Exercícios Sistema de Potência

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Sistema por Unidad – PU 
 
Ejemplos 
 
1. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 zonas, dibuje el diagrama de 
reactancias en p.u.. Seleccione los valores del generador de la zona 1 como los 
valores base del sistema. 
 
 
Los datos son los siguientes: 
 Generador: 30 MVA, 13.8 kV, 3Ø, X” = 15 % 
 Motor No. 1: 20 MVA, 12.5 kV, 3Ø, X” = 20 % 
 Motor No. 2: 10 MVA, 12.5 kV, 3Ø, X” = 20 % 
 Transformador T1 (3Ø): 35 MVA, 13.2 Δ / 115 Y kV, X = 10 % 
 Transformador T2 (3 - 1 Ø): @ 10 MVA, 12.5 / 67 kV, X = 10 % 
 Línea de Transmisión: 80 Ω /fase 
 
Solución: 
 
Empezamos definiendo las bases de voltajes en todo el sistema. El ejemplo indica que la 
base son los datos del generador que se encuentra en la zona 1, entonces: 
MVAbase = 30 MVA, y kVbase = 13.8 kV 
 
De acuerdo a lo anterior tenemos que kVbase 1 = 13.8 kV. Las demás bases de voltaje son 
calculadas tomando en cuenta la relación de transformación de los transformadores y sus 
conexiones. 
 
Zona 2: 









alnoV
alnoVkVkV
prim
zonabasezonabase min
minsec
21 
ó 







alnoV
alnoV
kVkV prizonabasezonabase min
min
sec
12 
 kVkV zonabase 23.1202.13
1158.132 





 
Zona 3: 









alnoV
alnoVkVkV
prim
zonabasezonabase min
minsec
23 
 kVkV zonabase 958.12673
5.1223.1203 









 referido a través de T2 
Esta última base merece un comentario: los valores de voltaje indicados en la razón de 
transformación se deben a que T2 es un banco de unidades monofásicas, conectado en 
estrella-delta y en los datos que se dieron anteriormente, la relación de transformación se 
refiere a la relación de transformación de cada unidad, así como la potencia, es la potencia 
de cada unidad, o sea monofásica. Además, tomando en cuenta la conexión de las unidades 
del banco, tenemos que para el lado de alto voltaje se requiere el factor de 3 , debido a la 
conexión en delta en ese punto. 
 
Cálculo de las impedancias en p.u.: 
 
Generador No.1: 
15.01 gX (No requiere conversión porque esta zona es la base del sistema) 
 
 Motor No.1: 

















1
2
2
2
1
1
base
base
base
base
actualM MVA
MVA
kV
kV
XX 
 
2795.0
20
30
95.12
5.122.0
2
1 











MX 
 
 Motor No. 2: 

















1
2
2
2
1
2
base
base
base
base
actualM MVA
MVA
kV
kV
XX 
 
5590.0
10
30
95.12
5.122.0
2
2 











MX 
 
 
En el caso de los transformadores, el cambio de base será como sigue: 
 
Transformador T1 

















1
2
2
2
1
1
base
base
base
base
actualpuT MVA
MVA
kV
kV
XX 
 
0784.0
35
30
95.12
5.121.0
2
2 











puX 
 
 
Transformador T2 

















1
2
2
2
1
2
base
base
base
base
actualpuT MVA
MVA
kV
kV
XX 
 
0932.0
30
30
95.12
5.121.0
2
2 











TX 
 
Para la línea de Tx: 
1
2
2
2
)(
base
base
base MVA
kV
Z  
 
 82.481
30
)23.120( 2
2baseZ 
basepu
octualpu
Tx X
X
X  
 
1660.0
82.481
80
TxX 
 
 
Diagrama de impedancias: 
 
2. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 barras, tomando en consideración una 
potencia base de 100 MVA y un voltaje base de 110 kV, transforme el sistema en 
un diagrama unifilar de impedancias (reactancias) en por unidad. 
 
 
 
Solución 
Para realizar la solución de pasar al sistema p. u. se debe de realizar los siguientes pasos: 
1. Definir en primera instancia la potencia base y los voltajes base por zona, los cuales 
normalmente son definidas por los transformadores. 
2. Convertir las impedancias a p. u. Si las bases de los equipos no son las del sistema, 
la impedancias primero se deben pasar a ohmios (Ω) y evaluar el nuevo valor de la 
impedancia en p. u. 
3. Dibujar el diagrama de impedancias en p. u. 
 
