Derivadas 1 taxa

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DERIVADAS 
 
1. Taxa de variação 
 
Derivada  Variação 
 
Ex.: função de 1º. Grau: f(x) = ax + b. (função linear) 
Gráfico de uma reta que passa pelo ponto b na intersecção com o eixo y e, para cada 
aumento de uma unidade em x, o valor da função aumenta a unidades. 
 
 
 
 
3


x
y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.1 – Função f(x) = 3x – 1. 
 
 
 
 
 
 
3


x
y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.2 – Função f(x) = -3x + 3. 
 
 
 
Razão: 
a
xx
xxa
xx
baxbax
xx
xfxf
x
y
r 












12
12
12
12
12
12 )()()(
 
x 
y 
-1 
0 
8 
3 
f(x)=3x-1 
2 
1 
Δy 
Δx 
x 
y 
-3 
0 
2 
f(x)=-3x+ 3 
3 
1 
Δy 
Δx 
Razão r = a = taxa de variação de f(x) = inclinação da reta = medida da rapidez de 
crescimento ou decrescimento da função em relação ao aumento de x. É constante e 
chamada de derivada. 
 
Exercícios 
1) Determine a taxa de variação (ou derivada) de f(x) = 7x + 8 entre x1 = 3 e x2 = 5. 
Resolução: A taxa pedida é: 
.decoef.7
2
2943
35
)3()5(
x
ff
r 





 
 
2) A massa m do oxigênio contido em um tanque varia com o tempo t de acordo com a 
expressão m = 30 – 4t (m em kg, t em horas). 
a) Qual a taxa de variação da massa em relação ao tempo? Interprete. 
b) Em quanto tempo o tanque perde 10 kg de oxigênio? 
Resolução: 
a) r = – 4 (coef. de t) e representa a quantidade em massa de oxigênio perdida 
(sinal -) por unidade de tempo, ou seja, de 4 kg de oxigênio por hora. 
b) O tanque perde 4 kg de oxigênio em 1 hora, 8 kg em 2 horas e 10 kg em 2 horas 
e meia, ou seja, 
5,2
4
1010
4 








 t
t
kg
t
m
r
horas. 
 
3) A quantia y em Reais que deve ser paga por x metros de um determinado tecido é 
dada por y = 15x, x  0. 
a) Construa o gráfico dessa função. 
b) Ela é crescente ou decrescente em R+? 
c) Qual a taxa de variação de y em relação a x? Como pode ser interpretada? Em 
que unidades é medida? 
 
4) Um tanque contém inicialmente 20 l de água. Uma torneira despeja água no tanque à 
razão constante de 5 l/min. 
a) Qual o volume de água no tanque após 10 minutos? 
b) Qual o volume V de água no tanque após t minutos? 
c) Qual a taxa de variação de V em relação a t? Em que unidades é medida? 
 
5) A temperatura T de um forno, ao ser desligado, varia com o tempo t de acordo com a 
expressão: T = 400 – 12t (T em oC e t em minutos) até que se atinja a temperatura 
ambiente que é 16
o
C. 
a) Qual a derivada de T em relação a t? 
b) De quanto a temperatura varia a cada 5 minutos? 
c) Depois de quanto tempo é atingida a temperatura ambiente? 
 
6) Foram registradas as leituras de temperatura T (em graus Celsius) a cada duas horas, 
começando as 6 horas da manhã até as 6 horas da tarde, em um dia de abril na cidade de 
Whitefish, nos Estados Unidos, conforme tabela. 
 
x(h) 6 8 10 12 14 16 18 
T(
o
C) 4,0 6,1 10,0 14,3 17,3 18,8 16 
 
a) Encontre a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo (i) do meio-dia 
até as 16 horas; (ii) do meio-dia até as 18 horas e (iii) das 6 h da manhã às 6 da 
tarde 
b) Encontre a máxima taxa de variação nesse dia. 
 
 
 
 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
 
 
De um modo geral, se uma função f(x) não é do 1º. grau ou constante, então a 
taxa de variação ou derivada não é mais constante e a variação da função em relação a x, 
ou seja, Δy/Δx, muda entre cada dois pontos. 
Ex.: Seja a função f(x) = 3x
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.3 – Variação da função f(x) = 3x2. 
 
