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Listas Resolvidas - Física IV

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LISTA 01 (25/08) 
 
 
01) Um pulso no eixo y , que se propaga no eixo x , é representado pela seguinte 
função de onda: 
2)5(),( txetxy −+=
pi
 
 
a) Qual é o sentido de propagação do pulso? 
b) Qual é velocidade desse pulso? 
 
 
02) Um pulso no eixo x , que se propaga no eixo z , é representado pela seguinte 
função de onda: 
2)42(),( tz
e
tzx
++
=
pi
 
 
a) Qual é o sentido de propagação do pulso? 
b) Qual é velocidade desse pulso? 
 
 
03) Considere a seguinte função de onda representando um pulso gaussiano Pr : 
( ) zeP ty ˆ1
262 −−
=
pi
r
 
 
a) Qual é o eixo de oscilação? 
b) Quais são a direção e sentido de propagação? 
c) Qual é a velocidade? 
 
 
04) Uma onda plana senoidal propaga-se no eixo y oscilando no eixo x segundo 
a equação abaixo: 
xtyS ˆ)105cos(42 −=
r
 
 
Determine: 
a) A amplitude A 
b) O número de onda k 
c) O comprimento de onda λ 
d) A freqüência angular w 
e) O período T 
f) A freqüência f 
g) A velocidade v 
 
 
 
 
 
 
05) Uma onda plana senoidal está representada pela equação abaixo: 
zt
xS ˆ)
2
10cos(42 





+=
r
 
 
Determine: 
a) A direção e sentido de propagação 
b) O eixo de oscilação 
c) Assim como na questão 04, calcule A , k , λ , w , T , f e v 
 
 
06) Sendo ( )0,, 22 xyM +−=r , mostre que ( )zyxM ˆ2 +=×∇ r 
 
 
07) Sendo xeM z ˆ13−=r , mostre que ( )0,,013 13zeM −=×∇ r 
 
 
08) Seja Mr a onda representada abaixo: 
ytxM ˆ)3cos(1 pipi
pi
−=
r
 
Considere a onda N
r
 tal que MN
rr
×∇= 
 
a) Mostre que a onda N
r
 também se propaga no sentido xˆ+ 
b) Qual é o eixo de oscilação de N
r
 
c) Calcule A , k , w e v para a onda N
r
 
 
 
09) Considere as seguintes ondas: 
ytkzAN
xwtzM
ˆ)6sin(
6
ˆ)2sin(1
pi
pi
pi
pi
−=
−=
r
r
 