Para este caso, se ve claramente tres zonas: 
1. La zona del lado del generador 1. 
2. La zona de transmisión, donde se encuentran las líneas y cargas. 
3. La zona del lado del generador 2. 
 
 
Generador
100 MVA
22 kV
X=90%
Transformador
100 MVA
22:110 kV
X=10%
Línea de transmisión
Z = j0.8403 pu @ 120
kV y 50 MVA
Carga
datos de operación:
V=110 kV
S=10 MVA
fp = 1
Transformador
100 MVA
120:24 kV
X=12.6%
Generador
80 MVA
22 kV
X=1.48 pu
Línea de transmisión
Z = j60.5 ohms
Línea de transmisión
X = 60.5 ohms
22:110 kV 120:24 kV
Sbase = 100 MVA
Vbase = 110 kV
Cálculo de Voltaje Base 
 
Zona 2: Referencia del sistema 
S base = 100 MVA 
V base = 110 kV 
 
Zona 1: Lado del generador 1 
S base = 100 MVA 
V base = ? 









alnoV
alnoVkVkV
prim
zonabasezonabase min
minsec
21 
 kVkV zonabase 22110
221101 





 
 
Zona 3: Lado del generador 2 
 
S base = 100 MVA 
V base = ? 









alnoV
alnoVkVkV
prim
zonabasezonabase min
minsec
23 
 kVkV zonabase 22120
241103 





 
 
 
Cálculo de impedancias y reactancias 
 
Zona 1: Lado del generador 1 
Estos cálculos no son estrictamente necesarios porque: 
• la base del generador corresponde a la base del sistema 
• la base del transformador corresponde a la base del sistema 
 
Generador 
sistemabase
generador
sistemabase
generadorbaseplacapu
g Z
Z
Z
ZX
X














*
1 
 
sistema
placapu
g pu
MVA
kV
MVA
kV
X 9.0
100
)22(
100
)22(*9.0
2
2
1 
















 
 
Transformador 
sistemabase
transf
sistemabase
transfbaseplacapu
t Z
Z
Z
ZX
X














*
1 
 
sistema
placapu
t pu
MVA
kV
MVA
kV
X 1.0
100
)22(
100
)22(*1.0
2
2
1 
















 
 
 
Zona 2: Área de transmisión: líneas y cargas 
 
Línea superior 
 
sistemabase
línea
sistemabase
líneabaseplacapu
LL Z
Z
Z
ZZ
XjZ














*
 
 
sistema
placapu
LL puj
MVA
kV
j
MVA
kV
MVA
kVZ
XjZ 2
100
)110(
242
100
)110(
50
)120(*
22
2



















 
Líneas inferiores 
sistemabase
línea
LL Z
Z
XjZ


 
 
sistemaLL puj
MVA
kV
jXjZ 5.0
100
)110(
5.60
2 

 
 
Línea de la carga 
sistemabase
ac
LL Z
Z
XjZ



arg 
 
sistemaLL pu
MVA
kV
MVA
kV
XjZ 









 010
100
)110(
0
10
)110(
2
2
 
 
 
Zona 3: Lado del generador 2 
Generador 
sistemabase
generador
sistemabase
generadorbaseplacapu
g Z
Z
Z
ZX
X














*
2 
 
sistema
placapu
g pu
MVA
kV
MVA
kV
X 85.1
100
)22(
80
)22(*48.1
2
2
2 
















 
 
Transformador 
sistemabase
transf
sistemabase
transfbaseplacapu
t Z
Z
Z
ZX
X













*
2 
 
sistema
placapu
t pu
MVA
kV
MVA
kV
X 15.0
100
)22(
100
)24(*126.0
2
2
2 
















 
 
 
Lo anterior nos da el siguiente diagrama de impedancias en por unidad de una base común: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
V1= 1 p.u.
-
zg1=j0.9
z13=j2 p.u.
z12=j0.5 p.u. z23=j0.5 p.u.
z2=10 p.u.
zt2=j0.15
+
V3= -j1 p.u.
-
1 3
2
zg2=j1.85zt1=j0.1
4
5
3. Para el siguiente sistema de transmisión de 2 barras, tomando en consideración una 
potencia base de 30 MVA y un voltaje base de 33 kV, transforme el sistema en un 
diagrama unifilar de impedancias (reactancias) en por unidad. 
 
