos críticos de 𝑇′(𝑥) utilizando o método da derivada primeira. 
𝑇′(𝑥) =
1
2
 
(62 + 𝑥2)−1/2 (2 𝑥)
4
−
1
5
 
𝑇′(𝑥) = 
𝑥
4 √36 + 𝑥2
−
1
5
 
𝑇′(𝑥) existe para todos os valores de x do domínio prático. 
𝑇′(𝑥) =
𝑥
4 √36 + 𝑥2
−
1
5
= 0 
5 𝑥 = 4 √36 + 𝑥2 
25 𝑥2 = 16 (36 + 𝑥2) 
9 𝑥2 = 576 
𝑥 = 8 , que não está dentro do intervalo prático [0 , 7]. 
Logo, o valor mínimo absoluto não ocorrerá em um número crítico. 
Como o intervalo analisado é fechado, o mínimo ocorrerá em um dos extremos. 
- Definindo os extremos absolutos: 
𝑇(0) =
29
10
≅ 2,9 ℎ e 𝑇(7) =
1
4
√85 ≅ 2,3 ℎ 
O valor mínimo absoluto de T(x) no intervalo [0 , 7] ocorre em x = 7 Km. 
Assim, o homem deve remar diretamente até o armazém. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 346 
Exemplo 7 
Um campo retangular vai ser cercado ao longo da margem de um rio, e não se exige cerca ao longo da 
margem do rio. Se o material da cerca custa R$ 2,00 / m para os extremos e R$ 3,00 / m para o lado 
paralelo ao rio, encontre as dimensões do campo de maior área possível que pode ser cercado com um 
custo de R$ 900,00. 
Solução 
- Definindo variáveis 
Sejam: x - comprimento de um extremo do campo (m) 
 y - comprimento do lado paralelo ao rio (m) 
 A - área do campo 
 
- Definindo equação primária 
𝐴(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 347 
- Definindo equação secundária 
𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 = 2 𝑥 + 2 𝑥 
𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 = 3 𝑦 
Assim, 𝐶𝑇(𝑥, 𝑦) = 2 𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝑦 = 900 
𝐶𝑇(𝑥, 𝑦) = 4 𝑥 + 3 𝑦 = 900 
De onde, 
𝑦(𝑥) =
900 − 4 𝑥
3
 
 
- Explicitando equação primária com uma variável independente: 
𝐴(𝑥) = −
4
3
𝑥2 + 300 𝑥 
 
- Determinando o domínio prático a partir da equação de 𝐶𝑇: 
Se 𝑦 = 0 → 𝑥 = 225 Área degenerada 
Se 𝑥 = 0 → 𝑦 = 300 Área degenerada 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 348 
Portanto, o valor de x que maximiza 𝐴(𝑥) deverá pertencer ao intervalo (0 , 225). 
 
- Determinando os valores críticos de 𝐴′(𝑥), utilizando o método da derivada primeira, observando o 
domínio prático. 
𝐴′(𝑥) = −
8
3
 𝑥 + 300 
𝐴′(𝑥) = −
8
3
 𝑥 + 300 = 0 
𝑥 = 112,5 𝑚 , pertencente ao domínio prático. 
 
- Teste do extremo 
𝐴(112,5) = 16.875 𝑚2 , maior área cercada por R$ 900,00. 
 Dimensões da área: 𝑥 = 112,5 𝑚 
 𝑦 = 150 𝑚 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 349 
Exemplo 8 
No planejamento de uma lanchonete foi estimado que se existem lugares para 40 a 80 pessoas, o 
rendimento semanal será de R$ 70,00 por lugar. Contudo, se a capacidade de assentos estiver acima de 
80 lugares, o rendimento semanal, em cada lugar, será reduzido em 50 centavos pelo número de lugares 
excedentes. Qual deverá ser a capacidade de assentos para se obter o maior rendimento semanal? 
Solução 
- Definindo variáveis 
Sejam: x - número de lugares 
 R - rendimento total 
 
- Definindo equação primária para o primeiro subdomínio: 
Quando 40 ≤ 𝑥 ≤ 80 , o rendimento semanal, por lugar, é fixo e igual a 70 reais, e 
𝑅(𝑥) = 70 𝑥 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 350 
- Definindo equação primária para o segundo subdomínio: 
Quando 𝑥 > 80 , o rendimento semanal por lugar será reduzido de R$ 0,50 por lugar excedente (x – 80). 
Ou seja, o rendimento semanal por lugar será variável e igual a: [70 − 0,5 (𝑥 − 80)] . 
Portanto, o rendimento total, para esse intervalo, será de: 
𝑅(𝑥) = [70 − 0,5 (𝑥 − 80)] 𝑥 
𝑅(𝑥) = [110 − 0,5 𝑥] 𝑥 
𝑅(𝑥) = −0,5 𝑥2 + 110 𝑥 
- Formalizando o domínio prático: 
O limite inferior de x será: 𝑥 = 40. 
Para a definição do limite superior devemos impor a condição de rendimento semanal nulo: 
Para rendimento semanal nulo (R(x) = 0) , teremos: 
[110 − 0,5 𝑥] 𝑥 = 0 x = 0 e x = 220. 
O domínio será definido como sendo 𝐷: [40 , 220] 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 351 
- Explicitando a equação primária definida por partes: 
𝑅(𝑥) = {
70 𝑥, 𝑠𝑒 40 ≤ 𝑥 ≤ 80
−0,5 𝑥2 + 110 𝑥, 𝑠𝑒 80 < 𝑥 ≤ 220
 
 Note que a função R(x) é contínua, pois 𝑅(80) = 5.600 ≡ lim
𝑥 → 80
𝑅(𝑥). 
 Portanto, poderemos aplicar o teorema do valor extremo. 
 
- Determinando os números críticos de 𝑅′(𝑥). 
𝑅′(𝑥) = {
70 , 𝑠𝑒 40 ≤ 𝑥 ≤ 80
− 𝑥 + 110 , 𝑠𝑒 80 < 𝑥 ≤ 220
 
 Note que 𝑅′(𝑥) não existe em x = 80, pois as derivadas laterais têm valores diferentes entre si. 
 Como 𝑅−
′ (80) = 70 e 𝑅+
′ (80) = 30 , então x = 80 é um número crítico.Note ainda que 𝑅′(𝑥) = 0 , fornecerá o número crítico 110 no segundo intervalo. 
 Portanto, o valor máximo do rendimento estará nos números críticos ou nos extremos dos intervalos. 
 
- Testes dos extremos absolutos 
x 40 80 110 220 
R (x) 280 5.600 6.050 0 
Logo, o rendimento será máximo quando x = 110 lugares ocupados. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 352 
Graficamente teremos: 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 353 
Exemplo 9 
Um cilindro circular reto deve ser inscrito numa esfera de raio genérico a. Encontre o quociente da altura 
pelo raio da base do cilindro de modo que tenha área de superfície lateral máxima. 
Solução 
- Definindo variáveis 
Seja a a medida do raio constante da esfera. 
Seja r unidades, o raio do cilindro; h unidades, a altura do cilindro; 𝜃 𝑟𝑎𝑑, o 
ângulo no centro da esfera subentendido pelo raio do cilindro; e S unidades 
quadradas, a área da superfície lateral do cilindro. 
 
- Definindo equação primária 
Sabemos que 𝑆(𝑟, ℎ) = 2𝜋 𝑟 ℎ. 
 
- Definindo equação secundária 
Da figura acima: 
𝑟(𝜃) = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑒 ℎ(𝜃) = 2𝑎 cos 𝜃 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 354 
- Explicitando a equação primária em função de uma variável independente: 
𝑆(𝜃) = 2 𝜋 (𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜃)(2𝑎 cos 𝜃) = 2𝜋 𝑎2 (2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃) = 2𝜋 𝑎2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 
 
- Determinando o domínio prático: 
0 < 𝜃 <
𝜋
2
 
 
- Determinando os valores críticos de 𝑆 ′(𝜃) e utilizando o método da derivada segunda para estudarmos 
os extremos relativos, observando o domínio prático, teremos: 
𝑆 ′(𝜃) = 4𝜋 𝑎2 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 e 𝑆 ′′(𝜃) = −8𝜋 𝑎2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 
Assim, 
𝑆 ′(𝜃) = 0 ⟹ cos 2𝜃 = 0 ⟹ 2𝜃 =
𝜋
2
 ≡ 𝜃 =
𝜋
4
 
Para 2𝜃 =
𝜋
2
 ⟹ 𝑆 ′′ (
𝜋
2
) = 𝑁𝐸𝐺 ⟹ 𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑀á𝑥 𝑅𝑒𝑙. 
Portanto, quando 𝜃 =
𝜋
4
 ⟹ 𝑟 =
√2𝑎
2
 𝑒 ℎ = √2𝑎; 
Assim para área de superfície lateral máxima temos que 
ℎ
𝑟
= 2. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 355 
Exemplo 10 
Os lados de uma cuba em forma de V têm 200 centímetros de comprimento e 30 centímetros de largura 
(Figura abaixo). Determinar o ângulo t situado entre os lados, que maximiza a capacidade da cuba. 
Solução 
- Definindo variáveis 
Seja 𝑡 𝑟𝑎𝑑 o ângulo entre os lados. 
 
- Definindo equação primária 
O volume da cuba é seu comprimento vezes a área de sua seção transversal. 
Uma vez que o comprimento é constante, basta analisarmos os extremos da seção transversal. 
Analisando o gráfico da seção reta conforme nova figura ao lado. 
Logo, a área da seção transversal é: 
𝐴 =
1
2
 𝑏𝑎𝑠𝑒. 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
𝐴(ℎ) =
1
2
 30. ℎ 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 356 
- Definindo equação secundária 
Da figura acima: 
ℎ(𝑡) = 30 𝑠𝑒𝑛 𝑡. 
 
- Explicitando a equação primária como função da variável independente de interesse: 
𝐴(𝑡) = 15 (30 𝑠𝑒𝑛 𝑡) = 450 𝑠𝑒𝑛 𝑡 
- Determinando o domínio prático: 0 < 𝑡 < 𝜋 
 
- Determinando os valores críticos de 𝐴 ′(𝑡) e utilizando o método da derivada segunda para estudarmos 
os extremos relativos, observando o domínio prático, teremos: 
𝐴 ′(𝑡) = 450 𝑐𝑜𝑠 𝑡 e 𝐴 ′′(𝑡) = −450 𝑠𝑒𝑛 𝑡 
Assim, 
𝐴 ′(𝑡) = 0 ⟹ cos 𝑡 = 0 ⟹ 𝑡 =
𝜋
2
 
Para 𝑡 =
𝜋
2
 ⟹ 𝐴 ′′ (
𝜋
2
) = 𝑁𝐸𝐺 ⟹ 𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑀á𝑥 𝑅𝑒𝑙. 
Portanto, quando 𝑡 =
𝜋
2
 ⟹ 𝐴(𝑡) = 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 450 𝑐𝑚2. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 357 
4.5 – Cálculo de Limites, em Formas Indeterminadas, com o Uso da Derivada 
 
 Métodos para calcular certos limites envolvendo formas indeterminadas serão tratados nesta seção. 
A técnica utilizada é chamada regra de L’Hôpital, em homenagem ao matemático francês Guillaume 
François de L’Hôpital (1661-1707), que escreveu o primeiro texto de Cálculo, publicado em 1696. 
 
- A forma indeterminada 
𝟎
𝟎
 . 
Se f(x) e g(x) forem duas funções tais que 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0 
 e 
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 0 
 então a função 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 tem a forma indeterminada 
𝟎
𝟎
 em a. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 358 
1- Teorema Regra de L’Hôpital (Limites Indeterminados na forma 
0
0
) 
Sejam f(x) e g(x) funções diferenciáveis em um intervalo aberto I, exceto possivelmente no número a 
pertencente a I. 
Suponhamos que para todo 𝑥 ≠ 𝑎, em I, 𝑔′(𝑥) ≠ 0 . Então, se 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0 𝑒 
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 0 𝑒 𝑠𝑒 
lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= 𝐿 
 
segue que 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝐿 
 
O Teorema é válido também se todos os limites forem limites à direita ou à esquerda. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 359 
Exemplo 1 
Use a regra de L’Hôpital para mostrar que: (a) lim
𝑥→4
 
𝑥2−𝑥−12
𝑥2−3𝑥−4
=
7
5
 e (b) lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 1 
Solução 
(a) 
Como lim
𝑥→4
𝑥2 − 𝑥 − 12 = 0 e lim
𝑥→4
𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0 , temos a indeterminação 
0
0
 e então podemos aplicar 
a regra de L’Hôpital e obter: 
lim
𝑥→4
 
𝑥2 − 𝑥 − 12
𝑥2 − 3𝑥 − 4
= lim
𝑥→4
 
(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)
(𝑥 − 4)(𝑥 + 1)
= 
7
5
 ≡ lim
𝑥→4
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= lim
𝑥→4
 
2 𝑥 − 1
2 𝑥 − 3
=
7
5
 
(b) 
Podemos aplicar a regra de L’Hôpital, pois: 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 𝑒 lim
𝑥→0
 𝑥 = 0 . 
Temos então: 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
≡ lim
𝑥→0
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠 𝑥
1
= 1 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 360 
Exemplo 2 
Encontre lim
𝑥→0
𝑥
1−𝑒𝑥
 , se existir. 
Solução 
Como lim
𝑥→0
𝑥 = 0 e lim
𝑥→0
1 − 𝑒𝑥 = 0 , a regra de L’Hôpital pode ser aplicada e temos: 
 
lim
𝑥→0
 
𝑥
1 − 𝑒𝑥
 = lim
𝑥→0
1
−𝑒𝑥
 = 
1
−1
 = −1 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 361 
Exemplo 3 
Encontre lim
𝑥→1
1 − 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑥
𝑥3−3 𝑥+2
 , se existir. 
Solução 
lim
𝑥→1
1 − 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑥 = 0 e lim
𝑥→1
𝑥3 − 3 𝑥 + 2 = 0 
 
Aplicando a regra de L’Hôpital, temos: 
lim
𝑥→1
1 − 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑥
𝑥3 − 3 𝑥 + 2
= lim
𝑥→1
 
−1 + 
1
𝑥
3 𝑥2 − 3
=
0
0
 
 
Aplicando a regra de L’Hôpital novamente, 
lim
𝑥→1
 
−1 + 
1
𝑥
3 𝑥2 − 3
= lim
𝑥→1
 
−
1
𝑥2
6 𝑥
= −
1
6
 
 
Portanto, 
lim
𝑥→1
1 − 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑥
𝑥3 − 3 𝑥 + 2
= −
1
6
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 362 
2- Teorema Regra de L’Hôpital (Limites Indeterminados na forma 
0
0
 no Infinito) 
Sejam f(x) e g(x) funções diferenciáveis para todo 𝑥 > 𝑁 , onde N é uma constante positiva e suponhamos 
que, para todo 𝑥 > 𝑁 , 𝑔′(𝑥) ≠ 0 . Então, se 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 0 𝑒 
lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = 0 𝑒 𝑠𝑒 
 
lim
𝑥→+∞
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= 𝐿 
 
segue que 
 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝐿 
 
O Teorema também é válido se “𝑥 → +∞” for substituído por “𝑥 → −∞” ou 𝑥 → ∞. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 363 
- Outras formas indeterminadas. 
 
 Desejamos determinar se o lim
𝑥→
𝜋
2
 
𝑠𝑒𝑐2 𝑥
𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥
 existe. 
 
 A princípio, não podemos aplicar o teorema que envolve o limite de um quociente porque 
lim
𝑥→
𝜋
2
 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 = + ∞ e lim
𝑥→
𝜋
2
 𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥 = + ∞ . 
 
 Neste caso, vemos que a função definida por 
𝑠𝑒𝑐2 𝑥
𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥
 tem a forma indeterminada 
+∞
+∞
 em 𝑥 =
𝜋
2
 e 
não aquela conhecida 
0
0
. 
 
Outras condições onde a regra de L’Hôpital também é aplicável: 
 A regra de L’Hôpital também se aplica a uma forma indeterminada 
+∞
+∞
 bem como a: 
−∞
−∞
 , 
−∞
+∞
 , 
+∞
−∞
 e 
∞
∞
 . 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 364 
3- Teorema Regra de L’Hôpital (Limites Indeterminados na forma 
∞
∞
) 
Sejam f(x) e g(x) funções diferenciáveis em um intervalo aberto I, exceto possivelmente no número a em 
I. Suponhamos que para todo 𝑥 ≠ 𝑎, em I, 𝑔′(𝑥) ≠ 0 . 
Então, se 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = +∞ ; −∞ ; 𝑜𝑢 ∞ 𝑒 
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = +∞ ; −∞ ; 𝑜𝑢 ∞ 𝑒 𝑠𝑒 
lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= 𝐿 
 
segue que 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝐿 
 
O Teorema é válido se todos os limites forem limites à direita ou à esquerda. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 365 
4- Teorema Regra de L’Hôpital (Limites Indeterminados na forma 
∞
∞
 no infinito) 
Sejam f(x) e g(x) funções diferenciáveis para todo 𝑥 > 𝑁 , onde N é uma constante positiva e suponhamos 
que, para todo 𝑥 > 𝑁 , 𝑔′(𝑥) ≠ 0 . Então, se 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = +∞ , −∞ , 𝑜𝑢 ∞ 𝑒 
lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = +∞ , −∞ , 𝑜𝑢 ∞ , 𝑒 𝑠𝑒 
 
lim
𝑥→+∞
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= 𝐿 
segue que 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝐿 
O Teorema também é válido se “𝑥 → +∞” for substituído por “𝑥 → −∞” . 
 
Obs: 
Os teoremas de 1 a 4 também são válidos se L for substituído por +∞ , −∞ 𝑜𝑢 ∞ . 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 366 
Exemplo 4 
Encontre lim
𝑥→0+
 
ln 𝑥
1
𝑥
 se existir. 
Solução 
Como lim
𝑥→0+
 ln 𝑥 = −∞ e lim
𝑥→0+
 
1
𝑥
= +∞ , aplicamos a regra de L’Hôpital e obtemos: 
 
lim
𝑥→0+
 
ln 𝑥
1
𝑥
= lim
𝑥→0+
 
1
𝑥
−
1
𝑥2
= lim
𝑥→0+
 (−𝑥) = 0 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 367 
Exemplo 5 
Encontre lim
𝑥→+∞
 
𝑥2
𝑒𝑥
 , se existir. 
Solução 
Como lim
𝑥→+∞
 𝑥2 = +∞ e lim
𝑥→+∞
 𝑒𝑥 = +∞ , aplicando a regra de L’Hôpital obtemos: 
lim
𝑥→+∞
 
𝑥2
𝑒𝑥
= lim
𝑥→+∞
 
2 𝑥
𝑒𝑥
 
 
Agora, como o lim
𝑥→+∞
 2 𝑥 = +∞ e lim
𝑥→+∞
 𝑒𝑥 = +∞ , 
aplicamos a regra de L’Hôpital novamente e teremos: 
lim
𝑥→+∞
 
2 𝑥
𝑒𝑥
= lim
𝑥→+∞
 
2
𝑒𝑥
= 0 
 
Portanto, 
lim
𝑥→+∞
 
𝑥2
𝑒𝑥
= 0 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 368 
Exemplo 6 
Encontre lim
𝑥→
𝜋
2
 
𝑠𝑒𝑐2 𝑥
𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥
 , se existir. 
Solução 
Como lim
𝑥→
𝜋
2
 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 = +∞ e lim
𝑥→
𝜋
2
 𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥 = +∞ , 
 
então, aplicando a regra de L’Hôpital, obtemos: 
lim
𝑥→
𝜋
2
 
𝑠𝑒𝑐2 𝑥
𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥
= lim
𝑥→
𝜋
2
 
2 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥
6 𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥 𝑡𝑎𝑛 3𝑥
 
Mas, 
lim
𝑥→
𝜋
2
 2 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = +∞ e lim
𝑥→
𝜋
2
 6 𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥 𝑡𝑎𝑛 3𝑥 = +∞ . 
 