Sabendo que 
t
NM ∂
∂
=×∇
r
r
 
 
a) Calcule A , k , w 
b) Calcule a velocidade v das duas ondas 
Gabarito da Lista 01 35 pontos
1 aQuesta˜o 2 pontos
y(x, t) = pi
e+(x−5t)2
a) Para que o argumento do pulso, (x−5t), se mantenha constante, x deve
aumentar a medida que o tempo passa. Portanto, o sentido de propagac¸a˜o
e´ +xˆ.
b) ∂
2y(x,t)
∂x2
= 1
v2
∂2y(x,t)
∂t2
⇒ v = 5 .
2 aQuesta˜o 2 pontos
x(z, t) = e
pi+(2z+4t)2
a) Para que o argumento do pulso, (2z + 4t), se mantenha constante, z
deve diminuir a medida que o tempo passa. Portanto, o sentido de pro-
pagac¸a˜o e´ −zˆ.
b) ∂
2x(z,t)
∂z2
= 1
v2
∂2x(z,t)
∂t2
⇒ v = 2 .
3 aQuesta˜o 3 pontos
~P = 1√
pi
e −(2y−6t)
2
zˆ
a) O pulso oscila na direc¸a˜o zˆ.
b) Para que o argumento do pulso, (2y − 6t), se mantenha constante,
y deve aumentar a medida que o tempo passa. Portanto, o sentido de
propagac¸a˜o e´ +yˆ.
c) ∂
2 ~P
∂y2
= 1
v2
∂2 ~P
∂t2
⇒ v = 3 .
1
4 aQuesta˜o 4 pontos
~S = 42 cos(5y − 10t)xˆ
a,b,d) Tiramos essas constantes, direto da equac¸a˜o:
A = 42, k = 5 e w = 10.
c,e,f) Depois termos calcular:
λ = 2pi
k
= 2pi
5
f = w
2pi
= 5
pi
T = 1
f
= pi
5
g) ∂
2 ~S
∂y2
= 1
v2
∂2 ~S
∂t2
⇒ k2 = 1
v2
w2 ⇒ v = w
k
= 2
5 aQuesta˜o 6 pontos
~S = 42 cos(10(x
2
+ t)zˆ
a,b) A onda oscila em no eixo zˆ e se propaga no sentido−xˆ (pois conforme
o tempo passa, x tem que diminuir para o argumento permanecer constante).
c) A = 42, k = 5, w = 10, λ = 2pi
5
, f = 5
pi
, T = pi
5
e v = 2.
6 aQuesta˜o 3 pontos
~M = (−y2,+x2, 0)
∇ × ~M =
∣∣∣∣∣∣
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
−y2 +x2 0
∣∣∣∣∣∣ = (0, 0,+(∂x2∂x ) − (∂(−y2)∂y )) = (0, 0, 2x + 2y) =
2(x+ y)zˆ
7 aQuesta˜o 3 pontos
~M = e −13zxˆ
∇× ~M =
∣∣∣∣∣∣
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
e −13z 0 0
∣∣∣∣∣∣ = (0,−( ∂0∂x) + (∂ e−13z∂z ), 0) = (0,−13 e −13z, 0) =
−13 e −13zyˆ
2
8 aQuesta˜o 5 pontos
~M = 1
pi
cos(pix− 3pit)yˆ
~N = ∇× ~M =
∣∣∣∣∣∣
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
0 1
pi
cos(pix− 3pit) 0
∣∣∣∣∣∣ = (0, 0,+∂( 1pi cos(pix−3pit))∂x ) =
1
pi
(0, 0,− sen (pix− 3pit)(pi))
⇒ ~N = − sen (pix− 3pit)zˆ
a) Pelo arguemnto (pix− 3pit), ~N tambe´m propaga no sentido +xˆ.
b) ~N oscila no eixo zˆ.
c) A = 1, k = pi, w = 3pi e v = w
k
= 3.
9 aQuesta˜o 7 pontos
~M = 1
pi
sen (2piz − wt)xˆ e ~N = A
6pi
sen (kz − 6pit)xˆ
∇× ~M =
∣∣∣∣∣∣
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
1
pi
sen (2piz − wt) 0 0
∣∣∣∣∣∣ = 1pi (0,+(∂ sen (2piz−wt)∂z ), 0) =
1
pi
(cos(2piz − wt))(2pi)yˆ
⇒ ∇× ~M = 2 cos(2piz − wt)yˆ
∂ ~N
∂t
=
∂( A
6pi
sen (kz−6pit)xˆ)
∂t
= A
6pi
∂ sen (kz−6pit))
∂t
xˆ = A
6pi
cos(kz − 6pit))(−6pi)xˆ
⇒ ∂ ~N
∂t
= −A cos(kz − 6pit))xˆ
a) A = −2, k = 2pi e w = 6pi.
b) v = w
k
= 3.
3
LISTA 02 (01/09) 
 
 
01) O campo elétrico de uma onda eletromagnética é dado por: 
 
 
( ) ytx
m
V
txE ˆ)2cos(103, 9 pipi +





×−=
r
 
 
 
As unidades de x e t são metros e segundos respectivamente. 
 
 
a) Qual é o comprimento de onda λ em cm ? 
b) Qual é a freqüência f em Hz ? 
c) Qual é a velocidade v em hkm ? 
 
d) Calcule o valor máximo do campo magnético em teslas (T ). 
e) Determine ( )txB ,r . 
 
