Equacao-de-Onda e Dielétircos

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Equações da Eletrodinâmica 
 
Equações de Maxwell: 
 
Forma Integral Forma Diferencial 
∫∫ ⋅−=Φ−=⋅ SC sdBdtddtdldE r
rrr
 
t
BE ∂
∂−=×∇ r
r
 (1) 
∫∫ ⋅



∂
∂+=⋅
SC
sd
t
DJldH r
rrrr
 
t
DJH ∂
∂+=×∇
rrr
 (2) 
QsdD
S
=⋅∫ rr ρ=⋅∇ Dr (3) 
0=⋅∫S sdB rr 0=⋅∇ Br (4) 
 
Relações constitutivas: 
 ED
rr ε= e HB rr µ= 
 
Lei de Ohm: 
 EJ
rr σ= 
 
 
Equação da Onda no Vácuo, Espaço Livre ou Dielétrico 
sem Perdas 
 
Sendo o meio isotrópico, homogêneo e linear, consideraremos: 
 
 0=Jr , pois 0=σ 
 
 0=⋅∇ Dr e ∇ 0=⋅ Er , pois 0=ρ 
 
Aplicando o rotacional à equação (1), obtemos 
 
 ( ) ( )
t
H
t
HE ∂
×∇∂−=



∂
∂×∇−=×∇×∇
rrr µµ 
Como 
 
t
EH ∂
∂=×∇
rr ε 
 ( ) 22tEE ∂∂−=×∇×∇
rr µε 
Utilizando a identidade vetorial 
 
 ( ) ( ) AAA rrr 2∇−⋅∇∇=×∇×∇ 
 
 1
obtemos 
 ( ) ( ) 222 tEEEE ∂∂−=∇−⋅∇∇=×∇×∇
rrrr µε 
Como ∇ 0=⋅ Er
 2
2
2
t
EE ∂
∂=∇
rr µε 
ou 
 02
2
2 =∂
∂−∇
t
EE
rr µε (5) 
 
De maneira similar, ao aplicar o rotacional a ambos os lados da equação (2) e 
procedendo da mesma forma que para a equação (1), obtém-se a equação de onda 
para o campo magnético: 
 02
2
2 =∂
∂−∇
t
HH
rr µε 
 
 
O laplaciano de um campo vetorial pode ser desdobrado na soma vetorial do 
laplaciano das componentes: r
 zzyyxx aEaEaEE
rrr 2222 ∇+∇+∇=∇ 
o que leva as equações: 
 2
2
2
2
2
2
2
z
E
y
E
x
EE xxxx ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ 
 2
2
2
2
2
2
2
z
E
y
E
x
E
E yyyy ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ 
 2
2
2
2
2
2
2
z
E
y
E
x
EE zzzz ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ 
 
 
Solução da Equação da Onda 
 
Para melhor entender as características dos campos e aspectos importantes da 
propagação, faremos uso de uma onda unidimensional, isto é, assumiremos que a 
intensidade do campo magnético E
r
 ou a intensidade do campo magnético H
r
 tem 
uma única componente no espaço e se propaga em uma direção perpendicular a 
esta componente. 
 
Orientando os eixos cartesianos de modo que o campo elétrico esteja na direção x e 
a direção de propagação seja a direção z, a onda unidimensional do campo elétrico 
será da forma: 
 
 xx atzEE
rr ),(= 
 
 
 2
Desta forma, as soluções possíveis para a equação (5) são do tipo 
 
 

 ±
v
ztf 
 
Esta equação pode ser vista como uma onda que progride, com o passar do tempo, 
no sentido negativo de x (caso 

 +
v
ztf ) ou no sentido positivo de x (caso 

 −
v
ztf ). 
 
São exemplos específicos de tais funções: 
 

 −
v
ztsen , 


 −
v
zta
e , 
2
. 

 −
v
ztk 
 
 
Outra hipótese utilizada será de que as ondas eletromagnéticas terão variação 
harmônica no tempo, isto é, serão representadas por senóides (ou cossenóides). 
 
O benefício de se utilizar ondas cossenoidais unidimensionais está no fato de que a 
solução da equação de onda torna-se simples, enquanto mostra importantes 
propriedades da onda. A alternativa a esta abordagem é uma solução mais geral, 
porém muitíssimo mais complicada. 
 
Assim, assumiremos que a equação da intensidade do campo elétrico é do tipo: 
 
 xxm aztEE
rr )cos( βω −= [V/m] (6) 
 
Isto define um campo elétrico que se propaga na direção +z e possui apenas 
componente em x. Note que esta equação pode ser escrita como 
 xxm av
ztEE r
r
)cos( −= 
onde βω=v , que é uma solução da equação de onda (5). 
 
Aplicando (6) em (5), obtemos 
 
 02
2
2 =∂
∂−∇
t
EE
rr µε 
 02
2
2 =∂
∂−∇
t
aEaE xxxx
rr µε 
 02
2
2
2
2
2
2
2
=∂
∂−



∂
∂+∂
∂+∂
∂
t
aE
a
z
E
y
E
x
E xx
x
xxx
rr µε 
 
como 
 0=∂
∂=∂
∂
y
E
x
E xx 
 
 3
e 
 )( ztsenE
z
E
xm
x βωβ −+=∂
∂ 
 )cos(22
2
ztE
z
E
xm
x βωβ −−=∂
∂ 
e também 
 )( ztsenE
t
E
xm
x βωω −−=∂
∂ 
 )cos(22
2
ztE
t
E
xm
x βωω −−=∂
∂ 
 
temos que 
 0)cos()cos( 22 =−+−− ztEztE xmxm βωµεωβωβ
 22 µεωβ =
 µεωβ = [rad/m] 
 
 
Examinando a equação (6), fica aparente que a fase da onda varia com o tempo. Em 
outras palavras, a fase da onda “viaja” a uma certa velocidade. Para encontrar esta 
velocidade, utilizaremos um ponto fixo na onda, para o qual a fase do campo é 
zt βω − =constante 
 
 
 
 zt βω − = constante 
 β
ωtz = - constante’ 
 
 
A velocidade de propagação de fase (v ) é p
 µεβ
ω 1===
dt
dzv p 
 
Note que no caso de vácuo ou espaço livre, a velocidade de propagação da onda de 
campo elétrico é 
 cvp =×≈×== 88
00
10310997925,21εµ [m/s] 
 
 4
Conforme a onda se propaga, a distância entre duas cristas sucessivas da onda 
depende tanto da freqüência quanto da sua velocidade. Define-se o comprimento 
de onda λ (em metros) como a distância que uma frente de onda (isto é, uma frente 
de fase constante) viaja em um ciclo: 
 β
π
µεω
π
ω
πλ 222 ==== pp v
f
v
 [m] 
 
Da definição acima, pode-se escrever 
 λ
πβ 2= [rad/m] 
onde β é chamado de constante de fase. 
 
 
Até agora, discutiu-se apenas a intensidade de campo elétrico E
r
. As equações de 
Maxwell dizem que existe uma intensidade de campo magnético H
r
 sempre que E
r
 
existe. Então, para uma completa discussão da onda eletromagnética, é preciso 
avaliar também o campo magnético. 
 
Uma vez que ambos E
r
 e H
r
 devem satisfazer as equações de Maxwell, pode-se 
utilizar a intensidade de campo elétrico dada por (6) e substituí-lo na primeira 
equação de Maxwell (lei de Faraday) para obter a intensidade de campo magnético. 
 
Assim 
 
t
HE ∂
∂−=×∇
rr µ 
 
t
H
EEE
zyx
aaa
zyx
zyx
∂
∂−=∂
∂
∂
∂
∂
∂ r
rrr
µ 
 ( )zzyyxxzxyyzxxyz aHaHaHtayExEaxEzEazEyE rrrrrr ++∂∂−=



∂
∂−∂
∂+


∂
∂−∂
∂+



∂
∂−∂
∂ µ 
 
Da hipótese de que E
r
 tem somente componente em x e varia somente em z, 
somente o termo z
x ∂
E∂ existe. Isto significa que 0== zx HH e que a equação 
acima torna-se 
 y
y
y
x a
t
H
a
z
E rr
∂
∂−=∂
∂ µ 
 [ ]
t
H
z
ztE yxm
∂
∂−=∂
−∂ µβω )cos( 
 
t
H
ztE yxm ∂
∂−=− µβωβ )(sen 
 )(sen ztE
t
H
xm
y βωµ
β −−=∂
∂
 
 
 5
Integrando em relação ao tempo, obtemos 
 
 )cos( ztEH xmy βωωµ
β −= 
ou 
 yxm aztEH
rr )cos( βωωµ
β −= [A/m] 
ou ainda 
 yym aztHH
rr )cos( βω −= [A/m] (7) 
 
Podemos definir a razão entre e como )(zEx )(zH y
 ε
µ
β
ωµη ===
)(
)(
zH
zE
y
x [Ω ] 
 
A quantidade η é chamada de impedância intrínseca ou impedância da onda do 
material, uma vez que depende somente das propriedades do material. 
 
A impedância intrínseca do espaço livre é 
 3779911184,376120
10
36
1
104
9
7
0
0
0 ≈==
×
×==
−
−
π
π
π
ε
µη Ω 
r
Note que H
r
 e E propagam-se na mesma direção e são ortogonais entre si e à 
direção de propagação. Esta propriedade torna E
r
 e H
r
uma onda eletromagnética 
tranversa (TEM). Este tipo de onda também recebe o nome de onda plana 
uniforme, pois as intensidades dos campos elétricos e magnéticos estão em 
direções fixas do espaço e são constantes em magnitude e fase sobre um plano 
perpendicular à direção de propagação. 
 
Este tipo de onda é mostrado na figura abaixo. Para um campo elétrico na direção 
+x, o campo magnético deve ser na direção +y, com a onda se propagando na 
direção +z. 
 
A discussão acima foi restrita a uma única componente das intensidades de campo 
elétrico e magnético (onda unidimensional). Entretanto, o mesmopode ser feito com 
qualquer outra componente do campo elétrico e magnético e em qualquer direção de 
propagação. A única restrição real das propriedades acima foi o uso de uma 
equação de onda em meio sem perdas. 
 
 6
As propriedades definidas acima são importantes propriedades das ondas 
eletromagnéticas: comprimento de onda, número de onda, velocidade de fase e 
impedância intrínseca, porém as duas primeiras somente fazem sentido em ondas 
com variação harmônica no tempo. 
 
 
 7
Exercícios 
1. A variação com z para t=0 de uma função f(z,t) representando uma onda 
viajante propagando-se na direção +z com velocidade 100 m/s é mostrada na 
figura abaixo. Ache e esboce: 
a. f versus z para t=1s 
b. f versus t para z=0 
c. f versus t para z=200m 
 
 
 
 
 
 
2. Mostre que a equação 0=⋅∇ Br pode ser derivada da equação 
t
BE ∂
∂−=×∇
rr
. 
3. As equações de Mawxell (1 a 4) são equivalentes a oito equações escalares. 
Ache estas equações escrevendo os campos vetoriais explicitamente em 
coordenadas cartesianas e componentes da equação 
4. Um campo elétrico variante no tempo é dado por 
xaztE
rr [V/m]. O campo existe num material com 
propriedades 
)018,010cos(10 −= ππ
3=r
6
ε e 1=rµ . Dado que 0=J
r
 e 0=ρ , calcule a intensidade 
do campo magnético e a densidade de fluxo magnético no material. 
5. Um campo magnético variante no tempo é dado por [ ]TaeB xztj rr )1010( 4420 −+= em 
um material com propriedades rε e rµ . Assuma que não existem 
fontes no material. Utilizando as equações de Maxwell: 
4= 1=
a. Calcule a intensidade do campo elétrico no material 
b. Calcule a densidade do fluxo elétrico e a intensidade do campo 
magnético no material. 
 
6. Qual o valor de A e B necessários para que os campos: r
a. ( ) [ ]mVaBxtE y /10cos120 6 r−= ππ 
rrb. ( ) [ ]mAaBxtAH z /10cos 6 −= ππ 
satisfaçam as equações de Maxwell em um meio linear, isotrópico e 
homogêneo com 4== rr µε e 0=σ . Assuma que não há densidades de 
corrente e de carga no espaço. 
 
7. Uma onda plana se propaga na direção positiva de x no espaço livre. A onda 
em x=0 é zatE
rr )10cos(5)0( π= 9 . Se as propriedades do espaço livre são 0εε = 
e 0µµ = , ache )20( =xE
r
. 
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	Equação da Onda no Vácuo, Espaço Livre ou Diel�
	Solução da Equação da Onda