 
Los datos del sistema eléctrico se enumeran a continuación: 
 Generador No. 1: 30 MVA, 10.5 kV, X” = 44%, Xn = 1.5 Ω 
 Generador No. 2: 15 MVA, 6.6 kV, X” = 41%, Xn = 2.5 Ω 
 Generador No. 3: 25 MVA, 6.6 kV, X” = 32%, Xn = 2.5 Ω 
 Transformador T1 (3Ø): 15 MVA, 33/11 kV, X = 21% 
 Transformador T2 (3 - 1 Ø): 5 MVA, 20/6.8 kV, X = 0.24% 
 Línea de Transmisión: 20.5 Ω /fase 
 Carga A: 15 MW. 11 kV, factor de potencia de 0.9 en atraso 
 Carga B: 40 MW, 6.6 kV, factor de potencia de 0.85 en atraso. 
 
En el caso del transformador T2 se trata de un banco de tres unidades monofásicas 
conectadas como se muestra en el diagrama; por supuesto en este caso, la potencia nominal 
corresponde a cada unidad y la relación de transformación igualmente. Las reactancias 
denotadas por Xn , son las reactancias de aterrizado de los generadores. En ocasiones estos 
valores están especificados, al igual que las reactancias propias de la máquina, en forma 
normalizada, ya sea en % ó en pu., en cuyo caso debemos entender que las bases de su 
normalización son los datos nominales del equipo. En el presente ejemplo, se definen en Ω. 
 
Solución: 
 
Para el análisis de este caso se divide el sistema en tres zonas como se indica en la siguiente 
figura, cada una con la característica de tener el mismo voltaje: 
 
Empezamos definiendo las bases de voltajes en todo el sistema. Supongamos que se decide 
usar como bases de sistema: MVAbase = 30 MVA, y kVbase = 33 kV en la zona de 
transmisión. 
 
De acuerdo a lo anterior tenemos que kVbase 1 = 33 kV, dado que el voltaje base coincide 
con el voltaje nominal. Las demás bases de voltaje son calculadas tomando en cuenta la 
relación de transformación de los transformadores y sus conexiones. 
 
Para las demás bases se tiene: 
Zona 1: 









alnoV
alnoVkVkV
prim
zonabasezonabase min
minsec
21 
 kVkV zonabase 1133
11331 





 referido a través de T1 
Zona 3: 









alnoV
alnoVkVkV
prim
zonabasezonabase min
minsec
23 
 kVkV zonabase 48.6320
8.6333 









 referido a través de T2 
 
Esta última base merece un comentario: los valores de voltaje indicados en la razón de 
transformación se deben a que T2 es un banco de unidades monofásicas, conectado en 
estrella-delta y en los datos que se dieron anteriormente, la relación de transformación se 
refiere a la relación de transformación de cada unidad, así como la potencia, es la potencia 
de cada unidad, o sea monofásica. Además, tomando en cuenta la conexión de las unidades 
del banco, tenemos que para el lado de alto voltaje se requiere el factor de 3 , debido a la 
conexión en delta en ese punto. 
 
Una vez calculadas las bases de voltajes en todas las zonas, las bases restantes, o sea de 
corrientes e impedancias, se calcularán únicamente si se requieren. En el presente ejemplo, 
únicamente incluiremos en la normalización del parámetro de la línea de transmisión, la 
impedancia base de la zona correspondiente (zona 2). 
 
Con esto la siguiente tarea consiste en cambiar de base los parámetros de las componentes 
del sistema eléctrico, cuyos valores estén especificados en forma normalizada, lo cual es lo 
más comúnmente encontrado en los datos de placas de los equipos. En los datos 
proporcionados previamente, se especifican los datos de generadores y transformadores 
normalizados, sobre las bases de valores nominales de las variables eléctricas de estos 
equipos. Como no coinciden en general con las bases del sistema que seleccionamos, 
deberemos cambiarlos de base y referirlos por tanto, a las bases de sistema. Lo anterior se 
muestra a continuación. 
 
