prova p1 calc4 2011 2 eng

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matema´tica
Departamento de Me´todos Matema´ticos
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral IV
Unidades: Escola Polite´cnica e Escola de Qu´ımica
Co´digo: MAC248
1o Prova Unificada
Turmas: Engenharias 2o Sem/2011
Data: 11/10/2011
Questa˜o 1. (2,5 pontos)
(a) (1,5 pontos) Seja f(x) = xex. Pede-se:
• Ache a expansa˜o em se´ries de poteˆncia de f(x) = xex em torno do ponto x = 0.
• Escreva xex em funcao de (x− 1)ex−1 e ex−1.
• Usando os resultados dos itens anteriores, ache a expansa˜o em se´ries de poteˆncia de f(x) =
xex em torno do ponto x = 1.
• Calcule o raio de convergeˆncia da se´rie encontrada no item anterior.
(b) (1,0 ponto) Estude a convergeˆncia das seguintes se´ries:
• ∑∞n=1 n+2sen(n)n3+n ln(n) .
• ∑∞n=1(−1)n √n1+√n .
Questa˜o 2. (2,5 pontos)
Considere a equac¸a˜o diferencial
(1− x)y′′(x)− xy′(x)− y(x) = 1.
(a) (0,5 ponto) Mostre que o ponto x = 0 e´ um ponto ordina´rio da equac¸a˜o diferencial e deˆ um
valor mı´nimo para o raio de convergeˆncia da soluc¸a˜o em serias de poteˆncia em torno de x = 0.
(b) (1,5 pontos) Determine a relac¸a˜o de recorreˆncia geral para n ≥ 1.
(c) (0,5 ponto) Determine os cinco primeiros termos da soluc¸a˜o geral.
Questa˜o 3. (2,0 pontos)
Encontre a transformada de Laplace das func¸o˜es:
(a) f(t) = u2(t)δ(t− 10) + u10(t)δ(t− 2);
(b) f(t) =
{
t se t < 1
2− t se t ≥ 1 .
Questa˜o 4. (3,0 pontos)
Resolva o seguinte problema de valor inicial utilizando a transformada de Laplace{
y′′(t) + y(t) = 5et sent,
y(0) = 0, y′(0) = 5.
Transformadas de Laplace NO VERSO
Tabela ba´sica de transformada de Laplace.
Suponha que L{g(t)} = G(s) se s > α
• L{ebtg(t)} = G(s− b) se s > α+ b
• L {g(ct)} = 1
c
G(
s
c
) se s > cα e c > 0
• L{sin(at)} = a
s2 + a2
se s > 0
• L{cos(at)} = s
s2 + a2
se s > 0
• L{sinh(at)} = a
s2 − a2
• L{cosh(at)} = s
s2 − a2 se s > |a|
•
∫ ∞
0
δ(t− a)h(t) dt = h(a) se h(t) for cont´ınua em [0,∞[.
• L{
∫ t
0
g(ξ) dξ } = G(s)
s
• L
{
g(n)(t)
}
= snG(s)− sn−1g(0)− · · · − g(n−1)(0)
• L{eat} = 1
s− a para s > a
• L{ t g(t) } = − d
ds
G(s)
2