Poderemos verificar que, neste caso, mais aplicações da regra de L’Hôpital não eliminará o tipo de 
indeterminação apresentado pela função. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 369 
Contudo, o quociente original pode ser reescrito e teremos: 
lim
𝑥→
𝜋
2
 
𝑠𝑒𝑐2 𝑥
𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥
= lim
𝑥→
𝜋
2
 
𝑐𝑜𝑠2 3 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
 
 
Para essa nova situação, lim
𝑥→
𝜋
2
 𝑐𝑜𝑠2 3 𝑥 = 0 e lim
𝑥→
𝜋
2
 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 0 , e podemos aplicar a regra de L’Hôpital 
e obtemos: 
lim
𝑥→
𝜋
2
 
𝑐𝑜𝑠2 3 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
= lim
𝑥→
𝜋
2
 
−6 cos 3𝑥 𝑠𝑒𝑛 3 𝑥 
−2 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
 
 
lim
𝑥→
𝜋
2
 
𝑐𝑜𝑠2 3 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
= lim
𝑥→
𝜋
2
 
3 (2 cos 3𝑥 𝑠𝑒𝑛 3 𝑥 )
(2 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥)
 
 
lim
𝑥→
𝜋
2
 
𝑐𝑜𝑠2 3 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
= lim
𝑥→
𝜋
2
 
3 𝑠𝑒𝑛 6 𝑥
𝑠𝑒𝑛 2 𝑥
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 370 
Como lim
𝑥→
𝜋
2
 3 𝑠𝑒𝑛 6 𝑥 = 0 e lim
𝑥→
𝜋
2
 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 = 0 , aplicamos a regra de L’Hôpital novamente e obtemos: 
 lim
𝑥→
𝜋
2
 
3 𝑠𝑒𝑛 6 𝑥
𝑠𝑒𝑛 2 𝑥
= lim
𝑥→
𝜋
2
 
18 𝑐𝑜𝑠 6 𝑥
2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
= 
18 (−1)
2 (−1)
= 9 
 
 
Portanto, 
lim
𝑥→
𝜋
2
 
𝑠𝑒𝑐2 𝑥
𝑠𝑒𝑐2 3 𝑥
= 9 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 371 
 Além de 
0
0
 e ±
∞
∞
 , existem outras formas indeterminadas que são (𝟎 ∙ ∞) , (∞ − ∞) , (𝟎𝟎) , (∞𝟎) , 
(𝟏∞) , e as formas correspondentes onde ∞ é substituído por +∞ 𝑜𝑢 − ∞. 
 
 Estas formas indeterminadas devem ser alteradas de modo a se obter as formas [
0
0
 e 
∞
∞
]. 
 
 Por exemplo, se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ∞ e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 0 então, a função definida por 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) tem a forma 
indeterminada (∞0) em a. 
 
 Para encontrar o limite de uma função que tem uma dessas formas indeterminadas devemos alterá-
las para a forma de 
0
0
 ou ±
∞
∞
 antes de a regra de L’Hôpital ser aplicada. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 372 
Exemplo 7 - (𝟎 ∙ ∞) 
Encontre lim
𝑥 → 0
 (𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥) (𝑐𝑠𝑐 𝑥) , se existir. 
Solução 
Como lim
𝑥 → 0
 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 e lim
𝑥 → 0
 𝑐𝑠𝑐 𝑥 = ∞ , a função definida por 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑥 tem a forma 
indeterminada (0 ∙ ∞) em 0. 
 
Antes de podermos aplicar a regra de L’Hôpital reescrevemos 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑥 como 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 / 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 
 
Agora, lim
𝑥 → 0
 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 e lim
𝑥 → 0
 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 e assim temos a forma indeterminada 
0
0
. 
Portanto, aplicamos a regra de L’Hôpital e obtemos: 
lim
𝑥 → 0
 
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
= lim
𝑥 → 0
 
1
√1 − 𝑥2
cos 𝑥
= 
1
1
= 1 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 373 
Exemplo 8 - (∞ − ∞) 
Encontre lim
𝑥→0
 (
1
𝑥2
− 
1
𝑥2 sec 𝑥
) , se existir. 
Solução 
Como lim
𝑥→0
 
1
𝑥2
= +∞ e lim
𝑥→0
 
1
𝑥2 sec 𝑥
= +∞ , temos a forma indeterminada [∞ − (∞)]. 
Reescrevendo a expressão, temos: 
lim
𝑥→0
 (
1
𝑥2
− 
1
𝑥2 sec 𝑥
) = lim
𝑥→0
 (
sec 𝑥 − 1
𝑥2 sec 𝑥
) 
 