f) Calcule 
0µ
BE
S
rr
= em 2/ mW . 
 
 
g) Determine o vetor de Poynting ( )txS ,r . 
 
h) Mostre que o fluxo de ( )txS ,r em uma superfície no plano yz de 
área 20.41888mm=A localizada em kmx 003.0= no instante st 5= 
é de aproximadamente W1010 . 
Gabarito da Lista 02 14 pontos
~E = −3 · 109 (V
m
)
cos(2pix+ pit)yˆ
a) 1 pontos
λ = 2pi
k
= 2pi
2pi
= 1 (m) = 1 (cm)
b) 1 pontos
f = w
2pi
= pi
2pi
= 0.5 (Hz)
c) 1 pontos
v = w
k
= pi
2pi
= 0.5
(
m
s2
)
= 1.8
(
km
h2
)
d) 1 pontos
B (max) =
E (max)
c
= 3·10
9
3·108 = 10 (T)
O correto, seria considerar a velocidade v calculada no item c) e na˜o c.
Assim, ~B = 1
v
kˆ × ~E ⇒ B (max) = 6 · 109 (T)
e) 2 pontos
~B = 1
c
kˆ × ~E
= −10 cos(2pix+ pit)((−xˆ)× yˆ) = −10 cos(2pix+ pit)(−zˆ)
⇒ ~B = 10 (T) cos(2pix+ pit)zˆ
f) 1 pontos
S =
| ~E|| ~B|
µ0
= (3·10
9)(10)
4pi10−7 |cos(2pix+ pit)|2 = 3·10
17
4pi
cos2(2pix+ pit)
⇒ S ≈ 2.387 · 1016 (W
m2
)
cos2(2pix+ pit)
Considerando v, S (max) ≈ 1.432 · 1025
(
W
m2
)
.
1
g) 3 pontos
~S =
~E× ~B
µ0
= (−3·10
9)(10)
4pi10−7 cos
2(2pix+ pit)(yˆ × zˆ)
= −3·1017
4pi
cos2(2pix+ pit)(xˆ)
⇒ ~S ≈ −2.387 · 1016 (W
m2
)
cos2(2pix+ pit)xˆ
h) 4 pontos
A = 0.41888 (mm2) = 4.1888 · 10−7 (m2)
x = 0.003 (km) = 3 (m)
t = 5 (s)∫
~S · d ~A = ∫ (Sxˆ) · (dAxˆ) = SA
= 3·10
17
4pi
cos2(2pix+ pit)4.1888 · 10−7
= 1010cos2(6pi + 5pi)
⇒ SA ≈ 1010 (W)
Considerando v, SA ≈ 6 · 1018 (W) .
2
LISTA05(15/08)
01)Umaondaeletromagnéticasepropaganovácuo.Ocampomagnéticoédado
por:
( ) ( )( ) 




 ++
+−+=
6
ˆˆ2ˆ3sin, 0
zyx
ctyzxBtrB γγγr
r
,
Com 0B eγ sendoconstantespositivasconhecidas.
a)Determineovetordeonda k
r
. ( )1,1,1 +−+γ
b)Qualéosentidodepropagaçãodaonda? ( ) 31,1,1 +−+
c)Calculeonúmerodeonda kk
r
= . 3γ
d)Qualéocomprimentodeonda λ ? γpi 332
e)Determineafreqüênciaangularω . 3cγ
f)Qualéafreqüência f ? piγ 23c
e)Determineocampoelétrico ( )trE ,rr . ( )( ) 




 −
−+−
2
ˆˆ3sin0
zx
tczyxcB γ
g)DetermineovetordePoyting ( )trS ,rr . ( )( ) 




 +−
−+−
3
ˆˆˆ3sin 2
0
2
0 zyxtczyxcB γ
µ
h)Determineomódulomáximode ( )trS ,rr . 020 µcB
i)Qualéaintensidade 0I associadaaessaonda? 020 2µcB
j)Determineoprodutoescalarentreadireçãoque Er oscilaeoeixodeum
polarizador 




