Equações diferenciais de primeira ordem - resumo

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Equações Diferenciais de Primeira Ordem
Uma equação diferencial é aquela que relaciona uma função com suas derivadas. O grau da equação é dada pela derivada de maior ordem, portanto uma equação diferencial de primeira ordem relaciona uma função com sua primeira derivada, exemplo:
Y’(x) = x.y
Há dois casos clássicos para uma equação diferencial de primeira ordem. 
Equações Separáveis: São aquelas nas quais você pode fatorar (separar) os termos da equação deixando em função de x e de y. Exemplo:
Y’(x)=x.y
Como y’(x)=dy/dx, temos,
dy/dx=x.y, separando,
dy/y=x.dx
Lembrando que dy e dx devem sempre estar no numerador, para que se possa efetuar a integração de ambos os lados da equação. No exemplo, ficamos com:
Ln(y)=x² + c
Y(x)= 
Sendo D=. Como se vê, temos uma família de equações, ou seja, para cada c temos uma solução y(x) diferente. Quando se é dado uma condição inicial, por exemplo, y(0)=1. Dizemos que temos um problema de valor inicial, e nesse caso teremos apenas uma solução. Para o nosso exemplo:
Y(0)== 1
D=1
E a solução é:
Y(x)=
A forma geral da equação separável é,
Para esse tipo de equação temos algumas modelagens (aplicação em problemas “reais”). A maioria possui uma fórmula pronta, como segue abaixo:
Crescimento populacional: = k.P (onde k é uma constante de proporcionalidade)
Decaimento Radioativo: =k.m
Lei do Resfriamento de Newton: =k.(T – Ts), onde Ts é a temperatura do ambiente.
Misturas: = (taxa de entrada) – (taxa de saída), na maioria dos casos as taxas se referem à entrada e saída de uma solução num recipiente de capacidade limitada.
Equações Lineares: Uma equação diferencial linear de primeira ordem é aquela que tem a forma,
Exemplo, 
Nesse tipo de equação não se é possível fatorar. Para resolver esse tipo de equação, multiplicam-se ambos os lados pelo fator de integrante:
Feito isso a equação fica na forma:
Então, integram-se ambos os lados e se obtém a solução. Para esse tipo de equação também temos modelagem, o caso mais comum é o de circuitos elétricos, de fórmula:
Sendo L a indutância, R a resistência, I a corrente e E o campo elétrico.
Resolvendo, o exemplo dado:
Sendo o Fator Integrante,
Multiplicando a equação, 
Integrando ambos os lados,
Aqui também temos uma família de soluções, se tivéssemos uma condição inicial restringiríamos a solução, por exemplo, se tivéssemos imposto y(0)=0 a solução ficaria:
Exercícios recomendados:
 							R:
 R: 
 R
 R: