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Fuja do Nabo: Física II – P2 – 2014 – Rogério Motisuki 
Oscilações – Resumo Teórico 
 
 
Oscilações simples 
O famoso MHS. A descrição do movimento pode ser escrita da forma: ���� = � cos�
�� + 
� 
Sim, é exatamente igual à descrição de uma onda harmônica, e ambas estão estritamente 
relacionadas. Os pontos de uma corda realizam um movimento oscilatório quando a onda se 
propaga por ela. 
E do mesmo jeito, podemos achar a velocidade e a aceleração derivando: ���� = −
�� sen�
�� + 
� ���� = −
��� cos�
�� + 
� 
Observe agora uma relação interessante: 
���� = ������ = −
��	���� 
Por que isso é tão importante? Essa é a equação diferencial que dá origem ao movimento 
oscilatório. 
Uma equação diferencial é uma equação que relaciona a variável com suas derivadas, em vez 
de suas potências. Sua resolução é muito mais complexa, portanto nesta matéria as soluções 
são dadas. O principal é saber montar a equação e identificar qual solução é de qual caso e 
conhecer todos os parâmetros. 
Obtenção da equação diferencial 
Olhando pra carinha da equação que obtivemos acima, temos uma dica: envolve aceleração. 
O que mais tem aceleração? Sim, �	 = 	�� 
O exemplo mais simples possível: Massa-mola 
���� = −��	 	⇔ 	�� = 	−��	 	⇔ � =	������ =	− ��� 
Comparando com a outra equação, obtemos que: 
�² = �� 	 	⇔
� = ��� 
Lembrando da relação com o período, obtemos uma relação famosa: � = �� = 2"��� 
Não estamos restritos somente à movimentos lineares. Poderíamos fazer a mesma coisa com 
ângulo e aceleração angular, que é o caso do pêndulo: 
No caso angular, �	 = 	�� se torna # = $% 
O torque da força peso é −�&. �(. )*+,�. O momento de inércia da 
massa pontual é �(². Portanto, a equação fica: 
−�&()*+, = �(�%	 	⇔ 	% = 	��,��� =	−&( )*+,	 ≈ −&( ,	 	⇔ 
� = �&( 
Sem utilizar a aproximação de pequenos ângulos, o pêndulo não é 
mais uma oscilação simples. 
Resumindo: se você sabe escrever a equação diferencial, através de � = �� e # = $% você 
consegue encontrar a frequência de oscilação 
� e consequentemente o período. Os outros 
parâmetros (amplitude e fase) são obtidos por outras formas. Geralmente leitura em gráfico, 
ou dado no enunciado, ou algo do tipo. 
Oscilação de duas partículas 
Esse é um problema um pouco mais complicado, mas pode ser resolvido facilmente utilizando 
a técnica certa. O problema com 2 corpos pode ser simplificado para uma oscilação de um 
corpo só, utilizando o conceito de massa reduzida: = 
 
Onde . é chamado de massa reduzida, e vale a relação: 1. = 1�0 + 1�� 
O que isso significa? Nessas duas situações, a frequência de oscilação será igual. 
Oscilações Amortecidas 
Uma oscilação amortecida nada mais é uma oscilação simples, mas com atrito. Se modelarmos 
o atrito de forma que ele seja proporcional à velocidade, a equação diferencial fica um pouco 
mais complicada. 
A equação diferencial é da forma: �²���² + 1 ���� + 
��� = 0		3+�*	1 = 	 4� , �678 = −4� 
Note que temos dois parâmetros agora: 1, que representa o atrito, e 
�, que representa a 
tendência de oscilação. 
Durante a resolução da equação, aparece uma equação do segundo grau, e portanto temos 3 
possibilidades para a solução, e damos nomes para elas: 
Amortecimento subcrítico 
Acontece quando: 
� 9 12 
Único caso onde há oscilação. A equação do movimento é dado por: 
���� = �*:;�7 cos�
� + 
� 					3+�*	
 = <
�� − 1�4 
Muito cuidado para não confundir > com >?! 
: frequência de oscilação real, aquela que realmente ocorrerá 
�: frequência de oscilação natural, recebe esse nome pois é a frequência original sem o 
amortecimento. 
Amortecimento crítico 
Acontece quando: 
� = 12 
Neste caso, não há oscilação. O sistema retorna ao ponto de equilíbrio no tempo mínimo 
possível dentre os 3 casos de amortecimento. A equação do movimento é dada por: 
���� = *:;�7	�� + A�� 
Amortecimento supercrítico 
Acontece quando: 
� B	12 
Também não há oscilação. O sistema volta ao estado de equilíbrio seguindo uma exponencial. 
A equação do movimento é dada por: 
	����= *−12�	C�*D�+A*−D�E						3+�*	D = <124 −
02 
Visualização dos 3 tipos de amortecimento: 
 
O principal é saber identificar os tipos de amortecimento e suas respectivas soluções. Com a 
solução em mãos, basta achar o resto dos parâmetros a partir de informações dadas no 
enunciado. Agora só resta fazer exercícios para praticar…