 +
2
ˆˆ yx
. 23
k)Qualéaintensidade I apóspassarporpolarizadoralinhadocom 



 +
2
ˆˆ yx
.
0
2
0 83 µcB
02)Imaginequeluzcomfreqüência Hzf 14106×= atravessando3fendasde
largura a eespaçadasde md µ9= .Observamosainterferênciaedifraçãoem
umanteparodistantede cmL 40= .Sabendoqueasfranjasdeinterferência,
múltiplosde3nãoestãopresentes,determine:
a)Qualéadistânciaentre2mínimosdeinterferência? mm5.7
b)Qualéadistânciaentre2máximosprincipaisdeinterferência? mm2.22
c)Alargura a paraqueo1ºmínimodedifraçãoanuleo3ºmáximode
interferência? mµ3
d)Qualéposiçãodoprimeiro1ºmínimodedifração? mm7.66
e)Qualéalarguradomáximocentral? mm3.133
f)Quantasfranjasexistemdentrodomáximocentral?5
g)Quantasfranjasexistemdentrodeumdossegundomáximodedifração? 2
Afiguraaseguirseráutilizadanasquestões3e4.
03)Umfeixenãopolarizado,representadopeloraio1,incidenasuperfíciedo
materialB,formandoumângulode o301 =θ comanormal.Oraiorefletido
(raio2)écompletamentepolarizadoperpendicularmenteaoplanode
incidência.SabendoqueavelocidadedaluznomaterialAé 32 queemBe
que 2=Cn ,determine:
a)Determineoíndicederefração Bn . 332
b)Determineavelocidade Bv . 23c
c)Determineavelocidade Av . 33c
d)Determineoíndicederefração An . 3
e)Determineoângulocrítico 2θ . o60
f)Qualéomaiorângulo 1θ paraqueofeixesejarefletidototalmentenasuperfície
domaterialA? o30
04)ConsidereagoraqueoânguloincidêncianasuperfíciedomaterialBé
praticamenterasante,ouseja, o901 ≈θ .Paraumobservadorabaixodo
materialA,determine:
a)Qualéadiferençadefaseentreosraios3e4?pi
b)QualdeveseramenorespessuradaplacaAparaquehajainterferência
construtivaparaluzdecomprimentodeonda nm9001 =λ ? 3225nm
c)Arazão 21 λλ éumnúmerointeiro ( )m ouumafraçãodotipo ( )21+m ? 23
d)Quetipodeinterferênciaocorreparaluzdecomprimentodeonda
nm6002 =λ ? aconstrutiv
5)Vocêdesejaconstruirumespectrômetroderedequepermitesepararvioletado
azulem3ªordem.Sabendoque nmvioleta 420=λ e nmazul 440=λ .
a)Determineopoderresoluçãoparaessescomprimentosdeonda? 5.21
b)Quantasfendasserãonecessárias?8
6)Vocêdesejaconstruirumespectrômetroderedequepermitesepararvermelho
doazulem7ªordem.Sabendoque nmvermelho 640=λ e nmazul 440=λ .
a)Determineopoderresoluçãoparaessescomprimentosdeonda? 7.2
b)Quantasfendasserãonecessárias?1
7)Umamáquinafotográficautilizaumfilmesensívelapenasàluzde
Hzf 14106 ×= .Determinequaléalarguradosmenoresdetalhesquepodemser
percebidosemumobjetoqueestáà m3 damáquinadadosque 1=arn e
3.1=aguan ,sevocêpossui:
a)umalentededistânciafocal mm24 eaberturade 0.2/f eestátirandoafotode
umapessoa. m5.152
b)umalentededistânciafocal mm35 eaberturade 0.3/f eestátirandoafotode
umapessoa. m8.156
c)umalentededistânciafocal mm24 eaberturade 0.2/f eestásubmerso,
tirandoafotodeumpeixe. m3.117
LISTA06(27/08)
01)Umanavetemvelocidade cv 4140= emrelaçãoaumobservador.Parao
observador,anavelevou ns16810 parairdeAparaB.
a) Paraanave,quantotempopassouparaelairdeAparaB? ns3690
b) Paraoobservador,qualéadistânciaentreAeB? m4920
c) Eparaanave? m1080
02)Umanavetemvelocidade cv 419= emrelaçãoaumobservador.Paraa
nave,elalevou ns16400 parairdeAparaB.
a) Paraobservador,quantotempopassouparaanaveirdeAparaB? ns16810
b) Paraoobservador,qualéadistânciaentreAeB? m11070
c) Eparaanave? m10800
03)Umanavetemvelocidade cv 3735= emrelaçãoaumobservador.O
observadorverificaqueanavepercorre m3885 parairdeAparaB.
a) Paraanave,qualéadistânciaentreAeB? m1260
b) Paraoobservador,quantotempolevouparaanaveirdeAparaB? ns13690
c) Eparaanave? ns4440
04)Umanavetemvelocidade cv 3712= emrelaçãoaumobservador.Paraa
nave,elapercorre m1260 parairdeAparaB.
a) Paraoobservador,qualéadistânciaentreAeB? m1332
b) Paraoobservador,quantotempolevouparaanaveirdeAparaB? ns13690
c) Eparaanave? ns12950
05)Umobservadorverificaqueumanavedemora ns8410 parairdeAparaB.
Jáparaanave,essetrajetodura ns6090 .
a) Qualéavelocidadedanaveparaoobservador? c2920
b) QualéadistânciaentreospontosAeBparaoobservador? m1740
c) Eparaanave? m1260
06)UmobservadorverificaqueumanavevaideAparaBpercorrendo m1827 .
Jáparaanave,adistânciapercorridaéde m1260 .
a) Qualéavelocidadedanaveparaoobservador? c2921
b) Paraoobservador,quantotempolevaparaanaveirdeAeB? ns8410
c) Eparaanave? ns5800
07)Umanavede m70 decomprimentotemvelocidade cv 2524= emrelaçãoa
umobservador.Oobservadorverificaqueanavepercorre m1800 parairdeA
paraB.
a) Paraoobservador,quantotempolevouparaanaveirdeAparaB? ns6250
b) Eparaanave? ns1750
c) Paraanave,quantoelapercorre? m504
d) Paraoobservador,quantomedeanave? m6.19
LISTA 07 (03/11) 
( )
( )
( ) 20222
0
2
0
2
2
//
2
//
//
//
01
1
1
11
1
2
EpcE
E
pc
c
v
mmmcE
EKEmcEmcKvmp
c
Vu
u
u
c
Vu
Vu
u
c
xV
ttVtxx
vc
vc
f
flltt
rel
pp
c
V
+====
+==−==






−
=′






−
−
=′




 ′
−′=′−=′
±
=∆=∆∆=∆=
⊥
⊥






−
γγ
γγ
γ
γγ
λγγ
rr
m
 
Não use calculadora, simplifique, raiz é raiz, c é c . 
Exemplo: ccV
2
3
6
27 2
== , não precisa escrever ( )smcV /10598.2866.0 8⋅≈≈ 
 
01) Um passageiro dentro de um trem em movimento está em cima de um skate, que se 
desloca com velocidade no mesmo sentido que o trem, joga uma bola no mesmo 
sentido do trem e do skate. O trem tem velocidade de c21 em relação ao observador 
na plataforma, o passageiro tem velocidade de c21 em relação ao trem e a bola 
possui uma velocidade c21 em relação ao passageiro. 
 
a) Qual é velocidade do passageiro em relação à plataforma? c54 
b) Qual é velocidade da bola em relação ao trem? c54 
c) Qual é velocidade da bola em relação à plataforma? c1413 
 
02) Um passageiro dentro de um trem em movimento está em cima de um skate, que se 
desloca com velocidade no mesmo sentido que o trem, joga uma bola no mesmo 
sentido do trem e do skate. Para um observador numa plataforma, o trem, o 
passageiro e a bola possuem velocidades de c31 , c53 e c97 respectivamente. 
a) Qual é velocidade do passageiro em relação ao trem? c31 
b) Qual é velocidade da bola em relação ao passageiro? c31 
c) Qual é velocidade da bola em relação ao trem? c53 
 
03) Uma pessoa joga uma bola de massa m para cima com velocidade de c47 . 
a) Qual é o momento na vertical? ymcˆ37+ 
 
04) Um trem se desloca com velocidade de c35 em relação à plataforma. Um 
passageiro, parado dentro do trem, joga uma bola de massa m para baixo com 
velocidade c47 (em relação ao passageiro/trem). Responda as perguntas a seguir a 
respeito da bola em relação à plataforma. 
a) Qual é a velocidade horizontal? c35 
b) Qual é a velocidade vertical? c67 
c) Qual é o módulo da velocidade? c633 
d) Qual é o momento na vertical? ymcˆ37− 
LISTA 08 (10/11) 
 
( )
( )
( )
( )( ) [ ] pm
cm
h
nmeVhc
cm
hhfK
EpcE
E
pc
c
v
mmmcE
EKEmcEmcKvmp
c
Vu
u
u
c
Vu
Vu
u
c
xV
ttVtxx
vc
vc
f
flltt
e
c
e
rel
pp
c
V
43.21240cos1
1
11
1
max
2
0
222
0
2
0
2
2
//
2
//
//
//
01
1
2
≈=⋅=−=∆−=
+====
+==−==






−
=′






−
−
=′




 ′
−′=′−=′
±
=∆=∆∆=∆=
⊥
⊥






−
λφλφ
γγ
γγ
γ
γγ
λγγ
rr
m
 
Não use calculadora, simplifique, raiz é raiz, c é c . 
Exemplo: ccV
2
3
6
27 2
== , não precisa escrever ( )smcV /10598.2866.0 8⋅≈≈ 
 
01) Um carro de policia (com m8.4 de comprimento) e um bandido em uma moto, ambos 
relativísticos, passam por você (parado na calçada). O policial está com velocidade de 
c8.0 e o bandido com c135 . No referencial do policial, a freqüência da sirene 
luminosa é de Hz36 . 
 
a) Qual é a freqüência que você percebe o policial se aproximando? Hz108 
b) Qual é a freqüência que você percebe o policialse afastando? Hz12 
c) Qual é a velocidade do policial em relação ao bandido? c53 
d) Qual é a freqüência que o bandido percebe o policial se aproximando? Hz72 
e) Qual é a freqüência que o bandido percebe o policial se afastando? Hz18 
 
 
02) Em uma experiência de efeito fotoelétrico, quando uma superfície é iluminada com 
luz de comprimento de onda de nm600 , a energia máxima dos elétrons medida é de 
eV96.2 . Qual é a energia máxima dos elétrons quando você ilumina a superfície com 
luz de nm375 ? eV2.4 
 
 
03) A função trabalho do tungstênio é o dobro que a da prata. Sabendo que ao 
iluminarmos o tungstênio com luz de Hz1510 e prata com luz de nm600 , os elétrons 
chegam ao anodo com a mesma velocidade máxima. Qual é a função trabalho do 
tungstênio em eV ? eV13.41562 ≈ 
 
 
04) Um fóton de pm6 é espalhado por um ângulo de o90 ao colidir com um elétron em 
repouso. 
 
a) Qual é o comprimento de onda do fóton espalhado? pm43.8 
b) Qual é a energia cinética do elétron após a colisão? KeV60≈ 
LISTA10(26/11)
Pararesolverasquestõesdecolisãodessalista,calculadoraseránecessária,mas c aindaé c .
Lembrandoquenaprovanãoserápermitidocalculadora.
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )xxxUEm
xxUEm
x
x
t
txitxtxU
x
tx
m
EpcE
E
pc
c
v
mmmcE
EKEmcEmcKvmp
rel
αψψα
ψψ
γγ
γγ
−=′′⇒−≡
−−=
∂
∂
∂
Ψ∂
−=Ψ+∂
Ψ∂
−
+====
+==−==
2
22
2
2
22
2
0
222
0
2
0
2
2
2
,
,,
,
2
1
h
h
h
h
rr
01)Umkaoncurto 0SK possuimassade 2498 cMeV edecaiemdoispionsneutros, 0pi ,demassa
2135 cMeV .Sabendoqueospionspossuemomesmomomentolinearemmódulo,determine:
a) Arelaçãoentreadireçãoeosentidodavelocidadequecadapionstêm. 21 vv
rr
−=
b) Aenergiacinéticadospions. MeVK 114=
c) Avelocidadedospions. cvv 84.021 ≈=
rr
d) Omódulodomomentodospions. cMeVpp 20921 ≈=
rr
02)Umpionpositivoenegativo, +pi e −pi ,ambosdemassa 2140 cMeV colidemcomumpionneutro
0pi demassa 2135 cMeV originandoumapartículaomega 0ω demassa 2782 cMeV .Sabendoque
o 0pi estavaparadoemrelaçãoaosoutrosdois,queostrêspionssedesintegramdepoisdacolisãoe
0ω estáparado,determine:
a) Arelaçãoentreadireçãoeosentidodavelocidadequeospions +pi e −pi têm.
−+ −= vv
rr
b) Aenergiacinéticadospions. MeVK 5.183=
c) Avelocidadedospions. cvv 9.0≈=
−+
rr
d) Omódulodomomentodospions. cMeVpp 292≈=
−+
rr
03)Afunçãodeondadeumapartículaé ( ) xAex βψ −= com 100.2 −= mβ .
a) Qualéaprobabilidadedapartículaestarnoladodireitodoeixo x , 0>x ? %50
b) Qualéovalordaconstante A ? 212 −m
c) Qualéaprobabilidadedapartículaestarnumaregiãoà cm50 daorigem, cmx 50≤ ? %86
d) Qualéaprobabilidadedapartículaestarnumaregiãoalémde cm50 daorigem, cmx 50> ? %14
e) Qualéaprobabilidadedapartículaestarentre m00.1 e m01.1 ? %036.0
04)Umapartículalivrepossuienergia E .Sabendoqueopotencialédadopor:



≥∀∞
<∀
=
Lx
Lx
xU
0)(
Esboce:
a) Afunçãodeondaeopotencial.
05)Umapartículalivrepossuienergia E .Sabendoqueopotencialédadopor:



≥∀
<∀
=
LxU
Lx
xU
0)(
Com EU > esboce:
a) Afunçãodeondaeopotencial.
06)Umapartículalivrepossuienergia E .Sabendoqueopotencialédadopor:



≥∀
<∀
=
LxU
Lx
xU
0)(
Com EU < esboce:
a) Afunçãodeondaeopotencial.
07)Umapartículapossuienergia E eestáemumacaixade 0 à L .Sabendoqueelaestáno5ºestado
excitado,esboce:
a) Afunçãodeonda.
b) Adensidadedeprobabilidade.
08)Umapartículaestáemumacaixade 0 à L .Dentrodacaixaháumpotencialdescritopor xeβ com
0>β .Sabendoqueestáno5ºestadoexcitado,esboce:
Suponhaqueaenergiadapartículaé 43 LeE β= ,essevalornãoéfisicamentecorreto.
a) Opotencial
b) Afunçãodeonda.
c) Adensidadedeprobabilidade.
LISTA11(01/12)
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) tixtix
n
nnn
t
Ei
rel
pp
c
V
eextxeetx
m
nExmxU
nE
mL
h
nE
c
emc
n
E
xxxUEm
xxUEm
x
x
extxxUU
t
txitxtxU
x
tx
m
EpcE
E
pc
c
v
mmmcE
EKEmcEmcKvmp
c
Vu
u
u
c
Vu
Vu
u
c
Vx
ttVtxx
vc
vc
f
fllttV