Como lim
𝑥→0
 (sec 𝑥 − 1) = 0 e lim
𝑥→0
(𝑥2 sec 𝑥) = 0 , então podemos aplicar a regra de L’Hôpital e 
obtemos: 
lim
𝑥→0
 
sec 𝑥 − 1
𝑥2 sec 𝑥
= lim
𝑥→0
 
sec 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥
2 𝑥 sec 𝑥 + 𝑥2 sec 𝑥 tan 𝑥
 
 
lim
𝑥→0
 
sec 𝑥 − 1
𝑥2 sec 𝑥
= lim
𝑥→0
 
 𝑡𝑎𝑛 𝑥
2 𝑥 + 𝑥2 tan 𝑥
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 374 
Porém, lim
𝑥→0
 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 0 e lim
𝑥→0
 2 𝑥 + 𝑥2 tan 𝑥 = 0 
Aplicando a regra de L’Hôpital novamente, 
lim
𝑥→0
 
 𝑡𝑎𝑛 𝑥
2 𝑥 + 𝑥2 tan 𝑥
= lim
𝑥→0
 
 𝑠𝑒𝑐2 𝑥
2 + 2 𝑥 tan 𝑥 + 𝑥2 sec2 𝑥
= 
1
2
 
 
Portanto, 
 
lim
𝑥→0
 (
1
𝑥2
− 
1
𝑥2 sec 𝑥
) = 
1
2
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 375 
Exemplo 9 – (∞0 , 1∞) 
Encontre lim
𝑥→0
 (𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑡 𝑥 
Solução 
Como lim
𝑥→0
 (𝑥 + 1) = 1 e lim
𝑥→0𝑐𝑜𝑡 𝑥 = ∞ , temos a forma indeterminada 1∞ . 
Seja 𝑦 = (𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑡 𝑥 
Então, 
ln 𝑦 = ln[(𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑡 𝑥] 
ln 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡 𝑥 ln(𝑥 + 1) 
ln 𝑦 = 
ln(𝑥 + 1)
𝑡𝑎𝑛 𝑥
 
Assim, 
lim
𝑥→0
 ln 𝑦 = lim
𝑥→0
ln(𝑥 + 1)
𝑡𝑎𝑛 𝑥
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 376 
Como lim
𝑥→0
ln(𝑥 + 1) = 0 e lim
𝑥→0
𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 0 , podemos aplicar a regra de L’Hôpital e obtemos: 
 lim
𝑥→0
ln(𝑥 + 1)
𝑡𝑎𝑛 𝑥
= lim
𝑥→0
1
(𝑥 + 1)
sec2 𝑥
= 1 
 
Logo, 
lim
𝑥→0
 ln 𝑦 = 1 
 
Como a função logaritmo natural é contínua em todo seu domínio, que é o conjunto de todos os números 
positivos, podemos considerar: 
lim
𝑥→0
 ln 𝑦 = ln lim
𝑥→0
𝑦 = 1 
 
Portanto, lim
𝑥→0
𝑦 = 𝑒1 ou 
lim
𝑥→0
 (𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑡 𝑥 = 𝑒 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 377 
Exemplo 10 – ( 00 ) 
Encontre lim
𝑥 → 0+
(sin 𝑥)𝑥 
Como a substituição direta produz a forma indeterminada 00, consideraremos que o limite existe e é igual 
a y. Assim, teremos: 
Como ln 𝑦 = 0, então podemos escrever que: 
𝑦 = 𝑒0 = 1 
Portanto, podemos escrever: 
 
lim
𝑥 → 0+
(sin 𝑥)𝑥 = 1 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 378 
4.6 – Exercícios 
 Resolver exercícios da lista e outros diversos das referências bibliográficas. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 379 
REFERÊNCIAS 
 Conteúdo deste capítulo foi compilado de: 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B.; Calculus of a Single Variable, 10 ed., Boston, MA - USA, Brooks/Cole Cengage 
Learning, 2014. 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B. H.; Calculus, 9 ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. 
 
LARSON, R., Brief Calculus An Applied Approach, 8 ed., Houghton Mifflin Company, Boston – New York, 2009. 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B. H.; com a assistência de FALVO, D. C., Cálculo com Aplicações, 6 ed., Rio de Janeiro 
– RJ, LTC, 2008. 
 
LEITHOLD, L; O Cálculo com Geometria Analítica, São Paulo – SP, Harbra Editora Harper & Row do 
Brasil Ltda., 1977.