Generador No.1: 
sistemabase
generador
sistemabase
generadorbaseplacapu
g Z
Z
Z
ZX
X














*
1 
 
pu
MVA
kV
MVA
kV
X
placapu
g 40.0
30
)11(
30
)5.10(*44.0
2
2
1 
















 
 
 Mientras que la reactancia de aterrizamiento es: 
sistemabase
n
n Z
X
X



1
1 
 
puj
MVA
kV
jX n 37.0
30
)11(
5.1
21 

 
 
Generador No.2: 
sistemabase
generador
sistemabase
generadorbaseplacapu
g Z
Z
Z
ZX
X














*
2 
 
pu
MVA
kV
MVA
kV
X
placapu
g 85.0
30
)48.6(
15
)6.6(*41.0
2
2
2 
















 
 
 Mientras que la reactancia de neutro es: 
sistemabase
n
n Z
X
X



2
2 
 
puj
MVA
kV
jX n 79.1
30
)48.6(
5.2
22 

 
 
Generador No.3: 
sistemabase
generador
sistemabase
generadorbaseplacapu
g Z
Z
Z
ZX
X














*
3 
 
pu
MVA
kV
MVA
kV
X
placapu
g 40.0
30
)48.6(
25
)6.6(*32.0
2
2
3 
















 
 
 Mientras que la reactancia de aterrizamiento es: 
sistemabase
n
n Z
X
X



3
3 
 
sisteman puj
MVA
kV
jX 79.1
30
)48.6(
5.2
23 

 
 
En el caso de los transformadores, el cambio de base será como sigue: 
 
Transformador T1 
sistemabase
transf
sistemabase
transfbaseplacapu
t Z
Z
Z
ZX
X














*
1 
 
pu
MVA
kV
MVA
kV
X
placapu
t 42.0
30
)11(
15
)11(*21.0
2
2
1 
















 
 
Transformador T2 
sistemabase
transf
sistemabase
transfbaseplacapu
t Z
Z
Z
ZX
X














*
2 
 
pu
MVA
kV
MVA
kV
X
placapu
t 53.0
30
)33(
15
)320(
*24.0
2
2
2 













 


 
 
Es importante indicar que en la relación de transformación podemos usar indistintamente la 
relación de cualquier lado del transformador, dado que 
48.6
8.6
33
320


 
 
En el caso de la línea de transmisión, el valor del parámetro está en ohmios, por lo que en 
lugar de cambio de base, efectuamos su normalización directamente 
 
sistemabase
ac
LT Z
Z
X



arg 
 
pu
MVA
kV
X LT 56.0
30
)33(
5.20
2 

 
 
4. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 barras, sin cargas, las reactancias de 
las dos secciones de líneas de transmisión se muestran en el siguiente diagrama. Los 
transformadores y generadores tienen los siguientes valores nominales: 
 Generador No. 1: 20 MVA, 13.8 kV, Xd” = 0.20 por unidad 
 Generador No. 2: 30 MVA, 18 kV, Xd” = 0.20 por unidad 
 Generador No. 3: 30 MVA, 20 kV, Xd” = 0.20 por unidad 
 Transformador T1 (3Ø): 25 MVA, 220 Y/13.8 Δ kV, X = 21% 
 TransformadorT2 (3 - 1 Ø): 10 MVA, 127/18 kV, X = 10 % 
 Transformador T3 (3Ø): 35 MVA, 220 Y/22 Y kV, X = 21% 
 
Dibuje el diagrama de impedancias con todas las reactancias señaladas en por unidad y 
con las letras para indicar los puntos que corresponde al diagrama unifilar. Seleccione 
una base de 50 MVA y 13.8 kV en el circuito del generador 1. 
 