−
−






−
−
−
⊥
⊥






−
⋅⋅⋅





=Ψ⋅





=Ψ
≡





+=⇒=






+=





=≈=−=
−=′′⇒−≡
−−=
∂
∂
⇒=Ψ=
∂
Ψ∂
−=Ψ+∂
Ψ∂
−
+====
+==−==






−
=′






−
−
=′





−=′−=′
±
=∆=∆∆=∆=
2
3
22
14
1
1
22
4
1
0
22
2
2
2
0
222
2
2
22
2
2
22
2
0
222
0
2
0
2
2
//
2
//
//
//
01
1
22
2
2,,
2
1
2
1
2
1
8137
1
42
1
2
2
,
,
,,
,
2
1
11
1
ωαωα
α
pi
α
pi
α
ω
αωω
ω
piε
α
α
αψψα
ψψψ
γγ
γγ
γ
γγ
λγγ
h
h
h
h
h
h
h
h
rr
m
h
01)Umtremeumfoguetetêmasmesmasvelocidadesemmódulo, c
5
4
.Otremestáindoparaadireitae
ofogueteparacima.Trêsamigos,umdentrodotrem(T),umnaplataforma(P)eumnofoguete(F),
lançamumamaçãdemassa m paracimacomamesmavelocidadede c
5
3
.Determine:
a) AvelocidadehorizontalquePmedeamaçãdeT. cUU x 54// ==
b) AvelocidadeverticalquePmedeamaçãdeT. cUU y 259== ⊥
c) OmódulodavelocidadequePmedeamaçãdeT. cU 25481=
d) AvelocidadehorizontalquePmedeamaçãdeF. 0== ⊥UU x
e) AvelocidadeverticalquePmedeamaçãdeF. cUU y 3735// ==
f) OmódulodavelocidadequePmedeamaçãdeF. cU 3735=
g) Omomentodecadamaçãnoreferencialdeseulançador. ymcp ˆ43+=r
h) OmomentohorizontalquePmedeamaçãdeT. mcpx 35+=
i) OmomentoverticalquePmedeamaçãdeT. mcpy 43+=
j) OmomentohorizontalquePmedeamaçãdeF. 0=xp
k) OmomentoverticalquePmedeamaçãdeF. mcpy 1235+=
02)Considereumapartículademassa m submetidaaumpotencialquadrático ( ) 22
2
1
xmxU ω= .
a) Mostreque 1Ψ (definidanoformulário)satisfazaequaçãodeSchrödinger.
b) Esboceográficodedensidadedeprobabilidade 21Ψ .
c) Determineospontosdemáximoemínimodadensidadedeprobabilidade. ωmx h±= ,0
d) Qualéovalormédiodaposiçãodapartícula x ?0
e) Qualaprobabilidadedapartículaestardoladodireito ( )0>x ? %50
03)Considereumapartículademassa m submetidaaumpotencialquadrático ( ) 22
2
1
xmxU ω= .
Sabendoqueaenergiado1ºestadoexcitadoé eV75.0 .Considerequeapartículaestáno8ºestado
excitado.Determine:
a) Paraquaisníveiselapodedecair? 7,6,5,4,3,2,1,0=n
b) Quaissãoospossíveisvaloresdeenergiadosfótonsemitidosnesseprocesso?
eV5,0 eV0,1 eV5,1 eV0,2 eV5,2 eV0,3 eV5,3 eV0,4
c) Quaisdessesfótonsestãonoespectrodaluzvisível( nmnm 700400 − )?
eV0,2 eV5,2 eV0,3
04)Considereumapartículademassa m submetidaaumpotencialquadrático ( ) 22
2
1
xmxU ω= .
Sabendoqueaenergiado2ºestadoexcitadoé eV25.1 .Considerequeapartículaestáno42ºestado
excitado.Aojogarmosluzbranca( nmnm 700400 − ),paraquaisníveiselapodeserexcitada?
o46 o47 o48

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