 
Derivada em um ponto 
 
 Vamos fazer o ponto da direita se aproximar do primeiro ponto, ou seja, calcular 
o limite: 
)(pontoumemderivada
)()(
limlim 1
12
12
120
xf
xx
xfxf
x
y
xxx












 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
2 0 
27 
3 
f(x)=3x
2
 
12 
1 
Δy =15 
Δy = 9 Δx 
x 
y 
x0 0 
f(x) 
x 
reta 
tangente 
f(x0) 
Δy 
Δx 
 
 
 
Fig. 2.4 – Derivada em um ponto – inclinação da reta tangente 
 
 
A taxa de variação média de f(x) entre dois pontos próximos: x0 e um ponto 
genérico x, ou a derivada de f(x) no ponto x0 é dada por: 
0
0
00
0
)()(
limlim)(
xx
xfxf
x
y
xf
xxx 











 (1) 
Como x – x0 = Δx  x = x0 + Δx e f(x) – f(x0) = Δy  f(x) = f(x0) + Δy, podemos, 
também escrever a derivada de uma função do seguinte modo: 
.
)()(
lim)( 00
0
0
x
xfxxf
xf
x 



 (2) 
 
Ex. 1) Seja a função y = f(x) = x
2
; procuremos a sua derivada no ponto x0 = 3, ou seja, 
f´(3). 
 Temos: x0 = 3; f(x0) = f(3) = 3
2
 = 9 
6
3
)3)(3(
lim
3
9
lim
3
)3()(
lim
)()(
lim)(
3
2
33
0
0
0
0 












 x
xx
x
x
x
fxf
xx
xfxf
xf
xxxxx
 
 
Ex. 2) Seja a função f(x) = 3x
2
; calculemos a sua derivada no ponto x0 = 2, ou seja, f´(2). 
 Temos: x0 = 2; f(x0) = f(2) = 3.2
2
 = 12. 
12)2(3lim
2
)2)(2(3
lim
3
)4(3
lim
2
123
lim
2
)2()(
lim)2(
2
2
2
2
2
22
















x
x
xx
x
x
x
x
x
fxf
f
x
xxxx
 
 
Ex. 3) Dada a função constante f(x) = 4, calcular a derivada no ponto x0 = 1, ou seja, 
f´(1). 
 Temos: x0 = 1; f(x0) = f(1) = 4 (constante). 
.0
1
0
lim
1
44
lim
1
)1()(
lim)1(
111









 xxx
fxf
f
xxx
 
 
 A função é constante, não varia, e portanto, derivada nula: 
Se f(x) = c, c uma constante, então, f’(x) = 0. 
 
Equação da reta tangente em um ponto 
 
Ex. 4) Seja a função do exemplo 2, f(x) = 3x
2
, Agora vamos obter a equação da reta 
tangente no ponto dado, x0 = 2, onde a derivada calculada foi f’(2) = 12. 
 
Solução: 
 
Para obter a equação da reta tangente em um ponto, sabemos que a sua 
inclinação é igual a derivada no ponto, então, a equação da reta: 
 Y = ax + b = f´(x0).x + b.  Y = f´(2).x + b = 12x + b. 
 
A constante b é simplesmente determinada pela substituição de x0 na equação da reta. 
Como a reta tangente no ponto x0 tem o mesmo valor da função, então podemos 
substituir Y por f(x0) : 
 
 f(x0) = f´(x0).x0 + b  b = f(x0) – f´(x0).x0 = f(2) – f´(2).2 = 12 – 12.2 = -12. 
 
Logo, a equação da reta tangente é: 
 Y = 12x – 12 = 12(x – 1). 
 
Ex. 4) Obter a equação da reta tangente no ponto x0 = 3 da função do exemplo 1: f(x) = 
x
2
 . 
Solução: 
 Y = ax + b = f´(x0).x + b.  Y = f´(3).x + b = 6x + b. 
 Para x = x0 = 3  Y = f(3) = 3
2
 = 9 = 63 + b; 
Logo, b = 9 – 63 = -9. 
Equação da reta tangente: Y = 6x – 9. 
 
Função derivada 
 
 Como a derivada para uma função não-linear varia de ponto a ponto, ela é uma 
função de x, ou seja, ela tem um valor diferente em cada ponto x. Agora vamos obter a 
derivada de uma função em um ponto genérico (qualquer) x. Vamos utilizar a relação 
(2), em termos de Δx, e fazer x0 = x, um ponto qualquer, e Δx = h, um intervalo 
constante e bem pequeno (h  0): 
.
)()(
lim)(
0 h
xfhxf
xf
h



 (3) 
 
 Vamos repetir os cálculos das derivadas em um ponto dos exemplos anteriores, 
mas, agora, vamos obterinicialmente a função derivada, em termos de x, e substituir o 
valor do ponto desejado. 
 
Ex. 1) A função é f(x) = x
2
; vamos procurar a sua derivada em um ponto x qualquer, ou 
seja, f´(x). Usando agora a fórmula (3), devemos primeiro obter 
 f(x+ h) = (x + h)
2
 = x
2
 + 2hx + h
2
; substituindo em (3), 
xhx
h
hhx
h
xhhxx
h
xfhxf
xf
hhhh
2)2(lim
2
lim
2
lim
)()(
lim)(
0
2
0
222
00








 
Se queremos a derivada no ponto x = 3, basta substituir em f’(x) = 2x: 
 f´(3) = 2∙3 = 6. (claro que é o mesmo resultado anterior). 
 
Ex. 2) Agora a função f(x) = 3x
2
; calculemos a sua derivada no ponto genérico x, ou 
seja, f´(x). 
 Temos: f(x + h) = 3.(x + h)
2
 = 3.(x
2
 + 2hx + h
2
) = 3x
2
 + 6hx + 3h
2
. 
.1226)2´(,2Em
;6)36(lim
36
lim
3363
lim)(
0
2
0
222
0







fx
xhx
h
hhx
h
xhhxx
xf
hhh
 
 
Ex. 3) Agora vamos calcular a derivada f´(x) da função f(x) = x
3
. 
 Temos: f(x + h) = (x + h)
3
 = x
3
 + 3x
2
h + 3xh
2
 + h
3
 . 
f(x) = x
n
  f ´(x) = nxn-1 
o expoente desce 
multiplicando x. 
 
Subtrai 1 do expoente 
.3)33(lim
33
lim
33
lim)( 222
0
322
0
33223
0
xhxhx
h
hxhhx
h
xhxhhxx
xf
hhh






 
Resumindo: 
 f(x) = ax + b => f ’(x) = a 
 f(x) = x
2
 => f ’(x) = 2x 
 f(x) = x
3
 => f ’(x) = 3x2 
 f(x) = x
4
 => pode-se mostrar que f ’(x) = 4x3 
 f(x) = 3x
2
 => f ’(x) = 6x; 6x = 3.2x 
Se f(x) = c.g(x) => f’(x) = c.g’(x). 
 
Regra geral para derivadas de funções potências (válida também para expoentes 
decimais, fracionários e negativos): 
 ------------------------------------------ 
f(x) = x
n
 => f ’(x) = nxn-1 
------------------------------------------ 
Ex.: f(x) = x
3
 => f’(x) = 3x2 
 f(x) = x
10
 => f’(x) = 10x9 
 
 Válida para expoentes decimais: 
Ex.: f(x) = x
3,5
 => f’(x) = 3,5x3,5-1 =3,5x2,5. 
 f(x) = x
1,27
 => f’(x) = 1,27x0,27 
 
Válida para expoentes fracionários : 
Ex.: f(x) = x
3/2
 => 
2/112/3
2
3
2
3
)( xxxf  
 
 f(x) = x
4/5
 => 
5/115/4
5
4
5
4
)(   xxxf
 
 
 Válida para expoentes negativos: 
Ex.: f(x) = x
-4
 => 
514 44)(   xxxf
 
 f(x) = x
-2/3
 => 
3/513/2
3
2
3
2
)(   xxxf
 
 
Exercícios : 
1) Calcule as derivadas das seguintes funções (aplique a regra acima): 
 
a) f(x) = x
4
 => f’(x) = 
b) f(x) = x
99
 => f’(x) = 
c) f(x) = x
-7
 => f’(x) = 
d) f(x) = x
-2
 => f’(x) = 
e) f(x) = x
-2,3
 => f’(x) = 
f) f(x) = x
3/4
 => f’(x) = 
g) f(x) = x
-1/2
 => f’(x) = 
h) f(x) = x
1/6
 => f’(x) = 
i) f(x) = 33x
2
 => f’(x) = 
j) f(x) = -9x
-5
 => f’(x) = 
k) f(x) = -3x
4/3
 => f’(x) = 
l) f(x) = 4x
3
 + 3x
2
 – 2x + 1 => f’(x) = 
m) 
5
2
1
3
2
4
3
)( 234  xxxxxf
 
n) 
5
2
1
3
2
4
3
)( 1234   xxxxxf
 
o) 
xxxxxf 5
2
1
3
2
4
3
)( 22/33/4 
 
p) 
5
2
1
3
2
4
3
)( 522/33/4   xxxxxf
 
q) 
32
3
2
)( 55 3  xxxxf
 
r) 
75
25
21
)( 2
3
3 25 4
 xxx
x
xx
xf
.