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INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-0111 � Cálculo Diferencial e Integral I (Instituto de Física) Quarta Lista de Exercícios - Professor: Alexandre Lymberopoulos 1. POLINÔMIO DE TAYLOR EXERCÍCIOS 1. Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 para cada função abaixo em torno do ponto x0 indicado. a. f (x) = ln(1+ x) e x0 = 0; b. f (x) = ex e x0 = 0; c. f (x) = 3 √ x e x0 = 1; d. f (x) = 11−x2 e x0 = 0; e. f (x) = √ x e x0 = 4. 2. Determine os polinômios de Taylor de ordem 3 para f (x) = esin(x), f (x) = ex 3−x e também f (x) = tan x em torno de x0 = 0. 3. Determine o polinômio de Taylor de f (x) = x5 + x3 + x em torno de x0 = 1. 4. Calcule, com precisão até a sexta casa decimal, os seguintes valores: a. ln 1, 3; b. e0,03; c. √ 3, 9; d. cos 0, 2. 5. Utilize polinômios de Taylor e seus restos para calcular os seguintes limites: a. lim x→0 sin x− x x2 ; b. lim x→0+ sin x− x2 x2 . 6. Considere a função f (x) = x8 sin 1 x2 , x 6= 0; 0, x = 0 . a. Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 para f (x) em torno de x0 = 0. b. Mostre que, dado a > 0, não existe M > 0 tal que | f ′′′(x)| < M, para todo x ∈ [0, a]. 7. Determine o polinômio de Taylor de ordem n para f (x) = (1 + x)α, α ∈ R, em torno de x0 = 0, estimando o erro, em termos de ( α m ) = α(α− 1) . . . (α−m+ 1) m! ,m ∈N e ( α 0 ) := 1. 8. Mostre que, para cada x ∈ R tal que |x| < 1, temos lim n→∞ En(x) = 0. 9. Use os exercícios 7 e 8 para obter polinômios de Taylor de ordem n para f (x) = ln(1+ x) e f (x) = arcsin x em torno de x0 = 0. 2. RUDIMENTOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXERCÍCIOS 1. É possível que os gráficos de duas soluções da equação f ′(x) = x + f 2(x) se interceptem num ponto (x0, y0)? Justifique sua resposta. 2. Explicite soluções para as equações diferenciais abaixo, explicitando o domínio máximo de definição da solução em cada caso. a. y′ = y2; b. xy′ = y; c. yy′ = x; d. y′ = (1− y)(2− y); e. x+ 3y− xy′ = 0; f. y′ = 2y+ ex. 3. Determine a solução de cada um dos problemas de valor inicial abaixo: a. y′ = x+ y, y(0) = 1; b. cos tx′ − sin tx = 1, x(2pi) = pi; c. y′ = x(1+ y), y(0) = −1. 4. Exiba duas soluções para cada uma das equações com a condição inicial dada: a. y′ = 5y 45 , y(0) = 0; b. y′ = 3 3 √ y2(3x2 + 1), y(0) = 0. 5. Resolva as equações a seguir: a. y′ = e2x−y; b. x2y2y′ = 1+ x2; c. y′ sin x+ y cos x = 1; d. y′ = x2 − 2xy. 6. Uma Equação de Bernoulli é uma equação não linear de primeira ordem da forma (2.1) y′ + p(x)y = q(x)yα, onde α ∈ R. Se α = 1 temos uma equação linear homogênea e, para todo α ∈ R, temos que y(x) ≡ 0 é solução. Mostre que, para α 6= −1, a mudança z = y1−α transforma (2.1) na equação linear z′ + (1− α)p(x)z = (1− α)q(x). 7. Utilize a ideia do exercício 6 para resolver as seguintes equações: a. y(6x2y2 − x+ 1) + 2xy′ = 0; b. y′ = y+ e−3xy4; c. 2x3y′ = y(y2 + 3x2); d. x3y′ = 2y( 3√y+ 3x2). 8. O problema de determinar uma função f : [0, a] → R cujo gráfico tem comprimento igual a área entre ele e o eixo Ox, no intervalo [0, t], para todo 0 ≤ t ≤ a, produz a seguinte equação diferencial: √ 1+ (y′)2 = y. Encontre a solução do problema tal que y(0) = 5 4 . 9. Determine uma função y = f (x) cujo gráfico passe pelo ponto (1, 1) tal que, para todo p em seu domínio, a área do triângulo de vértices (p, 0), ( p, f (p) ) e M seja 1, onde M é o ponto de interseção da reta tangente ao gráfico de f em ( p, f (p) ) com o eixo Ox. 10. Alguns tipos especiais de equações de segunda ordem podem, após uma mudança de variá- vel, ser reduzidas a uma outra equação de primeira ordem e então resolvidas pelos métodos conhecidos. • Método da redução de ordem I - Variável Dependente Ausente: Se na equação y não estiver presente (somente suas derivadas), fazemos z = y′ e obtemos uma equação de primeira ordem. Exemplo: Fazendo z = y′ na equação xy′′− y′ = 3x2 temos a equação xz′− z = 3x2 �. • Método da redução de ordem II - Variável Independente Ausente: Se na equação x não estiver presente (somente y e suas derivadas), fazemos u = y′ = dy dx , donde y′′ = u′ = du dx = du dy dy dx = u du dy e então obtemos duas equações de primeira ordem. Exemplo: Fazendo isso na equação y′′ + y = 0 temos as equações u du dy + y = 0, que resolvemos para u(y), e u = dy dx , que permite encontrar y(x), depois de determinada u(y) �. Resolva, com essas técnicas, as seguintes equações diferenciais e problemas de valor ini- cial. a. xy′′ − y′ = 3x2; xy′′ − y′ = (y′)3; x2y′′ = 2xy′ + (y′)2; x2y′′ + xy′ = 1. b. y′′ + 4y = 0; y′′ − 9y = 0; yy′′ + (y′)2 = 0; c. (x2 + 2y′)y′′ + 2xy′ = 0, com y′(1) = 0; y(1) = 1. Analise a solução de condições iniciais y′(0) = 0 e y(0) = 1. d. yy′′ = y2y′ + (y′)2, com y(0) = − 12 e y′(0) = 1. 11. Determine todas as soluções das equações: a. y′′ + 2y′ + y = 0; b. y′′ − 4y′ + 4y = 0; c. 2y′′ − 4y′ + 8y = 0; d. y′′ − 9y′ + 20y = 0. MAT–0111 (2015) 2 de 3 12. Uma equação linear da forma x2y′′ + αxy′ + βy = 0, onde α e β são constantes reais, é chamada Equação de Euler de Segunda Ordem. Mostre que a mudança de variável x = ez se x > 0 (ou x = −ez, se x < 0) transforma a equação de Euler numa equação linear de coeficientes constantes. Aplique este resultado para resolver as seguintes equações: a. x2y′′ + xy′ + y = 0; b. x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0; c. x2y′′ + 3xy′ + 10y = 0; d. 2x2y′′ + 4xy′ − 24y = 0; 13. Determine as soluções gerais das seguintes equações: a. y′′+ 3y′+ 2y = ex; b. y′′+ y′− 6y = sin x; c. y′′+ 2y′ = x2; d. y′′+ 2y′+ y = e−x ln x; e. y′′ − 2y′ − 3y = 64xe−x; f. y′′ + 2y′ − 5y = e−x sec(2x); g. y′′ + y = 2 cos x. 14. Princípio da superposição: se y1(x) e y2(x) são soluções de y′′ + P(x)y′ + Q(x)y = R1(x) e de y′′ + P(x)y′ + Q(x)y = R2(x) respectivamente, mostre que y(x) = y1(x) + y2(x) é solução de y′′ + P(x)y′ +Q(x)y = R1(x) + R2(x). 15. Utilize o resultado do exercício 14 para encontrar as soluções gerais das equações abaixo. a. y′′ + 3y′ + 2y = ex + e2x; b. y′′ + y′ − 6y = sin x + xe2x; c. y′′ + 2y′ = 1 + x2 + e−2x; d. y′′ + y′ − 2y = 6e−x + 4; e. y′′ + y = cos x+ 8x2. MAT–0111 (2015) 3 de 3 1. Polinômio de Taylor 2. Rudimentos de Equações Diferenciais
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