 
 
Solución 
 
Cálculo de Voltaje Base 
 
Zona del generador 1: 
S base = 50 MVA 
V base = 13.8 kV 
 
Zona de la línea de transmisión de B a C y de C a E 
S base = 50 MVA 
V base = ? 









alnoV
alnoV
kVkV
prim
zonabasezonabase min
minsec
21 
ó 







alnoV
alnoV
kVkV primzonabasezonabase min
min
sec
12 
 
 kVkV zonabase 2208.13
2208.132 





 
 
Zona del generador 2 
S base = 50 MVA 
V base = ? 









alnoV
alnoVkVkV
prim
zonabasezonabase min
minsec
23
 









alnoV
alnoVkVkV
prim
líneazonabasegeneradorzonabase min
minsec
)(2)2(3 
 
kVkV generadorzonabase 181273
18220)2(3 








 
Zona del generador 3 
S base = 50 MVA 
V base = ? 









alnoV
alnoVkVkV
prim
zonabasezonabase min
minsec
23
 









alnoV
alnoVkVkV
prim
líneazonabasegeneradorzonabase min
minsec
)(2)3(3 
 
kVkV generadorzonabase 22220
22220)3(3 





 
 
Cálculo de impedancias y reactancias 
 
Lado del generador 1 
Para calcular la impedancia del generador 1, la base del sistema 50 MVA no es la misma 
que la potencia del generador, la cual es de 20 MVA, pero en el caso del voltaje base si es 
igual, 13.8 kV. 

















)(1
)(2
2
2
1
1
generadordelbase
sistemadelbase
base
base
pug MVA
MVA
kV
kV
XX 
unidadporX g 50.020
502.01 





 
 
 
Lado del generador 2 
En el caso del generador 2, la base del sistema, 50 MVA no es la misma que la potencia del 
generador 2, el cual es de 30 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual, porque se 
había calculado anteriormente y se encontró que es 18 kV, mismo voltaje del generador 2. 
 

















)(1
)(2
2
2
1
2
generadordelbase
sistemadelbase
base
base
pug MVA
MVA
kV
kV
XX 
 









generadordelbase
sistemadelbase
pug MVA
MVA
XX 2 
unidadporX g 33.030
502.02 





 
 
Lado del generador 3 
En el caso del generador 3, la base del sistema, 50 MVA no es la misma que la potencia del 
generador 3, el cual es de 30 MVA y en este caso los voltajes son diferentes porque el 
voltaje del generador 3 es de 20 kV y el voltaje calculado anteriormente para la zona del 
generador 3 fue de 22 kV. 

















)(1
)(2
2
2
1
3
generadordelbase
sistemadelbase
base
base
pug MVA
MVA
kV
kV
XX 
 
unidadporXX pug 275.030
50
22
20
2
3 











 
 
Para el transformador T1 
Para calcular la impedancia del transformador 1, la base del sistema 50 MVA no es la 
misma que la potencia del transformador, la cual es de 25 MVA, pero en el caso del voltaje 
base si es igual, 13.8 kV. 

















)(1
)(2
2
2
1
1
generadordelbase
sistemadelbase
base
base
puT MVA
MVA
kV
kV
XX 
unidadporX T 20.025
5001.01 





 
Lado del transformador T2 
En el caso del transformador 2, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia 
del transformador 2, el cual es de 30 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual, 
porque se había calculado anteriormente y se encontró que es 18 kV, mismo voltaje del 
generador 2. 
 

















)(1
)(2
2
2
1
2
generadordelbase
sistemadelbase
base
base
pug MVA
MVA
kV
kV
XX 
 









generadordelbase
sistemadelbase
pug MVA
MVA
XX 2 
unidadporX g 167.030
5001.02 





 
 
Lado del transformador T3 
En el caso del transformador 3, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia 
del transformador 3, el cual es de 35 MVA y en este caso los voltajes son iguales porque el 
voltaje del transformador 3 es de 22 kV y el voltaje calculado anteriormente para la zona 
del transformador 3 fue de 22 kV. 

















)(1
)(2
2
2
1
3
generadordelbase
sistemadelbase
base
base
pug MVA
MVA
kV
kV
XX 
 
unidadporX g 143.035
502
22
2001.0
2
3 











 
 
Líneas de transmisión 
 
base
base
base MVA
kV
Z
2)(
 
 
 968
50
)220( 2
baseZ 
 
Para la línea de Tx de j 80 Ω se tiene: 
 
sistemabase
línea
LL Z
Z
XjZ


 
unidadporZ L 0826.0968
80
 
Para la línea de Tx de j 100 Ω se tiene: 
 
sistemabase
línea
LL Z
Z
XjZ


 
unidadporZ L 1033.0968
100
 
 
 
Finalmente el diagrama de impedancias con todas las reactancias es el siguiente: