Física II - Poli - Aula de Reforço (Fuja do Nabo) - P1 - Exercícios

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Fuja do Nabo: Física II – P1 –2014 – Rogério Motisuki 
Ondulatória – Exercícios 
 
 
P2 – 2012) 
 
a) Basta observar o gráfico e visualmente perceber que há dois comprimentos de onda em 1m, 
ou seja: 𝜆 = 0,5𝑚 
Fazendo o mesmo para o tempo, após 1s a onda percorreu metade de um comprimento de onda, 
portanto: 𝑇 = 2𝑠 
Tendo o comprimento de onda e o período, a velocidade é simples: 𝑣 = 
𝜆
𝑇
= 0,25 𝑚/𝑠 
b) Lembrando que 𝑣 = 
𝑇
𝜇
 temos: 
𝜇 = 
𝑇
𝑣2
= 4 𝑘𝑔/𝑚 
c) A expressão geral de uma onda harmônica que se propaga no sentido de x negativo é: 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴. cos⁡(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝜑) 
Do gráfico, obtemos que 𝐴 = 2𝑚. Também sabemos que 𝑘 = 
2𝜋
𝜆
= 4𝜋 e 𝜔 = 
2𝜋
𝑇
= 𝜋 
Assim, temos: 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 2. cos⁡(4𝜋𝑥 + 𝜋𝑡 + 𝜑) 
Para encontrar a fase inicial, devemos substituir um ponto do gráfico. Qualquer um serve, mas 
para simplificar, a escolha mais fácil é a (0,0). 
𝑦 0,0 = 0 cos 𝜑 = 0 
Agora tem um problema: 𝜑 = 
𝜋
2
 𝑜𝑢 −
𝜋
2
? Para decidir, temos que observar também o contexto da 
onda no gráfico. Aumentando um pouco o 𝑥, logo depois do 𝑥 = 0, o cosseno vira positivo e 
atinge +1. Pensando no círculo trigonométrico, podemos concluir que a fase inicial precisa ser 
−
𝜋
2
, pois na outra possibilidade, o cosseno ficaria negativo. 
Logo: 𝑦 𝑥, 𝑡 = 2. cos 4𝜋𝑥 + 𝜋𝑡 −
𝜋
2
 
d) Derivando a expressão obtida no item c podemos calcular a velocidade e aceleração 
transversal: 
𝑣𝑡 = −2𝜋. 𝑠𝑒𝑛 4𝜋𝑥 + 𝜋𝑡 −
𝜋
2
 
𝑎𝑡 = −2𝜋
2 . cos 4𝜋𝑥 + 𝜋𝑡 −
𝜋
2
 
O máximo dessas expressões ocorre quando o seno ou cosseno valem -1: 
𝑣𝑡𝑚𝑎𝑥 = 2𝜋
𝑚
𝑠
 𝑒 𝑎𝑡𝑚𝑎𝑥 = 2𝜋
2
𝑚
𝑠2
 
e) É uma simples aplicação da fórmula: 
𝐼 = 
𝜇𝑣𝜔2𝐴2
2
= 2𝜋2 𝑊 
P2 – 2012) 
 
a) A partir da figura fica fácil obter o comprimento de onda: 3 = 
3
2
𝜆 𝜆 = 2𝑚 
Para obter o período, precisamos pensar nas informações fornecidas. Em 𝑡 = 0 a onda tem 
amplitude máxima, e em 𝑡 = 0,25𝑠 passa pelo zero pela primeira vez. Isso significa que em 
0,25𝑠 a onda percorreu 
1
4
 de seu período. Ou seja, 𝑇 = 1𝑠 
Portanto a velocidade da onda é 𝑣 = 
𝜆
𝑇
= 2 𝑚/𝑠 
b) Temos a informação de que a massa da corda é 0,15𝑘𝑔 e sabemos que seu comprimento é 
3𝑚, logo 𝜇 =
𝑚
𝑙
= 0,05 𝑘𝑔/𝑚 
Aplicando a fórmula da velocidade da onda numa corda, temos: 
𝑣 = 
𝑇
𝜇
 𝑇 = 𝜇𝑣2 = 0,2 𝑁 
c) Temos que a equação de 𝑦(𝑥, 𝑡) é da forma: 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 2. cos 𝑘𝑥 + 𝛼 . cos⁡(𝜔𝑡 + 𝛽) 
Sabemos que 𝑘 = 
2𝜋
𝜆
= 𝜋 e que 𝜔 = 
2𝜋
𝑇
= 2𝜋, bastanto apenas substituir pontos do gráfico para 
achar 𝛼 𝑒 𝛽. 
Em 𝑥 = 1,5𝑚 temos que: 
𝑦 1.5 , 0 = 2 2 cos 
3𝜋
2
+ 𝛼 cos 𝛽 = 2 
Para um produto de cossenos dar 1, precisamos que: 
 
cos 
3𝜋
2
+ 𝛼 = 1
cos 𝛽 = 1
 
𝛼 = −
3𝜋
2
 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎,
𝜋
2
𝛽 = 0
 
Logo: 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 2. cos 𝜋𝑥 +
𝜋
2
 . cos⁡(2𝜋𝑡) 
d) A partir da dedução da equação da onda estacionária a partir das fórmulas de Prostaférese, 
tínhamos que: 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 2𝐴. cos 𝑘𝑥 +
𝜑1 + 𝜑2
2
 cos 𝜔𝑡 +
𝜑2 − 𝜑1
2
 
Da onde comparamos com o obtido no item c, e tiramos que𝐴1 = 𝐴2 = 1𝑚 e: 
 
𝛼 =
𝜋
2
= 
𝜑1 +𝜑2
2
𝛽 = 0 = 
𝜑2 −𝜑1
2
 
𝜑1 =
𝜋
2
𝜑2 = 
𝜋
2
 
 
P2 – 2012) 
 
a) A flauta vai atuar como se fosse um tubo aberto nas duas pontas. 
A diferença entre fechar os buracos ou não vai ser o 
comprimento do tubo. Um buraco aberto 
basicamente vai agir como a ponta do tubo, então 
nesse caso temos que a distância L é a distância 
entre A e D. 
Logo 𝐿 =
𝜆
2
= 0,4𝑚 𝜆 = 0,8𝑚 
𝑣 = 𝜆𝑓 𝑓 =
340
0,8
= 425 𝐻𝑧 
b) Neste caso, como a variação de pressão entre C e D é nula, significa que a onda estacionária 
basicamente está entre os pontos A e C. Segundo o enunciado 𝐴𝐶 = 0,3𝑚, portanto 𝐿 =
𝜆
2
=
0,3𝑚 𝜆 = 0,6𝑚 
𝑣 = 𝜆𝑓 𝑓 =
340
0,6
= 566,7 𝐻𝑧 
c) Mesmo raciocínio dos outros itens, mas dessa vez a distância é entre os pontos A e B. 
𝐿 =
𝜆
2
= 0,2𝑚 𝜆 = 0,4𝑚 
𝑣 = 𝜆𝑓 𝑓 =
340
0,4
= 850 𝐻𝑧 
d) Fechando os buracos B e C, calculamos no item a que a sua flauta terá a frequência 
fundamental de 425 Hz. Como a outra flauta é mais aguda e a diferença entre as frequências é 
75 Hz, significa que a outra flauta emite uma frequência de 425 + 75 = 500 𝐻𝑧. 
Assim, podemos calcular o comprimento de onda como sendo 𝜆 =
𝑣
𝑓
=
340
500
= 0,68𝑚 
Fazendo o raciocínio inverso do item a, podemos calcular a distância AD da outra flauta como 
sendo: 𝐿 =
𝜆
2
= 0,34𝑚 
P2 – 2012) 
 
a) Como as velocidades do carro A e B são iguais em módulo e sentido, não há movimento 
relativo entre eles e a frequência permanecerá inalterada, 60 𝐻𝑧. Aplicando a fórmula, 
verificamos o resultado: 
𝑓𝐴𝐵 = 60
𝑣 + 𝑣𝐴
𝑣 + 𝑣𝐵
= 60
305 + 15
305 + 15
= 60 𝐻𝑧 
b) Antes dos carros se cruzarem, no sistema de referência que eu mostrei, a velocidade 𝑣𝐴 é 
positiva e 𝑣𝐶 é negativo: 
𝑓𝐴𝐶 = 60
𝑣 + 𝑣𝐴
𝑣 − 𝑣𝐶
= 60
305 + 15
305 − 5
= 64 𝐻𝑧 
c) Após os carros se cruzarem, as velocidades continuam com o mesmo sentido, mas a 
referência “do observador para a fonte” inverte, trocando ambos os sinais na fórmula: 
𝑓𝐴𝐶 = 60
𝑣 − 𝑣𝐴
𝑣 + 𝑣𝐶
= 60
305 − 15
305 + 5
=
1740
31
≈ 56 𝐻𝑧 
d) A frequência do batimento é a diferença entre as duas frequências: 
𝑓𝑏𝑎𝑡 = 𝑓𝐴𝐶 − 𝑓𝐴𝐵 = 64 − 60 = 4 𝐻𝑧 
O período é o inverso da frequência: 𝑇 =
1
𝑓
=
1
4
= 0,25𝑠