Física II - Poli - Aula de Reforço (Fuja do Nabo) - P1 - Teoria

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Fuja do Nabo: Física II – P1 – 2014 – Rogério Motisuki 
Ondulatória – Resumo Teórico 
 
 
Todo mundo já aprendeu o que é uma onda, porém a matematização apresentada pode 
apresentar dificuldades. 
Equação genérica 
Uma onda genérica pode ser descrita por 
uma função ����. Usarei um pulso como 
exemplo para visualização: 
Nesse exemplo, ��0� é o pico do pulso. 
Portanto, se o pulso for representado por ����, o pico estará em � � 0. 
Sabendo disso, imagine agora um pulso 
representado por ��� � 1�. Onde estará o 
pico? É fácil perceber que a resposta é � � 1. 
Generalizando, um pulso representado 
por ��� � ∆�� será deslocado ∆� para a 
direita. Logo, se o pulso se deslocar com 
velocidade constante, temos que ∆� � 
�, e portanto a equação genérica para um pulso que se 
propaga é ��� � 
��. Se o movimento do pulso for no sentido do � negativo, basta inverter o 
sinal. 
O pulso foi apenas um exemplo, todo o raciocínio acima também vale para ondas. 
��� � 
�� 	→ 	
���������	��	�������	��	�	����������� � 
�� 	→ 	
���������	��	�������	��	�	�� !���� 
Ondas harmônicas 
 
São tipos de ondas tão importantes que ganham uma categoria especial. É o caso em que a 
função que descreve a onda é um seno (ou cosseno). Um jeito alternativo de equacionar o 
raciocínio acima, mas dizendo a mesma coisa, é usar uma função de duas variáveis: ���, �� � 	#. cos	�(. �� � 
�� � 	)�, onde #, ( e ) são constantes. 
O nome “função de duas variáveis” pode assustar, mas seu significado é muito simples: dado 
um � (posição) e um � (tempo), a função retorna a altura da onda naquela posição e tempo. 
Mas a equação ainda não está no formato usual, então vamos fazer umas mudanças: ���, �� � #. cos�(� � (
� � )� � #. cos	�(� � *� � )� 
Agora temos 4 parâmetros e cada um recebe um nome: 
A – amplitude 
Valor máximo da altura da onda. Bastante intuitivo observando a equação, pois o valor 
máximo do cosseno é 1, e como está multiplicado por #, o valor máximo de ���, ��	é #. 
k – número de onda angular 
Fonte de muitas dúvidas, pois é um conceito jogado sem explicação. Para explicar, usarei o 
conceito mais intuitivo de comprimento de onda +, conhecido por todos. Ignorando outras 
variáveis e constantes, a função que descreve a onda é do tipo cos	�(��. Sabemos que após um 
comprimento de onda, o cosseno deu uma volta completa, ou seja, 2-. ����(�� � cos.(�� � +�/ � cos	�(� � (+� 
Logo (+ � 2-, e daí surge a relação: 
( � 	2-+ 
Ou seja, isso traduz o conceito físico de comprimento de onda para a equação matemática que 
é a função cosseno. 0 – frequência angular 
Vamos fazer uma análise parecida como a que fizemos acima, mas dessa vez com o tempo e o 
conceito intuitivo de período 1 da onda. Após um período, o cosseno deu uma volta completa, 
ou seja, 2-. cos�*�� � cos.*�� � 1�/ � cos	�*� � *1� 
Logo *1 � 2-, e portanto: 
* � 2-1 � 2-� 
Note que originalmente, a constante que multiplicava o tempo era (
, mas eu chamei isso 
simplesmente de *. Temos agora uma relação interessante: 
(
 � 	*	 	⇔2-+ . 
 � 	2-1 	 	⇔ 
 �	 +1 � +� 
Ou seja, podemos verificar que o que foi aprendido em ondulatória no ensino médio é 
consistente com esse equacionamento. 3 – fase inicial 
O argumento do cosseno é chamado fase. Em ��, �� 	� 	 �0,0� teríamos cos	�)�. Como o ) é a fase 
no início, recebe o nome de fase inicial. 
 
Seno ou cosseno? 
Essa é uma pergunta que muitos 
fazem. A resposta é: 
Tanto faz. 
O seno e o cosseno descrevem a 
mesma curva, porém com uma 
diferença de fase entre eles. 
sin��� � cos 6� � -27 
 
Equação de onda 
É basicamente uma equação diferencial que descreve uma onda. Ela estabelece uma condição 
para as funções de onda: 
8²�8�² � 	
² 8²�8�² 
 
Velocidade transversal 
Não confundir com a velocidade de propagação da onda. Os pontos de uma onda transversal 
se deslocam para cima e para baixo, e essa velocidade pode ser calculada com uma derivada 
parcial. 
A velocidade transversal de um ponto na posição �: pode ser calculada por: 
;��:� � 	8<��:, ��8� 
Interferência 
A soma de duas ondas gera uma nova onda cuja altura é simplesmente a soma das alturas das 
ondas: <=��, �� � #=. cos�(� � *� � )=�<>��, �� � #>. cos�(� � *� � )>� 	⇒ <��, �� � 	<=��, �� � <>��, �� 
Quando os <= e <> tem sinais diferentes, ocorre uma subtração, e esse efeito é chamado 
interferência destrutiva. Quando os sinais são iguais ocorre uma soma, e recebe o nome de 
interferência construtiva. 
Note que como a função é um cosseno, a interferência construtiva irá acontecer quando a 
diferença de fase entre as ondas for um múltiplo par de -, e a interferência destrutiva um 
múltiplo ímpar. 
No caso mais geral, a simplificação da expressão é complicada e extensa, porém há um caso 
simples de bastante relevância: 
 
Ondas estacionárias 
Ondas de mesma amplitude que se propagam em sentidos opostos interferem causando uma 
onda estacionária. Fisicamente, isso acontece em situações que o meio restringe a onda de tal 
forma que ela interfira com suas próprias reflexões. Matematicamente, temos o seguinte: <=��, �� � #. cos	�(� � *� � )=�<>��, �� � #. cos	�(� � *� � )>� 
Pela fórmula de Prostaférese, temos que: 
<��, �� � 2#. cos @2(� � )= �)>2 A . cos @2*� � )> � )=2 A 
<��, �� � 2#. cos @(� � )= � )>2 A cos 6*� � )> � )=2 7 
Note que existem � em que o cosseno valerá zero, e portanto <��, �� será zero para qualquer 
tempo. Esse ponto é chamado de nó, e é um ponto que fica completamente parado. 
Modos normais 
No contexto de ondas estacionárias, modos normais são frequências de oscilação naturais 
definidas pelo meio em que estão. Existem infinitos modos normais, e geralmente recebem 
nome de harmônico e são ordenados. 
Para calcular essas frequências, é necessário duas informações: 
o comprimento de onda e a velocidade (
 � +�). O comprimento 
de onda é obtido a partir do desenho do harmônico e 
relacionando com o tamanho da corda ou tubo. 
 
Nesse exemplo, uma corda está presa entre duas paredes. No 
ponto de contato com a parede, o movimento fica restrito, e 
portanto aquele é obrigatoriamente um ponto de nó. 
No caso de ondas sonoras, é possível ter um tubo aberto, então 
as extremidades da onda não seriam necessariamente um nó. 
 
Batimento 
Quando duas ondas de frequências parecidas interferem, ocorre um fenômeno chamado 
batimento. A amplitude da onda resultante varia com o tempo, é como se fosse um seno 
dentro de outro seno. 
 
A frequência do batimento é dada por: �BC; � ∆� � �= � �> 
Efeito Doppler 
É a aparente mudança de frequência de uma onda causada 
pelo movimento relativo entre a fonte e o observador. 
O caso estudado na disciplina é o mais simples, 
unidimensional. 
A frequência percebida pelo observador é dada pela fórmula: 
�DBE � �FDG;H 
 � 
DBE
 � 
FDG;H 
Os sinais das velocidades do observador e da fonte são 
definidos em um referencial partindo do observador 
apontando para a fonte: �I��J
���J 	→ 	 ����� 
 
Ondas numa corda 
No caso de ondas numa corda, há duas fórmulas específicas que fornecem informações sobre 
a onda, a partir da densidade da corda. 
Velocidade da onda numa corda: 
 � 	K1L 
Trabalho médio por ciclo: 
M � 	N��� � L
*>#>2 
 
Onde L é a densidade linear da corda OP